1、湖南省娄底市娄星区 20152016 学年度八年级上学期期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 10 小题，满分 30 分请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题 号下 ） 1下列代数式 ， ， ， 中，分式有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2根据分式的基本性质填空： = ，括号内应填（ ） Ax 23xBx 33 Cx 23 Dx 43x 3下列计算正确的是（ ） A3 0=0 B3 2=6C3 2= D3 2= 4若代数式 有意义，则 x 必须满足条件（ ） Ax1 Bx 1 Cx 1 Dx1 5已知一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 与 6cm，则这个等腰三角形的
2、周长为（ ） A16cm B17cm C16cm 或 17cm D无法确定 6下列命题是真命题的是（ ） A如果 a 是整数，那么 a 是有理数 B内错角相等 C任何实数的绝对值都是正数 D两边一角对应相等的两个三角形全等 7不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为（ ） A B C D 8 （4） 2 的平方根是（ ） A4 B 4 C2 D2 9已知 a，b 均为有理数，且 a+b =（2 ） 2，则 a、b 的值为（ ） Aa=4，b=3 Ba=4，b=4 Ca=7，b= 4Da=7，b=4 10方程 的解是 x 等于（ ） A2 B2 C 2 D无解 二、填空题（每小题
3、3 分，共 8 小题，满分 24 分） 11科学实验发现有一种新型可入肺颗粒物的直径约为 2.5m（1m=0.000001m ） ，用科学记数法 表示这种颗粒物的直径约为 m 12在实数范围内分解因式：x 23= 13实数 4 的绝对值等于 14如图，在BCD 中， C=30，D=40，点 A 为 CB 的延长线上一点，BE 为 ABD 的角平分线， 则ABE= 15如图，已知 AD=BC，则再添加一个条件 （只填一种） ，可证出ABC BAD 16计算：（ ） 2015（ ） 2016= 17巳知等腰三角形一底角为 30，则这个等腰三角形顶角的大小是 度 18如图，已知在ABC 中，BC=1
4、0cm，AB 的垂直平分线 EF 交 BC 与点 F，AC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 N，则AFN 的周长为 cm 三、解答题 19化简： 计算： 20求当 x 取何值时，代数式 的值不小于 1？ 四、分析与说理（每小题 8 分，共 2 小题，满分 16 分） 21已知：如图所示，在ABC 中，ABC=ACB，BDAC，垂足为点 D，CEAB，垂足为点 E求证：BD=CE 22已知：如图所示，点 D、 E 分别在等边ABC 的边 BC、AC 上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于 点 F （1）求证：ABECAD； （2）求BFD 的度数 五、实践与应用（每小题 8 分，共 2
5、小题，满分 16 分） 23娄底到长沙的距离约为 120km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比 小张晚出发 15 分钟，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的 1.2 倍，求小轿 车和大货车的速度各是多少？（列方程解答） 24某校组织开展了“娄底是我家，建设娄底靠大家”的环保知识竞赛，共 25 道竞赛题，选对一题 得 4 分，不选或选错每题扣 2 分，大赛组委会规定总得分不低于 80 分获奖，那么至少应选对多少 道题才能获奖？（列不等式解答） 六、阅读与探究（每小题 10 分，共 2 小题，满分 20 分） 25阅读下列材料，并解决问题： 已知方程 x2+3
6、x+2=0 的两根分别为 x1=1，x 2=2，计算：x 1+x2= ，x 1x2= 已知方程 x23x4=0 的两根分别为 x1=4，x 2=1，计算：x 1+x2= ，x 1x2= 已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 有两根分别记作 x1，x 2，且 x1= ，x 2= ，请通过计算 x1+x2 及 x1x2，探究出它们与 p、q 的关系 26在长方形 ABCD 中，AD=2AB，E 是 AD 的中点，一块三角板的直角顶点与点 E 重合，将三角 板绕点 E 按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边分别与 AB、BC 分别相交于点 M，N 时，观察 或测量 BM 与 CN 的长度，你能得到
7、什么结论？并证明你的结论 湖南省娄底市娄星区 20152016 学年度八年级上学期期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 10 小题，满分 30 分请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题 号下 ） 1下列代数式 ， ， ， 中，分式有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】分式的定义 【分析】根据分式的定义看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是 分式，即可得出答案 【解答】解：是分式；分母中不含字母，不是分式； 分母中不含字母，不是分式；分 母中含有字母是分式 故选：B 【点评】本题主要考查分式的定义，明确 不是字母是一个
8、常数是解题的关键 2根据分式的基本性质填空： = ，括号内应填（ ） Ax 23xBx 33 Cx 23 Dx 43x 【考点】分式的基本性质 【分析】把分式的分母与分子同时除以 x 即可得出结论 【解答】解：分式的分母与分子同时除以 x 得， = 括号内应填 x23 故选 C 【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整 式，分式的值不变是解答此题的关键 3下列计算正确的是（ ） A3 0=0 B3 2=6C3 2= D3 2= 【考点】负整数指数幂；零指数幂 【分析】根据零指数幂：a 0=1（a 0） ，负整数指数幂：a p= （a0，p 为正
9、整数）进行计算 【解答】解：3 0=1，3 2= ， 故选：D 【点评】此题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数；任何非 0 数 的 0 次幂等于 1 4若代数式 有意义，则 x 必须满足条件（ ） Ax1 Bx 1 Cx 1 Dx1 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可 【解答】解：由题意得，x+10， 解得，x1， 故选：A 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的 关键 5已知一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 与 6cm，则这个等腰三角形的周长为（ ）
10、 A16cm B17cm C16cm 或 17cm D无法确定 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】分腰为 6cm 和腰为 5cm 两种情况，再求其周长 【解答】解：当腰为 6cm 时，则三角形的三边长分别为 6cm、6cm、5cm，满足三角形的三边关系， 周长为 17cm； 当腰为 5 时，则三角形的三边长分别为 5cm、5cm、6cm，满足三角形的三边关系，周长为 16cm； 综上可知，等腰三角形的周长为 16cm 或 17cm 故选 C 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键 6下列命题是真命题的是（ ） A如果 a 是整数，那么 a 是
11、有理数 B内错角相等 C任何实数的绝对值都是正数 D两边一角对应相等的两个三角形全等 【考点】命题与定理 【分析】根据有理数的分类对 A 进行判断；根据平行线的性质对 B 进行判断；根据绝对值的意义 对 C 进行判断；根据全等三角形的判定方法对 D 进行判断 【解答】解：A、如果 a 是整数，那么 a 是有理数，所以 A 选项正确； B、两直线平行，内错角相等，所以 B 选项错误； C、任何实数的绝对值都是非负数，所以 C 选项错误； D、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形，所以 D 选项错误 故选 A 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两 部
12、分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么” 形 式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 7不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为（ ） A B C D 【考点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就是不等式这两个式子组成的不等式组 就满足条件 【解答】解：由图示可看出，从1 出发向右画出的线且 1 处是空心圆，表示 x1； 从 2 出发向左画出的线且 2 处是实心圆，表示 x2，所以这个不等式组为 故选 A 【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，
13、向右 画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与 不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”， “”要用实 心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示 8 （4） 2 的平方根是（ ） A4 B 4 C2 D2 【考点】平方根 【分析】根据平方根的概念，推出 16 的平方根为4 【解答】解：（4） 2 的平方根是 4， 故选 B 【点评】本题主要考查平方根的定义，关键在于推出（4） 2=16 9已知 a，b 均为有理数，且 a+b =（2 ） 2，则 a、b 的值为（ ） Aa=4，b=3 Ba=4，b=4 Ca=7，
14、b= 4Da=7，b=4 【考点】完全平方公式 【分析】利用完全平方公式去括号，进而得出 a，b 的值，进而得出答案 【解答】解：（2 ） 2=a+b ， 4+34 =a+b ， a=7， b=4， 故选 C 【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用完全平方公式得出 a，b 的值是解题关键 10方程 的解是 x 等于（ ） A2 B2 C 2 D无解 【考点】解分式方程 【专题】计算题；分式方程及应用 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方 程的解 【解答】解：去分母得：x+2=4， 解得：x=2， 经检验 x=2 是增根，分式方程无解 故选
15、 D 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方 程求解解分式方程一定注意要验根 二、填空题（每小题 3 分，共 8 小题，满分 24 分） 11科学实验发现有一种新型可入肺颗粒物的直径约为 2.5m（1m=0.000001m ） ，用科学记数法 表示这种颗粒物的直径约为 2.510 6 m 【考点】科学记数法表示较小的数 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记 数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决 定 【解答】解：2.5m=2.50.0
16、00001m=2.510 6m， 故答案为：2.5 106 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左 边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 12在实数范围内分解因式：x 23= （x+ ） （x ） 【考点】实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法 【分析】把 3 写成 的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式 【解答】解：x 23=x2（ ） 2=（x+ ） （x ） 【点评】本题考查平方差公式分解因式，把 3 写成 的平方是利用平方差公式的关键 13实数 4 的绝对值等于 4 【考点】实数的性质 【分析】根据差的绝对值是大
17、数减小数，可得答案 【解答】解： 4 的绝对值等于 4 ， 故答案为：4 【点评】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数 14如图，在BCD 中， C=30，D=40，点 A 为 CB 的延长线上一点，BE 为 ABD 的角平分线， 则ABE= 35 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质 【分析】由外角性质可得ABD 的度数，再利用角平分线的定义可得结果 【解答】解：C=30 ， D=40， ABD=C+D=30+40=70， BE 为ABD 的角平分线， =35， 故答案为：35 【点评】本题主要考查了外角的性质和角平分线的定义，利用外角的性质得ABD 的度数是解答此 题的关键
18、15如图，已知 AD=BC，则再添加一个条件 AC=BD （只填一种） ，可证出 ABCBAD 【考点】全等三角形的判定 【专题】开放型 【分析】本题是开放题，要使ABCBAD ，已知 AD=BC，AB 是公共边，故添加 AC=BD，即可 根据 SSS 判定两三角形全等 【解答】解：添加 AC=BD AD=BC，AB=AB，AC=BD ABCBAD （SSS） 故答案为 AC=BD 【点评】三角形全等的判定是 2016 届中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个 三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺 什么条件，再去证什么条件 16计
19、算：（ ） 2015（ ） 2016= 2 【考点】二次根式的混合运算 【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而求出答案 【解答】解：（ ） 2015（ ） 2016 =（ ） 2015（ ） 2015（ 2） =（ ）（ ） 2015（ 2） =2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确应用积的乘方运算法则是解题关键 17巳知等腰三角形一底角为 30，则这个等腰三角形顶角的大小是 120 度 【考点】等腰三角形的性质 【分析】由已知给出等腰三角形一底角为 30，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和不难求得 等腰三角形的顶角 【解答】解：等腰三角形的两个底角相等
20、顶角度数是：180 3030=120 故填 120 【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理等腰三角形的两个底角相等，三角形 内角和为 180 度找着底角的关系，利用三角形的内角和求解时非常重要的方法，注意掌握 18如图，已知在ABC 中，BC=10cm，AB 的垂直平分线 EF 交 BC 与点 F，AC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 N，则AFN 的周长为 10 cm 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线性质得 AF=BF，AN=CN，所以 ANF 周长=BC 【解答】解：AB 、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 F，N， AF=BF，AN=CN， CAF
21、N=AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=10 故答案为：10 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的 距离相等是解答此题的关键 三、解答题 19化简： 计算： 【考点】二次根式的混合运算；分式的加减法 【专题】计算题 【分析】先通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后约分即可； 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可 【解答】解：原式= + = = ； 原式=2+ + 3 =2 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除 运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点
22、，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍也考查了分式的加减法 20求当 x 取何值时，代数式 的值不小于 1？ 【考点】解一元一次不等式 【分析】根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可求得 x 的取值范围 【解答】解：根据题意得： 1， 3（3x5 ） 7（x+4） 21， 9x157x2821， 9x7x21+28+15， 2x64， x32 故当 x32 时，代数式 的值不小于 1 【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据题意得出一元一次不等式， 应按照去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 这个步骤来解 四、分析与说理（每小题 8 分，共 2
23、 小题，满分 16 分） 21已知：如图所示，在ABC 中，ABC=ACB，BDAC，垂足为点 D，CEAB，垂足为点 E求证：BD=CE 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】利用垂直的定义得到BEC= BDC=90，然后根据三角形全等的判定方法可得到BCD BCE，则根据全等的性质即可得到 BD=CE 【解答】解：BD AC，CE AB， BEC=BDC=90， 在BCD 和CDE 中， ， BDCCDE（AAS） ， BD=CE 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相 等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应
24、角相等 22已知：如图所示，点 D、 E 分别在等边ABC 的边 BC、AC 上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于 点 F （1）求证：ABECAD； （2）求BFD 的度数 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】 （1）通过 SAS 可得ABEACD （2）根据全等三角形的性质推出ABE= CAD，再通过角之间的转化即可求解BFD 的度数 【解答】解：（1）ABC 为等边三角形， AB=AC，AE=CD ，BAE=C=60， 在ABE 和ACD 中， ， ABECAD（SAS） ， AD=BE （2）ABECAD， ABE=CAD， BFD=ABE+BAD=CAD+
25、BAD=BAC=60 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质问题，解决本题的关键是 证明ABECAD 五、实践与应用（每小题 8 分，共 2 小题，满分 16 分） 23娄底到长沙的距离约为 120km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比 小张晚出发 15 分钟，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的 1.2 倍，求小轿 车和大货车的速度各是多少？（列方程解答） 【考点】分式方程的应用 【分析】首先设大货车的速度为 xkm/时，则小轿车的速度为 1.2xkm/时，根据题意可得等量关系： 大货车行驶时间小轿车行驶时间 = 小时，根据等量
26、关系列出方程，再解即可 【解答】解：设大货车的速度为 xkm/时，由题意得： = ， 解得：x=80， 经检验：x=80 是分式方程的解， 1.2x=1.280=96， 答：大货车的速度为 80km/时，小轿车的速度为 96km/时 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出分 式方程，注意不要忘记检验 24某校组织开展了“娄底是我家，建设娄底靠大家”的环保知识竞赛，共 25 道竞赛题，选对一题 得 4 分，不选或选错每题扣 2 分，大赛组委会规定总得分不低于 80 分获奖，那么至少应选对多少 道题才能获奖？（列不等式解答） 【考点】一元一次不等式的应
27、用 【分析】读懂题列出不等式关系式即可求解，关系式为：得奖的分数80 【解答】解：设做对 x 道根据题意列出不等式： 4x2（25 x）80， 解得：x ， =21 ， x 最小取 22 答：至少应选对 22 道题才能获奖 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不 等关系式，及所求量的等量关系 六、阅读与探究（每小题 10 分，共 2 小题，满分 20 分） 25阅读下列材料，并解决问题： 已知方程 x2+3x+2=0 的两根分别为 x1=1，x 2=2，计算：x 1+x2= 3 ，x 1x2= 2 已知方程 x23x4=0 的两根分别为 x1=4
28、，x 2=1，计算：x 1+x2= 3 ，x 1x2= 4 已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 有两根分别记作 x1，x 2，且 x1= ，x 2= ，请通过计算 x1+x2 及 x1x2，探究出它们与 p、q 的关系 【考点】根与系数的关系 【分析】根据题目中所给的方程的两根，分别求出 x1+x2，x 1x2，然后可得出 x1+x2=p，x 1x2=q 【解答】解：x 1=1，x 2=2， x1+x2=3，x 1x2=2； x1=4，x 2=1， x1+x2=3，x 1x2=4； x1= ，x 2= ， x1+x2= + =p， x1x2= =q， 即 x1+x2=p，x 1x2=q
29、故答案为：3， 2；3， 4 【点评】本题考查了根与系数的关系，解答本题的关键是根据方程所给的两根求出两根之和和两根 之积，然后得出根与系数的关系 26在长方形 ABCD 中，AD=2AB，E 是 AD 的中点，一块三角板的直角顶点与点 E 重合，将三角 板绕点 E 按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边分别与 AB、BC 分别相交于点 M，N 时，观察 或测量 BM 与 CN 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】作辅助线 EFBC 于点 F，然后证明 RtAMERtFNE，从而求出 AM=FN，所以 BM 与 CN 的长度相等 【解答】解：BM 与与 CN 的长度相等 证明：在矩形 ABCD 中，AD=2AB，E 是 AD 的中点， 如图，作 EFBC 于点 F，则有 AB=AE=EF=FC， AEM+DEN=90，FEN+DEN=90 ， AEM=FEN， 在 RtAME 和 RtFNE 中， ， RtAMERtFNE， AM=FN， MB=CN 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，本题的关键是证明 RtAMERtFNE，利用全等的 性质和等量代换求解
