1、第 1 页（共 31 页） 2016-2017 学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）：下面各题均有四个选项，其中只有一个 符合题意. 1下列函数中是反比例函数的是（ ） A B C D 2已知：O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d如果 dr ，那么 P 点（ ） A在圆外 B在圆外或圆上 C在圆内或圆上 D在圆内 3已知，在 RtABC 中，C=90 ，AB=5，BC=3 ，则 sinA 的值是（ ） A B C D 4三角形内切圆的圆心为（ ） A三条高的交点 B三条边的垂直平分线的交点 C三条角平分线的交点 D三条中线的交点 5在同一
2、平面直角坐标系中，函数 y=kx2+k 与 y= 的图象可能是（ ） A B C D 6同时抛掷两枚质量均匀的硬币，恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是 （ ） A1 B C D 7已知 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）是函数 y=2x2+m（m 是常数）图象上的两个点， 如果 x1x 20，那么 y1，y 2 的大小关系是（ ） Ay 1y 2 By 1=y2 C y1 y2 Dy 1，y 2 的大小不能确定 第 2 页（共 31 页） 8已知：A、B、C 是O 上的三个点，且AOB=60，那么ACB 的度数是（ ） A30 B120 C150 D30 或 150 9在同一坐标
3、系下，抛物线 y1=x2+4x 和直线 y2=2x 的图象如图所示，那么不等 式x 2+4x2x 的解集是（ ） Ax 0 B0x2 Cx2 Dx0 或 x2 10如图甲，A、B 是半径为 1 的O 上两点，且 OAOB 点 P 从 A 出发，在 O 上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点 A 运动结束设运动时间为 x，弦 BP 的长度为 y，那么如图乙图象中可能表示 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C或 D或 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）： 11函数 的自变量 x 的取值范围是 12在圆中，如果 75的圆心角所对的弧长为 2.5cm，那么这个圆的半径是 第 3 页（共
4、 31 页） 13如果一个等腰三角形的三条边长分别为 1、1、 ，那么这个等腰三角形底 角的度数为 14如图，正ABC 内接于半径是 2 的圆，那么阴影部分的面积是 15某商店销售一种进价为 50 元/件的商品，当售价为 60 元/ 件时，一天可卖 出 200 件；经调查发现，如果商品的单价每上涨 1 元，一天就会少卖出 10 件设商品的售价上涨了 x 元/件（x 是正整数） ，销售该商品一天的利润为 y 元， 那么 y 与 x 的函数关系的表达式为 （不写出 x 的取值范围） 16在数学课上，老师请同学思考如下问题： 已知：在ABC 中，A=90 求作：P，使得点 P 在 AC 上，且P 与
5、 AB，BC 都相切 小轩的作法如下： （1）作ABC 的平分线 BF，与 AC 交于点 P； （2）以点 P 为圆心，AP 长为半径作PP 即为所求 老师说：“小轩的作法正确 ” 请回答：P 与 BC 相切的依据是 三、解答题（每小题 5 分，共 50 分） 17计算：2cos45 tan60+sin30 tan45 18已知二次函数的表达式为：y=x 26x+5， （1）利用配方法将表达式化成 y=a （x h） 2+k 的形式； 第 4 页（共 31 页） （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标 19在 RtABC 中，已知B=90 ，AB=2，AC= ，解这个直角三角形 20已知：
6、二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示请你根据图象提供 的信息，求出这条抛物线的表达式 21如图，有四张背面相同的纸牌 A，B ，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑 桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色小明将这 4 张纸牌背 面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余 3 张洗匀后再摸出一张请用画树状图或列 表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率 22已知：二次函数 y=x2+（2m+1）x +m21 与 x 轴有两个交点 （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时二次函数与 x 轴的交点 23如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函
7、数 y= （x0）图象上任意一点，以 P 为圆心，PO 为半径的圆与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，连接 AB （1）求证：P 为线段 AB 的中点； （2）求AOB 的面积 第 5 页（共 31 页） 24已知：ABC 中， BAC=30，AB=AC=4将ABC 沿 AC 翻折，点 B 落在 B点，连接并延长 A B与线段 BC 的延长线相交于点 D，求 AD 的长 25我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆例 如线段 AB 的最小覆盖圆就是以线段 AB 为直径的圆（图 1） （1）在图 2 中作出锐角ABC 的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹， 不写
8、作法） ； （2）图 3 中，ABC 是直角三角形，且 C=90，请说明ABC 的最小覆盖圆 圆心所在位置； （3）请在图 4 中对钝角ABC 的最小覆盖圆进行探究，并结合（ 1） 、 （2）的结 论，写出关于任意ABC 的最小覆盖圆的规律 26 “昊天塔 ”又称多宝佛塔，是北京地区惟一的楼阁式空心砖塔，位于良乡东北 1 公里的燎石岗上此塔始建于隋，唐朝曾重修，现存塔是辽代修建的，已历 经一千多年某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所 学的解直角三角形的知识测量它的高度他们的测量工具有：高度为 1.5m 的测 角仪（测量仰角、俯角的仪器） 、皮尺请你帮他们设计一种测量方案，求
9、出昊 天塔的塔顶到地面的高度 AB，注意：因为有护栏，他们不能到达塔的底部 要求：（1）画出测量方案的示意图，标出字母，写出图中需要并且能测量的角 与线段（用图中的字母表示） ； （2）结合示意图，简要说明你测量与计算的思路（不必写出结果） 第 6 页（共 31 页） 四、解答题（第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分，共 22 分） 27已知：ABC 中ACB=90，E 在 AB 上，以 AE 为直径的O 与 BC 相切于 D，与 AC 相交于 F，连接 AD （1）求证：AD 平分BAC； （2）连接 OC，如果B=30，CF=1 ，求 OC 的长 28在平面直角
10、坐标系中，已知抛物线 y=x22x+n1 与 y 轴交于点 A，其对称轴 与 x 轴交于点 B （1）当OAB 是等腰直角三角形时，求 n 的值； （2）点 C 的坐标为（ 3，0） ，若该抛物线与线段 OC 有且只有一个公共点，结 合函数的图象求 n 的取值范围 29若抛物线 L：y=ax 2+bx+c（a，b，c 是常数，且 abc0）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线 L 的顶点在直线 l 上，则称此抛物线 L 与直线 l 具有 第 7 页（共 31 页） “一带一路”关系，并且将直线 l 叫做抛物线 L 的“路线”，抛物线 L 叫做直线 l 的 “带线” （1）若“路线”l
11、 的表达式为 y=2x4，它的“带线”L 的顶点在反比例函数 y= （x0）的图象上，求“带线”L 的表达式； （2）如果抛物线 y=mx22mx+m1 与直线 y=nx+1 具有 “一带一路”关系，求 m，n 的值； （3）设（2）中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为 A已知点 P 为“带 线”L 上的点，当以点 P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点 A 时，求出点 P 的坐标 第 8 页（共 31 页） 2016-2017 学年北京市房山区九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）：下面各题均有四个选项，其中只有一个 符合题
12、意. 1下列函数中是反比例函数的是（ ） A B C D 【考点】反比例函数的定义 【分析】根据反比例函数的定义，可得答案 【解答】解：A、符合反比例函数的定义，故 A 正确； B、不符合反比例函数的定义，故 B 错误； C、是二次函数，故 C 错误； D、不符合反比例函数的定义，故 D 错误； 故选：A 2已知：O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d如果 dr ，那么 P 点（ ） A在圆外 B在圆外或圆上 C在圆内或圆上 D在圆内 【考点】点与圆的位置关系 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论 【解答】解：O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d如果 dr ， P 点在圆
13、外或圆上 故选 B 3已知，在 RtABC 中，C=90 ，AB=5，BC=3 ，则 sinA 的值是（ ） 第 9 页（共 31 页） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案 【解答】解：sinA= = ， 故选：A 4三角形内切圆的圆心为（ ） A三条高的交点 B三条边的垂直平分线的交点 C三条角平分线的交点 D三条中线的交点 【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】根据三角形内心的定义求解 【解答】解：三角形内切圆的圆心为三角形三个内角角平分线的交点 故选 C 5在同一平面直角坐标系中，函数 y=kx2+k 与 y= 的图象可能是（ ） A
14、B C D 【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象 【分析】分 k0 和 k0 分析两函数图象大致位置，对照四个选项即可得出结 论 【解答】解：当 k0 时，函数 y=kx2+k 的图象开口向上，顶点坐标在 y 轴正半 轴上， 此时，函数 y= 的图象在第一、三象限， A 选项中图形合适； 当 k0 时，函数 y=kx2+k 的图象开口向下，顶点坐标在 y 轴负半轴上， 第 10 页（共 31 页） 此时，函数 y= 的图象在第二、四象限， 无合适图形 故选 A 6同时抛掷两枚质量均匀的硬币，恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是 （ ） A1 B C D 【考点】列表法与树状图法 【分析】
15、列举出所有情况，看恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的情况数占总 情况数的多少即可 【解答】解：画树形图得： 共 4 种情况，一枚正面朝上、一枚反面朝上的有 2 种情况， 所以概率为恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是： 故选：B 7已知 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）是函数 y=2x2+m（m 是常数）图象上的两个点， 如果 x1x 20，那么 y1，y 2 的大小关系是（ ） Ay 1y 2 By 1=y2 C y1 y2 Dy 1，y 2 的大小不能确定 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征可求出 y1=2 +m、y 2=2 +m， 根据
16、 x1x 20 即可得出 ，进而可得出 y1y 2，此题得解 （利用二次 函数的单调性更简单） 【解答】解：A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）是函数 y=2x2+m（m 是常数）图象上 的两个点， 第 11 页（共 31 页） y 1=2 +m，y 2=2 +m， x 1x 20 ， ， y 1y 2 故选 C （利用二次函数的单调性亦可得出 y1y 2） 8已知：A、B、C 是O 上的三个点，且AOB=60，那么ACB 的度数是（ ） A30 B120 C150 D30 或 150 【考点】圆周角定理 【分析】本题有两种情况，一种情况是点 C 位于优弧 AB 上，此时根据圆周角 定
17、理可知ACB= AOB=30，当点 C 位于劣弧 AB 上，此时ACB= =150，即 可得出ACB 的度数 【解答】解：如图 1，当点 C 位于弧 AB 上时， AOB 和ACB 是弧 AB 所对的角， AOB=2ACB ， AOB=60， ACB=30 ； 如图 2，当点 C 位于劣弧 AB 上，ACB= =150 故选：D 第 12 页（共 31 页） 9在同一坐标系下，抛物线 y1=x2+4x 和直线 y2=2x 的图象如图所示，那么不等 式x 2+4x2x 的解集是（ ） Ax 0 B0x2 Cx2 Dx0 或 x2 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】根据函数图象写出抛物线在直
18、线上方部分的 x 的取值范围即可 【解答】解：由图可知，抛物线 y1=x2+4x 和直线 y2=2x 的交点坐标为（0 ，0） ， （2，4） ， 所以，不等式x 2+4x2x 的解集是 0x 2 故选 B 10如图甲，A、B 是半径为 1 的O 上两点，且 OAOB 点 P 从 A 出发，在 O 上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点 A 运动结束设运动时间为 x，弦 BP 的长度为 y，那么如图乙图象中可能表示 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C或 D或 【考点】动点问题的函数图象 第 13 页（共 31 页） 【分析】分两种情形讨论当点 P 顺时针旋转时，图象是，当点 P 逆时
19、针旋转 时，图象是，由此即可解决问题 【解答】解：当点 P 顺时针旋转时，图象是，当点 P 逆时针旋转时，图象是 ， 故答案为， 故选 C 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）： 11函数 的自变量 x 的取值范围是 x1 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x10， 解得 x1 故答案为：x1 12在圆中，如果 75的圆心角所对的弧长为 2.5cm，那么这个圆的半径是 6 【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长公式 L= ，将 n=75，L=2.5，代入即可求得半径长 【解答】解：75 的圆心角所对的弧长是 2.5cm， 由
20、L= ， 2.5= ， 解得：r=6， 故答案为：6 13如果一个等腰三角形的三条边长分别为 1、1、 ，那么这个等腰三角形底 角的度数为 30 第 14 页（共 31 页） 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质 【分析】过点 A 作 ADBC 于 D，由等腰三角形的性质得出 BD= BC= ，再根 据余弦函数可得答案 【解答】解：如图，过点 A 作 ADBC 于 D， AB=AC=1，BC= ， BD= BC= ， 则 cosB= = ， B=30， 故答案为：30 14如图，正ABC 内接于半径是 2 的圆，那么阴影部分的面积是 43 【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质 【分析】利
21、用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆 的面积减去三角形的面积即可 【解答】解：解：如图，点 O 既是它的外心也是其内心， OB=2，1=30， OD= OB=1，BD= ， AD=3 ，BC=2 ， 第 15 页（共 31 页） S ABC = 2 3=3 ； 而圆的面积=2 2=4， 所以阴影部分的面积=43 ， 故答案为 43 15某商店销售一种进价为 50 元/件的商品，当售价为 60 元/ 件时，一天可卖 出 200 件；经调查发现，如果商品的单价每上涨 1 元，一天就会少卖出 10 件设商品的售价上涨了 x 元/件（x 是正整数） ，销售该商品一天的利润为 y
22、元， 那么 y 与 x 的函数关系的表达式为 y=10x 2+100x+2000 （不写出 x 的取值范 围） 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【分析】根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出 y 与 x 的函数关系式 【解答】解：设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ， 则每件商品的利润为：（6050+x）元， 总销量为：件， 商品利润为：y=（10+x） =10x2+100x+2000 故答案为：y=10x 2+100x+2000 16在数学课上，老师请同学思考如下问题： 已知：在ABC 中，A=90 求作：P，使得点 P 在 AC 上，且P 与 AB，BC 都
23、相切 小轩的作法如下： 第 16 页（共 31 页） （1）作ABC 的平分线 BF，与 AC 交于点 P； （2）以点 P 为圆心，AP 长为半径作PP 即为所求 老师说：“小轩的作法正确 ” 请回答：P 与 BC 相切的依据是 角平分线上的点到角两边距离相等；经过半 径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（或：如果圆心到直线的距离 等于半径，那么直线与圆相切） 【考点】作图复杂作图；圆周角定理；切线的判定 【分析】根据角平分线的性质定理以及圆的切线的两个判定定理即可解决问 题 【解答】解：如图作 PE BC 于 E PBA=PBE，PAAB，PEBC， PA=PE， PE 是P 的切线
24、（角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线或：如果圆心到直线的距离等于半径，那 么直线与圆相切） 故答案为角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线（或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆 相切） 三、解答题（每小题 5 分，共 50 分） 17计算：2cos45 tan60+sin30 tan45 第 17 页（共 31 页） 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 【解答】解：原式=2 + 1= 18已知二次函数的表达式为：y=x 26x+5， （1
25、）利用配方法将表达式化成 y=a （x h） 2+k 的形式； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标 【考点】二次函数的三种形式 【分析】 （1）首先把 x26x+5 化为（x3） 24，然后根据把二次函数的表达式 y=x26x+5 化为 y=a（xh） 2+k 的形式； （2）利用（1）中抛物线解析式直接写出答案 【解答】解：（1）y=x 26x+99+5=（x 3） 24，即 y=（x3） 24； （2）由（1）知，抛物线解析式为 y=（x 3） 24， 所以抛物线的对称轴为：x=3，顶点坐标为（3， 4） 19在 RtABC 中，已知B=90 ，AB=2，AC= ，解这个直角三角形
26、 【考点】解直角三角形 【分析】利用勾股定理即可求得 BC 的长，然后利用三角函数求得A 的度数 【解答】解：在 RtABC 中，B=90，AB=2 ，AC= ， ， 即 BC=2， ， A=45， C=45 第 18 页（共 31 页） 答：这个三角形的 BC=2， A= C=45 20已知：二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示请你根据图象提供 的信息，求出这条抛物线的表达式 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象 【分析】设顶点式 y=a（x 1） 2+k，然后把图象上的两点坐标代入得到 a 与 k 的 方程组，再解方程组即可 【解答】解：由图象可知：抛物线的
27、对称轴为 x=1， 设抛物线的表达式为：y=a（x 1） 2+k 抛物线经过点（1，0）和（ 0， 3） 解得 ， 抛物线的表达式为：y=（x 1） 24，即 y=x22x3 21如图，有四张背面相同的纸牌 A，B ，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑 桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色小明将这 4 张纸牌背 面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余 3 张洗匀后再摸出一张请用画树状图或列 表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与摸 第 19 页（共 31 页） 出的两张牌均为黑色的情况，再利用概率公
28、式即可求得答案 【解答】解：列表法： A B C D A AB AC AD B AB BC BD C AC CB CD D AD DB DC 共有 12 种等可能的结果，摸出的两张牌均为黑色的有 2 种情况， P（摸出的两张牌均为黑色）= = 22已知：二次函数 y=x2+（2m+1）x +m21 与 x 轴有两个交点 （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时二次函数与 x 轴的交点 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】 （1）利用二次函数 y=x2+（2m+1）x +m21 与 x 轴有两个交点得 （2m+1） 24（m 21）=4m+50，然后解不等式组
29、可得 m 的范围； （2）m 取 1 得到抛物线解析式，然后计算函数值为 0 时对应的自变量的值即可 得到两个交点坐标 【解答】解：（1）二次函数 y=x2+（2m+1）x +m21 与 x 轴有两个交点 0， 即 （2m+1） 24（m 21）=4m+50 m ； （2）m 取 1，则抛物线解析式为 y=x2+3x， 当 y=0 时，x 2+3x=0，解得 x1=0，x 2=3， 所以抛物线与 x 轴的交点坐标为（ 0，0 ） ， （3，0） 23如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数 第 20 页（共 31 页） y= （x0）图象上任意一点，以 P 为圆心，PO 为半
30、径的圆与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，连接 AB （1）求证：P 为线段 AB 的中点； （2）求AOB 的面积 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；圆周角定理 【分析】 （1）利用圆周角定理的推论得出 AB 是 P 的直径即可； （2）首先假设点 P 坐标为（m，n） （m0，n 0） ，得出 OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，进而利用三角形面积公式求出即可 【解答】 （1）证明：点 A、O、B 在P 上，且 AOB=90， AB 为P 直径， 即 P 为 AB 中点； （2）解：P 为 （x 0）上的点， 设点 P 的坐标为（ m，n ） ，则 mn=12， 过点 P
31、 作 PMx 轴于 M， PNy 轴于 N， M 的坐标为（m，0） ， N 的坐标为（0，n ） ， 且 OM=m，ON=n， 点 A、O、B 在P 上， M 为 OA 中点，OA=2 m； N 为 OB 中点，OB=2 n， S AOB = OAO B=2mn=24 第 21 页（共 31 页） 24已知：ABC 中， BAC=30，AB=AC=4将ABC 沿 AC 翻折，点 B 落在 B点，连接并延长 A B与线段 BC 的延长线相交于点 D，求 AD 的长 【考点】翻折变换（折叠问题） ；等腰三角形的性质 【分析】过点 B 作 BEAD 于 E，根据等腰三角形两底角相等求出ABC=75
32、， 根据翻折变换的性质求出BAB，再根据三角形的内角和等于 180求出D=45， 然后解直角三角形求出 AE、BE ，最后根据 AD=AE+DE 计算即可得解 【解答】解：过点 B 作 BEAD 于 E， ABC 中，AB=AC ，BAC=30， ABC=75 ， ABC 沿 AC 翻折， BAB=2 BAC=60， D=180 BABABC=180 6075=45， 在 RtABE 中， AEB=90，AB=4，BAE=60， AE=2，BE=2 ， 在 RtBED 中，BED=90，D=45，BE=2 ， ED=2 ， AD=AE+ED=2+2 第 22 页（共 31 页） 25我们将能完
33、全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆例 如线段 AB 的最小覆盖圆就是以线段 AB 为直径的圆（图 1） （1）在图 2 中作出锐角ABC 的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法） ； （2）图 3 中，ABC 是直角三角形，且 C=90，请说明ABC 的最小覆盖圆 圆心所在位置； （3）请在图 4 中对钝角ABC 的最小覆盖圆进行探究，并结合（ 1） 、 （2）的结 论，写出关于任意ABC 的最小覆盖圆的规律 【考点】作图复杂作图；三角形的外接圆与外心 【分析】 （1）作ABC 的外接圆即可 （2）以 AB 为直径作圆即可 （3）以最长边 AB 为直径作圆即可由
34、（ 1） （2）不难得出结论 【解答】解：（1）锐角ABC 的最小覆盖圆是它的外接圆如图 2 中所示， （2）直角ABC 最小覆盖圆的圆心是斜边中点，如图 3 中所示， （3）锐角ABC 的最小覆盖圆是它的外接圆， 第 23 页（共 31 页） 直角ABC 的最小覆盖圆是它的外接圆（或以最长边为直径的圆） ， 钝角ABC 的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆 26 “昊天塔 ”又称多宝佛塔，是北京地区惟一的楼阁式空心砖塔，位于良乡东北 1 公里的燎石岗上此塔始建于隋，唐朝曾重修，现存塔是辽代修建的，已历 经一千多年某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所 学的解直角三角形的知识测量
35、它的高度他们的测量工具有：高度为 1.5m 的测 角仪（测量仰角、俯角的仪器） 、皮尺请你帮他们设计一种测量方案，求出昊 天塔的塔顶到地面的高度 AB，注意：因为有护栏，他们不能到达塔的底部 要求：（1）画出测量方案的示意图，标出字母，写出图中需要并且能测量的角 与线段（用图中的字母表示） ； （2）结合示意图，简要说明你测量与计算的思路（不必写出结果） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】 （1）要求使用测角仪和皮尺，可根据常见的题目中的计算方法，按示 意图设计；构造直角三角形ACD 与ACF；测出 ADC 与AFC 及 DF，利用 公共边关系构造方程并解之可得答案 （2）由
36、tanADC= 得 CD= ，在 RtABD 中，由 tanAFC= 得 CF= ，利用 CFCD=DF，可得到关于 AC 的方程，解这个方程求出 AC 的 值 【解答】解：（1）测量方案的示意图： 第 24 页（共 31 页） 需要测量的线段 EG=DF；需要测量的角： ADC、AFC ； （2）在 Rt ACD 中，tanADC= ， CD= ， 在 RtABD 中，tanAFC= ， CF= ， 由 CFCD=DF，可得到关于 AC 的方程，解这个方程求出 AC 的值，得到塔高 AB=AC+1.5 四、解答题（第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分，共 22 分
37、） 27已知：ABC 中ACB=90，E 在 AB 上，以 AE 为直径的O 与 BC 相切于 D，与 AC 相交于 F，连接 AD （1）求证：AD 平分BAC； （2）连接 OC，如果B=30，CF=1 ，求 OC 的长 【考点】切线的性质；含 30 度角的直角三角形 【分析】 （1）连接 OD根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知： 1=2；再由切线的性质及平行线的判定与性质证明1= 3；最后由角平分 线的性质证明结论； （2）连接 DF，根据角平分线的定义得到3=30，由 BC 是O 的切线，得到 FDC=3=30，解直角三角形得到 AF=2，过 O 作 OGAF 于 G，得到四
38、边形 第 25 页（共 31 页） ODCG 是矩形，根据矩形的性质得到 CG=2，OG=CD= ，根据勾股定理即可得 到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD， OD=OA， 1=2， BC 为 O 的切线， ODB=90， C=90， ODB=C， ODAC， 3=2， 1=3， AD 是BAC 的平分线； （2）解：连接 DF， B=30， BAC=60 ， AD 是BAC 的平分线， 3=30， BC 是 O 的切线， FDC=3=30， CD= CF= ， AC= CD=3， 第 26 页（共 31 页） AF=2， 过 O 作 OGAF 于 G， GF= AF=1，四边形 ODCG
39、 是矩形， CG=2，OG=CD= ， OC= = 28在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x22x+n1 与 y 轴交于点 A，其对称轴 与 x 轴交于点 B （1）当OAB 是等腰直角三角形时，求 n 的值； （2）点 C 的坐标为（ 3，0） ，若该抛物线与线段 OC 有且只有一个公共点，结 合函数的图象求 n 的取值范围 【考点】抛物线与 x 轴的交点；等腰直角三角形 【分析】 （1）先求得点 B 的坐标，再根据OAB 是等腰直角三角形得出点 A 的 坐标，代入求得 n 即可； （2）分两种情况：抛物线的顶点在 x 轴上和抛物线的顶点在 x 轴下方两种情况 求解可得 第 27 页（共
40、31 页） 【解答】解：（1）二次函数的对称轴是 x= =1，则 B 的坐标是（1，0） ， 当OAB 是等腰直角三角形时，OA=OB=1， 则 A 的坐标是（0，1）或（0， 1） 抛物线 y=x22x+n1 与 y 轴交于点 A 的坐标是（0，n1） 则 n1=1 或 n1=1，解得 n=2 或 n=0； （2）当抛物线的顶点在 x 轴上时，= （ 2） 24（n 1）=0 ， 解得：n=2； 当抛物线的顶点在 x 轴下方时， 如图， 由图可知当 x=0 时，y 0；当 x=3 时，y 0， 即 ， 解得：2n1， 综上，2n1 或 n=2 29若抛物线 L：y=ax 2+bx+c（a，b
41、，c 是常数，且 abc0）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线 L 的顶点在直线 l 上，则称此抛物线 L 与直线 l 具有 “一带一路”关系，并且将直线 l 叫做抛物线 L 的“路线”，抛物线 L 叫做直线 l 的 “带线” 第 28 页（共 31 页） （1）若“路线”l 的表达式为 y=2x4，它的“带线”L 的顶点在反比例函数 y= （x0）的图象上，求“带线”L 的表达式； （2）如果抛物线 y=mx22mx+m1 与直线 y=nx+1 具有 “一带一路”关系，求 m，n 的值； （3）设（2）中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为 A已知点 P 为“带
42、线”L 上的点，当以点 P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点 A 时，求出点 P 的坐标 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）找出直线与反比例函数图象的交点坐标，由此设出抛物线的解析 式，再由直线的解析式找出直线与 x 轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中 即可得出结论； （2）找出直线 y=nx+1 与 y 轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出 m 的值；再根据抛物线的解析式找出顶点坐标，将其代入直线解析式中即可得 出结论； （3）设抛物线的顶点为 B，则点 B 坐标为（1，1） ，过点 B 作 BCy 轴于点 C，根据点 A 坐标为（0，1）得到 AO=1，BC=1 ，AC=2
43、然后根据“路线”l 是经 过点 A、B 的直线且P 与“路线”l 相切于点 A，连接 PA 交 x 轴于点 D，则 PAAB，然后求解交点坐标即可 【解答】解：（1）“带线”L 的顶点在反比例函数 （x0）的图象上， 且它的“路线 ”l 的表达式为 y=2x4， 直线 y=2x4 与 的交点为“带线”L 的顶点， 第 29 页（共 31 页） 令 ，解得 x1=1，x 2=3（舍去） “带线”L 的顶点坐标为（1， 6） 设 L 的表达式为 y=a（x +1） 26， “路线”y=2x 4 与 y 轴的交点坐标为（0， 4） “带线”L 也经过点（ 0，4） ，将（0，4）代入 L 的表达式，
44、解得 a=2 “带线”L 的表达式为 y=2（x+1） 26=2x2+4x4； （2）直线 y=nx+1 与 y 轴的交点坐标为（0，1） ， 抛物线 y=mx22mx+m1 与 y 轴的交点坐标也为（0 ，1） ，得 m=2， 抛物线表达式为 y=2x24x+1，其顶点坐标为（1， 1） 直线 y=nx+1 经过点（1 ，1） ，解得 n=2， “带线”L 的表达式为 y=2x24x+1“路线”l 的表达式为 y=2 x+1； （3）设抛物线的顶点为 B，则点 B 坐标为（1，1） ， 过点 B 作 BCy 轴于点 C，又点 A 坐标为（0， 1） ， AO=1，BC=1，AC=2 “路线”l 是经过点 A、B 的直线 且P 与“路线”l 相切于点 A， 第 30 页（共 31 页） 连接 PA 交 x 轴于点 D，则 PAAB ， 显然 RtAODRtBCA ， OD=AC=2 ，D 点坐标为（2，0） 则经过点 D、 A、P 的直线表达式为 ， 点 P 为直线 与抛物线 L：y=2x 24x+1 的交点， 解方程组 得 （即点 A 舍去） ， 即点 P 的坐标为 第 31 页（共 31 页） 2017 年 2 月 22 日
