1、班 级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： - 密 - 封 - 线 - （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） 200 200 学年第 学期 科目考试（查）试题 A（B）卷 使用班级（教师填写）： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 阅卷人 一选择题 1设事件 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，其对立事件为 D A ( )“甲种产品滞销，乙种产品畅销” ； ( )“甲、乙两种产品均畅销” ；B ( ) “甲种产品滞销” ； ( ) “甲种产品滞销或乙种产品畅销” .C 2设 ，则下面正确的等式是 B . （ ） ； （ ） ；A)(1)(AP
2、B)()(APBP （ ） ； （ ）C| D|A 3设随机变量 X 的分布律为 。 则5,432,1,5/)(kkX 的值是 B .)5.2.0(P ( ) ； ( ) ； A6. B2.0 ) ； ( ) C40D8 4设随机变量 相互独立， , ，则 B .,XY10NX1,(Y ； ；)(A2/1)0P)(2/)XP ； .CD 5. 设随机变量 的密度函数为 ，如果 A ，则恒有 .X)(xf 1)(0xf 第 2 页 （共 21 页）2 ( ) ； ( ) ； A)1,0(NXB),0(2NX ( ) ； ( ) .C2D 6. 设 的联合概率密度为),(YX,)(01/1),(2
3、他其 yxyxf 则 与 为 C 的随机变量.Y ( ) 独立同分布； ( ) 独立不同分布； AB ( ) 不独立同分布； ( ) 不独立不同分布.D 7. 设 为随机变量，若 ， ，则一定有 B .X1.)2XE1.0( ( ) ； ( ) ； A9.01P 90)2XP ( ) ； ( ) .C)D1( 8. 设 ，则下面正确的等式是 B 。 （） ； （） ；)(1)(AP )()(APBP （） ； （）| |A 9. 离散型随机变量 的概率分布为 ( )的充要条件是 A 。XkX)(,21 （） 且 ； （） 且 ； 1)(A010 （） 且 ； （） 且 . 10.设每次试验成功
4、的概率为 ，重复进行试验直到第 次才取)10(pn 得 次成功的概率为 A . )1(nr 第 3 页 共 21 页 (a) ； (b) ；rnrnpC)1( rnrnpC)1( (c) ； (d) .1rr rr 11.设随机变量 的方差 相关系数 则),(YX,1)(,4)(YDX,6.0XY 方差 C . 23D () 40； () 34； () 25.6； () 17.6 12设 A 与 B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（ D ） A P(A)=1-P(B)； B P(A-B)=P(B)； C P(AB)=P(A)P(B)； D P(A-B)=P(A)。 解：若事件 A
5、 与事件 B 不能同时发生，即 AB=，则称事件 A 与事件 B 是两个互不相容的两 个事件.简称 A 与 B 互不相容（或互斥） . 由性质 1.P()=0，知 P(AB)=P()=0， 由性质 3.知 P(A-B)=P(A)-P(AB)= P(A)-0= P(A)，故选 D. 13设 A， B 为两个随机事件，且 ，则 P(A|B)=（ A ）0)(,BA A1； B P(A)； C P(B)； D P(AB)。 解： ，BA=B，即 AB=B,P(AB)=P(B); 所以，由条件概率公式，得 P(A|B) =P(AB)/P(B)=P(B)/P(B)=1.故选 A. 14下列函数中可作为随
6、机变量分布函数的是（ C ） A 1 B.,0;1)(其 他xxF .1,;0,)(2xxF C D.1,;,)(3xx .1,2;0,)(4xx 解：由分布函数的基本性质 0F(x)1,首先排除 B、D 两个选项； 由性质 F(-) 0，F(+)=1，排除选项 A,故选 C. 第 4 页 （共 21 页）4 15设离散型随机变量 X 的分布律为 ，则 P-10，则下列等式成立的是（ B ） A ； B ；)(YEE )(CovYXX,)Y C ； D 。)D ,ov2,( 解：若 X，Y 相互独立，则 E（XY）=E（X）E（Y） ，D （X+Y ）=D （X ）+D（Y） ， 题中并没有说
7、明 X，Y 相互独立，所以首先排除 A、C 两个选项； 由协方差性质Cov(a X,bY)=abCov(X,Y)，知选项 D 也是错的，故选 B. 21一部 4 卷的文集随便放在书架上，恰好各卷自左向右卷号为 1、2、 3、4 的概率是( B ). A 0.5； B 0.0417 ； C 0.125 ； D 0.25。 22. 设 A、B 为两个事件，则 表示 ( C )BA A. 必然事件 ； B.不可能； C. A 与 B 恰有一个发生； D. A 与 B 不同时发生。 解释： AB)( 23. 一名射手连续向某个目标射击三次，事件 表示第 次（ 击中目标，用 （ii)3,21iA 表示三
8、次中至多有一次击中目标是（ C ） 。)3,21i A B 321321A C D.2A 24.设随机变量 的密度函数 ，则使 成10 43xxap 第 6 页 （共 21 页）6 立 的常数 =( A ) a A. B C D 1-42142142 25.假设随机变量 服从正态分布 N(10,2 ，则有（ D ）成立.) A B 8)(P81)8(P C D 90 26.若随机变量 服从( B )，则 。2E A 正态分布； B. 指数分布； C. 二项分布； D. 普哇松(poisson)分布。 27已知( , )的联合概率密度函数为 ：则( , )关于 的边缘密度函数为（ A yx, ）
9、. A. ； B. ； dyxdxy, C. ； D. 。, x 28.甲、乙两人各自投篮的命中率分别是 0.8 和 0.7，假设两人互不影响，则.甲、乙两人都 投中篮的概率是（ B ） 。 A 0.06； B 0.56； C 0.94； C 0.44。 二填空题 1用随机事件 表示事件 中恰有两个发生= CBA,DCBA, CABBCA 2设 ，且三事件 相互独立，则三事件中至少发生31)()(21PP 321, 第 7 页 共 21 页 一个的概率为 19/27 ，三事件中恰好发生一个的概率为 4/9 . 3设 ，则随机变量 在（，）内的概率密度函数为 )2,0(UX2XY . 4如果 ，
10、则 10)(,20)(XDE)(XE10 5. 如果 P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A B)=0.5, 则 P(A )= 0.2 .B 6. 设 A、 B、 C 是三个事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4， P(AB)=P(BC)=0， P(AC)=1/8，则 A、 B、 C 至少发生一个的概率为 5/8 . 7. 设随机变量 X 的分布函数为： F(x ) = .)3(1,17.0,)(时当 时当 时当 时当 x 则 X 的概率分布律为 . 8. 已知 D( X ) = 4, D(Y ) = 9, D( XY) = 12, 则 X 与 Y 间的相关系数为 = 1/12
11、 。 9. 设随机事件 , 互不相容，且 ， ，AB3.0)(AP6.0)(B 第 8 页 （共 21 页）8 则 4/7 . )(ABP 74)()(|(APBAPBP 10. 设随机变量 的联合分布律为,YX ),()0,1(,()0,2)1,( P4ab 若 ，则 0.1 .8.0)(XYE),cov(YX 11. 一批电子元件共有 100 个, 次品率为 0.05. 连续两次不放回地从中任取一个 , 则第二 次才取到正品的概率为 19/396 。 12.设连续随机变量的密度函数为 ，则随机变量 的概率密度函数为：)(xf XeY3 。00)3/ln()( 1yfyfY 13设 A， B
12、 为两个随机事件，若 A 发生必然导致 B 发生，且 P (A)=0.6，则 P (AB) = 0.6 。 14设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P (A)=0.7， P (A-B)=0.3，则 P ( ) = _3/7_ _。B 解：设随机事件 A 与 B 相互独立，则 P（AB ）= P（A）P（B）, 由概率性质 P（A-B ）= P（ A）- P（AB）= P（A）- P（A）P（B）, 得 0.3=0.7-0.7 P（B） ，解得 P（B）= .7341,74所 以 15己知 10 件产品中有 2 件次品，从该产品中任意取 3 件，则恰好取到一件次品的概率等 于 _7/15_ _
13、 。 16已知某地区的人群吸烟的概率是 0.2，不吸烟的概率是 0.8，若吸烟使人患某种疾病的 概 第 9 页 共 21 页 率为 0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是 0.001，则该人群患这种疾病的概率等于 0.0024 。 17设连续型随机变量 X 的概率密度为 则当 时， X 的分布函数,0;1)(其 他xxf 10x F(x)= _ x _。 .1,1,0, 11;0010xxFXdttfxx xFtfx的 分 布 函 数 为即 ，时 ， 当 时 ， 当 时 ，解 ： 当 故当 0x1 时，X 的分布函数 F(x)=x. 18设随机变量 X N(1，3 2)，则 P-2 X 4=
14、_0.6826_ _。 .6801-4.21- 1-xP-134-xPxP 解 ： 19设随机变量 X 的期望 E (X )=2，方差 D (X )=4，随机变量 Y 的期望 E (Y )=4，方差 D (Y)=9， 又 E (XY )=10，则 X， Y 的相关系数 = _1/3_。.312)(, ,240)( DCov解 ： 20设随机变量 X 服从二项分布 ，则 E (X2)= _5/3_。),(B 21设随机变量 X B (100，0.5)，应用中心极限定理可算得 P40X60_ 0.95 第 10 页 （共 21 页）10 _。 22设 ， 试用切贝谢夫不等式估计 的最小值是_5/2
15、_。158Ep23D 23. 若随机变量 N(2, )， = ，则可求 =_1/2_。21a),0(Na 24. 随机变量 的密度函数为 则 =_4/_。 12其 他 xcxc 25. 社会上定期发行某种奖券，每券一元，中奖率为 0.006，某人每次购买一张奖券，如果 没有中奖下次再继续购买一张，直至中奖为止，该人购买次数 的概率分布为： _0.006（0.994） i-1_（i=1,2,3）_。 26设 ，则 0.3 。()0.4,().3,()0.6PABPAB()PAB 27设 的数学期望 和方差 都存在，则由切比雪夫不等式估计XEX2DX 1/9 。(|3) 三计算题（每题 10 分，
16、共 40 分） 1编号为 1，2，3 的三台仪器正在工作的概率分别为 0.9,0.8 和 0.4,从中任选一台 （1） 求此台仪器正在工作的概率； （2） 已知选到的仪器正在工作，求它编号为 2 的概率。 解： (1) ； (2) .7.0)()( 31iiiBAPAP 38021/)(2ABP 2随机变量 的密度函数为 试求 X.)(,)(2他其 xxf （1）系数 ； （2）分布函数 ； （3）概率 。AF21XP 第 11 页 共 21 页 （2） （3） 3设随机变量 (均匀分布)， (指数分布)，且它们相互独立，1,0UX1EY 计算 。)(YP 第 12 页 （共 21 页）12
17、4. 在一道答案有 4 种选择的单项选择题测验中，若一个学生不知道题目的正确答案，他就 从 4 个答案中任选 1 个。己知有 80%的学生知道正确答案，现在某个学生答对了此题，问他 确实知道正确答案的概率为多少？ 解：A=该生做对了B 1=该生知道怎么做 B 2=该生不知道怎么做 P(B1)=0.8 P(B2)=0.2 P(A|B1)=1，P(A|B 2)=0.25 由贝叶斯公式可得 P(B1|A)= =10.810.80.250.2=0.941)(|)(|211BPABPA 5. 设随机变量 X 与 Y 的联合密度函数为 .0)(),( ）他其（ ，yxceyxfy (1) 求常数 c ;
18、(2) 求 X 与 Y 各自的边缘密度函数; (3) X 与 Y 是否独立？为什么？ (4) (4) P(X+2Y1). 第 13 页 共 21 页 6. 将一枚均匀硬币掷 400 次，计算正面出现的次数大于 220 的概率. 解：设 X 表示出现正面次数，则 XB（400，0.5 ） ，由中心极限定理，所求概率为 028)(15.042(1)20( P 7. 某工厂有四种机床：车床、钻床、磨床和刨床，其台数之比为 9:3:2:1，而在一定时间 内需要修理的台数之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是 多少？ 解：设 分别表示事件：任取一台机床，该机床为车床、钻
19、床、磨床、刨床，Ai 4,321i 表示事件人去一台机床，该机床需要修理B 则 , , ,15)(P153)(2P152)(AP15)(4AP , , ,7|1AB7|2B73|B7|4B 由贝叶斯公式得 29)()(4111kkAPP 8 设二维随机变量( X, Y )的联合密度函数为： 第 14 页 （共 21 页）14 .）他其（0,)10,1(),(yxcyxf 试求 (1) 系数 c； (2) X 和 Y 各自的边缘密度函数； (3) P( X0)的概率； (2)该型号电视机的平均使用寿命 18. 一大批种蛋中，其中良种蛋占 80%，从中任取 500 枚，求其中良种蛋率未超过 81%
20、的概 率？ 解：即良种蛋至少有 405 枚的概率, E= np = 400, D= npq = 80 , =8.94 P(405)=。（405-400）/8.94=。 （0.559）=0.7123 19. 在一个 400 人的单位中普查某种疾病，400 个人去验血，对这些人的血的化验可以用两 第 19 页 共 21 页 种方法进行。 （1）每个人的血分别化验，这时需要化验 400 次。 （2）把每 4 个人的血混在一 起进行化验，如果结果是阴性，那么对这 4 个人只作一次化验就够了；如果结果是阳性，那 么对这 4 个人再逐个分别化验，这时对这 4 个人共需要做 5 次化验。假定对所有的人来说，
21、 化验是阳性反应的概率是 0.1，而这些人的反应是独立的，试说明办法（2）能减少化验的 次数。 设 i为第 个人用方法(2)需要化验的次数( )40,.21i，则其分布列为： E i= 4 1 （ 49.0）+（1+ 1 ） （1- 49.0） 0.5939 400 个人用方法(2)需要化验的次数 01ii E56.2379.04401ii . 即 400 个人用方法(2)需要化验的次数的期望值为 237.56，用方法(2)平均能减少 40%的工作量. 20 某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱，甲厂每箱装 100 个，废 品率是 0.06，甲厂每箱装 120 个，
22、废品率是 0.05。 求：（1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率？ （2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率。 解：（古典概型，全概率公式，逆概率公式） 设 =取自甲厂， =取自乙厂，B=取到次品。1A2A （1） （全概率公式） 056.12705.3206.3)()()( 21 BPBP i 41 1+ 41 P . 1- . 第 20 页 （共 21 页）20 （2） （古典概型） 056.185430218201305.6.)( BP 21某单位号召职工每户集资 3.5 万元建住宅楼，当天报名的占 ，其余 中，第二60%4 天上午报名的占 ，而另外 在第二天下午报了名. 情
23、况表明，当天报名的人能交款75%25 的概率为 0.8，而在第二天上、下午报名的人能交款的概率分别为 0.6 与 0.4.从该厂职工中 任选一人，试求该人能交款的概率. 解：设 A 为报名后能交款的人数，B 1为当天报名的人，B 2为第二天上午报名的人，B 3为第二 天下午报名的人，由全概率公式 7.0 4.0254.0675.0486)|()(31 iiPP 即该人能交款的概率为 0.7 四证明题 1. 设随机事件 A 与 B 相互独立，证明 与 也相互独立.AB 解：因为 A 与 B 相互独立 ,所以 )()(BPABP)()P)()1(BPABPABA 所以 与 相互独立. 第 21 页 共 21 页 2.设随机变量 与 相互独立，且都服从参数为 3 的泊松(Poisson)分布，证明XY 仍Y 服从泊松分布，参数为 6. 解 由题设 3!)(emXP ， 3!)(enYP ， ,210,m ikik kiYPXiY00 )()(, ikiikkiee633 3!)(!)(! 61iii ， ,210i 所以 YX仍服从泊松分布，参数为 6.
