1、2015-2016 学年四川省自贡市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题有 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分，每小题只有一个选项符合题意） 1下列计算正确的是( ) A （a+b） 2=a2+b2B2a+3b=5ab Ca 3a2=a5 Da 6a3=a2 2若分式 有意义，则 x 的取值范围是( ) Ax3 Bx=3 Cx3 Dx3 3下列各式是完全平方式的是( ) Ax 2+2x1 Bx 2+y2Cx 2+2xy+1 D4x 2+4x+1 4一个多边形的内角和是 1260，这个多边形的边数是( ) A7 B8 C9 D10 5在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志
2、中，是轴对称图形是( ) A B C D 6下列长度的各种线段，可以组成三角形的是( ) A1，2，3 B1，5，5 C3，3，6 D3，5，1 7如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上， 将ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合，若A=75 ，则1+2=( ) A150 B210 C105 D75 8如图，在四边形 ABCD 中，BA=BC，AC 是 DAE 的平分线，AD EC， AEB=110， 的度数是( ) A20 B30 C35 D40 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共计 18 分） 9分解因式：ax 216ay
3、2=_ 10若分式 的值为零，则 x 的值为_ 11等腰三角形的周长为 13cm，其中一边长为 4cm，则该等腰三角形的底边为 _ 12若 ab=3， ab=2，则 a2+b2 的值为_ 13如图，已知方格纸中是 4 个相同的正方形，则1+ 2+3=_度 14如图，直角坐标系中，点 A（2，2） 、B（0，1） ，点 P 在 x 轴上，且PAB 是等腰三 角形，则满足条件的点 P 共_ 个 三、解答题（本题有 5 个小题，每小题 5 分，共计 25 分） 15计算：（a 3b） 2（ 3a5b2） 16如图，线段 AD 和 BC 相交于点 O，ABBC，D=55 ，B=45求 AOC 的度数
4、17解方程： 1= 18雨伞的中截图如图所示，伞背 AB=AC，支撑杆 OE=OF，AE= AB，AF= AC，当 O 沿 AD 滑动时，雨伞开闭；问雨伞开闭过程中，BEO 与CFO 有何关系？说明理由 19先化简：（x ） ，再任选一个你喜欢的数 x 代入求值 四、解答题（本题有 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分） 20如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为 A（2，3） ，B（3，1） ， C（2，2） （1）请在图中作出ABC 关于 y 轴的轴对称图形 DEF（A ，B 、C 的对称点分别是 D、E，F） ，并直接写出 D、E、F 的坐标 （2）求ABC 的面积 2
5、1如图，已知AOB，一块 30 度角的直角三角形（有刻度） 请只用这块三角板作出 AOB 的平分线（保留作图痕迹） ，简要写出作图步骤 22如图，在ABC 中，CD AB 于点 D，BE AC 于点 E，CD=BE ，BE 与 CD 相交于点 O连结 OA，试判断直线 OA、BC 的位置关系，并说明理由 五、解答下列各题（本题共有 2 个小题，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，共计 15 分） 23某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 1000 元购进该款铅笔，但这 次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次多了 50 支 （1）求第一次每支铅笔的进价是
6、多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于 500 元，问每只售价 值至少是多少元？ 24 （1）已知ABC 中， A=90， B=67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等 腰三角形 （请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不 必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知ABC 中， C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两 个等腰三角形，请探求ABC 与C 之间的关系 2015-2016 学年四川省自贡市八年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（本题有 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分，
7、每小题只有一个选项符合题意） 1下列计算正确的是( ) A （a+b） 2=a2+b2B2a+3b=5ab Ca 3a2=a5 Da 6a3=a2 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式 【分析】根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂 的除法底数不变指数相减，可得答案 【解答】解：A、和的平方等于平方和加积的二倍，故 A 错误； B、不是同类项不能合并，故 B 错误； C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 C 正确； D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算
8、是解题关键 2若分式 有意义，则 x 的取值范围是( ) Ax3 Bx=3 Cx3 Dx3 【考点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0；分析原分式可得关系式 3x0，解可得答 案 【解答】解：根据题意可得 3x0； 解得 x3； 故选 A 【点评】判断一个分式是否有意义，应考虑分母上字母的取值，字母的取值不能使分母为 零 3下列各式是完全平方式的是( ) Ax 2+2x1 Bx 2+y2Cx 2+2xy+1 D4x 2+4x+1 【考点】完全平方式 【分析】依据完全平方公式进行判断即可 【解答】解：A、x 2+2x1 不符合完全平方式的特点，不是完全平方式，故 A 错
9、误； B、缺少中间项 2xy，不是完全平方式，故 B 错误； C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式，故 C 错误； D、4x 2+4x+1=（2x+1 ） 2，是完全平方式，故 D 正确 故选：D 【点评】本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们 积的 2 倍，是解题的关键 4一个多边形的内角和是 1260，这个多边形的边数是( ) A7 B8 C9 D10 【考点】多边形内角与外角 【专题】常规题型 【分析】根据多边形的内角和公式列式求解即可 【解答】解：设这个多边形的边数是 n，则 （n2） 180=1260， 解得 n=9 故选 C 【点评】本题考查了
10、多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题，比较简 单 5在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是( ) A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意 故选 B 【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合 6下列长度的各种线段，可以组成三角形的是( ) A
11、1，2，3 B1，5，5 C3，3，6 D3，5，1 【考点】三角形三边关系 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可 【解答】解：A、2+1=3，不能构成三角形； B、5+1 5，能构成三角形； C、3+3=6，不能构成三角形； D、1+35，不能构成三角形 故选 B 【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于 最长那条就能够组成三角形 7如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上， 将ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合，若A=75 ，则1+2=( ) A150 B210 C105 D75 【
12、考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题） 【分析】先根据图形翻折变化的性质得出ADE ADE，AED=AED ，ADE= ADE，再根据三角形内角和定理求出 AED+ADE 及 AED+ADE 的度数，然后根据平角的性质即可求出答案 【解答】解：ADE 是ABC 翻折变换而成， AED=AED，ADE= ADE，A= A=75， AED+ADE=AED+ADE=18075=105， 1+2=3602105=150 故选 A 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折 叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 8如图，在四边形 ABCD 中
13、，BA=BC，AC 是 DAE 的平分线，AD EC， AEB=110， 的度数是( ) A20 B30 C35 D40 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质 【分析】由已知 AC 是DAE 的平分线可推出EAC= DAC，由 DACE 可推出 ECA=DAC，所以得到 EAC=ECA，则 AE=CE，又已知AEB= CEB，BE=BE ，因此 AEBCEB，问题得解 【解答】解：AC 是 DAE 的平分线， DAC=CAE= 又 DAEC， DAC=ACE=， CAE=ACE=， AE=CE，AEC=180 2， 在AEB 和CEB 中， ， AEBCEB（SSS） ， AEB=CEB=1
14、10， AEC=360220=140，即 1802=140 解得 =20 故选 A 【点评】此题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定和性质，解答此题的关键 是由已知先证明EAC= ECA，AE=CE ，再证明AEBCEB 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共计 18 分） 9分解因式：ax 216ay2=a（x+4y） （x4y） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】计算题 【分析】原式提取公因式 a 后，利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式=a（x+4y） （x4y） 故答案为：a（x+4y） （x4y） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟
15、练掌握因式分解的方法是解本题 的关键 10若分式 的值为零，则 x 的值为 3 【考点】分式的值为零的条件 【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到 3|x|=0 且 x+30，从而 得到 x 的值 【解答】解：依题意得：3|x|=0 且 x+30， 解得 x=3 故答案是：3 【点评】本题考查了分式的值为零的条件若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1） 分子为 0；（2）分母不为 0这两个条件缺一不可 11等腰三角形的周长为 13cm，其中一边长为 4cm，则该等腰三角形的底边为 4cm 或 5cm 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】分 4cm 长的边是腰
16、和底边两种情况进行讨论即可求解 【解答】解：当长是 4cm 的边是底边时，三边为 4cm，4.5cm，4.5cm，等腰三角形成立； 当长是 4cm 的边是腰时，底边长是：13 44=5cm，等腰三角形成立 故底边长是：4cm 或 5cm 故答案是：4cm 或 5cm 【点评】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用 三角形的三边关系定理，是解题的关键 12若 ab=3， ab=2，则 a2+b2 的值为 13 【考点】完全平方公式 【分析】将 ab=3 两边同时平方得到 a22ab+b2=9，然后将 ab=2 代入计算即可 【解答】解：ab= 3， a22ab+b
17、2=9 将 ab=2 代入得；a 2+b24=9 a2+b2=13 故答案为：13 【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，平方法的应用是解题的关键 13如图，已知方格纸中是 4 个相同的正方形，则1+ 2+3=135 度 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】网格型 【分析】根据对称性可得1+ 3=90，2=45 【解答】解：观察图形可知，1 所在的三角形与角 3 所在的三角形全等， 1+3=90， 又2=45， 1+2+3=135 【点评】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定充分利用正方形的特殊性质来找 到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题 14如图，直角坐标系中，
18、点 A（2，2） 、B（0，1） ，点 P 在 x 轴上，且PAB 是等腰三 角形，则满足条件的点 P 共 4 个 【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质 【分析】由 AB=AP，可得以 A 为圆心，AB 为半径画圆，交 x 轴有二点 P1（1，0） ， P2（3，0） ； 由 BP=AB，可得以 B 为圆心，BA 为半径画圆，交 x 轴有二点 P3（2，0） ， （2，0）不能 组成ABP ， 由 AP=BP，可得 AB 的垂直平分线交 x 轴一点 P4（PA=PB ） 【解答】解：如图，点 A（2，2） 、B（0，1） ， 以 A 为圆心，AB 为半径画圆，交 x 轴有二点 P1（1，0
19、） ，P 2（3，0） ，此时（AP=AB ） ； 以 B 为圆心，BA 为半径画圆，交 x 轴有二点 P3（2，0） ， （2，0）不能组成ABP，故 舍去，此时（BP=AB） ； AB 的垂直平分线交 x 轴一点 P4（PA=PB） ，此时（AP=BP） ； 设此时 P4（x，0） ， 则（x+2） 2+4=x2+1， 解得：x= ， P4（ ，0） 符合条件的点有 4 个 故答案为 4 【点评】此题考查了等腰三角形的判定此题那难度适中，注意掌握数形结合思想与分类 讨论思想的应用 三、解答题（本题有 5 个小题，每小题 5 分，共计 25 分） 15计算：（a 3b） 2（ 3a5b2）
20、【考点】整式的除法 【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得单项式的除法，根据单项式的除法，可得答 案 【解答】解：原式=（a 6b2）（ 3a5b2） = a 【点评】本题考查了整式的除法，积的乘方等于乘方的积得出单项式的除法是解题关键， 又利用了单项式的除法 16如图，线段 AD 和 BC 相交于点 O，ABBC，D=55 ，B=45求 AOC 的度数 【考点】平行线的性质 【分析】由平行线的性质求得A= D=55，然后由三角形外角性质定理来求AOC 的度 数 【解答】解：如图，AB BC，D=55， A=D=55， 又B=45， AOC=A+B=100，即AOC=100 【点评】此题主要考
21、查了平行线的性质定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相 等 定理 2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补 定理 3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 17解方程： 1= 【考点】解分式方程 【专题】计算题；分式方程及应用 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得 到分式方程的解 【解答】解：去分母得：x（x+3）x 2+9=15， 整理得：3x=6， 解得：x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化 为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 18雨伞的中
22、截图如图所示，伞背 AB=AC，支撑杆 OE=OF，AE= AB，AF= AC，当 O 沿 AD 滑动时，雨伞开闭；问雨伞开闭过程中，BEO 与CFO 有何关系？说明理由 【考点】全等三角形的应用 【分析】利用全等三角形的判定方法得出AEOAFO （SSS） ，进而得出 BEO=CFO 【解答】解：BEO= CFO， 理由：AB=AC ，AE= AB，AF= AC， AE=AF， 在AEO 和 AFO 中 ， AEOAFO（SSS ） ， AEO=AFO， BEO=CFO 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确得出AEOAFO 是解题关键 19先化简：（x ） ，再任选一个你喜欢的数 x
23、 代入求值 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式=x2，然后 x 取一个使原分式有意义的一个值代入计算即可 【解答】解：原式= = =x2， 当 x=2016 时，原式=2016 2=2014 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入 求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分 母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式 四、解答题（本题有 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分） 20如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为 A（2，
24、3） ，B（3，1） ， C（2，2） （1）请在图中作出ABC 关于 y 轴的轴对称图形 DEF（A ，B 、C 的对称点分别是 D、E，F） ，并直接写出 D、E、F 的坐标 （2）求ABC 的面积 【考点】作图-轴对称变换 【专题】作图题 【分析】 （1）根据网格结构找出点 A、B、C 关于 y 轴对称的对应点 D、E、F 的位置，然 后顺次连接即可； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解 【解答】解：（1）DEF 如图所示， D（2，3） ，E（ 3，1） ，F（2，2） ； （2）ABC 的面积=5 5 45 53 12 =25107.51
25、=2518.5 =6.5 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对 应点的位置是解题的关键， （2）网格图中三角形的面积的求法需熟练掌握并灵活运用 21如图，已知AOB，一块 30 度角的直角三角形（有刻度） 请只用这块三角板作出 AOB 的平分线（保留作图痕迹） ，简要写出作图步骤 【考点】作图基本作图 【分析】利用直角三角板的 MN 边与 AO 重合，N 点与 O 点重合，再沿 MF 边画射线，利 用直角三角板的 MN 边与 BO 重合，N 点与 O 点重合，再沿 MF 边画射线，两条射线交于 点 E，再画射线 OE 即可 【解答】解：（1）利用直角三
26、角板的 MN 边与 AO 重合， N 点与 O 点重合，再沿 MF 边 画射线； （2）利用直角三角板的 MN 边与 BO 重合，N 点与 O 点重合，再沿 MF 边画射线， （3）两条射线交于点 E，再画射线 OE 即可， 射线 OE 就是 AOB 的平分线 【点评】此题主要考查了角平分线的画法，以及全等三角形的性质，关键是掌握两三角形 全等，对应角相等 22如图，在ABC 中，CD AB 于点 D，BE AC 于点 E，CD=BE ，BE 与 CD 相交于点 O连结 OA，试判断直线 OA、BC 的位置关系，并说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 【分析】利用
27、AAS 证明ADCAEB，根据全等得出 AE=AD，ABO= ACO，求出 BD=CE，证DBOECO，推出 BO=CO，即可得出答案 【解答】解：OABC ， 理由是：CD AB 于点 D，BE AC 于点 E， AEB=ADC=90， 在ADC 和 AEB 中， ， ADCAEB（AAS ） ， AE=AD，ABO= ACO， AB=AC， ABAD=ACAE， 即 DB=EC， 在DBO 和 ECO 中， ， DBOECO（AAS ） ， BO=CO， 点 O 在 BC 的垂直平分线上， AB=AC， 点 A 在 BC 的垂直平分线上， AO 垂直平分 BC 【点评】此题主要考查了全等三
28、角形的判定与性质，线段垂直平分线性质的应用，解此题 的关键是推出 AB=AC 和 OB=OC 五、解答下列各题（本题共有 2 个小题，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，共计 15 分） 23某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 1000 元购进该款铅笔，但这 次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次多了 50 支 （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于 500 元，问每只售价 值至少是多少元？ 【考点】分式方程的应用 【分析】 （1）设第一次每支铅笔进价为 x 元，则第二次每支铅笔进价为
29、x 元，根据第二次 购进数量比第一次多了 50 支可列出分式方程解答； （2）设售价为 y 元，求出利润表达式，然后列不等式解答 【解答】解：（1）设第一次每支铅笔进价为 x 元，由题意得： =50， 解得：x=4， 经检验：x=4 是原分式方程的解 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元 （2）设售价为 y 元，第一次每支铅笔的进价为 4 元，则第二次每支铅笔的进价为 0.8 =5（元） ，由题意得： （y4）+ （y 4）500， 解得 y 答：每支售价至少是 元 【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数 量关系并列出方程是解题的关键最后不要忘记检验 24
30、 （1）已知ABC 中， A=90， B=67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等 腰三角形 （请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不 必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知ABC 中， C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两 个等腰三角形，请探求ABC 与C 之间的关系 【考点】等腰三角形的性质 【专题】压轴题 【分析】 （1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性 质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角 度，然后画上 （2）在（1）的基础上，由“
31、特殊”到“ 一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各 种情形列方程，可得出角与角之间的关系 【解答】解：（1）如图（共有 2 种不同的分割法） （2）设ABC=y，C=x ，过点 B 的直线交边 AC 于 D在 DBC 中， 若 C 是顶角，如图 1，则 CBD=CDB=90 x，A=180xy 而ADB90，此时只能有A= ABD，即 180xy=y（90 x） 即 3x+4y=540，即 ABC=135 C； 若 C 是底角， 第一种情况：如图 2，当 DB=DC 时，则 DBC=x， ABD 中，ADB=2x，ABD=y x 由 AB=AD，得 2x=yx，此时有 y=3x，即AB
32、C=3C 由 AB=BD，得 180xy=2x，此时 3x+y=180，即ABC=180 3C 由 AD=BD，得 180xy=yx，此时 y=90，即 ABC=90， C 为小于 45的任意锐角 第二种情况，如图 3，当 BD=BC 时，BDC=x， ADB=180x90，此时只能有 AD=BD， 从而A=ABD= CC，这与题设 C 是最小角矛盾 当 C 是底角时，BD=BC 不成立 综上，ABC 与C 之间的关系是： ABC=135 C 或ABC=180 3C 或ABC=3C 或 ABC=90，C 是小于 45的任意角 【点评】本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索本问对学 生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能 力都有较高的要求 第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“ 一般”， “分类讨论”把直角三角形分成两个等 腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系本题不仅趣味性强，创造 性强，而且渗透了由“特殊” 到“ 一般”、 “分类讨论”、 “方程思想”、 “转化思想”等数学思想，是 一道不可多得的好题
