1、第 1 页 第一章原子的基本状况 1. 若卢瑟福散射用的 粒子是放射性物质镭 C放射的，其动能为 7.68106 电子伏特.散射 物质是原子序数 Z=79 的金箔 .试问散射角 =1500所对应的瞄准距离 b 多大？ 解：根据卢瑟福散射公式： 202cot4MvbZe 而动能 2 1kEmv 则 20 02 2cot44kEMbbZeZe 由此，瞄准距离为 20cot4kZebE 其中： 7912-1-08.5AsVm91.60eC , 0cott7.26823.459619768.10.0kEMeVJ 得到： 2 192150126190cot 7(.60)cot4(43.1598.4(7.
2、8.20)kZb m 15.670m 2. 已知散射角为 的 粒子与散射核的最短距离为 , 20 21()(1)4sinmZerMv 第 2 页 试问上题 粒子与散射的金原子核之间的最短距离 多大？mr 解： 2min0211()()4sinZerMv2in02()()ikE 其中， , 150siin75.963 把上题各参数代入，得到 192min 1267(1.02)1()43.1598.40.80.9653r m 107m 4. 钋放射的一种 粒子的速度为 米/秒，正面垂直入射于厚度为 米、密度7.59171 为 的金箔。试求所有散射在 的 粒子占全部入射粒子数的百41.9323/公
3、斤 米 90 分比。已知金的原子量为 。17 解：散射角在 和 之间的 粒子数 与入射到箔上的总粒子数 n 的比是：ddndnNt 其中，N 为金箔单位体积内原子个数， t 金箔的厚度， 有效散射截面. 单个原子的质量为： 32521970.71306.Aumkgkg N 为金箔单位体积内原子数： 4328325.3/.9/710Aummkg 而散射角大于 的粒子数 为：9dn2dnNt 所以有： 2 td 第 3 页 22180930 cos12()()4inZeNt dMv 积分： 1801809933 cossi221inndd 故 2201()()4dZeNtnMv 粒子的质量为 4
4、倍氢原子的质量 2727.636.9410HMkgkg 已知 粒子的速度为： 71.590/vms 取 12-1-08.4AV91.60eC3 则 220()()4dnZeNtMu 192287 12 2779(.60)5.9013.46 (3.1468.50).564.% 即速度为 的 粒子在金箔上散射，散射角大于 以上的粒子数占总粒71.590/米 秒 90 子数的 .48 1.7 能量为 3.5 兆电子伏特的细 粒子束射到单位面积上质量为 的银221.5/公 斤 米 箔上， 粒子与银箔表面成 角. 在离 入射线成 的方向上，离银箔散射区距离6002 第 4 页 L=0.12 米处放一窗口
5、面积为 的计数器. 测得散射进此窗口的 粒子是全部入2510.6米 射 粒子的百万分之 29. 若已知银的原子量为 107.9。试求银的核电荷数 Z. (有兴趣的同学 可以看一下) 解：设靶厚度为 . 非垂直入射时引起 粒子在散射物质中通过的距离不再是散射物质的t 厚度 ，而是 ，如图 1.1 所示.t60sin/ 因为散射到 与 之间 立体角内的粒子数 dn 与总入射粒子数 n 的比为：d (1) dnNt 而 为： (2)2sin)(41420dMvZe 把(2)式代入(1)式，得： (3)2sin)(41420dveNtnd 式中立体角元 002 2,3/6i/,/ ttL 代入已知数据
6、： 2510.6米ds米L 则 3252 1067.41.06ds 设 N 为单位体积内原子的个数。则 为单位面上的原子数，Nt 一个银原子的质量为： 2523017.91.7060Agmgkg 60 t t 20 60 图 1.1 图 1.1 第 5 页 是银原子的质量； 是银原子的原子量； 是阿佛加德罗常数。AgmAg0N 根据已知条件，银箔单位面积上的质量为： 2/10.k 则 ，225 /1083.1079./ mkgmmNtAg 将各量代入(3)式，得： 2sin)(4(583.2 4202 dMvZend 粒子的动能为： 21MvEk 则 2sin)(41(0583. 4202 d
7、EZend k 代入数据 JMevEk 1962.1 2-08540AsVm191.6eC3 , 0.1737020sini519.d 得到 4321962125 )7.0(60.5.3)()0854.16.3(08.30.2 Z 由此，求得：Z=48.1992，约等于实际值 47. 第二章 原子的能级和辐射 1. 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度. 解：电子在第一玻尔轨道上即 n=1. 根据量子化条件， (1)2 hnmvrp 当 n=1 时，电子在最小半径轨道上. 最小轨道半径 为：1a 第 6 页 210014.59hamme 上式中： 真空介电常数： 12
8、-1-08.5AsV 普朗克常数： 346.2hJ 电子静质量： 1910mkg 电子电荷： 9.eC3.145 设电子在第一波尔轨道上的速度为 ，由(1)式有v (2) =21 hmva 12mahv341106.0/3.459.529s 62.18/ms 频率: za v H10529.143.861 zH058.65 加速度： 210 612 /59.)8(smavrw 2/0.9s 2. 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势. 解：电离能为 ，把氢原子的能级公式 代入，得：1Ei 2/nRhcEnhcRhcREHHi)1(2 代入数据： 71.096580Hm3
9、4.21hJs 第 7 页 82.9710/cms 得到： JRhEi 8347 1097.21062.65. 182.70J 取电子电荷： 19.620eC 电离电势： VEVii 19 8.7 013 第一激发能： JRhchcRH 182 07.243)( J180436. 第一激发电势： VeEV19812. 0 3. 用能量为 12.5 电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能级跃迁时， 会出现哪些波长的光谱线？ 解：把氢原子由基态激发到你 n=2,3,4等能级上去所需要的能量是： 其中 电子伏特)1(2nhcREH60.13HhcR 电子伏特.060.31 电子伏特9
10、)(22 电子伏特75.14.3E 其中 小于 12.5 电子伏特， 大于 12.5 电子伏特。可见，具有 12.5 电子伏特能量21和 3E 的电子不足以把基态氢原子激发到 的能级上去，所以只能出现 的能级间的跃迁。4n3n 跃迁时可能发出的光谱线的波长为： 第 8 页 ARRARRHHHHHH102698)3(43)21(1656/5)(32221 上面各式子中取 .711.06580Hm 4. 试估算一次电离的氦离子 、二次电离的锂离子 的第一玻尔轨道半径、电离电eLi 势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值 (三种情况 里德伯常数都取 ).R 解： (1)
11、. 氢原子和类氢离子的轨道半径： 31,21,1,0529.43,201212 LiHiHee ZrZrZHZmehanr径 之 比 是因 此 ， 玻 尔 第 一 轨 道 半 ；，； 对 于； 对 于是 核 电 荷 数 ， 对 于 一 轨 道 半 径 ；米 ， 是 氢 原 子 的 玻 尔 第其 中 (2). 氢和类氢离子的能量公式： 3,1,)4(22120nEhnZmeE 其中 基 态 能 量 。电 子 伏 特 ， 是 氢 原 子 的6.3)(201 电离能之比： 900 ,4221221 HLiLiHLi HeeHe ZE 第 9 页 (3). 第一激发能之比： 9123412212121
12、21212 EEEEHLiiHee (4). 氢原子和类氢离子的赖曼系公式： ，) 1(22nRZv12,43,n 其中 是里德伯常数。320 4)(hme 氢原子赖曼系第一条谱线的波数为： HHRv121)( 相应地，对类氢离子有： LiLi HeHeRv1221 1221)(3 因此， 9,411HLiHe 5 试问二次电离的锂离子 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处i 于基态的一次电离的氦粒子 的电子电离掉？e 解： 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：Li LiLiLii MmhcRchcRE 1427)21(9 第 10 页 上式中 , 分别为电子和 Li
13、原子核的质量mLiM 的电离能量为：He HeHeHeHe MmhcRhcRE 14)1(42 为 He 原子核的质量HeM 两个能量之比为 27(1)/()6Li HeLiHeEmM 由于 ，LieLiHe 1,所 以 从而有 ，所以能将 的电子电离掉。eLiE 6. 氢与其同位素, 氘（质量数为 2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线 . 试问其巴 耳末系的第一条（ ）光谱线之间的波长差 有多大？已知氢的里德伯常数H ，氘的里德伯常数 。1709658.1米HR 170942.1米DR 解： ，)32(HH5/6 ，)1(12DRDR/AHH7856.1)(3 7. 已知一对正负电子绕
14、其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“ 电子偶素”. 试 计算“电子偶素” 由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长 为多少 (已知 )？711.093Rm 解： R8342( 第 11 页 AmR243010973.387 8. 试证明氢原子中的电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道，发射光子的频率 . 当 n1 时光子nv 频率即为电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率 (里德伯常数 取 ).R 证明：在氢原子中电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的波数为：)1(122Rvn 频率为： Rcnncn 222)1()( 当 n时，有 ，所以在 n1 时，氢原子中电子从34/1/)( n+
15、1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的频率为： 。2cvn 设电子在第 n 轨道上的转动频率为 ，则nf222 12mrhrPmrvfn 而氢原子轨道半径为： 204e hr 则 32043204420222 1)()()()1)(1 nchmehnehnemnhmrnrnf 而 ceR320 4)( 所以 3ncf 因此，在 n1 时，有 nfv 9. 原子序数 Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：Li 。已知 Li 原子电离成 离子需要 203.44 电子伏特22)041.()591.0(Rv Li 的功。问如把 离子电离成 离子，需要多少电子伏特的功 (里德伯常数取 )？iLi R 第 12
16、 页 解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价 电子由高的能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以 离子Li 电离成 离子时，有Li 221 )591.0()591.0(hcRcRhE 代入数据： 17093.1米R346.2hJs89710/cmJcRE 2834721 591. 1097.060931.)5.( J1967.8eVE35.1029.1 是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此 时，电离能 为：Li Lii 3E 。电 子 伏 特45.129123hcR ZE 设 的电离能为 。而 需要的总能量是 E=203.44 电子伏
17、特，所以Li2ELi 有 电 子 伏 特64.75312 12. 观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况，可以 测定各激发态的平均寿命. 若已知原子束中原子速度 ，在沿粒子束方向上相秒米 /103v 距 1.5 毫米其共振光谱线强度减少到 1/3.32。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命. 解：设沿粒子束上某点 A 和距这点的距离 S=1.5 毫米的 B 点，共振谱线强度分别为 ，并设粒子束在 A 点的时刻为零时刻，且此时处于激发态的粒子数为 ，原子束10I和 20N 经过 t 时间间隔从 A 到达 B 点，在 B 点处于激发态的粒子数为 。2 光谱线的强度与处
18、于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。设发射共振谱 线的跃迁几率为 ，则有：2120210210 NkANI 第 13 页 为比例系数k 由已知条件，可知 ，32./1201NI 并注意到 ，vSteA/,12而 则有： 32./210t 由此求得： ssvSAt v63212105. 2.ln105.ln.l)l.(l 第三章 量子力学初步 1. 波长为 的 X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，动量为： hp 取 346.210Js1241016. smkgp 能量为： /hcvE 取真空中光速 s1038/c 。JJ1510834 0987./62. 8. 有
19、一粒子，其质量为 ,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为 在m cba、 势箱外，势能 ；在势箱内， 。式计算出粒子可能具有的能量。VV 解：势能分布情况，由题意知：0,0;,.xyzabcV 第 14 页 0,;,.xyzxaVybzc或或 ；或 在势箱内波函数 满足方程：)(x (1)0)(222 zyxVEmdzydx 解这类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。 令 )()(,(zZyYxX 代入(1)式，并将两边同除以 ，得：)( EmVdzZVmdyYVmdxX zyx 2222 )11()1( 方程左边分解成三个相互独立的部分，它们之和等于一个常数。因
20、此，每一部分都应等于 一个常数。由此，得到三个方程如下： 皆 为 常 数 。其 中 zyxzyxzyyxxEEmVdzZYEd,2112222 将上面三个方程中的第一个方程变形，得： (2)0)(2XdxXx 边界条件： )0a 可见，方程(2)的形式及边界条件与一维箱完全相同 解方程(2)的具体过程参照教材 中一维箱的例子(在课本 93-98 页)，因此，其解为： 3,21,2sin2xxxaEX 类似地，有 第 15 页 )(2sinisin8),3,21,2sin3,21,2sin2222cbamEczbyaxzyxczZbEyYzyxzzyy 可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能 量相当于三个一维箱中粒子的能量之和。 对于方势箱， ,波函数和能量为： 2223, sinisin8),( zyxzyxmaEaazyx
