1、第 1 页（共 26 页） 2016-2017 学年广西南宁市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1 2017 的相反数是（ ） A2017 B2017 C D 2下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3小宇同学在“百度” 搜索引擎中输入四市同城，能搜索到与之相关的结果的条 数约为 830000，这个数用科学记数法表示为（ ） A83 104 B8.310 4C8.3 105 D0.83 106 4下列方程是一元二次方程的是（ ） A
2、x 2=0 Bx 24x1=0Cx 32x3=0Dxy+1=0 5如图，紫金花图案旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度可能是（ ） A30 B60 C72 D90 6二次函数 y=（x+2） 23 的图象的顶点坐标是（ ） A （2 ，3 ） B （2，3） C （2， 3） D （ 2，3） 7如图，四个边长为 2 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形顶 点，O 的半径为 2，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 APB 等于（ ） 第 2 页（共 26 页） A30 B45 C60 D90 8在平面直角坐标系中，O 的半径为 5，圆心在原点 O，则 P（3，4）与
3、 O 的位置关系是（ ） A在O 上 B在O 内 C在O 外 D不能确定 9三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+8=0 的一个根，则 这个三角形的周长是（ ） A11 或 13 B13 或 15 C11 D13 10在摸球实验中，暗盒内装有 8 个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，某同学 进行如下试验：每次任意摸出 1 个球，记下颜色后放回并搅匀，再任意摸出 1 个球，如此重复多次试验后，得到摸出白球的频率是 0.25，根据上述数据可估 计盒子中黄球的个数为（ ） A16 个 B24 个 C32 个 D40 个 11在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2+2x+3 绕着原
4、点旋转 180，所得抛物 线的解析式是（ ） Ay= （ x+1） 22 By= （x 1） 22 Cy=（x 1） 2+2 Dy=（x 1） 22 12如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 是边 AB 上一动点，以 O 为圆心，2 为 半径作圆，分别与 AD、BC 相交于 M、N，则扇形 OMN 的面积 S 的范围是（ ） A s B s C s D0s 第 3 页（共 26 页） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13 “明天的太阳从西方升起”这个事件属于 事件（用“必然”、 “不可能”、 “不确 定”填空） 14函数 y=x2+3x+5 与 y 轴的交点
5、坐标是 15半径为 2 的圆内接正六边形的边心距是 16如图，在宽为 20m，长为 30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下 部分作为耕地根据图中数据，计算耕地的面积为 m 2 17已知二次函数 y1=ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2=kx+m（k 0）的图象交 于点 A（2 ，4） ，B（5 ，1） ，如图所示，则能使 y1y 2 成立的 x 的取值范围是 18一块等边三角形木板，边长为 1，现将木板沿水平线翻滚，如图所示，若 翻滚了 2017 次，则 B 点所经过的路径长度为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 19计算：
6、1 4（ 3） 0+|2|+ 20解方程：2x（x+4）=1（用公式法） 第 4 页（共 26 页） 21已知：如图，在ABC 中，A=30，B=60 （1）作B 的平分线 BD，交 AC 于点 D；作 AB 的中点 E（要求：尺规作图，保 留作图痕迹，不必写作法和证明） ； （2）连接 DE，求证：ADE BDE 22某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“ 助人为乐”， “自强自立”、 “孝老爱 亲”， “诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选 的 20 位校园“美德少年” 分类统计，制作了如下统计表 类别 频数 频率 助人为乐美德少年 a 0.20 自强自立美德
7、少年 3 b 孝老爱亲美德少年 7 0.35 诚实守信美德少年 6 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中的 a= ，b ，c= ； （2）校园小记者决定从 A、B 、C 三位“自强自立美德少年”中，随机采访两位， 用画树状图或列表的方法，求 A，B 都被采访到的概率 23如图，在 RtOAB 中， OAB=90，OA=AB=6，将OAB 绕点 O 沿逆时针 方向旋转 90得到OA 1B1 （1）线段 OA1 的长是 ，AOB 1 的度数是 ； （2）连接 AA1，求证：四边形 OAA1B1 是平行四边形； （3）求四边形 OAA1B1 的面积 第 5 页（共 26 页） 24在“感
8、恩节” 前夕，我市某学生积极参与“ 关爱孤寡老人”的活动，他们购进 一批单价为 6 元一双的“孝心袜”在课余时间进行义卖，并将所得利润全部捐给 乡村孤寡老人，在试卖阶段发现：当销售单价是每双 10 元时，每天的销售量为 200 双，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 20 双 （1）求销售单价为多少元时， “孝心袜”每天的销售利润最大； （2）结合上述情况，学生会干部提出了 A、B 两种营销方案 方案 A：“孝心袜 ”的销售单价高于进价且不超过 11 元； 方案 B：每天销售量不少于 20 双，且每双“ 孝心袜”的利润至少为 10 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 25如图
9、，已知ABC 是 O 内接三角形，过点 B 作 BDAC 于点 D，连接 AO 并延长交O 于点 F，交 DB 的延长线于点 E，且点 B 是 的中点 （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 8，点 O、F 为线段 AE 的三等分点，求线段 BD 的长度； （3）判断线段 AD、CD 、AF 的数量关系，并说明理由 26如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 侧） ，与 y 轴交于点 C，OB=1 ，OC=3 （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 P 为抛物线上的一点，且在直线 AC 上方，当ACP 的面积是 时，求点
10、的坐标； （3）是否存在抛物线上的点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由 第 6 页（共 26 页） 第 7 页（共 26 页） 2016-2017 学年广西南宁市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1 2017 的相反数是（ ） A2017 B2017 C D 【考点】相反数 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可 【解答】解：
11、2017 的相反数是 2017， 故选：A 2下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转 后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点 叫做对称中心，可求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D 第 8 页（共 26 页） 3小宇同学在“百度” 搜索引擎中输入四市同城，能搜索到与之相关的结果的条 数约为 830000，这个数用科学记数
12、法表示为（ ） A83 104 B8.310 4C8.3 105 D0.83 106 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整 数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值 与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数 【解答】解：830000 用科学记数法表示为 8.3105， 故选 C 4下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax 2=0 Bx 24x1=0Cx 32x3=0Dxy+1=0 【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定
13、义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是 2 的整式方程叫一元二次方程进行分析即可 【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、不是一元二次方程，故此选项错误； D、不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B 5如图，紫金花图案旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度可能是（ ） A30 B60 C72 D90 【考点】旋转对称图形 第 9 页（共 26 页） 【分析】紫金花图案是一个旋转不变图形，根据这个图形可以分成几个全等的 部分，即可计算出旋转的角度 【解答】解：紫金花图案可以被中心发出的射线分成 5 个全等的部分， 因而旋转的角度是 3
14、605=72 度， 故选：C 6二次函数 y=（x+2） 23 的图象的顶点坐标是（ ） A （2 ，3 ） B （2，3） C （2， 3） D （ 2，3） 【考点】二次函数的性质 【分析】由二次函数解析式可求得顶点坐标 【解答】解： y=（x+2） 23， 抛物线顶点坐标为（2， 3） ， 故选 D 7如图，四个边长为 2 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形顶 点，O 的半径为 2，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 APB 等于（ ） A30 B45 C60 D90 【考点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求 解
15、 【解答】解：根据题意APB= AOB， AOB=90， 第 10 页（共 26 页） APB=90 =45 故选 B 8在平面直角坐标系中，O 的半径为 5，圆心在原点 O，则 P（3，4）与 O 的位置关系是（ ） A在O 上 B在O 内 C在O 外 D不能确定 【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质 【分析】首先求得点 P 与圆心 O 之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点 P 与 O 的位置关系 【解答】解：由勾股定理得：OP= =5， O 的半径为 5， 点 P 在O 上 故选 A 9三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+8=0 的一个根，则 这个三角形的
16、周长是（ ） A11 或 13 B13 或 15 C11 D13 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系 【分析】因式分解法解方程求得 x 的值，再根据三角形的三边关系判断能否构 成三角形，最后求出周长即可 【解答】解：（x2） （x4）=0， x2=0 或 x4=0， 解得：x=2 或 x=4， 当 x=2 时，三角形的三边 2+36，不能构成三角形，舍去； 当 x=4 时，三角形的三边满足 3+46，可以构成三角形，周长为 3+4+6=13， 故选：D 第 11 页（共 26 页） 10在摸球实验中，暗盒内装有 8 个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，某同学 进行如下试验：每次任意
17、摸出 1 个球，记下颜色后放回并搅匀，再任意摸出 1 个球，如此重复多次试验后，得到摸出白球的频率是 0.25，根据上述数据可估 计盒子中黄球的个数为（ ） A16 个 B24 个 C32 个 D40 个 【考点】利用频率估计概率 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概 率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再利用频率等于原白球数 除以总球数进行求解 【解答】解：设黄球数为 x 个， 重复多次试验后，得到摸出白球的频率是 0.25， =0.25， 解得 x=24 故选 B 11在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2+2x+3 绕着原点旋转 180，所得抛物
18、 线的解析式是（ ） Ay= （ x+1） 22 By= （x 1） 22 Cy=（x 1） 2+2 Dy=（x 1） 22 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】先利用配方法得到抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标为（1，2） ，再写出点 （1 ，2）关于原点的对称点为（ 1， 2） ，由于旋转 180，抛物线开口相反，于 是得到抛物线 y=x2+2x+3 绕着原点旋转 180，所得抛物线的解析式是 y=（x1） 22 【解答】解：y=x 2+2x+3=（x+1 ） 2+2，抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标为（1，2） ， 点（1，2）关于原点的对称点为（ 1， 2） ， 所以抛物
19、线 y=x2+2x+3 绕着原点旋转 180，所得抛物线的解析式是 y=（x1） 第 12 页（共 26 页） 22 故选 B 12如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 是边 AB 上一动点，以 O 为圆心，2 为 半径作圆，分别与 AD、BC 相交于 M、N，则扇形 OMN 的面积 S 的范围是（ ） A s B s C s D0s 【考点】扇形面积的计算；正方形的性质 【分析】观察图象可知，扇形 OMN 的圆心角MON 的最大值 90，最小值为 60，由此即可解决问题 【解答】解：O 是边 AB 上一动点， 观察图象可知，扇形 OMN 的圆心角MON 的最大值 90，最小值为 60，
20、当OMN=90 时，S= =， 当OMN=60 时，S= = ， s 故选 A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13 “明天的太阳从西方升起”这个事件属于 不可能 事件（用“必然”、 “不可能”、 “不确定”填空） 【考点】随机事件 【分析】必然事件是一定发生的事件； 第 13 页（共 26 页） 不可能事件就是一定不会发生的事件； 不确定事件是可能发生也可能不发生的事件 【解答】解：“ 明天的太阳从西方升起” 这个事件是一定不可能发生的，因而是 不可能事件 14函数 y=x2+3x+5 与 y 轴的交点坐标是 （0，5） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【
21、分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案 【解答】解：当 x=0 时，y=5，即 y=x2+3x+5 与 y 轴的交点坐标是（0，5） ， 故答案为：（0，5） 15半径为 2 的圆内接正六边形的边心距是 【考点】正多边形和圆 【分析】正多边形的内切圆的半径就是正六边形的边心距，即为每个边长为 2 的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解 【解答】解：边长为 2 的正六边形可以分成六个边长为 2 的正三角形， 而正多边形的边心距即为每个边长为 2 的正三角形的高， 正六多边形的边心距等于 2sin60= ， 故答案为： 16如图，在宽为 20m，长为 30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道
22、路，余下 部分作为耕地根据图中数据，计算耕地的面积为 551 m 2 【考点】矩形的性质 【分析】由图可得出两条路的宽度为：1m，长度分别为：20m，30m，这样可 以求出小路的总面积，又知矩形的面积，耕地的面积=矩形的面积小路的面积， 第 14 页（共 26 页） 由此计算耕地的面积 【解答】解：由图可以看出两条路的宽度为：1m，长度分别为：20m，30m， 所以，可以得出路的总面积为：201+30111=49m 2， 又知该矩形的面积为：2030=600m 2， 所以，耕地的面积为：60049=551m 2 故答案为 551 17已知二次函数 y1=ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2
23、=kx+m（k 0）的图象交 于点 A（2 ，4） ，B（5 ，1） ，如图所示，则能使 y1y 2 成立的 x 的取值范围是 x2 或 x5 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】结合函数图象得出 x 的取值范围 【解答】解：由图象得：当 x2 或 x5 时，y 1 y2， 故答案为：x2 或 x5 18一块等边三角形木板，边长为 1，现将木板沿水平线翻滚，如图所示，若 翻滚了 2017 次，则 B 点所经过的路径长度为 【考点】轨迹 【分析】B 点翻滚一周所走过的路径长度为两段弧长，一段是以点 C 为圆心， 第 15 页（共 26 页） BC 为半径，圆心角为 120，第二段是以 A 为
24、圆心，AB 为半径，圆心角为 120 的两段弧长，依弧长公式计算即可 【解答】解：从图中发现：B 点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长 即第一段= ，第二段 = 故 B 点翻滚一周所走过的路径长度 = + = ， 20173=6721， 若翻滚了 2017 次，则 B 点所经过的路径长度=672 + = ， 故答案为： 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 19计算：1 4（ 3） 0+|2|+ 【考点】实数的运算；零指数幂 【分析】原式利用零指数幂法则，乘方的意义，绝对值的代数意义，以及二次 根式性质计算即可得到结果 【解答】解：原式=
25、11+2+2=2 20解方程：2x（x+4）=1（用公式法） 【考点】解一元二次方程-公式法 【分析】首先把方程化为一元二次方程的一般形式，再找出 a，b ，c，求出 =b24ac 的值，再代入求根公式 x= 【解答】解：2x（x+4）=1， 2x2+8x1=0， a=2，b=8，c=1，=b 24ac=64+8=72， x= = = 第 16 页（共 26 页） 即 x1= ，x 2= 21已知：如图，在ABC 中，A=30，B=60 （1）作B 的平分线 BD，交 AC 于点 D；作 AB 的中点 E（要求：尺规作图，保 留作图痕迹，不必写作法和证明） ； （2）连接 DE，求证：ADE
26、BDE 【考点】作图复杂作图；全等三角形的判定 【分析】 （1）以 B 为圆心，任意长为半径画弧，交 AB、BC 于 F、N，再以 F、N 为圆心，大于 FN 长为半径画弧，两弧交于点 M，过 B、M 画射线，交 AC 于 D，线段 BD 就是 B 的平分线； 分别以 A、B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，两弧交于 X、Y，过 X、Y 画直 线与 AB 交于点 E，点 E 就是 AB 的中点； （2）首先根据角平分线的性质可得ABD 的度数，进而得到ABD=A ，根据 等角对等边可得 AD=BD，再加上条件 AE=BE，ED=ED，即可利用 SSS 证明 ADEBDE 【解答】解：（1）作
27、出B 的平分线 BD； 作出 AB 的中点 E （2）证明： ABD= 60=30，A=30， ABD=A， AD=BD， 第 17 页（共 26 页） 在ADE 和 BDE 中 ADE BDE（SSS） 22某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“ 助人为乐”， “自强自立”、 “孝老爱 亲”， “诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选 的 20 位校园“美德少年” 分类统计，制作了如下统计表 类别 频数 频率 助人为乐美德少年 a 0.20 自强自立美德少年 3 b 孝老爱亲美德少年 7 0.35 诚实守信美德少年 6 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计
28、表中的 a= 4 ，b 0.15 ，c= 0.3 ； （2）校园小记者决定从 A、B 、C 三位“自强自立美德少年”中，随机采访两位， 用画树状图或列表的方法，求 A，B 都被采访到的概率 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表 【分析】 （1）先利用第 3 组的频数和频率计算出调查的总人数，然后计算 a、 b、c 的值； （2）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出 A，B 都被采访到的结果 数，然后利用概率公式计算 【解答】解：（1）70.35=20， a=200.20=4，b=320=0.15，c=620=0.3； 第 18 页（共 26 页） 故答案为 4，0.15，0.3
29、； （2）画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中 A，B 都被采访到的结果数为 2， 所以 A，B 都被采访到的概率= = 23如图，在 RtOAB 中， OAB=90，OA=AB=6，将OAB 绕点 O 沿逆时针 方向旋转 90得到OA 1B1 （1）线段 OA1 的长是 6 ，AOB 1 的度数是 135 ； （2）连接 AA1，求证：四边形 OAA1B1 是平行四边形； （3）求四边形 OAA1B1 的面积 【考点】旋转的性质；平行四边形的判定 【分析】 （1）图形在旋转过程中，边长和角的度数不变； （2）可证明 OAA 1B1 且相等，即可证明四边形 OAA1B1 是平行四边形
30、； （3）平行四边形的面积=底高=OA OA1 【解答】 （1）解：因为，OAB=90，OA=AB， 所以，OAB 为等腰直角三角形，即AOB=45， 根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，即 OA1=OA=6， 对应角A 1OB1=AOB=45，旋转角AOA 1=90， 所以，AOB 1 的度数是 90+45=135 （2）证明：AOA 1=OA 1B1=90， OAA 1B1， 又OA=AB=A 1B1， 第 19 页（共 26 页） 四边形 OAA1B1 是平行四边形 （3）解：OAA 1B1 的面积=66=36 24在“感恩节” 前夕，我市某学生积极参与“ 关爱孤寡老人”的活动，
31、他们购进 一批单价为 6 元一双的“孝心袜”在课余时间进行义卖，并将所得利润全部捐给 乡村孤寡老人，在试卖阶段发现：当销售单价是每双 10 元时，每天的销售量为 200 双，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 20 双 （1）求销售单价为多少元时， “孝心袜”每天的销售利润最大； （2）结合上述情况，学生会干部提出了 A、B 两种营销方案 方案 A：“孝心袜 ”的销售单价高于进价且不超过 11 元； 方案 B：每天销售量不少于 20 双，且每双“ 孝心袜”的利润至少为 10 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】 （1）设销售
32、单价 x 元，利润为 w 元由题意 w=（x 6） 20020（x10），利用二次函数的性质即可解决问题 （2）分别求出两种方案利润的最大值，即可判断 【解答】解：（1）设销售单价 x 元，利润为 w 元 由题意 w=（x6）20020（x 10）= 20（x 13） 2+5780 200 ， x=13 时，每天的销售利润最大， 销售单价为 13 元时， “孝心袜”每天的销售利润最大 （2）方案 A：“ 孝心袜”的销售单价高于进价且不超过 11 元； w=（x6）20020 （x 10）= 20（x 13） 2+5780 又6x11， x=11 时，w 的值最大，最大值为 5740 元 第 2
33、0 页（共 26 页） 方案 B：每天销售量不少于 20 双，且每双“ 孝心袜”的利润至少为 10 元 w=（x6）20020 （x 10）= 20（x 13） 2+5780 又16x19， x=16 时，w 的值最大，最大值为 5600 元 57405600， 方案 A 的利润最大 25如图，已知ABC 是 O 内接三角形，过点 B 作 BDAC 于点 D，连接 AO 并延长交O 于点 F，交 DB 的延长线于点 E，且点 B 是 的中点 （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 8，点 O、F 为线段 AE 的三等分点，求线段 BD 的长度； （3）判断线段 AD、CD 、A
34、F 的数量关系，并说明理由 【考点】切线的判定；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心 【分析】 （1）欲证明 DE 是切线，只要证明 OBDE 即可 （2）由 OBAD，推出 = = = ，推出 AD=12，在 RtADE 中， AD=12，AE=24，推出 DE= = =12 ，由 DB= DE，即可解 决问题 （3）如图 2 中，结论：AF=AD+CD连接 BF，作 BHAE 于 E，只要证明 BADBAH，推出 AD=AH，BD=BH ，再证明BCDBFH，推出 CD=HF 即 可 【解答】 （1）证明：如图 1 中，连接 OB ADBD， 第 21 页（共 26 页） ADB=9
35、0 ， DAB+ABD=90， OA=OB， OAB= OBA ， 点 B 是 的中点， DAB=BAF=ABO， ABO+ABD=90 ， OBD=90， OBDE， DE 是O 的切线 （2）AD DE，OBDE， OBAD， = = = ， AD=12， 在 RtADE 中，AD=12，AE=24 ， DE= = =12 ， DB= DE=4 ， （3）如图 2 中，结论：AF=AD+CD 理由：连接 BF，作 BHAE 于 E 在BAD 和 BAH 中， ， BAD BAH， 第 22 页（共 26 页） AD=AH，BD=BH， BCD+ACB=180 ， ACB+BFH=180，
36、BCD=BFH， 在BCD 和BFH 中， ， BCDBFH ， CD=HF， AF=AH+HF=AD+CD 26如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 侧） ，与 y 轴交于点 C，OB=1 ，OC=3 （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 P 为抛物线上的一点，且在直线 AC 上方，当ACP 的面积是 时，求点的坐标； （3）是否存在抛物线上的点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由 第 23 页（共 26 页） 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）把
37、点 B、C 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数 b、c 的方 程组，通过解方程组求得它们的值； （2）过点 P 作直线 l，ly 轴，交直线 AC 于点 D，由点 A、C 的坐标得到直线 AC 的方程，由三角形的面积公式和函数图象上点的坐标特征来求点 P 的坐标； （3）由（1）中所求解析式可设点 P 的坐标为（m，m 22m+3） 当ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形时，可分两种情况进行讨论：以点 A 为直角顶点； 以点 C 为直角顶点；利用勾股定理分别列出关于 m 的方程，解方程即可 【解答】解：（1）如图 1，OB=1，OC=3 ， B（1，0） ，C （0，3） ， 将其代入
38、 y=x2+bx+c，得 ， 解得 ， 故该抛物线的解析式为：y=x 22x+3； （2）如图 1，过点 P 作直线 l，ly 轴，交直线 AC 于点 D， 由（1）知，抛物线解析式为 y=x22x+3=（x+3） （x1） ，则 A（3，0） 由 A（3，0 ） ，C （0，3）易得直线 AC 的解析式为：y=x+3 设 P（ x，x 22x+3） 第 24 页（共 26 页） 则 D（x ，x+3） PD=x 23x ACP 的面积是 ， PDOA= ，即 （ x23x）3= ， 解得 x= ， P（ ， ） ； （3）存在 设点 P 的坐标为（ m， m22m+3） A（3 ，0） ，C
39、 （0，3） ， AC 2=32+32=18，AP 2=（m+3） 2+（ m22m+3） 2，CP 2=m2+（m 22m） 2 当ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形时，可分两种情况： 如图 1，如果点 C 为直角顶点，那么 AC2+CP2=AP2， 即 18+m2+（m 22m） 2=（m+3） 2+（m 22m+3） 2， 整理得 m2+m=0， 解得 m1=1， m2=0（不合题意舍去） ， 则点 P 的坐标为（ 1，4） ； 如图 2，如果点 A 为直角顶点，那么 AC2+AP2=CP2， 即 18+（m+3） 2+（m 22m+3） 2=m2+（ m22m） 2， 整理得 m2+m6=0， 解得 m1=2，m 2=2（不合题意舍去） ， 则点 P 的坐标为（ 2，5） ； 第 25 页（共 26 页） 综上所述，所有符合条件的点 P 的坐标为（1，4）或（2 ，5） 第 26 页（共 26 页） 2017 年 2 月 21 日
