1、目录1摘要12关键词13基本概念与定理14有限区间上一致连续函数的判定15无限区间上一致连续函数的判定46一致连续性的应用87参考文献108英文摘要101函数一致连续性的判定摘要函数在区间I上的一致连续性与连续是两个不同的概念,后者是一个局部性概念,前者具有整体性质,它刻画了函数FX在区间I上变化的相对均匀性本文总结了几个判别函数一致连续性的方法，并给出了几个简单应用关键词函数、连续、一致连续、收敛引言函数的一致连续是数学分析中的一个重要概念连续是考察函数在一个点的性质而一致连续是考察函数在一个区间的性质一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续因
2、此本文总结了通过函数的连续性寻找一些函数一致连续的判别法1基本概念与定理定义（一致连续）设函数FX在区间I上有定义，若0,0,IXX21，当12XX时，有12FXFX，则称函数FX在I上一致连续注设函数FX在区间I上有定义，若IXX210,0,0，当12XX时，有021XFXF，则称函数FX在区间I上不一致连续（CANTOR定理）若函数FX在区间BA,连续，则FX在区间BA,上一连续2有限区间上一致连续函数的判定定理1函数FX在,AB上一致连续的充要条件是函数FX在,AB上连续定理2函数FX在,AB上一致连续的充要条件是函数FX在,AB上连续且LIMXAFX，LIMXBFX都存在证明必要性，因
3、为函数FX在,AB上一致连续，即0,0,XYAB，且XY，有FXFY，显然函数FX在,AB上连续，且0,0,12,XXAB，当12,XXAA时，当然12XX，有12FXFX2根据柯西收敛准则，LIMXAFX存在同理可证，LIMXBFX存在充分性,因为LIMXAFX，LIMXBFX都存在，分别设为A和B，构造函数,AXAFXFXXABBXB显然FX在,AB上连续，由定理1可知FX在,AB上一致连续，从而FX在,AB上一致连续推论1函数FX在BA,（,AB）上一致连续的充要条件是函数FX在BA,（,AB）上连续，且LIMXAFX（LIMXBFX）存在推论2若函数FX在有限区间I上连续、单调、有界、
4、则函数FX在I上一致连续定理3设FX在区间,AB（,AB是有限区间或无穷区间）连续，则FX在,AB内闭一致连续即,AB，FX在,上一致连续结论的正确性有CANTOR定理直接可得用此条件能解决很多关于函数性质的证明题其解题思路是把开区间上的问题转化到闭区间上，从而利用CANTOR定理定理4若函数FX在,AB及,BC都一致连续，则FX在,AC上一致连续注改,BC为,B时，结论也成立证明已知函数FX在,AB与,BC一致连续，即0，1120,XXAB且121XX，有122FXFX；0，2120,XXBC且122XX，有122FXFX于是，有0，12MIN,0，12,XXAC，且12XX，当1）12,X
5、XAB且12XX，有122FXFX；2）12,XXBC且12XX，有122FXFX；33）1,XAB，2,XBC且12XX，（1XB，2XB）有121222FXFXFXFBFBFX即函数FX在,AC上一致连续定理5函数FX在,AB上一致连续的充要条件是任给,AB中收敛数列NX，函数列NFX也收敛证明必要性，由于函数FX在,AB上一致连续，故对于0,0,当,XXAB，且XX时，有FXFX设NX是,AB中任一收敛数列，由柯西条件对上述的0时，N，当,NMN时，有NMXX，故NMFXFX所以，函数列NFX也收敛充分性，假设FX在,AB上不一致连续，即00，对0N（取1NN），,NNXYAB，且NYX
6、NNN1，而0NNFXFY且NX有界，故存在收敛子列KNX由01NYXNNN（N），故NY中相应的子列KNY也收敛，且与KNX极限相同，因此数列1122,KKNNNNNNXYXYXY也收敛于相同极限，于是数列1122,KKNNNNNNFXFYFXFYFXFY也收敛故当K足够大时，KKNNFXFY与上述矛盾，假设不成立即函数FX在,AB上一致连续定理6函数FX在,AB上一致连续的充要条件是任给12,XXAB，12XX时,120LIMSUP0FXFX证明必要性设函数FX在,AB上一致连续，则0，0，当12,XXAB且12XX时，12FXFX所以12SUPFXFX4当0，时120LIMSUP0FXF
7、X充分性设12,XXAB，当12XX时，120LIMSUP0FXFX则0,0，使得当12XX时12SUPFXFX有1212SUPSUPFXFXFXFX所以函数FX在,AB上一致连续注此命题提供了一个直观观察FX一致连续的办法在FX图象上最陡的地方，若0，则120FXFX，FX一致连续；若在某处无限变陡，则非一致连续3无限区间上一致连续函数的判定定理7若函数FX在,A（,B）上连续且LIMXAFX，LIMXFX（LIMXBFX，LIMXFX）都存在，则函数FX在,A（,B）上一致连续证明已知LIMXFX存在，根据柯西收敛准则，有0，AA，12,XXA，有12FXFX；又已知函数FX在闭区间,1A
8、A连续，则函数FX在,1AA上一致连续，即对上述的0，0，（使1），12,1XXAA且12XX，有12FXFX于是，12,XXA且12XX（使1），有12FXFX即函数FX在,A上一致连续推论3若函数FX在,A（,B）上连续，且LIMXFX（LIMXFX）存在，则函数FX在,A（,B）上一致连续推论4若函数FX在,上连续且LIMXFX，LIMXFX都存在，则函数FX在,上一致连续定理8定义,A在上的连续函数FX，若当X时，YFX有水平渐近线，则FX在,A上一致连续5证明由于YFX有水平渐近线知LIMXFX存在，根据柯西收敛准则0，AA，当12,XXA时，有122FXFX因FX在,A上连续，所以
9、FX在,AA上连续，从而在,AA上一致连续，对如上的0，0，当12,XXAA且12XX时，有122FXFX现12,XXA,只要12XX,若12,XXAA则122FXFX若12,XXAA,则122FXFX若12,XX分别属于,AA与,A,则1XA,2XA,故121222FXFXFXFXFXFX综上所述，FX在,A上一致连续注此定理的结论可推广到无穷区间,A或,上定理9定义在,上的线性函数FXAXB0A必在,内一致连续证明0，12,XX，要使1212FXFXAXX，只要12XXA，取A，当12XX时，有12FXFX故FXAXB0A在,内一致连续定理10设FX在,A上连续，若当X时，YFX以直线YC
10、XD为斜渐近线，则FX在,A上一致连续证明设XFXCXD，则由已知可得X在,A上连续因YFX以直线YCXD为斜渐近线，所以LIM0XFXCXD即LIM0XX由定理8可知X在,A上一致连续又由定理9知YCXD在,A上一致连续故FXXCXD在,A上一致连续6注此定理的结论也可推广到无穷区间,A或,上推论5若函数FX在,A上连续且曲线YFX存在不垂直于X轴的渐近线，则函数FX在,A上一致连续定理11若函数FX在区间I（I可开，可半开，可有限或无限）可导，且FX在I有界，则函数FX在I上一致连续证明设XI，FXM（0M）0，0M，12,XXI，当12XX时，根据微分中值定理，存在点介于1X与2X之间，
11、使得1212FXFXFXXMM即FX在I上一致连续定理12若函数FX与GX在区间I可导，且0FXGX，则当FX在I上一致连续时，GX在I上一致连续证明已知FX在I一致连续，即0，0，12,XXI，当12XX时，有12FXFX根据柯西中值定理，存在介于1X与2X之间，使得12GXGXGFXFXF所以1212GXGXFXFX即GX在I上也一致连续定理13设函数FX为区间,上连续的周期函数，则FX在,上一致连续证明设T为FX的周期，则FX在区间0,2T上一致连续，即对0，0，12,0,2XXT，只要12XX，就有12FXFX现取12,XX，满足12XXT，7则必存在整数M，使得11XMTT，22XM
12、TT，且12MIN,0,TTT故12MIN,0,2TTT，于是1212TTXXT故1212FTFTFXFX即在FX上,一致连续定理14设FX，GX均在,A上连续，LIMXGX存在，且LIM0XFXGX，则FX在,A上一致连续证明对于0，因为LIM0XFXGX，所以由函数极限定义可知10M，当1XM时，有4FXGX又因为LIMXGX存在，设LIMXGXB，所以由函数极限定义可知20M，当2XM时，有4GXB所以取012MAX,MMM，当0XM时，有4FXGX且4GXB取01MM，因为FX在,AM上连续，所以FX在,AM上一致连续在,M上，0，（使1），对于12,XXM，只要12XX就有12111
13、222FXFXFXGXGXGXGXFX111222FXGXGXGXFXGX1244GXBBGX124444GXBGXB所以FX在,M上一致连续故FX在,AMMA上一致连续定理15设FX在,A上连续，GX在,A上一致连续，且8LIM0XFXGX，则FX在,A上一致连续证明对于任意的0，因为LIM0XFXGX，所以0M，当XM时，就有3FXGX又因为FX在,A上连续，所以FX在,1AM上连续，故FX在,1AM上一致连续又因为GX在,A上一致连续，所以GX在1,M上一致连续故0（使1），对于12,1,XXM，只要12XX，就有123GXGX所以对于12,1,XXM，只要12XX，就有12111222
14、FXFXFXGXGXGXGXFX111222FXGXGXGXFXGX333所以FX在1,M上一致连续所以FX在,0,AMMA上一致连续4一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性例1证明函数1,FXX在,101AA一致连续证明120,1,XXA要使不等式12212111XXXXA成立从不等式1221XXA，解得212XXA取2A于是212120,0,1AXXAXX有1211XX，即函数1,FXX在,101AA一致连续9例2证明XFXE在R上非一致连续证明1LN,1LN,110,21210RNXNXEN,LN11LNLN1LN21ENNNXX有02121
15、11NNXFXF所以XFXE在R上非一致连续证明2取RNYNXNNLN,1LN,且011LNLIMLN1LNLIMLIMNNNYXNNNNN但011LIMLIMLIMLN1LNNNEEYFXFNNNNNNN所以XFXE在R上非一致连续例3判断1,0,1COSXXEXFX的一致连续性解因为XEXX1COSLIM0不存在,所以XFXE在1,0内不一致连续例4设函数XF只有可去间断点，定义LIMYFXGXY，证明XG为连续函数证明设函数FX的定义域为区间I，则GX在I上处处有定义0XI由于00LIMYXGXFY，于是0,0，使得00YXX，有0GXFY,XI当00XX,在上述不等式中令YX，由于函数
16、FX只有可去间断点，因此LIMYXFY存在，即有0GXGX于是0,0使得有0,XIXX即表明GX在0X连续由的任意性，GX为连续函数例5证明XEXF在,A上一致连续,而在,A上非一致连续证明0LIMXXE且AXAXEELIM所以XE在,A上一致连续10,LIMXXXXEEE所以XFXE在,A上非一致连续此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性此方法快捷方便，实际应用很广泛结论判断函数一致连续性的方法是多种多样的,只要我们灵活多变,就能做到事半功倍所以我们要熟练掌握一致连续性的几种判定定理即前述的几个充要条件,充分条件这样对于解决一致连续性的问题才会游刃有余参考文献1吕通庆一致连续与一
17、致收敛北京人民教育出版社，19812复旦大学数学系数学分析上海复旦大学出版社，20023裴礼文数学分析中的典型问题与方法北京高等教育出版社,20064毛羽辉数学分析选论北京科学出版社，20035冉凯关于函数一致连续性证明的几个方法西安联合大学学报，20026李惜雯数学分析（一元函数部分）要点与解题西安西安交通大学出版社，2006DETERMINATIONOFTHESAMECONTINUOUSFUNCTIONZHANGXIANGYU20072115001INNERMONGOLIANORMALUNIVERSITYMATHEMATICSSCIENTIFICINSTITUTE07LEVELOFMONG
18、OLIANCLASSESINSTRUCTSTEACHERSIQINABSTRACTTHISARTICLEHASGIVENSEVERALCRITERIONFUNCTIONUNIFORMCONTINUITYMETHODTHEFUNCTIONUNIFORMCONTINUITYISINAMATHEMATICALANALYSISIMPORTANTCONCEPT,ISTHERECOGNITIONDIFFICULTYTHEFUNCTIONINTHESECTORUNIFORMCONTINUITYWITHISTWOENTIRELYDIFFERENTCONCEPTSCONTINUOUSLY,THELATTERISATOPICALITYCONCEPT,THEFORMERHASTHEBULKPROPERTIES,ITHASPORTRAYEDTHEFUNCTIONTHERELATIVEHOMOGENEITYWHICHCHANGESINTHESECTORTHISARTICLESEEKSTHEUNIFORMLYCONTINUOUSFUNCTIONTHROUGHCONTINUOUSFUNCTIONSNATURETHEDECISIONMETHODKEYWORDSCONTINUOUSLY,IDENTICALLYCONTINUOUSLY,RESTRAINING
