1、1 小学三年级奥数讲义全集 专题一 数图形 专题简析：先确定起始点或起始边，数出图形 的数量，再依次以后一个点（或边）数出图形 的数量。最后求出它们的和。 例 1、数出下面图中有多少条线段？ 思路：以 A 点为左端点的线段有：AB、AC、AD 共 3 条；以 B 点为左端点的线段有：BC、BD 共 2 条；以 C 点为左端点的线段有：CD 共 1 条。 所以图中共有线段 321=6 条。 试一试 1：数出下图中有( )条线段。 例 2、 数出下图中有几个角？ 思路：以 AO 为一边的角有： AOB、AOC、AOD 三个；以 BO 为一边的角 有：BOC、BOD 两个；以 CO 为一边的角有：
2、COD 一个。所以图中共有 321=6 个角。 试一试 2：数出下图中有（ ）个角。 例 3 数出下面图中共有多少个三角形。 思路：数三角形的个数与数线段、数角的方法 相同：以 AB 为边的三角形有：ABC、 ABD、ABE 三个；以 AC 为边的三角形有： ACD、ACE 二个；以 AD 为边的三角形有： ADE 一个。 所以图中共有三角形 321=6 个。 试一试 3：数出下面图中共有（ ）个三角 形。 专题二：找规律 专题简析：按照一定次序排列起来的一列数， 叫做数列。寻找数列的排列规律，除了从相邻 两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。 例 1 在括号内填上合适的数。 （1）：3、6
3、、9、12、 （ ） 、 （ ） （2）：1、2、4、7、11、 （ ） 、 （ ） （3）： 2，6，18，54， （ ） ， （ ） 思路：第（1）小题：前一个数加上 3 就等于后 一个数，相邻两个数的差都是 3。所以（ ） 里分别填 15 和 18； （2）第（2）小题：相邻两个数的差依次是 1，2，3，4这样下一个数应为 11 增加 5， 所以应填 16；再下一个数应比 16 大 6，填 22。 （3）第（3）小题：后一个数是前一个数的 3 倍，所以（ ）里应分别填 162 和 486。 试一试 1：先找规律再填数。 （1）2，4，6，8，10， （ ） ， （ ） ； （2）1，2，
4、5，10，17， （ ） ， （ ） ； （3）1，5，25，125， （ ） ， （ ） ； 例 2 先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）15、2、12、2、9、2、 （ ） 、 （ ） ； （2）21、4，18、5、15、6、 （ ） 、 （ ） ； 思路：第（1）小题：隔着看，第 1、3、5 个数依次减 3，第 2、4、6个数不变。所以 括号里分别应填 6、2； （2）第（2）小题：隔着看，第 1、3、5 个数依次减 3，第 2、4、6个数依次加 1。 所以括号里里分别应填 12 和 7。 试一试 2：先找规律再填数。 （1）2、1、4、1、6、1、 （ ） 、 （ ） ； （2
5、）1、15、3、13、5、11、 （ ） 、 （ ） ； 例 3 先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）2、5、14、41、 （ ） ； （2）252、124、60、28、 （ ） ； （3）1、2、5、13、34、 （ ） ； （4）1、4、9、16、25、36、 （ ） 。 思路：第（1）小题：相邻两个数，前一个数乘 3 减 1 等于后一个数，所以括号里应填 122。 第（2）小题：相邻的两个数，前一个数除以 2 2 的商减 2 等于后一个数，所以括号里应填 12。 第（3）小题：从第二项开始，每一项乘 3 等于 它前后相邻两数的和，因而括号里应填 89。 第（4）小题：依次是 1、
6、2、3、4、5、6 的平方，因而第七个数为 77=49。 试一试 3：先找规律再填数。 （1）2、3、5、9、17、 （ ） ； （2）94、46、22、10、 （ ） 、 （ ） ； （3）2、3、7、18、47、 （ ） 、 （ ） ； （4）1、8、27、64、 （ ） 、 （ ） 。 专题三 加减巧算 专题简析：加减法的巧算主要是运用“凑整” 的方法，把接近整十、百、千的数看作所接近 的数进行简算。要根据“多加要减去，少加要 再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行 处理。 可以结合加法交换律、结合律以及减法的 性质进行凑整，从而达到简算的目的。 例题 1 计算下面各题。 （1）396
7、55 （2）4271008 （3）456298 （4）582305 思路：39655=400554=451（多加要减去） 4271008=42710008=1435（少加要再加） 456298=4563002=158（多减要加上） 582305=5823005=277（少减要再减） 试一试 1：速算。 （1）49728 （2）7501002 （3）574397 （4）472203 （5）40230729799 例题 2 你有好办法迅速计算出结果吗？ （1）50279929897 （2）9999999999 思路：先把每个数分别看作整千、整百、或整 十数进行加减，再把零头数加减。 5027992
8、9897 =5002800130021003 =（500800300100）（2123） =9006 906 9999999999 =100001000100101111 =111104 =11106 试一试 2：速算。 30720139899 199919919 例题 3 计算： 487321113479 723251177 872284272 53714258 思路：运用加法交换律、结合律把相加、减得 整数的先算出来。 487321113479 723251177 =(487113)(321479) =723177251 =600700 =900251 =1300 =649 8722842
9、72 53714258 =872272284 =537(14258) =600284 =537200 =884 =337 试一试 3：速算。 3211277973 23512565 483254183 27197171 42517228 237（16328） 例题 4 计算下面各题： 321（279155） 372（5472） 3 432（15468） 思路：去括号时，加括号展开不变号；减括号 展开要变号（即减号见面变加号） 321（279155） 372（5472） =321279155 =3727254 =600155 =30054 =445 =244 432（15468） =432681
10、54 =500154 =346 试一试 3：速算。 421（179125） 523（175123） 328（184172） 专题四 文字算式谜 专题简析：文字算式是一种数字谜，相同的文 字或英文字母应表示相同的数字，不同的文字 或英文字母应表示不同的数字。解答时，要仔 细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题 的突破口，最后通过尝试找寻正确答案。 例题 1 下式中，每个字各代表一个不同的数 字，其中“心”代表 9，请问其他汉字分别代 表哪个数字？ 思路：“心”代表 0， “心”“心” =99=81，所以“少”=1，乘积就是 111111111。 即：123456799=111111111 试一
11、试：下面每个字代表不同的数字，这些汉 字分别代表几？ （1） （2） （3） 3、在下面的竖式中，a、b、c、d 各代表什么 数字？ 专题五 填数游戏 专题简析：填数游戏不但非常有趣，而且能促 使你积极地思考问题、分析问题、发展能力。 填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的 位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。 关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解 了。 例题 1 在下图中分别填入 19，使两条直 线上五个数的和相等，和是多少呢？ 思路：（1）19 中间的数是 5，所以中心的 内填 5，剩下八个数，一大一小搭配即可。 和=19285=25 （2）中心的内也可填 1，剩下八个数，一大
12、一小搭配即可。和=29381=23 （3）中心的内还可填 9，剩下八个数，一大 一小搭配即可。和=18279=27 答：每条直线上数字的和可能是 23、25、27。 试一试 1：把 6、8、10、12、14、16、18 七个 数填在下图的中， 使每排三个数及外圆 上三个数的和都是 32。 4 例题 2 把数字 18 分别填入下图的小圆圈 内，使每个五边形上 5 个数的和都等于 20。 思路：18 的和是 36，两个五边形上数字和 是 40，所以重叠部分的两个圆数字的和 =4036=4=13。即中间两个圆圈分别是 1、3。每个五边形上其他三个圆圈数字和是 204=16=268=457。所以本题应
13、该这 样填： 试一试 2：将数字 16 填入下图中的小圆圈 内，使每个大圆上 4 个数的和都是 15。 例题 3 在图中填入 29，使每边 3 个数的 和等于 15。 思路：该题的关键是 4 个顶点。因为求和时这 4 个顶点各算了两次，多算了一次。四个顶点 的和=四边的和减 29 的和 =154（23456789）=16。 我们可选出 3742=16 填入 4 个顶 点。 试一试 3：将 19 这九个数填入下图中，使 三角形每条边上四个数的和等于 19，且有一个 顶点的数字为 1。 例题 4 把 18 填入下图内，使每边上三 个数的和最大。求最大的和是多少？ 思路：要使每边上三个数之和最大，容
14、易想到 把 8、7、6、5 填在四角，因为四个角上的数在 求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此 我们可以列出求和的算式为： （8765）243214=624 和不是整数，说明四条边上的总和要减少 2 才 行，这只要将填在角上的 5 换成 3 即可。所以， 最大的和为：（622）4=15 试一试 4：把 310 填入下图中，使每边 上三个数的和最大，求最大的和是多少？ 专题六 有余除法 5 专题简析：在有余数的除法中，要记住： （1）余数必须小于除数； （2）被除数=商除数余数。 例 1 6=8，根据余数写出被除数最 大是几？最小是几？ 思路：除数是 6，根据余数比除数小，余数可 填 1、2
15、、3、4、5，根据除数商余数=被除 数又已知商、除数、余数，可求出最大的被除 数为 685=53，最小的被除数为 681=49。 试一试 1：下面题中被除数最大可填几，最小 可填几？ 8=3 例 2 =815，要使除数最小，被除 数应为几？ 思路：题中余数是 15，除数应比余数 15 大， 最小的应该是 16。16 是最小的除数，根据商 除数余数=被除数： 被除数=81615=143 试一试 2：除数最小时，被除数是几？ =107 例 3 算式 28（ ）=（ ）4 中，除数 和商各是多少？ 思路：根据“被除数=商除数余数” ，可以 得知“除数商=被除数余数” ，所以本题中 商除数=284=2
16、4。这两个数可能是 1 和 24，2 和 12，3 和 8，4 和 6，又因为余数为 4，因此除数可以是 24、12、8、6，商分别为 1、2、3、4。 试一试 3：149 除以一个两位数，余数是 5，请 写出所有这样的两位数。 专题七 周期问题 专题简析：（1）先找出一个周期里包含了几个 对象。 （2）总数周期对象数=周期数余数。 （3）有余数，余几就是第几个对象；没有余数， 最后一个数是周期内最后一个数。 例 1 小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先 2 个红的、后 1 个白的、再 3 个黑的的规律排 列（如下图） ，请你算一算，第 32 个珠子是什 么颜色？ 思路：从上图可以看出，珠子是按
17、“两红一白 三黑”的规律重复排列，即 6 个珠子为一周期。 326=5（组）2（个） ，32 个珠子中含有 5 个周期多 2 个，所以第 32 个珠子就是重复 5 个周期后的第 2 个珠子，应为红色。 试一试 1： “我要进江实我要进江实”依 次重复排列，第 2013 个字是什么？ 例 2 2001 年 10 月 1 日是星期一，问：10 月 25 日是星期几？ 思路：我们知道，每星期有 7 天，也就是说以 7 天为一个周期不断地重复。从 10 月 1 日到 10 月 25 日经过 251=24 天，247=3（星期） 3（天） ，说明 24 天中包括 3 个星期还多 3 天。所以从 10 月
18、 1 日开始过 3 个星期，最后一 天还是星期一，从这最后一天起再过 3 天就应 是星期四。 试一试 2：2013 年 5 月 1 日是星期三，9 月 1 日是星期几？ 例 3 100 个 3 相乘，积的个位数字是几？ 思路：因数 3 的个数 积的个位 1 个 3 3 2 个 3 9 3 个 3 7 4 个 3 1 5 个 3 3 积的个位分别以 3、9、7、1 不断重复出现， 即每 4 个 3 积的个位数字为一周期。 1004=25（个） ，因此 100 个 3 相乘积的个位 数字是第 25 个周期中的最后一个，即是 1。 试一试 3： 50 个 7 相乘，积的个位数字是几？ 专题八 数学趣
19、题 专题简析：对于趣味问题，首先要读懂题意， 然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识 以及自己的聪明才智巧妙地解决。 6 例题 1 如果每人步行的速度相同，2 个人一起 从学校到儿童乐园要 3 小时，那么 6 个人一起 从学校到儿童乐园要多少小时？ 思路：2 个人一起从学校到儿童乐园要 3 小时， 也就是 1 个人从学校到儿童乐园要 3 小时； 6 个人一起从学校到儿童乐园还是用 3 小时。 试一试 1：5 只猫 5 天能捉 5 只老鼠，照这样计 算，要在 100 天里捉 100 只老鼠要多少只猫？ 例题 2 一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长 大一倍，30 天能长到 20 厘米。问长到 5
20、厘米 时要用多少天？ 思路：毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身 长是第一天身长的 2 倍。这条毛毛虫在第 30 天 时，身长为 20 厘米，那么在第 29 天时，这条 毛毛虫的身长为 202=10 厘米；在第 28 天时， 这条虫的身长为 102=5 厘米。 试一试 2： （1）有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经 过 10 天可以把整个池塘全部遮住。问睡莲要遮 住半个池塘需要多少天？ （2）一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一 倍，15 天能长到 4 厘米。问要长到 32 厘米共 要多少天？ 例题 3 小猫要把 15 条鱼分成数量不相等的 4 堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？ 思路：要让最
21、多的一堆中小鱼条数尽量多，那 么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，第 一、二、三堆分别放放 1 条、2 条、3 条，这样 第四堆就可放： 15（123）=9 条。 试一试 3：兔妈妈拿来 1 盘萝卜共 25 个，分给 4 只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。 问分得最多的一只小兔至多分得几只？ 专题九 配对求和 专题简析：计算等差数列的和，可以用以下关 系式： 等差数列的和=（首项末项）项数2 末项=首项公差（项数1） 项数=（末项首项）公差1 例题 1 你有好办法算一算吗？ 12345678910=（ ） 思路：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 共 10 个数，我们可以把 10
22、个数分成 5 组： 110，29，38，每组两个数的和是 11，它们的和就有 5 个 11 即 115=55。算式： （110）102=55 试一试 1：你能迅速算出结果吗？ （1）1234100； （2）123455； 例题 2 计算：323436384042 分析：首数 32、尾数 42、相数：（4232） 21=6。算式： （3242）（4232）212=222 试一试 2： 7275788184。 例题 3 计算： 993994995996997998999 思路：这几个自然数都接近于 1000，我们可以 看作 7 个 1000 相加，这样就多加了 7654321，就用 7000（76
23、54321）=6072。 试一试 3：99959996999799989999 专题十 乘法速算 专题简析：因数中有 5、25、125 时首先要考虑 他们分别于 2、4、8 相乘得到 10、100、1000。两位数、三位数乘 11，可采 用“两头一拉，中间相加”的办法。但头尾相 加作积的中间数时，哪一位上满 10 要向前一位 进一。 例题 1 你能很快算出 4325 的结果吗？ 思路：一个数与 5 相乘，因为 102=5，可在 这个数末尾添上一个 0，然后再除以。 7 4325=432102=43202=2160 试一试 1： 4705 6295 例题 2 试着计算下列各题，有什么规律？ 18
24、11 3811 43211 思路：一个数与 11 相乘，将这个数的首位与末 位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次 将这个数相邻两位由个位起加起，和写在十位、 百位，哪一位上满十就向前一位进一。 1811=1（18）8=198 3811=3（38）8=418 43211=4（43） （32）2=4752 试一试 2：3511 8711 87211 例题 3 你能迅速算出下面各题吗？ 2415 24815 345615 思路：一个因数乘 15，也就是用这个数加上它 的一半再乘 10。 2415=（24242）10=3610=360 24815 345615 =(2482482)10 =(345
25、634562)10 =37210 =518410 =3720 =51840 试一试 3： 3215 28415 495615 例题 4 下面的乘法有规律吗？ （1）2425 （2）2125 （3）25427 思路：因为 254=100，因此一个数与 25 相乘， 我们就看这个数里有几个 4，有几个 4 就有几 个 100，余几就加几个 25。 2425=2546=600 2125 42725 =25(201) =25(4243) =2545251 =254106253 =525 =10675 试一试 4： 2825 2527 25377 专题十一 乘除巧算 专题简析：根据 25=10，425=
26、100，8125=1000，运用运算 定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分 配律等等，善于运用运算定律，是提高巧算能 力的关键。 例 1 你有好办法算出下面各题的结果吗？ （1）25174 （2）818125 （3）8254125 （4）125285 思路：题中有 25、125 时，一般考虑 25 与 4 相 乘、125 与 8 相乘。 25174 818125 =25417 =812518 =10017 =100018 =1700 =18000 8254125 125285 =8125(254) =1258(25) =1000100 =100010 =100000 =10000 试一试
27、1： （1）25234 （2）125278 （3）52524 （4）1254825 例 2 你有好办法计算下面各题吗？ （1）258 （2）16125 （3）162525 （4）1253225 思路：有 25、125 没有 4、8 时，先转换出 4、8 出来。 258 16125 =2542 =12582 =1002 =10002 =200 =2000 162525 1253225 =442525 =1258425 =425(425) =1258(425) =100100 =1000100 =10000 =100000 试一试 2： （1）2512 （2）48125 （3）125165 （4）
28、1256425 8 例 3 你能很快算出它们的结果吗？ （1）8288 （2）5159 思路：被乘数和乘数十位上的数字相同，个位 数字和是 10。首位数字加 1 再乘首位数字，得 数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘， 得数作为积的末位两个数字，如果末位数字相 乘的积是一位数，要在前面被一个 0。 8288 5159 =908028 =605019 =720016 =30009 =7216 =3009 试一试 3： 7278 4545 8189 例 4 简便运算： 1305 420025 34000125 思路：运用商不变的性质，即被除数和除数同 时扩大或缩小相同的倍数（0 除外） ，商不
29、变。 1305=(1302)(52)=26010=26 1305=130102=132=26 420025=42001004=424=168 34000125=3400010008=348=272 试一试 4： 1705 360025 43000125 专题十二 应用题（一） 专题简析：分析应用题的数量关系时，可以从 条件出发，逐步推出所求的问题；也可以从问 题出发，找到必须的两个条件。有时，借助线 段图来分析应用题的数量关系，就更容易了。 例题 1 学校里有排球 24 只，足球的只数比排 球的 2 倍少 5 只，学校有排球、足球共多少只？ 思路：根据题意画出线段图 把 24 只排球看作 1
30、倍数；先根据倍数关系 求出足球的数量，再求两种球的和。 足球：2425=43（只） 总数： 2443=67（只） 试一试 1：王奶奶家养鸡 12 只，养鹅的只数比 鸡的只数的 4 倍还多 7 只。王奶奶家共养鸡、 鹅多少只？ 例题 2 人民广场花圃中有 180 盆郁金香，比 月季花盆数的 3 倍少 15 盆。月季花有多少盆？ 思路：根据题意画出线段图 把月季花的盆数看作 1 倍数，郁金香的盆数是 这样的 3 倍少 15 盆。如果郁金香再增加 15 盆， 就正好是月季花盆数的 3 倍。因此用 （18015）3=65（盆）就可求出月季花的盆 数。 试一试 2：饲养场养母鸭 400 只，比公鸭只数
31、的 7 倍还多 36 只。饲养场养公鸭多少只？ 例题 3 小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多 13 只，白鸡比黄鸡多 12 只，白鸡的只数正好是黑 鸡的 2 倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？ 思路：根据题意画出线段图 从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多 1312=25 只，这相当于黑鸡的 21=1 倍。 黑鸡：（1312）（21）=25（只） 黄鸡：2513=38（只） 白鸡： 252=50（只） 试一试 3：有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙 筐多 12 只苹果，丙筐比甲筐多 15 只苹果，丙 筐苹果个数是乙筐的 4 倍。甲、乙、丙筐各有 多少只苹果？ 9 例题 4 用一批纸装订同样大小的练习本，如
32、果每本 16 页，可装订 400 本。如果每本 20 页， 可以少装订多少本？ 思路：先求出这批纸的总页数 16400=6400 页； 再求出如果每本 20 页可装订的本数 640020=3200 本，最后求少装订的本数 400320=80 本。 试一试 4：服装厂有一些布料加工窗帘，如果 把窗帘做成 3 米长，可做 140 幅。如果每幅窗 帘做成 2 米长，则可多做多少幅？ 例题 5 李师傅原计划 6 小时加工零件 480 个， 实际 2 小时加工 192 个。照这样的效率，可以 提前几小时完成？ 思路：工作效率=工作总量工作时间。 实际工作效率：1922=96（个/小时） 实际工作时间：4
33、8096=5（小时） 提前时间：65=1（小时） 试一试 5：暑假中，小宁 30 天共要写大字 600 个，实际 12 天已写大字 360 个。照这样的速度， 小宁可以提前几天写完同样多的字？ 专题十三 应用题（二） 专题简析：解答一般应用题的关键是要掌握数 量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问 题之间的联系，找出解题方法，灵活解题。 例题 1 一列火车早上 5 时从甲地开往乙地， 按原计划每小时行驶 120 千米，下午 3 时到达 乙地，但实际到达时间是下午 5 时整，晚点 2 小时。问火车实际每小时行驶多少千米？ 思路：由“早上 5 时出发，计划下午 3 时到达” 可知，火车计划行驶
34、1235=10 小时。则甲 地到乙地的距离为 12010=1200 千米；火车晚 点 2 小时，实际行驶 102=12 小时，实际每小 时行 120012=100 千米。 试一试 1：一列火车早上 6 时从甲城开往乙城， 计划每小时行驶 100 千米，下午 6 时到达乙城。 但实际到达时间是下午 4 时，提前 2 小时。问 火车实际每小时行驶多少千米？ 例题 2 小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买 了 7 枝，小红买了 5 枝，小佳没有买。回家后， 三个人平均分铅笔，小佳拿出 8 角钱，小佳应 给宁多少钱？给小红多少钱？ 思路：三人平分，每人应得（75）3=4 枝； 而小佳拿出的 8 角钱就是
35、4 枝铅笔的价钱，每 枝铅笔：84=2 角。小佳应给小宁 2（74）=6 角钱，应给小红 2（54）=2 角钱。 试一试 2：张、王、李三家合用一个炉灶，他 们烧的柴同样多，张家出了 4 担柴，李家出了 5 担柴，王家因无柴付 18 元。张、李家各得多 少钱？ 例题 3 用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒 进去 2 杯牛奶，连瓶共重 450 克；如果倒进去 5 杯牛奶，连瓶共重 750 克。一杯牛奶和一个 空瓶各重多少克？ 思路：根据题目的条件，我们可以写出两个关 系式： 2 杯牛奶重量1 个空瓶重量=450 克 5 杯牛奶重量1 个空瓶重量=750 克 比较、两个式子，可得 52=3 瓶牛奶
36、重量是 750450=300 克，那么 1 瓶牛奶重量是 3003=100 克，然后可求出空瓶重量是 4501002=250 克。 试一试 3：有一个木桶向一个水缸中倒水，如 果倒进 4 桶水，连缸共重 240 千克；如果倒进 7 桶水，连缸共重 390 千克。一桶水和一个水 缸各重多少千克？ 例题 4 一共有红、黄、绿三种颜色的珠子 120 粒。如果把红色珠子分放在 9 个盒子里，把黄 色珠子分放在 6 个盒子里，把绿色珠子分放在 5 个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。 三种颜色的珠子各多少粒？ 思路：把 120 粒珠子分放到盒子里以后，每个 盒子里的珠子粒数相等，那么就可以 120（
37、695）=6 粒，求出每个盒子里珠子 的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。 红色珠子：69=54 粒； 黄色珠子：66=36 粒； 10 绿色珠子：65=30 粒。 试一试 4：一共有白兔、灰兔、黑兔共 250 只， 如果把白兔分放到 5 个笼中，把灰兔分放到 11 个笼中，把黑兔分放到 9 个笼中，这样每个笼 中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只？ 例题 5 在 6 个筐里放着同样多的鸡蛋，如果 从每个筐里拿出 50 个鸡蛋，则 6 个筐里剩下的 鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的 总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？ 思路：共取出 506=300 个鸡蛋；共减少 62=4。则原来每个筐
38、有鸡蛋：3004=75 个。 试一试 5：某商店有 5 箱皮球，如果从每箱里 取出 15 个，那么 5 个箱里剩下皮球的个数正好 等于原来 2 箱皮球的个数。原来每箱装了多少 个皮球？ 专题十四 植树问题 专题简析：在不封闭的线路上植树，棵数=间 隔数1；在封闭的线路上植树，棵数=间隔数。 例题 1 小朋友们植树，先植一棵树，以后每 隔 3 米植一棵，已经植了 9 棵，第一棵和第九 棵相距多少米？ 思路：根据“棵数=间隔数1” ，所以间隔数= 棵树1= 91=8 个，每个间隔是 3 米，所以 第一棵和第九棵相距 38=24 米。 试一试 1：在一条 20 米长的绳子上挂气球，从 一端起，每隔
39、5 米挂一个气球，一共可以挂多 少个气球？ 例题 2 在一条长 40 米的大路两侧栽树，从起 点到终点一共栽了 22 棵。已知相邻两棵树之间 的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多 少米？ 思路：根据“两侧共栽 22 棵树” ，先求一侧栽 222=11 棵树，那么从第 1 棵树到第 11 棵树 之间的间隔是 111=10 个。40 米长的大路平 均分成 10 段，每段是 4010=4 米。 试一试 2：在公园一条长 25 米的路的两侧放椅 子，从起点到终点共放了 12 把椅子，相邻两把 椅子距离相等。相邻两把椅子之间相距多少米？ 例题 3 把一根钢管锯成小段，一共花了 28 分 钟。已知每锯
40、开一段需要 4 分钟，这根钢管被 锯成了多少段？ 思路：段数=锯的次数1。 算式： 锯的次数：284=7（次） 段数：71=8（段） 试一试 3：一根圆木锯成 2 米长的小段，一共 花了 15 分钟。已知每锯下一段要 3 分钟，这根 圆木长多少米？ 例题 4 在一个周长是 48 米的池塘周围种树， 每隔 6 米种一棵树，一共种了多少棵？ 思路：封闭线路中：棵树=间隔数 算式：486=8（棵） 试一试 4：在一个边长为 12 米的正方形四周围 篱笆，每隔 4 米打 1 根木桩，一共要准备多少 根木桩？ 例题 5 甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到 5 楼 时，乙恰好跑到 3 楼。照这样计划，甲跑到 1
41、7 楼时，乙跑到多少层？ 思路：爬楼梯时第一层楼是不用爬的。 （楼层数 1）才是要走的楼梯段数。 “甲跑到 5 楼时， 乙恰好跑到 3 楼” ，说明甲的速度是乙的 （51）（31）=2 倍。甲跑到 17 楼时跑 了（171）=16 段楼梯，乙跑了 162=8 段楼 梯，他跑到了第 81=9 层楼。 试一试 5：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明 跑到第四层时，小红跑到第五层，照这样计算， 当小明跑到第十六层时，小红跑到了第几层？ 专题十五 重叠问题 专题简析：解答重叠问题时要用到一个重要原 理包含与排除原理，即当两个计数部分有 重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和 中排除重复部分。 11 把两
42、个部分合在一起减重叠，把两个部分分 开加重叠。 例题 1 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。 小张从前数起，红旗是第 8 面；从后数起，红 旗是第 10 面。这行彩旗共多少面？ 思路：从前数起红旗是第 8 面，从后数起是第 10 面，有一面红旗就数了两次，应减去重复数 的部分，所以这行彩旗共有 8101=17 面。 试一试 1：同学们排队去参观展览，无论从前 数还是从后数起，李华都排在第 8 个。这一排 共有多少个同学？ 例题 2 同学们排队做操，每行人数同样多。 小明的位置从左数起是第 4 个，从右数起是第 3 个，从前数起是第 5 个，从后数起是第 6 个。 做操的同学共有多少个？ 思路：
43、小明的位置从左数第 4 个，右数第 3 个， 说明横行有 431=6 个人；从前数第 5 个， 从后数第 6 个，说明竖行有 561=10 人，所 以做操的同学共有：610=60 人。 试一试 2：三（4）班排成每行人数相同的队伍 入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第 6 个，从后数是第 5 个；从左数、从右数都是第 3 个。三（4）班共有学生多少人？ 例题 3 把两块一样长的木板像下图这样钉在 一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板 长 120 厘米，中间重叠部分是 16 厘米，这两块 木板各长多少厘米？ 思路：把重叠在一起两块木板分开，先加上重 叠的部分 16 厘米，即这两块木板的总长
44、度是 12016=136 厘米，每块木板的长度是 1362=68 厘米。 试一试 3：把两块一样长的木板钉在一起，钉 成一块长 35 厘米的木板。中间重合部分长 11 厘米，这两块木板各长多少厘米？ 专题十六 简单枚举 专题简析：一是分类要全，不能造成遗漏；二 是枚举要清，必须有次序、有规律地进行枚举。 例题 1 从小华家到学校有 3 条路可走，从学 校到文峰公园有 4 条路可走。从小华家到文峰 公园，有几种不同的走法？ 思路：为了帮助理解题意，可以画出示意图。 根据图中可知，从小明家经学校到文峰 公园，走路有 4 种不同走法，走路有 4 种 不同走法，走路也有 4 种不同走法，共有 43=1
45、2 种不同走法。 试一试 1：明明有 2 件不同的上衣，3 条不同的 裤子，4 双不同的鞋子。最多可搭配成多少种 不同的装束？ 例题 2 用红、绿、黄三种信号灯组成一种信 号，可以组成多少种不同的信号？ 思路：组成的信号有：红绿黄、红黄绿；绿红 黄、绿黄红；黄红绿、黄绿红等 6 种。 可以把组成的信号看成是三个位置：第 1 个位置有 3 种选择，第 2 个位置有 2 种选择， 第 3 个位置就只有 1 中选择。所以排列方法一 共有：321=6 （种） 试一试 2：用数字 1、2、3，可以组成多少个不 同的三位数？分别是哪几个数？ 例题 3 有 4 位小朋友，寒假中互相通一次电 话，他们一共打了
46、多少次电话？ 思路 1：每个小朋友都节打电话 3 次。但两人 之间只需打 1 次电话，互打就重复了。因此一 共打 342=6（次） 思路 2：第 1 个小朋友打了 3 个电话，第 2 个 小朋友打了 2 个电话，第 3 个小朋友打了 1 个 电话，第 4 个小朋友不需要打电话。因此一共 打 321=6（次） 试一试 3： （1）6 个小队进行排球比赛，每两队比赛一场， 共要进行多少次比赛？ 公公公公公公公公公 (5)(6)(7) (4) (3)(2) (1) 12 （2）暑假里，三位小朋友互发一封问候邮件， 他们一共发了多少封邮件？ 专题十七 等量代换 专题简析：两个相等的量，可以互相代换。当 年曹冲称象时，就运用了等量代换的方法：船 两次排开水的重量相等，也就是一船石头的重 量等于大象的重量。 例题 1 1 个梨的重量等于 2 个苹果的重量，1 个苹果的重量等于 3 个桃子的重量。想一想， 1 个梨的重量等于几个桃子的重量？ 思路：根据“1 个苹果重=3 个桃子重” ，则 2 个苹果重=6 个桃子重；又因为“1 个梨重=2 个 苹果重” ，所以 1 个梨重=6 个桃子重。 试一试 1：1 个菠萝的重量等于 6 个
