《第13章-三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导.doc

1、 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 1 第 13 章 三角形中的边角关系、命题与证明 学习要求： 1理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。 2掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。 3掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。 4了解三角形的稳定性。 知识要点： 一、三角形中的边角关系 1三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。 注意：三角形的中线平分三角形的面积。 2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2、注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法 是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。 3三角形各角之间的关系： 三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为 180。 三角形的外角和等于 360（每个顶点处只取一个外角）； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4三角形的分类 三角形按边的关系可以如下分类： 等 边 三 角 形 角 形底 和 腰 不 相 等 的 等 腰 三等 腰 三 角 形不 等 边 三 角 形三 角 形 三角形按角的关系可以如下分类： )(形有 一 个 角 为 钝

3、 角 的 三 角钝 角 三 角 形 形三 个 角 都 是 锐 角 的 三 角锐 角 三 角 形斜 三 角 形 形有 一 个 角 为 直 角 的 三 角直 角 三 角 形三 角 形 Rt 5三角形具有稳定性。 知识结构： 二、命题与证明 1判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。 2命题都可以写成：“如果，那么。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。 3命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。 4命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。 5将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题

4、可真可假。 6公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。 7定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 2 8命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质： （1）两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。 （2）两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。 （3）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （4）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 （5）三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。 （6）三角形全等：

5、“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （7）等腰三角形的判定与性质。 （8）直角三角形的判定与性质。 9反证法 假设，推理，矛盾，结论。 第 13 章 三角形中的边角关系、命题与证明练习题 一、填空题： 1三角形的一边是 8，另一边是 1，第三边如果是整数，则第三边是_ _，这个三角形是_ _ 三角形。 2已知三角形两边的长分别为 1 和 2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为_ _。 3三角形的三边长分别为 ， ， ，则 的取值范围是_ _。aa 4三角形的三边为 ， ， ，则 的取值范围是_ _。9 5已知 a，b，c 为 ABC 的三条边，化简

6、|bac|_ _。(a+b-c)2 6在ABC 中，ABAC，AD 是中线，ABC 的周长为 34cm，ABD 的周长为 30cm， 求 AD 的长。 7如图，CE 平分ACB，且 CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD 的周长为 28 cm，则 DB_ _。 8. 已知等腰三角形两边长分别为 4 和 9，则第三边的长为_ _。 9. 等腰三角形的周长为 20cm， （1）若其中一边长为 6cm，则腰长为_ _； （2）若其中一边长为 5cm，则腰长为_ _。 10等腰ABC 中，ABAC，BC6cm，则ABC 的周长的取值范围是_ _。 11等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为

7、 15 厘米和 6 厘米两部分，则此三角形的底边长为 _ _。 12等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为 15 厘米和 11 厘米两部分，则此三角形的底边长为 第 7题 图 E D C BA 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 3 21 A B C D _ _。 13写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题_。 14已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 14，则这个等腰三角形顶角的度数为_ _。 15三角形的最小角不大于_ _度，最大角不小于_ _度。 16三角形的三个内角中至少有_ _个锐角，三个外角中最多有_ _个锐角。 17在ABC 中，若C2（AB

8、），则C_ _度。 18在ABC 中，A B C，则B_ _。13 19如果ABC 的一个外角等于 150，且BC，则A_ _。 20如图，已知120，225，A50，则BDC 的度数是_ _。 21如图，在ABC 中，A80，ABC 和ACB 的外角平分线相交于点 D，那么BDC_ _。 22纸片ABC 中，A65，B75，将纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 内（如图），若1 20，则2 的度数为_ _。 （第 20 题图） （第 21 题图） （第 22 题图） 23纸片ABC 中，A65，B75，将纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 外（如图），若220， 则 1 的度数为_ _。

9、 24认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题。 探究 1：如图 1，在ABC 中，O 是ABC 与ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现 BOC90 A，理由如下：2 BO 和 CO 分别是ABC 和ACB 的角平分线， 1 ABC，2 ACB1 第 6题 图 FE D C B A 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 4 12 (ABCACB)21 又ABCACB180A 12 (180 A)90 A21 BOC180（12）180（90 A）90 A。21 探究 2：如图 2 中，O 是ABC 与外角ACD 的平分

10、线 BO 和 CO 的交点，试分析BOC 与A 有怎样的关系？请 说明理由。 探究 3：如图 3 中，O 是外角DBC 与外角ECB 的平分线 BO 和 CO 的交点，则BOC 与A 有怎样的关系？ （只 写结论，不需证明）。 结论： 。 25如图，已知A80， （1）若点 O 为两角平分线的交点，则BOC_ _； （2）若点 O 为两条高的交点，BOC_ _。 26. 如图，ABC 的面积等于 ，D 为 AB 的中点，E 是 AC 边上一点，且 AE2EC，O 为 DC 与 BE 交点，21cm 若DBO 的面积为 ，CEO 的面积为 ，则 _ _。a2bcba 27如图，ABC 的B 的外

11、角的平分线与C 的外角的平分线交于点 P，连接 AP。若BPC50，则 PAC_ _度。 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 5 （第 25 题图） （第 26 题图） （第 27 题图） 28如图，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 的平分线 BP 交于点 P，若BPC40，则CAP _ _度。 二、选择题： 1在下列长度的四根木棒中，能与 3cm，7cm 两根木棒围成一个三角形的（ ） A7cm B4cm C3cm D10cm 2若 ABC 的三边长分别为整数，周长为 11，且有一边为 4，则这个三角形的最大边长为（ ） A.7 B.6 C

12、.5 D.4 3若ABC 的三边之长都是整数，周长小于 10，则这样的三角形共有（ ） A6 个 B7 个 C8 个 D9 个 4三角形的三边分别为 3，12a，8，则 a 的取值范围是（ ） A.6a3 B.5a2 C.2a5 D.a5 或 a2 5. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为 4 和 2011，则满足条件的三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6四条线段的长度分别为 4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 7等腰三角形一腰上的中线分周长为 15 和 12 两部分，则此三角形底边之长为（ ） A7 B11 C7

13、 或 11 D不能确定 8一个三角形三个内角的度数之比为 237，这个三角形一定是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 9已知一个三角形三个内角度数的比是 156，则其最大内角的度数（ ） A60 B75 C90 D120 10如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和，这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形 11三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 12在 ABC 中，如果AB90，那么 ABC 是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形

14、 D.斜三角形 13. 三角形中，最大角 的取值范围是（ ） A. B. 90 1806 C. D. 6 14在ABC 中，ABAC，D 在 AC 上，且 BDBCAD，则A 的度数为（ ） A30 B36 C45 D72 15直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ） A.45 B.135 C.45或 135 D.以上答案都不对 16如图，ABC 中，A50，点 D、E 分别在 AB、AC 上，则12 的大小为（ ） 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 6 A130 B.230 C.180 D.310 17已知如图，A32，B45，C38则DFE

15、等于（ ） A.120 B.115 C.110 D.105 （第 16 题图） （第 17 题图） 18在ABC 中，B50，ABAC，则A 的取值范围是（ ） A0A180 B0A80 0 C50A130 D80A130 19若 、 、 是三角形的三个内角，而 ， ， ，那么 、 、 中，锐 xyzxyz 角的个数的错误判断是（ C ） A可能没有锐角 B可能有一个锐角 C可能有两个锐角 D最多一个锐角 20如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 2 倍，且等于它不相邻内角的 4 倍，那么这个三角形一定是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D正三角形 21在 ABC 中 如图

16、1，若 P 点是ABC 和ACB 的角平分线的交点，则P90 A；21 如图 2，若 P 点是ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，则P A； 如图 3，若 P 点是外角CBF 和BCE 的角平分线的交点，则P90 A。 上述说法正确的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 A D B 1 C E 2 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 7 22. 如图所示，在ABC 中，已知点 D、E、F 分别为边 BC、AD、CE 的中点，且 ，则 S 阴影24cmSABC 等于（ ） A.2cm2 B.1cm2 C. cm2 D. cm211 23如图，

17、已知ABC 为直角三角形，C90，若沿图中虚线剪去C，则12 等于（ ） A315 B270 C180 D135 5. 如图，在ABC 中，D 是 BC 上一点，若BC，13，则1 与2 的关系为（ ） A. 122 B. 212180 C. 132180 D. 312180 24. 如图，在ABC 中，D 是 BC 上一点，若BC，13，则1 与2 的关系为（ ） A. 122 B. C. D. （第 22 题图） （第 23 题图） （第 24 题图） 25如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 外部 A/的位置，则A、1 与2 的数量关系， 结 论正确是（ ）

18、 A12A B1222A C212A D12A2 26如图，ABC 的两个外角的平分线相交于 D，若B50，则ADC（ ） A60 B80 C65 D40 27如图，ABC 的外角平分线 CP 和内角平分线 BP 相交于点 P，若BPC35，则CAP（ ） A.45 B.50 C.55 D.65 （第 25 题图） （第 26 题图） （第 27 题图） 三、解答下列各题： 1ABC 的三边长分别为 4、9、x， 求 x 的取值范围； 求ABC 周长的取值范围； 当 x 为偶数时，求 x； 当ABC 的周长为偶数时，求 x； 当ABC 周长是 5 的倍数时，求 x； 若ABC 为等腰三角形，求

19、 x。 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 8 2已知ABC 的三条边为整数，且 ，求 的值。05242bac 3对于同一平面内的三条直线 a、b、c，给出下列五个论断： （1）ab；（2）bc；（3）ab；（4）ac；（5）ac。 以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题。 4证明：两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。 5有 5 根木条，其长度分别为 4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？ 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 9 6如图，在ABC 中，A

20、96，延长 BC 到 D，ABC 与ACD 的平分线相交于 ， BC 与 CD1A1A 的平分线相交于 ，依此类推， BC 与 CD 的平分线相交于 ，则 的大小是多少？2A4A455 7在ABC 中，A50，高 BE，CF 所在的直线交于点 O，求BOC 的度数。 8（1）已知如图（a），在ABC 中，CB，ADBC 于 D，AE 平分BAC，则EAD 与B，C 有何数 量关系？ 2A1 第 3题 图 DCB A 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 10 （2）如图（b），AE 平分BAC，F 为其上一点，且 FDBC 于 D，这时EFD 与B、C 又有何数

21、量关系？ （3）如图（c），AE 平分BAC，F 为 AE 延长线上一点，FDBC 于 D，这时AFD 与B、C 又有何数量关系？ 9如图，P 为ABC 内任意一点，求证： BPC A； BPCABPAACP； ABACPBPC。 10. 如图中的几个图形是五角星和它的变形 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 11 （1）图（1）中是一个五角星，求ABCDE。 （2）图（1）中点 A 向下移到 BE 上，五个角的和有无变化？（即CADBCDE 如图（2）， 说明你的结论的正确性。 （3）把图（2）中点 C 向上移动到 BD 上，五个角的和（即CADBACEDE

22、）有无变化？如图 （3），说明你的结论的正确性。 11如 图 已 知 ABC 中 ， B 和 C 外 角 平 分 线 相 交 于 点 P。 （ 1） 若 ABC 30， ACB 70， 求 BPC 度 数 。 （ 2） 若 ABC ， BPC ， 求 ACB 度 数 。 12ABC 是一个三角形的纸片，点 D、E 分别是ABC 边上的两点。 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 12 （1）如果纸片沿直线脚折叠，使点 A正好落在线段 AC 上，如图 1，此时A 与BDA的关系是 ； （2）如果纸片沿直线 DE 折叠，使点 A落在ABC 的内部，如图 2，试猜想A

23、 和BDA、CEA的关系是 ； （3）如果纸片沿直线 DE 折叠，使点 A落在ABC 的外部，如图 3，则此时A 和BDA、CEA的关系是 ，请说明理由。 13如图所示，BE、CD 交于 A 点，C 和E 的平分线相交于 F。 （1）试求：F 与B，D 有何等量关系？ （2）当BDF24x 时，x 为多少？ 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 13 14若ABC 的三边之长都是整数，周长小于 10，则这样的三角形共有几个？ 15有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题：“已知 ABC 的三边长分别是 a，b，c。且 a、b、c 的值满足等式|bc2a|（bc

24、5） 20，求 b 的取值在什么范围？”。你能解答这道题吗？ 16在 ABC 中，ABC ，且A4C，求B 的范围。 17在ABC 中，A 是最大角，C 是最小角，且A2C，求C 的取值范围。 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 14 第 13 章 三角形中的边角关系练习题答案 一、填空题： 18，等腰。 22。 3 。 4 52b2c。 6AD13cm。 78cm； 8. 9。2a79a 9.（1）6cm 或 7cm；（2） cm。 10周长12。 111。 1210 厘米或 厘米。 15 32 13有两个角相等的三角形是等腰三角形； 1420或 120；

25、1560，60； 162，1； 17120； 1860； 1930或 120； 2095； 2150； 22 解：如图， CEFCFECABC， CEFCFEAB8555140， 又将纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 内， CEFCFCEFCFE140， CECCEC140140280， 120， 21802CECCEC13602802060 故答案为：60。 23解：如图， A65，B75， C180AB180657540； 又将三角形纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 外， CC40， 而325C180， 54C440，220， 32044040180， 3480， 11808010

26、0。 故答案为 100。 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 15 24BOC A，BOC90 A； 2121 25. （1）130；（2）100或 80； 26. 2； 27 解：延长 BA，做 PNAD，PFBA，PMBC， 设PCDx， CP 平分ACD， BCPPCDx，PMPN， BP 平分ABC， ABPPBC，PFPN， PFPM， APC50， BAPPAC（x50）， ABCBCDBAC2x（x50）（x50）100， CBF100， 在 RtPFB 和 RtPMB 中， PAPA，PMPF， RtPFBRtPMB， FAPPAC40。 28

27、50。 二、选择题： 1.A 2.C 3. D 4.B 5. B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C 11.D 12.B 13. C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26C 27C。 考点：三角形内角和定理。 分析：根据外角与内角性质得出BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAP FAP，即可得出答案。 解：延长 BA，作 PNBD，PFBA，PMAC， 设PCDx， CP 平分ACD， ACPPCDx，PMPN， BP 平分ABC， ABPPBC，PFPN， PFPM，

28、 BPC35， ABPPBC（x35）， BACACDABC2x（x35）（x35）70， CAF110， 在 RtPFA 和 RtPMA 中， PAPA，PMPF， RtPFARtPMA， 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 16 FAPPAC55。 故选 C。 三、解答下列各题： 15x13； 18ABC 的周长26； 当 x 为偶数时， x6、8、10、12； 当ABC 的周长为偶数时， x7、9、11； 当ABC 周长是 5 的倍数时，x7、12； 若ABC 为等腰三角形，x9。 2 ， ， ，则整数 。a1b3c2c 3答案不惟一，如果 ， ，那么

29、；如果 ， ，那么 ；如果 ， ，ab abcac bca 那么 等。 4要画图，写已知、求证、证明。 56 种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12） 63。 7BOC50或 130； 8解：（1）ADBC，ADC90， CAD90C AE 平分BAC， EAC BAC，21 BAC180B C EAC （180B C）90 B C，21 21 EADEAC CAD 90 B C（90C）21 (CB)。21 （2）如图（b），过 A 作 AGBC 于 G，由（1）知EAG (CB)。21 AGBC，FDBC， AGCFDG90， FDAG，

30、EFDEAG， EFD (CB)。21 （3）如图（c），过点 A 作 AGBC 于 G，由（1）知EAG (CB)。21 AGBC，FDBC， AGBFDC90， FDAB， AFDEAG， AFD (C21 B)。 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 17 说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未知 问题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。 9延长 BP 交 AC 于 D。 BPCPDCA； BPCPDCACP；PDCAABP； BPCAABPACP。

31、ABADBD。 PDDCPC。 ABADPDDCBDPC。 ABACPBPC。 10.（1）180。 （2）无变化。理由:CADBCECADEADBAC180。 （3）无变化。 理由:CADBACEDEACBACEECD180。 11解 ： （ 1） BPC 180 （ EBC BCF）21 180 （ EBC BCF） 180 （ 180 ABC 180 ACB）2 180 （ 180 30 180 70） 50； （ 2） BPC 180 （ 180 ABC 180 ACB）2 （ ABC ACB） ， BPC ， ABC ， （ ACB） 。21 故 ACB 2 。 12解：（1）BDA

32、2A； 根据折叠的性质可知DAEA，DAEABDA，故BDA2A； （2）BDACEA2A， 理由：在四边形 ADAE 中，ADAEADAAEA360， ADAE360ADAAEA， BDAADA180，CEAAEA180， BDACEA360ADAAEA， BDACEAADAE， 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 18 ADE 是由ADE 沿直线 DE 折叠而得， ADAE， BDACEA2A； （3）BDACEA2A， 理由：如图 3，DA交 AC 于点 F， BDAADFA，DFAACEA， BDAAACEA， BDACEAAA， ADE 是由ADE

33、沿直线 DE 折叠而得， ADAE， BDACEA2A。 故答案为：（1）BDA2A；（2）BDACEA2A；（3） BDACEA2A。 13解：（1）由图可得：D13F 2FB4 又12，34， 得：BD2F； （2）设B2k，则D4k F3k， BDF2k4k3k24x， x3。 14111、222、333、122、133、144、223、233、234。 15解：对于已知|bc2a|(bc5) 20，由于绝对值与平方数都大于或等于 0， 所以要使已知等式成立，只能是 |bc2a|0，(bc5)0， 由此可得：a ，c5b， 2 利用三角形两边之差小于第三边的性质，可得： bca， b(5b) 2 b ， 415 cba ， (5b)b ， 2 b ， 45 综合得，b 的取值范围是： b 。451 16ABC180 A4C，5CB1806B ， B30。 同理 AB1809/4B，B80。45 所以 30B80。 1736C 45。 安徽滁州市第五中学胡大柱 打 造 中 国 一 流 的 学 习 资 料 19