1、学案 5 习题课：用牛顿运动定律解决几类典型问题 学习目标定位 1.学会分析含有弹簧的瞬时问题.2.掌握临界问题的分析方法.3.会分析 多过程问题 1.牛顿第二定律的表达式 F ma，其中加速度 a 与合力 F 存在着瞬时对应关系， a 与 F 同时 产生、同时变化、同时消失； a 的方向始终与合力 F 的方向相同 2解决动力学问题的关键是做好两个分析：受力情况分析和运动情况分析，同时抓住联系 受力情况和运动情况的桥梁：加速度. 一、瞬时加速度问题 根据牛顿第二定律，加速度 a 与合力 F 存在着瞬时对应关系：合力恒定，加速度恒定；合 力变化，加速度变化；合力等于零，加速度等于零所以分析物体在
2、某一时刻的瞬时加速 度，关键是分析该时刻物体的受力情况及运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速 度应注意两类基本模型的区别： (1)刚性绳(或接触面)模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后， 弹力立即改变或消失，形变恢复几乎不需要时间 (2)弹簧(或橡皮绳)模型：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问 题中，其弹力的大小往往可以看成是不变的 例 1 如图 1 中小球质量为 m，处于静止状态，弹簧与竖直方向的夹角为 .则： 图 1 (1)绳 OB 和弹簧的拉力各是多少？ (2)若烧断绳 OB 瞬间，物体受几个力作用？这些力的大小是多少？ (3)烧断绳 OB
3、 瞬间，求小球 m 的加速度的大小和方向 解析 (1)对小球受力分析如图甲所示 其中弹簧弹力与重力的合力 F与绳的拉力 F 等大反向 则知 F mgtan ； F 弹 mgcos (2)烧断绳 OB 的瞬间，绳的拉力消失，而弹簧还是保持原来的长度，弹力与烧断前相 同此时，小球受到的作用力是弹力和重力，大小分别是 G mg， F 弹 . mgcos (3)烧断绳 OB 的瞬间，重力和弹簧弹力的合力方向水平向右，与烧断绳 OB 前 OB 绳的拉力 大小相等，方向相反，(如图乙所示)即 F 合 mgtan ， 由牛顿第二定律得小球的加速度 a gtan ，方向水平向右 F合m 答案 (1) mgta
4、n mgcos (2)两个 重力为 mg 弹簧的弹力为 mgcos (3)gtan 水平向右 针对训练 1 如图 2 所示，轻弹簧上端与一质量为 m 的木块 1 相连，下端与另一质量为 M 的木块 2 相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态现将木板沿水平 方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块 1、2 的加速度大小分别为 a1、 a2.重力加速度大小 为 g.则 有( ) 图 2 A a10， a2 g B a1 g， a2 g C a10， a2 g D a1 g， a2 g m MM m MM 答案 C 解析 在抽出木板后的瞬间，弹簧对木块 1 的支持力和对木块 2 的压力并未
5、改变木块 1 受重力和支持力， mg N， a10，木块 2 受重力和压力，根据牛顿第二定律 a2 N MgM g，故选 C. m MM 二、动力学中的临界问题分析 若题目中出现“最大” 、 “最小” 、 “刚好”等词语时，一般都有临界状态出现分析时，可 用极限法，即把问题(物理过程)推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条 件在某些物理情景中，由于条件的变化，会出现两种不同状态的衔接，在这两种状态的 分界处，某个(或某些)物理量可以取特定的值，例如具有最大值或最小值 常见类型有： (1)隐含弹力发生突变的临界条件 弹力发生在两物体的接触面之间，是一种被动力，其大小由物体所处的状态决
6、定，运动状 态达到临界状态时，弹力发生突变 (2)隐含摩擦力发生突变的临界条件 摩擦力是被动力，由物体间的相对运动趋势决定，静摩擦力为零是状态方向发生变化的临 界状态；静摩擦力最大是物体恰好保持相对静止的临界状态 例 2 如图 3 所示，细线的一端固定在倾角为 45的光滑楔形滑块 A 的顶端 P 处，细线的 另一端拴一质量为 m 的小球 图 3 (1)当滑块至少以多大的加速度 a 向左运动时，小球对滑块的压力等于零？ (2)当滑块以 a2 g 的加速度向左运动时，线中拉力为多大？ 解析 (1)假设滑块具有向左的加速度 a 时，小球受重力 mg、线的拉力 F 和斜面的支持力 N 作用，如图甲所示
7、由牛顿第二定律得 水平方向： Fcos 45 Ncos 45 ma， 竖直方向： Fsin 45 Nsin 45 mg0. 由上述两式解得 N ， F . m g a2sin 45 m g a2cos 45 由此两式可以看出，当加速度 a 增大时，球所受的支持力 N 减小，线的拉力 F 增大 当 a g 时， N0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为 F mg.所以滑块至少以 a g 的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零 mgcos 45 2 (2)当滑块加速度 ag 时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图乙所示， 此时细线与水平方向间的夹角 a0
8、所以小球飞起来， N0 设此时绳与竖直方向的夹角为 ， 由牛顿第二定律得： T2 40 N mg 2 ma 2 2 3(多过程问题)冬奥会四金得主王濛于 2014 年 1 月 13 日亮相全国短道速滑联赛总决 赛她领衔的中国女队在混合 3 000 米接力比赛中表现抢眼如图 7 所示， ACD 是一滑雪 场示意图，其中 AC 是长 L8 m、倾角 37的斜坡， CD 段是与斜坡平滑连接的水平 面人从 A 点由静止下滑，经过 C 点时速度大小不变，又在水平面上滑行一段距离后停 下人与接触面间的动摩擦因数均为 0.25，不计空气阻力，(取 g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)求
9、： 图 7 (1)人从斜坡顶端 A 滑至底端 C 所用的时间； (2)人在离 C 点多远处停下？ 答案 (1)2 s (2)12.8 m 解析 (1)人在斜坡上下滑时，受力如图所示 设人沿斜坡下滑的加速度为 a，沿斜坡方向，由牛顿第二定律得 mgsin f ma f N 垂直于斜坡方向有 N mgcos 0 由匀变速运动规律得 L at2 12 联立以上各式得 a gsin g cos 4 m/s 2 t2 s (2)人在水平面上滑行时，水平方向只受到地面的摩擦力作用设在水平面上人减速运动的 加速度为 a，由牛顿第二定律得 mg ma 设人到达 C 处的速度为 v，则由匀变速直线运动规律得 人
10、在斜面上下滑的过程： v22 aL 人在水平面上滑行时：0 v22 a s 联立以上各式解得 s12.8 m 题组一 瞬时加速度问题 1.质量均为 m 的 A、 B 两球之间系着一个质量不计的轻弹簧并放在光滑水平台面上， A 球紧 靠墙壁，如图 1 所示，今用水平力 F 推 B 球使其向左压弹簧，平衡后，突然将力 F 撤去的 瞬间( ) 图 1 A A 的加速度大小为 B A 的加速度大小为零 F2m C B 的加速度大小为 D B 的加速度大小为 F2m Fm 答案 BD 解析 在将力 F 撤去的瞬间 A 球受力情况不变，仍静止， A 的加速度为零，选项 A 错，B 对； 而 B 球在撤去力
11、 F 的瞬间，弹簧的弹力还没来得及发生变化，故 B 的加速度大小为 ，选项 Fm C 错，D 对 2如图 2 所示， A、 B 两球的质量相等，弹簧的质量不计，倾角为 的斜面光滑系统静 止时，弹簧与细线均平行于斜面，已知重力加速度为 g.在细线被烧断的瞬间，下列说法正 确的是( ) 图 2 A两个小球的瞬时加速度均沿斜面向下，大小均为 gsin B B 球的受力情况未变，瞬时加速度为零 C A 球的瞬时加速度沿斜面向下，大小为 gsin D弹簧有收缩趋势， B 球的瞬时加速度向上， A 球的瞬时加速度向下，瞬时加速度都不为 零 答案 B 解析 因为细线被烧断的瞬间，弹簧的弹力不能突变，所以 B
12、 的瞬时加速度为 0， A 的瞬时 加速度为 2gsin ，所以选项 B 正确，A、C、D 错误 3如图 3 所示， A、 B 两木块间连一轻杆， A、 B 质量相等，一起静止地放在一块光滑木板 上，若将此木板突然抽出，在此瞬间， A、 B 两木块的加速度分别是( ) 图 3 A aA0， aB2 g B aA g， aB g C aA0， aB0 D aA g， aB2 g 答案 B 解析 当刚抽去木板时， A、 B 和杆将作为一个整体一起下落，下落过程中只受重力，根据 牛顿第二定律得 aA aB g，故选项 B 正确 4如图 4 所示，在光滑的水平面上，质量分别为 m1和 m2的木块 A
13、和 B 之间用轻弹簧相连， 在拉力 F 作用下，以加速度 a 做匀加速直线运动，某时刻突然撤去拉力 F，此瞬间 A 和 B 的加速度的大小为 a1和 a2，则( ) 图 4 A a1 a20 B a1 a， a20 C a1 a， a2 a m1m1 m2 m2m1 m2 D a1 a， a2 a m1m2 答案 D 解析 两木块在光滑的水平面上一起以加速度 a 向右做匀加速运动时，弹簧的弹力 F 弹 m1a，在力 F 撤去的瞬间，弹簧的弹力来不及改变，大小仍为 m1a，因此木块 A 的加速度 此时仍为 a，以木块 B 为研究对象，取向右为正方向， m1a m2a2， a2 a，所以 D 项
14、m1m2 正确 题组三 动力学中的临界问题 5如图 5 所示，质量为 M 的木板，上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为 m 的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦因数均为 ，若要以水平外力 F 将木板抽出， 则力 F 的大小至少为( ) 图 5 A mg B (M m)g C (m2 M)g D2 (M m)g 答案 D 解析 将木板抽出的过程中，物块与木板间的摩擦力为滑动摩擦力，物块的加速度大小为 am g ，要想抽出木板，必须使木板的加速度大于物块的加速度，即 aMam g ，对木板 受力分析如图 根据牛顿第二定律，得： F (M m)g mg MaM 得 F (M m)g m
15、g MaM (M m)g mg Mg 2 (M m)g，选项 D 正确 6如图 6 所示，质量为 m12 kg、 m23 kg 的物体用细绳连接放在水平面上，细绳仅能 承受 1 N 的拉力，水平面光滑，为了使细绳不断而又使它们能一起获得最大加速度，则在 向左水平施力和向右水平施力两种情况下， F 的最大值是( ) 图 6 A向右，作用在 m2上， F N 53 B向右，作用在 m2上， F2.5 N C向左，作用在 m1上， F N 53 D向左，作用在 m1上， F2.5 N 答案 BC 解析 若水平力 F1的方向向左，如图 设最大加速度为 a1，根据牛顿第二定律，对整体有： F1( m1
16、m2)a1 对 m2有： T m2a1 所以 F1 T 1 N N，C 对，D 错 m1 m2m2 2 33 53 若水平力 F2的方向向右，如图 设最大加速度为 a2，根据牛顿第二定律，对整体有： F2( m1 m2)a2 对 m1有： T m1a2 所以 F2 T 1 N2.5 NA 错，B 对 m1 m2m1 2 32 7.如图 7 所示，质量为 M 的木箱置于水平地面上，在其内部顶壁固定一轻质弹簧，弹簧下 端与质量为 m 的小球连接当小球上下振动的某个时刻，木箱恰好不离开地面，求此时小 球的加速度 图 7 答案 a g，方向向下 M mm 解析 如图所示， 对木箱受力分析有： F Mg
17、 对小球受力分析有： mg F ma 又 F F 解得： a g，方向向下 M mm 8如图 8 所示，一辆卡车后面用轻绳拖着质量为 m 的物体 A，绳与水平面之间的夹角 53， A 与地面间的摩擦不计，求(sin 530.8)： 图 8 (1)当卡车以加速度 a1 加速运动时，绳的拉力为 mg，则 A 对地面的压力为多大？ g2 56 (2)当卡车的加速度 a2 g 时，绳的拉力多大？方向如何？ 答案 (1) mg (2) mg，方向与水平面成 45角斜向上 13 2 解析 (1)设物体刚离开地面时，具有的加速度为 a0 对物体 A 进行受力分析，可得： ma0 ，则 a0 g mgtan
18、34 因为 a1a0，所以物体已离开地面设此时绳与地面成 角 F m mga2 g2 2 所以 tan 1， 45，即绳的拉力与水平面成 45角斜向上 题组三 多过程问题 9一辆汽车在恒定牵引力作用下由静止开始沿直线运动，4 s 内通过 8 m 的距离，此后关 闭发动机，汽车又运动了 2 s 停止，已知汽车的质量 m210 3 kg，汽车运动过程中所受 阻力大小不变，求： (1)关闭发动机时汽车的速度大小； (2)汽车运动过程中所受到的阻力大小； (3)汽车牵引力的大小 答案 (1)4 m/s (2)410 3 N (3)610 3 N 解析 (1)汽车开始做匀加速直线运动 s0 t1 v0
19、02 解得 v0 4 m/s 2s0t1 (2)关闭发动机后汽车减速过程的加速度 a2 2 m/s 2 0 v0t2 由牛顿第二定律有 f ma2 解得 f410 3 N (3)设开始加速过程中汽车的加速度为 a1 s0 a1t 12 21 由牛顿第二定律有： F f ma1 解得 F f ma1610 3 N 10物体以 14.4 m/s 的初速度从斜面底端冲上倾角为 37的斜坡，到最高点后再滑 下，如图 9 所示已知物体与斜面间的动摩擦因数为 0.15，求： 图 9 (1)物体沿斜面上滑的最大位移； (2)物体沿斜面下滑的时间(已知 sin 370.6，cos 370.8) 答案 (1)1
20、4.4 m (2)2.4 s 解析 (1)上升时加速度大小设为 a1，由牛顿第二定律得： mgsin 37 mg cos 37 ma1 解得 a17.2 m/s 2 上滑最大位移为 s v202a1 代入数据得 s14.4 m (2)下滑时加速度大小设为 a2，由牛顿第二定律得： mgsin 37 mg cos 37 ma2 解得 a24.8 m/s 2 由 s a2t2得下滑时间 12 t s2.4 s 2sa2 6 11如图 10 所示，在海滨游乐场里有一场滑沙运动某人坐在滑板上从斜坡的高处 A 点由 静止开始滑下，滑到斜坡底端 B 点后，沿水平的滑道再滑行一段距离到 C 点停下来如果 人
21、和滑板的总质量 m60 kg，滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为 0.5， 斜坡的倾角 37(已知 sin 370.6，cos 370.8)，斜坡与水平滑道间是平滑连 接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，人从斜坡滑上水平滑道时没有速度损失，重力 加速度 g 取 10 m/s2. 图 10 (1)人从斜坡上滑下的加速度为多大？ (2)若由于场地的限制，水平滑道的最大距离 BC 为 L20 m，则人从斜坡上滑下的距离 AB 应不超过多少？ 答案 (1)2 m/s 2 (2)50 m 解析 (1)人在斜坡上受力如图所示，建立直角坐标系，设人在斜坡上滑下的加速度为 a1，由牛顿第二定律得：
22、mgsin f1 ma1 N1 mgcos 0 又 f1 N 1 联立解得 a1 g(sin cos ) 10(0.60.50.8) m/s 22 m/s 2. (2)人在水平滑道上受力如图所示，由牛顿第二定律得： f2 ma2， N2 mg0 又 f2 N 2 联立解得 a2 g 5 m/s 2 设人从斜坡上滑下的距离为 LAB，对 AB 段和 BC 段分别由匀变速直线运动公式得： v202 a1LAB,0 v22 a2L 联立解得 LAB50 m. 12如图 11 所示，质量 m2 kg 的物体静止于水平地面的 A 处， A、 B 间距 L20 m物体 与地面间的动摩擦因数 0.5，现用大小为 20 N，与水平方向成 53的力斜向上拉 此物体，使物体从 A 处由静止开始运动并能到达 B 处，求该力作用的最短时间 t(已知 sin 530.8，cos 530.6， g 取 10 m/s2) 图 11 答案 2 s 解析 物体先以大小为 a1的加速度匀加速运动，撤去外力后，再以大小为 a2的加速度减速 到 B，且到 B 时速度恰好为零 力 F 作用时： Fcos 53 (mg Fsin 53) ma1 t 时刻： s1 a1t2 12 vt a1t 撤去力 F 后： mg ma2 v 2 a2s22t 由于 s1 s2 L 解得 t2 s
