1、2014-2015 学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ） A 线段 B 角 C 等腰三角形 D 直角三角形 2当分式 的值为零时，x 的值为（ ） A 0 B 2 C 2 D 2 3若等腰三 角形的两内角度数比为 1：4，则它的顶角为（ ）度 A 36 或 144 B 20 或 120 C 120 D 20 4下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A a（x+y）=ax+ay B x 24x+4=x（x4）+4 C 10x 25x=5x（2x1） D x 216+3x=（x4） （x
2、+4）+3x 5下列计算错误的是（ ） A 5a 3a 3=4a3 B （a 2b） 3=a6b3 C （ab） 3（ba） 2=（ab） 5 D 2 m3n=6m+n 6已知 xm=6，x n=3，则的 x2mn 值为（ ） A 9 B C 12 D 7若代数式 的值是负数，则 x 的取值范围是（ ） A x B x C x D x 8一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期 1 天，如果乙队单独做， 要超过规定日期 4 天，现在由甲、乙两队共做 3 天，剩下工程由乙队单独做，刚好在规定 日期完成，则规定日期为（ ） A 6 天 B 8 天 C 10 天 D 7.5 天 9如图
3、，在ABE 中，A=105，AE 的垂直平分线 MN 交 BE 于点 C，且 AB+BC=BE，则B 的度数是（ ） A 45 B 50 C 55 D 60 10如图，P 为AOB 内一定点，M、N 分别是射线 OA、OB 上一点，当PMN 周长最小时， OPM=50，则AOB=（ ） A 40 B 45 C 50 D 55 二、填空题：（每题 3 分，共 18 分） 11若 xy=5，xy=6，则 x2yxy 2= 12计算：（2m+3n） （3n2m）= 13如图，ABC 中，ACB=90，CD 是高，若A=30，BD=1，则 AD= 14若 ，则 = 15观察：l3+1=2 2 24+1
4、=32 35+1=42 46+1=52， 请把你发现的规律用含正整数 n（n2）的等式表示为 （n=2 时对应第 1 个 式子，） 16在平面直角坐标系中，A（4，0） ，B（0，4） ，D 在第一象限，且 DO=DB，DOA 为等腰 三角形，则OBD 的度数为 三、解答题（共 72 分） 17解分式方程： 18 （1）分解因式：（p4） （p+1）+3p （2）利用因式分解计算：755 2255 2 19如图，在ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上一点，B=30，DAB=45 （1）求DAC 的度数； （2）求证：DC=AB 20计算 （1） （2） 21已知 x+ =4，求（1）x
5、2+ ；（2） （x2） 2 22某次动车平均提速 50km/h用相同的时间，动车提速前行驶 150km，提速后比提速前 多行驶 50km，求动车提速后的平均速度 23如图 1，P 为等边ABC 的边 AB 上一点，Q 为 BC 延长线上一点，且 PA=CQ，连 PQ 交 AC 边于 D （1）证明：PD=DQ （2）如图 2，过 P 作 PEAC 于 E，若 AB=2，求 DE 的长 24若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个 四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形 （1）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=120，C=
6、75，BD 平分ABC求证： BD 是梯形 ABCD 的和谐线； （2）如图 2，在 1216 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC，点 ABC 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形 ABCD 中，AB=AD=BC，BAD=90，AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求BCD 的度 数 25四边形 ABCD 是由等边ABC 和顶角为 120的等腰ABD 拼成，将一个 60角顶点放 在 D 处，将 60角绕 D 点旋转，该 60角两边分别交直线 BC、AC 于
7、 M、N交直线 AB 于 E、F 两点， （1）当 E、F 分别在边 AB 上时（如图 1） ，求证：BM+AN=MN； （2）当 E、F 分别在边 BA 的延长线上时如图 2，求线段 BM、AN、MN 之间又有怎样的数量 关系 ； （3）在（1）的条件下，若 AC=5，AE=1，求 BM 的长 2014-2015 学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ） A 线段 B 角 C 等腰三角形 D 直角三角形 考点： 轴对称图形 分析： 根据轴对称图形的概念求解 解答： 解：线段、角、
8、等腰三角形一定为轴对称图形， 直角三角形不一定为轴对称图形 故选 D 点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对 称轴折叠后可重合 2当分式 的值为零时，x 的值为（ ） A 0 B 2 C 2 D 2 考点： 分式的值为零的条件 专题： 计算题 分析： 要使分式的值为 0，必须使分式分子的值为 0，并且分母的值不为 0 解答： 解：|x|2=0， x=2， 而 x=2 时，分母 x2=22=40； x=2 时分母 x2=0，分式没有意义 故选 C 点评： 要注意分母的值一定不能为 0，分母的值是 0 时分式没有意义 3若等腰三角形的两内角度数比为 1：4
9、，则它的顶角为（ ）度 A 36 或 144 B 20 或 120 C 120 D 20 考点： 等腰三角形的性质 分析： 设两个角分别是 x，4x，根据三角形的内角和定理分情况进行分析，从而可求得顶 角的度数 解答： 解：设两个角分别是 x，4x 当 x 是底角时，根据三角形的内角和定理，得 x+x+4x=180，解得 x=30，4x=120， 即底角为 30，顶角为 120； 当 x 是顶角时，则 x+4x+4x=180，解得 x=20，从而得到顶角为 20，底角为 80； 所以该三角形的顶角为 20或 120 故选：B 点评： 本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数
10、，做题时要注 意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键已知中若有比出现，往往根 据比值设出各部分，利用部分和列式求解 4下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A a（x+y）=ax+ay B x 24x+4=x（x4）+4 C 10x 25x=5x（2x1） D x 216+3x=（x4） （x+4）+3x 考点： 因式分解的意义 专题： 因式分解 分析： 根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解 解答： 解：A、是多项式乘法，故 A 选项错误； B、右边不是积的形式，x 24x+4=（x2） 2，故 B 选项错误； C、提公因式法，故 C
11、选项正确； D、右边不是积的形式，故 D 选项错误； 故选：C 点评： 这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断 5下列计算错误的是（ ） A 5a 3a 3=4a3 B （a 2b） 3=a6b3 C （ab） 3（ba） 2=（ab） 5 D 2 m3n=6m+n 考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法 分析： 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解 解答： 解：A、5a 3a 3=4a3，计算正确，故本选项错误； B、 （a 2b） 3=a6b3，计算正确，故本选项错误； C、 （ab） 3（ba） 2=（ab） 5，计算 正确，故本选项错误； D、2 m3n6
12、m+n，计算错误，故本选项正确 故选 D 点评： 本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等知识，掌握运算 法则是解答本题的关键 6已知 xm=6，x n=3，则的 x2mn 值为（ ） A 9 B C 12 D 考点： 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方 分析： 根据同底数幂的除法的性质的逆用和幂的乘方的性质计算即可 解答： 解：x m=6，x n=3， x 2mn =（x m） 2xn=623=12 故选 C 点评： 本题考查了同底数的幂的除法，幂的乘方的性质，把原式化成（x m） 2xn是解题 的关键 7若代数式 的值是负数，则 x 的取值范围是（ ） A x B x C
13、 x D x 考点： 分式的值 专题： 计算题 分析： 根据分式的值为负数，求出 x 的范围即可 解答： 解：根据题意得： 0，即 5x+20， 解得：x 故选 B 点评： 此题考查了分式的值，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键 8一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期 1 天，如果乙队单独做， 要超过规定日期 4 天，现在由甲、乙两队共做 3 天，剩下工程由乙队单独做，刚好在规定 日期完成，则规定日期为（ ） A 6 天 B 8 天 C 10 天 D 7.5 天 考点： 分式方程的应用 专题： 工程问题 分析： 首先设工作总量为 1，未知的规定日期为 x则甲单独做需 x+1
14、天，乙队需 x+4 天由工作总量=工作时间工作效率这个公式列方程易求解 解答： 解：设工作总量为 1，规定日期为 x 天，则若单独做，甲队需 x+1 天，乙队需 x+4 天，根据题意列方程得 3（ + ）+ =1， 解方程可得 x=8， 经检验 x=8 是分式方程的解， 故选 B 点评： 本题涉及分式方程的应用，难度中等考生需熟记工作总量=工作时间工作效率 这个公式 9如图，在ABE 中，A=105，AE 的垂直平分线 MN 交 BE 于点 C，且 AB+BC=BE，则B 的度数是（ ） A 45 B 50 C 55 D 60 考点： 线段垂直平分线的性质 分析： 首先连接 AC，由 AE 的
15、垂直平分线 MN 交 BE 于点 C，可得 AC=EC，又由 AB+BC=BE， 易证得 AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得 BAE=BAC+CAE=1804E+E=105，继而求得答案 解答： 解：连接 AC， MN 是 AE 的垂直平分线， AC=EC， CAE=E， AB+BC=BE，BC+EC=BE， AB=EC=AC， B=ACB， ACB=CAE+E=2E， B=2E， BAC=180BACB=1804E， BAE=BAC+CAE=1804E+E=105， 解得：E=25， B=2E=50 故选 B 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性 质、等腰三角形的性质
16、以及三角形内角和定 理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 10如图，P 为AOB 内一定点，M、N 分别是射线 OA、OB 上一点，当PMN 周长最小时， OPM=50，则AOB=（ ） A 40 B 45 C 50 D 55 考点： 轴对称-最短路线问题 分析： 作 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P 2连接 OP1，OP 2则当 M，N 是 P1P2与 OA，OB 的 交点时，PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：OP 1M=OPM=50， OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解 解答： 解：作 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P 2连
17、接 OP1，OP 2则当 M，N 是 P1P2与 OA，OB 的交点时，PMN 的周长最短，连接 P1O、P 2O， PP 1关于 OA 对称， P 1OP=2MOP，OP 1=OP，P 1M=PM，OP 1M=OPM=50 同理，P 2OP=2NOP，OP=OP 2， P 1OP2=P 1OP+P 2OP=2（MOP+NOP）=2AOB，OP 1=OP2=OP， P 1OP2是等腰三角形 OP 2N=OP 1M=50， P 1OP2=180250=80， AOB=40， 故选 A 点评： 本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得P 1OP2是等腰三角形是解题的关 键 二、填空题：（每题 3
18、分，共 18 分） 11若 xy=5，xy=6，则 x2yxy 2= 30 考点： 因式分解-提公因式法 分析： 将原式首先提取公因式 xy，进而分解因式，将已知代入求出即可 解答： 解：xy=5，xy=6， x 2yxy 2=xy（xy）=65=30 故答案为：30 点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键 12计算：（2m+3n） （3n2m）= 9n 24m 2 考点： 平方差公式 专题： 计算题 分析： 先整理得到原式=（3n+2m） （3n2m） ，然后利用平方差公式计算 解答： 解：原式=（3n+2m） （3n2m） =9n24m 2 故答案为 9n24m
19、 2 点评： 本题考查了平方差公式：（a+b） （ab）=a 2b 2 13如图，ABC 中，ACB=90，CD 是高，若A=30，BD=1，则 AD= 3 考点： 含 30 度角的直角三角形 分析： 求出BCD=30，根据含 30角的直角三角形的性质求出 BC=2，求出 AB=4，即可 得出答案 解答： 解：ABC 中，ACB=90，A=30， B=60， CD 是高， CDB=90， BCD=30， BD=1， BC=2BD=2， 在ACB 中，ACB=90，A=30， AB=2BC=4， AD=ABBD=41=3， 故答案为：3 点评： 本题考查了三角形的内角和定理，含 30 度角的直角
20、三角形的性质的应用，解此题 的关键是得出 BC=2BD 和 AB=2BC，难度适中 14若 ，则 = 7 考点： 分式的化简求值 专题： 计算题 分析： 已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到 xy=2 xy，原式 变形后代入计算即可求出值 解答： 解： = =2， xy=2xy， 则原式= = =7 故答案为：7 点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 15观察：l3+1=2 2 24+1=32 35+1=42 46+1=52， 请把你发现的规律用含正整数 n（n2）的等式表示为 （n1） （n+1）+1=n 2（n2，且 n 为正整数） （n=2
21、 时对应第 1 个式子，） 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 观察不难发现，比 n 小 1 的数与比 n 大 1 的数的积 加上 1 的和等于 n 的平方，依 此可以求解 解答： 解：n=2 时，l3+1=2 2，即（21） （2+1）+1=2 2， n=3 时，24+1=3 2，即（31） （3+1）+1=3 2， n=4 时，35+1=4 2，即（41） （4+1）+1=4 2， n=5 时，46+1=5 2，即（51） （5+1）+1=5 2， n=n 时， （n1） （n+1）+1=n 2， 故答案为（n1） （n+1）+1=n 2（n2，且 n 为正整数） 点评： 此题主要考查了
22、数字变化规律，根据已知数据得出数据的变与不变是解题关键 16在平面直角坐标系中，A（4，0） ，B（0，4） ，D 在第一象限，且 DO=DB，DOA 为等腰 三角形，则OBD 的度数为 75 考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质 分析： 根据DOA 为等腰三角形，分三种情况：OD=AD；OD=OAOA=OD 分别求得各边 的长度，再利用三角函数即可得出答案 解答： 解：如图， D 在第一象限，且 DO=DB，DOA 为等腰三角形， 点 D 分三种情况：OD 1=AD1；OD 2=OA；OA=OD 3； OBD 1=45， OBD 2=60， OBD 3=15+60=75， 故答案为：75
23、 点评： 本题考查了等腰三角形的判定以及坐标与图形的性质，熟练利用等腰三角形的性质 是解题关键 三、解答题（共 72 分） 17解分式方程： 考点： 解分式方程 专题： 计算题 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式 方程的解 解答： 解：去分母得 ：x1+2x+2=7， 移项合并得：3x=6， 解得：x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化 为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 18 （1）分解因式：（p4） （p+1）+3p （2）利用因式分解计算：755 2
24、255 2 考点： 因式分解的应用 分析： （1）首先利用整式的乘法计算，进一步整理后分解因式即可； （2）利用平方差公式因式分解计算即可 解答： 解：（1）原式=p 23p4+3p =p24 =（p+2） （p2） ； （2）原式=（755+255）（755255） =1010500 =50005000 点评： 此题考查因式分解的运用，掌握平方差公式是解决问题的关键 19如图，在ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上一点，B=30，DAB=45 （1）求DAC 的度数； （2）求证：DC=AB 考点： 等腰三角形的性质 专题： 计算题 分析： （1）由 AB=AC，根据等腰三角形的两底角
25、相等得到B=C=30，再根据三角形 的内角和定理可计算出BAC=120，而DAB=45，则DAC=BACDAB=12045； （2）根据三角形外角性质得到ADC=B+DAB=75，而由（1）得到DAC=75，再根 据等腰三角形的判定可得 DC=AC，这样即可得到结论 解答： （1）解：AB=AC， B=C=30， C+BAC+B=180， BAC=1803030=120， DAB=45， DAC=BACDAB=12045=75； （2）证明：DAB=45， ADC=B+DAB=75， DAC=ADC， DC=AC， DC=AB 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相
26、等；有两个角相 等的三角形为等腰三角形也考查了三角形的内角和定理 20计算 （1） （2） 考点： 分式的加减法；分式的乘除法 专题： 计算题 分析： （1）原式约分即可得到结果； （2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果 解答： 解：（1）原式= =2； （2）原式= + = = 点评： 此题考查了分式的加减法，以及分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关 键 21已知 x+ =4，求（1）x 2+ ；（2） （x2） 2 考点： 分式的混合运算；完全平方公式 专题： 计算题 分析： （1）原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式
27、化简，把已知等式变形后代入计算即可求出值 解答： 解：（1）把 x+ =4 两边平方得：（x+ ） 2=x2+ +2=16，即 x2+ =14； （2）把 x+ =4，去分母得：x 24x+1=0，即 x24x=1， 原式=x 24x+4=1+4=3 点评： 此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关 键 22某次动车平均提速 50km/h用相同的时间，动车提速前行驶 150km，提速后比提速前 多行驶 50km，求动车提速后的平均速度 考点： 分式方程的应用 分析： 设动车提速后的平均速度为 xkm/h，则提速前的平均速度为（x50）km/h，根据 相同的时间，
28、动车提速前行驶 150km，提速后比提速前多行驶 50km，列方程求解 解答： 解：设动车提速后的平均速度为 xkm/h，则提速前的平均速度为（x50）km/h， 由题意得， = ， 解得：x=200， 经检验，x=200 是原分式方程的解，且符合题意 答：动车提速后的平均速度为 200km/h 点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适 的等量关系，列方程求解，注意检验 23如图 1，P 为等边ABC 的边 AB 上一点，Q 为 BC 延长线上一点，且 PA=CQ，连 PQ 交 AC 边于 D （1）证明：PD=DQ （2）如图 2，过 P 作 PEAC
29、 于 E，若 AB=2，求 DE 的长 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 分析： （1）利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可； （2）过 P 作 PFBC 交 AC 于 F，得出等边三角形 APF，推出 AP=PF=QC，根据等腰三角形性 质求出 EF=AE，证PFDQCD，推出 FD=CD，推出 DE= AC 即可 解答： （1）证明：如图 1，过点 P 作 PFBC 交 AC 于点 F； PFBC， APFABC， ABC 是等边三角形， APF 也是等边三角形， APF=BCA=60，AP=PF=AF=CQ， FDP=DCQ，FDP=CDQ， 在PDF 和Q
30、DC 中， ， PDFQDC（AAS） ， PD=DQ； （2）解：如图 2，过 P 作 PFBC 交 AC 于 F PFBC，ABC 是等边三角形， PFD=QCD，APF 是等边三角形， AP=PF=AF， PEAC， AE=EF， AP=PF，AP=CQ， PF=CQ 在PFD 和QCD 中， ， PFDQCD（AAS） ， FD=CD， AE=EF， EF+FD=AE+CD， AE+CD=DE= AC， AC=2， DE=1 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性 质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此
31、题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中 24若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个 四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形 （1）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=120，C=75，BD 平分ABC求证： BD是梯形 ABCD 的和谐线； （2）如图 2，在 1216 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC，点 ABC 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形 ABCD
32、中，AB=AD=BC，BAD=90，AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求BCD 的度 数 考点： 四边形综合题 专题： 压轴题 分析： （1）要证明 BD 是四边形 ABCD 的和谐线，只需要证明ABD 和BDC 是等腰三角形 就可以； （2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要 D 在 中点时构成的四边形 ABDC 就是和谐四边形；连接 BC，在BAC 外作一个以 AC 为腰的等腰三角形 ACD，构成的四边形 ABCD 就是和谐四边形， （3）由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线，可以得出ACD 是等腰三角形，从图 4，图 5，图 6 三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和
33、 30的直角三角形性质就可以求出 BCD 的度数 解答： 解：（1）ADBC， ABC+BAD=180，ADB=DBC BAD=120， ABC=60 BD 平分ABC， ABD=DBC=30， ABD=ADB， ADB 是等腰三角形 在BCD 中，C=75，DBC=30， BDC=C=75， BCD 为等腰三角形， BD 是梯形 ABCD 的和谐线； （2）由题意作图为：图 2，图 3 （3）AC 是四边形 ABCD 的和谐线， ACD 是等腰三角形 AB=AD=BC， 如图 4，当 AD=AC 时， AB=AC=BC，ACD=ADC ABC 是正三角形， BAC=BCA=60 B AD=9
34、0， CAD=30， ACD=ADC=75， BCD=60+75=135 如图 5，当 AD=CD 时， AB=AD=BC=CD BAD=90， 四边形 ABCD 是正方形， BCD=90 如图 6，当 AC=CD 时，过点 C 作 CEAD 于 E，过点 B 作 BFCE 于 F， AC=CDCEAD， AE= AD，ACE=DCE BAD=AEF=BFE=90， 四边形 ABFE 是矩形 BF=AE AB=AD=BC， BF= BC， BCF=30 AB=BC， ACB=BAC ABCE， BAC=ACE， ACB=ACE= BCF=15， BCD=153=45 点评： 本题是一道四边形的
35、综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的 判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30的直角三角形的性质的运 用解答如图 6 这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键 25四边形 ABCD 是由等边ABC 和顶角为 120的等腰ABD 拼成，将一个 60角顶点放 在 D 处，将 60角绕 D 点旋转，该 60角两边分别交直线 BC、AC 于 M、N交直线 AB 于 E、F 两点， （1）当 E、F 分别在边 AB 上时（如图 1） ，求证：BM+AN=MN； （2）当 E、F 分别在边 BA 的延长线上时如图 2，求线段 BM、AN、MN 之间又有怎样的数量 关
36、系 MN=BMAN ； （3）在（1）的条件下，若 AC=5，AE=1，求 BM 的长 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题： 几何综合题 分析： （1）把DBM 绕点 D 逆时针旋转 120得到DAQ，根据旋转的性质可得 DM=DQ，AQ=BM，ADQ=BDM，然后求出QDN=MDN，利用“边角边”证明MND 和QND 全等，根据全等三角形对应边相等可得 MN=QN，再根据 AQ+AN=QN 整理即可得证； （2）把DAN 绕点 D 顺时针旋转 120得到DBP，根据旋转的性质可得 DN=DP，AN=BP， 根据DAN=DBP=90可知点 P 在 BM 上，然后求出MDP=6
37、0，然后利用“边角边”证明 MND 和MPD 全等，根据全等三角形对应边相等可得 MN=MP，从而得证； （3）过点 M 作 MHAC 交 AB 于 G，交 DN 于 H，可以证明BMG 是等边三角形，根据等边三 角形的性质可得 BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得QND=MND，再根据两直线 平行，内错角相等可得QND=MHN，然后求出MND=MHN，根据等角对等边可得 MN=MH，然后求出 AN=GH，再利用“角角边”证明ANE 和GHE 全等，根据全等三角形对 应边相等可得 AE=GE，再根据 BG=ABAEGE 代入数据进行计算即可求出 BG，从而得到 BM 的长 解答： （
38、1）证明：把DBM 绕点 D 逆时针旋转 120得到DAQ， 则 DM=DQ，AQ=BM，ADQ=BDM， QDN=ADQ+ADN=BDM+ADN= ABDMDN=12060=60， QDN=MDN=60， 在MND 和QND 中， ， MNDQND（SAS） ， MN=QN， QN=AQ+AN=BM+AN， BM+AN=MN； （2）MN+AN=BM 理由如下：如图，把DAN 绕点 D 顺时针旋转 120得到DBP， 则 DN=DP，AN=BP， DAN=DBP=90， 点 P 在 BM 上， MDP=ADBADMBDP=120ADMADN=120MDN=12060=60， MDP=MDN=
39、60， 在MND 和MPD 中， ， MNDMPD（SAS） ， MN=MP， BM=MP+BP， MN+AN=BM； （3）如图，过点 M 作 MHAC 交 AB 于 G，交 DN 于 H， ABC 是等边三角形， BMG 是等边三角形， BM=MG=BG， 根据（1）MNDQND 可得QND=MND， 根据 MHAC 可得QND=MHN， MND=MHN， MN=MH， GH=MHMG=MNBM=AN， 即 AN=GH， 在ANE 和GHE 中， ， ANEGHE（AAS） ， AE=EG=1， AC=5， AB=AC=5， BG=ABAEEG=511=3， BM=BG=3 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质， 旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键， （3）作平行线并求出 AN=GH 是解 题的关键，也是本题的难点
