1、80 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义定理公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理 1 存在 .)(0xf)(0xf)(0f 定理 2 若 在点 处可导，则 在点 x 处连续；反之不真.fy(fy0 定理 3 函数 在 处可微 在 处可导.)(xf0)(xf0 导数与微分的运算法则：设 均可导，则,vu , vu)( dvud)( , v v ， )0()(2vu )0()(2vudd （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法
2、 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对 求导）x . 81 （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式 高阶导数公式： aanxnxl)()0(xnxe)( 2sisi)( kk )2cos()(cos( nkk nmnmxx)1()()( !)(nn!1l)( 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 直接法 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率相关变化率 二、 例题解析 例 2.1 设 , （ K 为整数）.问： 0,01si
3、n)(xxfK （1）当 K 为何值时， 在 处不可导；)(f （2）当 K 为何值时， 在 处可导，但导函数不连续；xf0 （3）当 K 为何值时， 在 处导函数连续？)(f 解 函数 在 x=0 点的导数：)(xf =0limx)(f0lixf)(0limxxK1sin)( = = lixK1sin)(1 当， 当发 散 82 即 1,0)(Kf不 存 在 ， 当 时, 的导函数为：1Kxf 0,0,1cos1sin)(2xxf KK 为使 ，取 即可。)(lim0xff 因此，函数 0,01sin)(xxfK 当 K1 时， 在 处不可导；)(xf 当 时， 在 处可导，但导函数在 处不
4、连续；2f00x 当 时， 在 处可导且导函数在 处连续。)(xf 例 2.2 ， 求 。tgxcty1ossin 22dy 分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变 形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。 解 = 。xxxy cosinsicossin333 x2sin1 所以 。y2 如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。 例 2.3 ，求 。xarctgey1ln2xdxy 分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦， 83 但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简 便得多。 解
5、 因为 xarctgey)1ln(l212xxe )1ln(2xxearctge 所以 = )(xt lx12xx2x 例 2.4 设 ，求 。y)(xfedy 解 利用积的求导法则及复合函数求导法则，有 = = 。dxy)(xfef )()xfex xxfee)() )(xf 例 2.5 设方程 , 求 .cos(22yyy 本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。 解 (方法一) 方程两端同时对 求导( y 看作 x 的函数 ),由复合函数求导法可x)(xy 得 )21()sin(2yxyexy )si(2y (方法二) 方程两边同时微分： )(cos)(2yxdexyd2
6、sin2yexdy dxyydy )sin()i(2 所以 )si(n2xexdy 84 例 2.6 已知 , 为二次可微函数,且 ，求 , )(tftyfx)(tf 0)(tfdxy 。2dxy 分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则 来求。 解 因为 = )(tfftdydtf)( x 所以 。tdfty)( 又 tx 所以 = 。2dy)(“1)(tfdtf 常见错解： 。x1)(t 错误原因 没有搞清求导对象. 是一阶导数 对 求导,而 是一阶导数2dxyxdxyt 对 t 求导。 例 2.7 求函数 的微分。12xy 解 = 21xdy2xd222
7、1)1(xxddx = 232)1(xx 例 2.8 设 , 求 。23xy)(ny 分析 本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整 85 式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿 的表达式写出)(nmx 所给定的有理函数的 n 阶导数。 解 1283)1(267)3( xxxy = )(n )()( 8 nnn = xx11)(!)2(!)1(0 = （ ）11)()(8!)( nnnxx 2n 例 2.9 设 求 的导函数 的连续区间，若间断，判别类0,1)(2xef )(f)(xf 型，并分别作 与 的图形。)(xf)(f 分析 函数 是用分段表达的函数. 在 的两侧： 当 时， ；f 0x0xxef)( 当 时， .因此，在 处， 的可导情况，需根据定义来作判断，0xxf2)( )(f 求出导函数后，再判别它的连续区间。 解 因为 xffx)0(lim)0( 01li2xx ，所以 在 处不可导。lili 00 eff xx )(xf0 故 。,2)(ef 因为在 处 无定义，所以 是 的间断点0x)(xf 0x)(xf 又因为 = = 0 ；0limxf0lix)2( = )(lifx1lixe 86 所以 为 的跳跃间断点。0x)(xf
