1、八年级丄数学期末全等三角形 轴对称复 习提优题【大海之音组卷】 一选择题（共 4 小题） 1如图，Rt ACB 中， ACB=90，ABC 的角平分线 BE 和BAC 的外角平分线 AD 相交于点 P，分别交 AC 和 BC 的延长线于 E，D过 P 作 PFAD 交 AC 的延长线于点 H，交 BC 的延长线于点 F，连接 AF 交 DH 于点 G则下列结论：APB=45 ；PF=PA； BDAH=AB； DG=AP+GH其中正确的是（ ） A B C D 2如图，将 30的直角三角尺 ABC 绕直角顶点 A 逆时针旋转到 ADE 的位置，使 B 点的对应点 D 落在 BC 边上， 连接 E
2、B、EC，则下列结论： DAC=DCA；ED 为 AC 的垂直平分线；EB 平分 AED；ED=2AB其 中正确的是（ ） A B C D 3如图，Rt ACB 中， ACB=90， ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P，过 P 作 PFAD 交 BC 的延长线于点 F，交 AC 于点 H，则下列结论： APB=135；PF=PA；AH+BD=AB； S 四边形 ABDE= SABP，其中正 确的是（ ） A B C D 4如图，在四边形 ABCD 中，B= C=90， DAB 与ADC 的平分线相交于 BC 边上的 M 点，则下列结论： AMD=90；M 为 BC 的中点；AB+CD
3、=AD； ； M 到 AD 的距离等于 BC 的 一半；其中正确的有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 二解答题（共 8 小题） 5如图 1，在 RtACB 中， ACB=90，ABC=30AC=1 点 D 为 AC 上一动点，连接 BD，以 BD 为边作等边 BDE，EA 的延长线交 BC 的延长线于 F，设 CD=n， （1）当 n=1 时，则 AF= _ ； （2）当 0n1 时，如图 2，在 BA 上截取 BH=AD，连接 EH，求证：AEH 为等边三角形 6两个等腰直角ABC 和等腰直角 DCE 如图 1 摆放，其中 D 点在 AB 上，连接 BE （1）则 =
4、_ ，CBE= _ 度； （2）当把DEF 绕点 C 旋转到如图 2 所示的位置时（D 点在 BC 上） ，连接 AD 并延长交 BE 于点 F，连接 FC，则 = _ ，CFE= _ 度； （3）把DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，请求出 CFE 的度数 _ 7已知ABC 为边长为 10 的等边三角形，D 是 BC 边上一动点： 如图 1，点 E 在 AC 上，且 BD=CE，BE 交 AD 于 F，当 D 点滑动时， AFE 的大小是否变化？若不变，请求 出其度数 如图 2，过点 D 作ADG=60 与ACB 的外角平分线交于 G，当点 D 在 BC 上滑动时，有下列两个结论
5、： DC+CG 的值为定值； DGCD 的值为定值其中有且只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明并求 出其值 8如图，点 A、C 分别在一个含 45的直角三角板 HBE 的两条直角边 BH 和 BE 上，且 BA=BC，过点 C 作 BE 的 垂线 CD，过 E 点作 EF 上 AE 交DCE 的角平分线于 F 点，交 HE 于 P （1）试判断PCE 的形状，并请说明理由； （2）若HAE=120，AB=3，求 EF 的长 9如图，AD 是ABC 的角平分线，H ，G 分别在 AC， AB 上，且 HD=BD （1）求证：B 与 AHD 互补； （2）若B+2DGA=180，请探究线段
6、 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系，并加以证明 10如图，在等腰 RtABC 与等腰 RtDBE 中，BDE=ACB=90，且 BE 在 AB 边上，取 AE 的中点 F，CD 的 中点 G，连接 GF （1）FG 与 DC 的位置关系是 _ ，FG 与 DC 的数量关系是 _ ； （2）若将BDE 绕 B 点逆时针旋转 180，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请 证明你的结论 11如图 1，ABC 中，AG BC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以 AB、AC 为直角边，向ABC 外作等腰 Rt ABE 和等腰 RtACF，过点 E、F 作射线 GA
7、 的垂线，垂足分别为 P、Q （1）试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论 （2）若连接 EF 交 GA 的延长线于 H，由（1）中的结论你能判断并证明 EH 与 FH 的大小关系吗？ （3）图 2 中的ABC 与AEF 的面积相等吗？（不用证明） 12已知如图 1：ABC 中，AB=AC ，B、C 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EFBC 交 AB、AC 于 E、F 图中有几个等腰三角形？请说明 EF 与 BE、CF 间有怎样的关系 若 ABAC，其他条件不变，如图 2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们另第 问中 EF 与 BE、CF 间的关系还存在吗？ 若A
8、BC 中， B 的平分线与三角形外角ACD 的平分线 CO 交于 O，过 O 点作 OEBC 交 AB 于 E，交 AC 于 F如图 3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF 与 BE、CF 间的关系如何？为什么？ 八年级丄数学期末全等三角形 轴对称复 习提优题【大海之音组卷】 参考答案与试题解析 一选择题（共 4 小题） 1如图，Rt ACB 中， ACB=90，ABC 的角平分线 BE 和BAC 的外角平分线 AD 相交于点 P，分别交 AC 和 BC 的延长线于 E，D过 P 作 PFAD 交 AC 的延长线于点 H，交 BC 的延长线于点 F，连接 AF 交 DH 于点 G则下列结论：A
9、PB=45 ；PF=PA； BDAH=AB； DG=AP+GH其中正确的是（ ） A B C D 考点： 直角三角形的性质；角平分线的定义；垂线；全等三角形的判定与性质4387773 专题： 推理填空题 分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出 CAP，再根据角平分 线的定义ABP= ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； 先根据直角的关系求出AHP=FDP，然后利用角角边证明 AHP 与FDP 全等，根据全等三角形对 应边相等可得 DF=AH，对应角相等可得 PFD=HAP，然后利用平角的关系求出BAP=BFP ，再利用角 角边证明ABP 与F
10、BP 全等，然后根据全等三角形对应边相等得到 AB=BF，从而得解； 根据 PFAD，ACB=90 ，可得 AGDH，然后求出ADG= DAG=45，再根据等角对等边可得 DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得 GH=GF，然后求出 DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于 直角边，AFAP ，从而得出本小题错误 解答： 解：ABC 的角平分线 BE 和BAC 的外角平分线， ABP= ABC， CAP= （90+ABC）=45 + ABC， 在ABP 中，APB=180 BAPABP， =180（45+ ABC+90ABC） ABC， =18045 ABC90+ABC ABC， =45，
11、故本小题正确； ACB=90，PFAD， FDP+HAP=90， AHP+HAP=90， AHP=FDP， PFAD， APH=FPD=90， 在AHP 与FDP 中， ， AHPFDP（AAS ） ， DF=AH， AD 为 BAC 的外角平分线，PFD=HAP， PAE+BAP=180， 又PFD+ BFP=180， PAE=PFD， ABC 的角平分线， ABP=FBP， 在ABP 与 FBP 中， ， ABPFBP（AAS） ， AB=BF，AP=PF 故小题正确； BD=DF+BF， BD=AH+AB， BDAH=AB，故 小题正确； PFAD， ACB=90， AGDH， AP=P
12、F，PFAD， PAF=45， ADG=DAG=45， DG=AG， PAF=45，AG DH， ADG 与FGH 都是等腰直角三角形， DG=AG，GH=GF， DG=GH+AF， AFAP， DG=AP+GH 不成立，故本小题错误， 综上所述正确 故选 A 点评： 本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等 边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系 2如图，将 30的直角三角尺 ABC 绕直角顶点 A 逆时针旋转到 ADE 的位置，使 B 点的对应点 D 落在 BC 边上， 连接 EB、EC，则下列结论： DAC
13、=DCA；ED 为 AC 的垂直平分线；EB 平分 AED；ED=2AB其 中正确的是（ ） A B C D 考点： 旋转的性质；含 30 度角的直角三角形4387773 分析： 根据直角三角形中 30的角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质即可判断 解答： 解：根据旋转的性质可以得到：AB=AD ，而 ABD=60，则ABD 是等边三角形，可得到 DAC=30， DAC=DCA，故正确； 根据可得 AD=CD，并且根据旋转的性质可得：AC=AE ，EAC=60，则ACE 是等边三角形，则 EA=EC，即 D、E 都到 AC 两端的距离相等，则 DE 在 AC 的垂直平分线上，故正确；
14、根据条件 ABDE，而 ABAE，即可证得 EB 平分AED 不正确，故错误； 根据旋转的性质，DE=BC，而 BC=2AB，即可证得 ED=2AB，故正确； 故正确的是：故选 B 点评： 正确理解旋转的性质，图形旋转前后两个图形全等是解决本题的关键 3如图，Rt ACB 中， ACB=90， ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P，过 P 作 PFAD 交 BC 的延长线于点 F，交 AC 于点 H，则下列结论： APB=135；PF=PA；AH+BD=AB； S 四边形 ABDE= SABP，其中正 确的是（ ） A B C D 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质438
15、7773 分析： 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断 解答： 解：在ABC 中，AD 、BE 分别平分 BAC、ABC， ACB=90， A+B=90， 又 AD、 BE 分别平分 BAC、 ABC， BAD+ABE= （A+B）=45， APB=135，故正确 BPD=45， 又 PFAD， FPB=90+45=135， APB=FPB， 又ABP=FBP， BP=BP， ABPFBP， BAP=BFP，AB=FB，PA=PF，故正确 在APH 和FPD 中， APH=FPD=90， PAH=BAP=BFP， PA=PF， APHFPD， AH=FD， 又 AB=FB
16、， AB=FD+BD=AH+BD故 正确 ABPFBP，APH FPD， S 四边形 ABDE=SABP+SBDP+SAPHSEOH+SDOP=SABP+SABPSEOH+SDOP=2SABPSEOH+SDOP 故选 C 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS 、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对 应相等时，角必须是两边的夹角 4如图，在四边形 ABCD 中，B= C=90， DAB 与ADC 的平分线相交于 BC 边上的 M 点，则下列结论： AMD=90；M
17、为 BC 的中点；AB+CD=AD； ； M 到 AD 的距离等于 BC 的 一半；其中正确的有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质4387773 分析： 过 M 作 MEAD 于 E，得出 MDE= CDA，MAD= BAD，求出MDA+MAD= （CDA+BAD ） =90，根据三角形内角和定理求出 AMD，即可判断 ；根据角平分线性质求出 MC=ME，ME=MB，即 可判断和；由勾股定理求出 DC=DE，AB=AE，即可判断 ；根据 SSS 证DEMDCM ，推出 S 三角形 DEM=S 三角形 DCM，同理得出 S 三角
18、形 AEM=S 三角形 ABM，即可判断 解答： 解： 过 M 作 MEAD 于 E， DAB 与ADC 的平分线相交于 BC 边上的 M 点， MDE= CDA，MAD= BAD， DCAB， CDA+BAD=180， MDA+MAD= （CDA+ BAD）= 180=90， AMD=18090=90，正确； DM 平分CDE，C=90（MCDC） ，MEDA， MC=ME， 同理 ME=MB， MC=MB=ME= BC，正确； M 到 AD 的距离等于 BC 的一半，正确； 由勾股定理得：DC 2=MD2MC2，DE 2=MD2ME2， 又 ME=MC，MD=MD ， DC=DE， 同理
19、AB=AE， AD=AE+DE=AB+DC，正确； 在 DEM 和 DCM 中 ， DEMDCM（SSS） ， S 三角形 DEM=S 三角形 DCM 同理 S 三角形 AEM=S 三角形 ABM， S 三角形 AMD= S 梯形 ABCD， 正确； 故选 D 点评： 本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用， 主要考查学生运用定理进行推理的能力 二解答题（共 8 小题） 5如图 1，在 RtACB 中， ACB=90，ABC=30AC=1 点 D 为 AC 上一动点，连接 BD，以 BD 为边作等边 BDE，EA 的延长线交 BC 的延长线于
20、 F，设 CD=n， （1）当 n=1 时，则 AF= 2 ； （2）当 0n1 时，如图 2，在 BA 上截取 BH=AD，连接 EH，求证：AEH 为等边三角形 考点： 含 30 度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质4387773 专题： 动点型 分析： （1）根据三角形内角和定理求出BAC=60，再根据平角等于 180求出FAC=60 ，然后求出F=30，根 据 30角所对的直角边等于斜边的一半求解即可； （2）根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用CBD 表示出 ADE=30+CBD， 又HBE=30+ CBD，从而得到 ADE=HBE，然后根据
21、边角边证明ADE 与HBE 全等，根据全等三角 形对应边相等可得 AE=HE，对应角相等可得 AED=HEB，然后推出 AEH=BED=60，再根据等边三角 形的判定即可证明 解答： （1）解：BDE 是等边三角形， EDB=60， ACB=90，ABC=30 ， BAC=1809030=60， FAC=1806060=60， F=1809060=30， ACB=90， ACF=18090， AF=2AC=21=2； （2）证明：BDE 是等边三角形， BE=BD，EDB=EBD=60， 在BCD 中，ADE+EDB=CBD+ C， 即ADE+60 =CBD+90， ADE=30+CBD， H
22、BE+ABD=60， CBD+ABD=30， HBE=30+CBD， ADE=HBE， 在ADE 与 HBE 中， ， ADEHBE（SAS） ， AE=HE， AED=HEB， AED+DEH=DEH+HEB， 即AEH= BED=60， AEH 为等边三角形 点评： 本题考查了 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与 判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， （2）中求出 ADE=HBE 是解题的关键 6两个等腰直角ABC 和等腰直角 DCE 如图 1 摆放，其中 D 点在 AB 上，连接 BE （1）则 = 1 ，CBE=
23、 45 度； （2）当把DEF 绕点 C 旋转到如图 2 所示的位置时（D 点在 BC 上） ，连接 AD 并延长交 BE 于点 F，连接 FC，则 = 1 ，CFE= 45 度； （3）把DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，请求出 CFE 的度数 135 考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；确定圆的条件4387773 分析： （1）先证明ACD=BCE，再根据边角边定理证明ACDBCE，然后根据全等三角形对应边相等和对 应角相等解答； （2）根据（1）的思路证明ACD 和BCE 全等，再根据全等三角形对应边相等得 BE=AD，对应角相等 得DAC=DBF，
24、又 ACCD，所以 AFBF，从而可以得到 C、E、F、D 四点共圆，根据同弧所对的圆周 角相等即可求出CFE= CDE=45； （3）同（2）的思路，证明 C、F、D、E 四点共圆，得出CFD= CED=45，而 DEF=90，所以CFE 的 度数即可求出 解答： 解：（1）ABC 和DCE 是等腰三角形， AC=BC，CD=CE， ACB=DCE=90， ACBBCD=DCEBCD， 即ACD=BCE， 在ACD 和 BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ， BE=AD，CBE= CAD=45， 因此 =1，CBE=45；w W w . （2）同（1）可得 BE=AD， =1， CBE
25、=CAD； 又ACD=90， ADC=BDF， BFD=ACD=90； 又DCE=90， C、E 、F、D 四点共圆， CFE=CDE=45； （3）同（2）可得BFA=90 ， DFE=90； 又DCE=90， C、F、D、E 四点共圆， CFD=CED=45， CFE=CFD+DFE =45+90 =135 点评： 本题综合考查了等边对等角的性质，三角形全等的判定和全等三角形的性质，四点共圆以及同弧所对的圆 周角相等的性质，需要熟练掌握并灵活运用 7已知ABC 为边长为 10 的等边三角形，D 是 BC 边上一动点： 如图 1，点 E 在 AC 上，且 BD=CE，BE 交 AD 于 F，
26、当 D 点滑动时， AFE 的大小是否变化？若不变，请求 出其度数 如图 2，过点 D 作ADG=60 与ACB 的外角平分线交于 G，当点 D 在 BC 上滑动时，有下列两个结论： DC+CG 的值为定值； DGCD 的值为定值其中有且只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明并求 出其值 考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质4387773 专题： 探究型 分析： AFE 的大小不变，其度数为 60，理由如下：由三角形 ABC 为等边三角形，得到三条边相等，三个内 角相等，都为 60，可得出 AB=BC，ABD=C，再由 BD=CE，利用 SAS 可得出三角形 ABD 与三角形
27、 BCE 全等，根据全等三角形的对应角相等可得出BAD=CBE，在三角形 ABD 中，由 ABD 为 60，得 到BAD+ADB 的度数，等量代换可得出CBE+ ADB 的度数，利用三角形的内角和定理求出 BFD 的 度数，根据对应角相等可得出AFE= BFD，可得出 AFE 的度数不变； 连接 AG，如图所示，由三角形 ABC 为等边三角形，得出三条边相等，三个内角都相等，都为 60，再 由 CG 为外角平分线，得出ACG 也为 60，由ADG 为 60，可得出 A，D，C，G 四点共圆，根据圆内 接四边形的对角互补可得出DAG 与 DCG 互补，而DCG 为 120，可得出 DAG 为 6
28、0，根据 BAD+DAC=DAC+CAG=60，利用等式的性质得到 BAD=CAG，利用 ASA 可证明三角形 ABD 与 三角形 ACG 全等，利用全等三角形的对应边相等可得出 BD=CG，由 BC=BD+DC，等量代换可得出 CG+CD=BC，而 BC=10，即可得到 DC+CG 为定值 10，得证 解答： 解：AFE 的大小不变，其度数为 60，理由为： ABC 为等边三角形， AB=BC，ABD= C=60， 在ABD 和 BCE 中， ， ABDBCE（SAS） ， BAD=CBE， 又BAD+ADB=120， CBE+ADB=120， BFD=60， 则AFE= BFD=60； 正
29、确的结论为：DC+CG 的值为定值，理由如下： 连接 AG，如图 2 所示： ABC 为等边三角形， AB=BC=AC，ABD=ACB= BAC=60， 又 CG 为 ACB 的外角平分线， ACG=60， 又ADG=60， ADG=ACG，即 A，D， C，G 四点共圆， DAG+DCG=180，又 DCG=120， DAG=60，即 DAC+CAG=60， 又BAD+DAC=60 ， BAD=GAC， 在ABD 和 ACG 中， ， ABDACG（ASA） ， DB=GC，又 BC=10， 则 BC=BD+DC=DC+CG=10，即 DC+CG 的值为定值 点评： 此题考查了等边三角形的判
30、定与性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆的条件，以及圆内接四边形的 性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键 8如图，点 A、C 分别在一个含 45的直角三角板 HBE 的两条直角边 BH 和 BE 上，且 BA=BC，过点 C 作 BE 的 垂线 CD，过 E 点作 EF 上 AE 交DCE 的角平分线于 F 点，交 HE 于 P （1）试判断PCE 的形状，并请说明理由； （2）若HAE=120，AB=3，求 EF 的长 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形4387773 专题： 计算题；证明题 分析： （1）根据PCE= DCE= 90=
31、45，求证 CPE=90，然后即可判断三角形的形状 （2）根据HEB=H=45得 HB=BE，再根据 BA=BC 和HAE=120 ，利用 ASA 求证HAECEF，得 AE=EF，又因为 AE=2AB然后即可求得 EF 解答： 解：（1）PCE 是等腰直角三角形， 理由如下： PCE= DCE= 90=45 PEC=45 PCE=PEC CPE=90 PCE 是等腰直角三角形 （2）HEB= H=45 HB=BE BA=BC AH=CE 而HAE=120 BAE=60， AEB=30 又AEF=90 CEF=120=HAE 而H= FCE=45 HAECEF（ASA ） AE=EF 又 AE
32、=2AB=23=6 EF=6 点评： 此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，解答（2）的关 键是利用 ASA 求证HAECEF，此题有一定的拔高难度，属于中档题 9如图，AD 是ABC 的角平分线，H ，G 分别在 AC， AB 上，且 HD=BD （1）求证：B 与 AHD 互补； （2）若B+2DGA=180，请探究线段 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系，并加以证明 考点： 全等三角形的判定与性质4387773 专题： 证明题 分析： （1）在 AB 上取一点 M，使得 AM=AH，连接 DM，则利用 SAS 可得出AHD AMD，从而得
33、出 HD=MD=DB，即有DMB= B，通过这样的转化可证明 B 与AHD 互补 （2）由（1）的结论中得出的AHD= AMD，结合三角形的外角可得出 DGM=GDM，可将 HD 转化为 MG，从而在线段 AG 上可解决问题 解答： 证明：（1）在 AB 上取一点 M，使得 AM=AH，连接 DM， ， AHDAMD， HD=MD，AHD= AMD， HD=DB， DB=MD， DMB=B， AMD+DMB=180， AHD+B=180， 即B 与AHD 互补 （2）由（1）AHD= AMD，HD=MD，AHD+ B=180， B+2DGA=180， AHD=2DGA， AMD=2DGM， 又
34、AMD=DGM+GDM， 2DGM=DGM+GDM，即DGM=GDM， MD=MG， HD=MG， AG=AM+MG， AG=AH+HD 点评： 本题考查了全等三角形的判定及性质，结合了等腰三角形的知识，解决这两问的关键都是通过全等图形的 对应边相等、对应角相等，将题目涉及的角或边进行转化 10如图，在等腰 RtABC 与等腰 RtDBE 中，BDE=ACB=90，且 BE 在 AB 边上，取 AE 的中点 F，CD 的 中点 G，连接 GF （1）FG 与 DC 的位置关系是 FGCD ，FG 与 DC 的数量关系是 FG= CD ； （2）若将BDE 绕 B 点逆时针旋转 180，其它条件
35、不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请 证明你的结论 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形4387773 专题： 探究型 分析： （1）证 FG 和 CD 的大小和位置关系，我们已知了 G 是 CD 的中点，猜想应该是 FGCD，FG= CD可 通过构建三角形连接 FD，FC，证三角形 DFC 是等腰直角三角形来得出上述结论，可通过全等三角形来证 明；延长 DE 交 AC 于 M，连接 FM，证明三角形 DEF 和 FMC 全等即可我们发现 BDMC 是个矩形，因 此 BD=CM=DE由于三角形 DEB 和 ABC 都是等腰直角三角形， BED=A=45，因此AEM=
36、A=45 ， 这样我们得出三角形 AEM 是个等腰直角三角形， F 是斜边 AE 的中点，因此 MF=EF，AMF=BED=45 ， 那么这两个角的补角也应当相等，由此可得出DEF= FMC，这样就构成了三角形 DEF 和 CMF 的全等的 所有条件，可得到 DF=FC，即三角形 DFC 是等腰三角形，下面证直角根据两三角形全等，我们还能得 出MFC=DFE，我们知道MFC+ CFE=90，因此DFE+ CFE=DFC=90，这样就得出三角形 DFC 是 等腰直角三角形了，也就能得出 FGCD，FG= CD 的结论了 （2）和（1）的证法完全一样 解答： 解：（1）FGCD，FG= CD （2
37、）延长 ED 交 AC 的延长线于 M，连接 FC、FD 、FM ， 四边形 BCMD 是矩形 CM=BD 又ABC 和BDE 都是等腰直角三角形， ED=BD=CM AEM=A=45， AEM 是等腰直角三角形 又 F 是 AE 的中点， MFAE，EF=MF ，EDF= MCF 在 EFD 和MFC 中 ， EFDMFC FD=FC，EFD=MFC 又EFD+ DFM=90， MFC+DFM=90 即CDF 是等腰直角三角形， 又 G 是 CD 的中点， FG= CD，FGCD 点评： 本题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键 11如图 1，ABC 中，AG BC 于点 G，
38、以 A 为直角顶点，分别以 AB、AC 为直角边，向ABC 外作等腰 Rt ABE 和等腰 RtACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P、Q （1）试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论 （2）若连接 EF 交 GA 的延长线于 H，由（1）中的结论你能判断并证明 EH 与 FH 的大小关系吗？ （3）图 2 中的ABC 与AEF 的面积相等吗？（不用证明） 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形4387773 分析： （1）根据全等三角形的判定得出ABG EAP，进而求出 AG=EP同理 AG=FQ，即 EP=FQ （2）过点 E 作 EPGA，FQ
39、GA，垂足分别为 P、Q根据全等三角形的判定和性质即可解题 （3）由（1） 、 （2）中的全等三角形可以推知ABC 与 AEF 的面积相等 解答： 解：（1）EP=FQ，理由如下： 如图 1，Rt ABE 是等腰三角形， EA=BA PEA+PAE=90， PAE+BAG=90， PEA=BAG 在EAP 与 ABG 中， ， EAPABG（AAS） ， EP=AG 同理 AG=FQ EP=FQ （2）如图 2，HE=HF 理由：过点 E 作 EPGA，FQGA，垂足分别为 P、Q 由（1）知 EP=FQ 在EPH 与 FQH 中， ， EPHFQH（AAS） HE=HF； （3）相等理由如下
40、： 由（1）知，ABGEAP，FQA AGC，则 SABG=SEAP，S FQA=SAGC 由（2）知，EPHFQH，则 SEPH=SFQH， 所以 SABC=SABG+SAGC=SEAPSEPH+SFQASFQH=SEAP+SFQA=SAEF，即 SABC=SAEF 故图 2 中的ABC 与AEF 的面积相等 w W w . 点评： 本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为 180的性质， 考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证AFQ CAG 是解题的关键 12已知如图 1：ABC 中，AB=AC ，B、C 的平分线相交于点 O，过点 O 作 E
41、FBC 交 AB、AC 于 E、F 图中有几个等腰三角形？请说明 EF 与 BE、CF 间有怎样的关系 若 ABAC，其他条件不变，如图 2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们另第 问中 EF 与 BE、CF 间的关系还存在吗？ 若ABC 中， B 的平分线与三角形外角ACD 的平分线 CO 交于 O，过 O 点作 OEBC 交 AB 于 E，交 AC 于 F如图 3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF 与 BE、CF 间的关系如何？为什么？ 考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质4387773 专题： 计算题；证明题 分析： （1）根据 EFBC，B、C 的平分线交于 O 点
42、，可得 EOB=OBC，FOC= OCB，EOB= OBE，FCO=FOC，再加上题目中给出的 AB=AC，共 5 个等腰 三角形；根据等腰三角形的性质，即可得出 EF 与 BE、CF 间有怎样的关系 （2）根据 EFBC 和B、C 的平分线交于 O 点，还可以证明出 OBE 和OCF 是等腰三角形；利用几个 等腰三角形的性质即可得出 EF 与 BE，CF 的关系 （3）EOBC 和 OB，OC 分别是ABC 与ACL 的角平分线，还可以证明出 BEO 和CFO 是等腰三角 形 解答： 解：（1）有 5 个等腰三角形，EF 与 BE、CF 间有怎样的关系是：EF=BE+CF=2BE=2CF理由
43、如下： EFBC， EOB=OBC，FOC=OCB， 又B、C 的平分线交于 O 点， EBO=OBC，FCO=OCB， EOB=OBE，FCO= FOC， OE=BE，OF=CF， EF=OE+OF=BE+CF 又 AB=AC， ABC=ACB， EOB=OBE=FCO=FOC， EF=BE+CF=2BE=2CF； （2）有 2 个等腰三角形分别是：等腰OBE 和等腰 OCF； 第一问中的 EF 与 BE，CF 的关系是：EF=BE+CF （3）有，还是有 2 个等腰三角形，EBO， OCF，EF=BE CF，理由如下： EOBC， EOB=OBC，EOC= OCG（G 是 BC 延长线上的一点） 又 OB，OC 分别是 ABC 与ACG 的角平分线 EBO=OBC，ACO= OCG， EOB=EBO， BE=OE， FCO=FOC， CF=FO， 又 EO=EF+FO， EF=BECF 点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是步骤繁 琐，属于中档题，还有第（1）中容易忽略ABC 也是等腰三角形，因此这又是一道易错题要求学生在 证明此题时一定要仔细，认真
