1、第 1 页（共 26 页） 2015-2016 学年河北省唐山市乐亭县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 48 分） 1tan45 的值为（ ） A B1 C D 2已知O 的半径是 6cm，点 O 到同一平面内直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与 O 的位 置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D无法判断 3若 x1，x 2 是方程 x2=4 的两根，则 x1+x2 的值是（ ） A0 B2 C4 D8 4甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且毎团游客的平均年龄都是 32 岁，这三个 团游客年龄的方差分别是 S 甲 2=27，S 乙 2=19.6，S 丙 2=
2、1.6，导游小王最喜欢带游客年龄相 近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（ ） A甲团 B乙团 C丙团 D甲或乙团 5圆心角为 120，弧长为 12 的扇形半径为（ ） A6 B9 C18 D36 6关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ） A B C D 7若二次函数 y=ax2 的图象经过点 P（2，4） ，则该图象必经过点（ ） A （2，4） B （ 2，4） C （ 4，2） D （4，2） 8已知一组数据 x1，x 2，x 3 的平均数为 6，则数据 x1+1，x 2+1，x 3+1 的平均数为（ ） A6 B7 C9 D
3、12 9如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，BD=2AD，DEBC 交 AC 于点 E，若线段 DE=5，则线段 BC 的长为（ ） 第 2 页（共 26 页） A7.5 B10 C15 D20 10如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E， A=22.5，OC=4，CD 的长为（ ） A2 B4 C4 D8 11如图，DE 是ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF=DE，连接 CF，则 SCEF：S 四边形 BCED 的值为（ ） A1：3 B2：3 C1：4 D2：5 12如果点 A（2，y 1） ，B （ 1，y 2） ，C（2，y 3）都在反比例函数 的图象上
4、， 那么 y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ） Ay 1y 3y 2 By 2y 1y 3 Cy 1y 2y 3 Dy 3y 2y 1 13二次函数 y=x2+2kx+1（k0）的图象可能是（ ） A B C D 第 3 页（共 26 页） 14如图，边长为 a 的正六边形内有两个三角形（数据如图） ，则 =（ ） A3 B4 C5 D6 15在二次函数 y=x2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx 1 Dx1 16如图，ABC 的三个顶点分别为 A（1，2） ，B（2，5） ，C （6，1） 若函数 y= 在第 一象限内的图
5、象与ABC 有交点，则 k 的取值范围是（ ） A2k B6 k10 C2 k6 D2k 二、仔细填一填（每小题 3 分，共 12 分） 17在 RtABC 中， C=90， ，BC=8，则ABC 的面积为 18一小球被抛出后，距离地面的高度 h（米）和飞行时间 t（秒）满足下面函数关系式： h=5（t1） 2+6，则小球距离地面的最大高度是 19如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，BD=3 ，ADE=60 ，则 AE 的长为 第 4 页（共 26 页） 20如图，直线 l：y= x+1 与坐标轴交于 A，B 两点，点 M（m，0）是 x 轴上一动点， 以点 M 为圆心，2 个单位长度
6、为半径作M，当M 与直线 l 相切时，则 m 的值为 三、用心答一答，相信你一定行（共 6 大题，60 分） 21已知代数式 x2+5x4 与 4x+2 的值相等，求 x 的值 四、解答题（共 1 小题，满分 8 分） 22已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A（2，0） ，与反比 例函数在第一象限内的图象的交于点 B（2，n） ，连接 BO，若 SAOB=4 （1）求该反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 与 y 轴的交点为 C，求 OCB 的面积 五、解答题（共 1 小题，满分 10 分） 23如图，根据图中数据完成填空，再按要
7、求答题： 第 5 页（共 26 页） sin2A1+sin2B1= ；sin 2A2+sin2B2= ；sin 2A3+sin2B3= （1）观察上述等式，猜想：在 RtABC 中， C=90，都有 sin2A+sin2B= （2）如图，在 RtABC 中，C=90，A 、B、C 的对边分别是 a、b、c，利用三角 函数的定义和勾股定理，证明你的猜想 （3）已知：A+ B=90，且 sinA= ，求 sinB 六、解答题（共 1 小题，满分 10 分） 24如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线
8、x= （1）求抛物线的解析式； （2）M 是线段 AB 上的任意一点，当MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标 七、解答题（共 1 小题，满分 12 分） 25如图，OAB 中，OA=OB=10，AOB=80，以点 O 为圆心，6 为半径的优弧 分别 交 OA，OB 于点 M，N （1）点 P 在右半弧上（BOP 是锐角） ，将 OP 绕点 O 逆时针旋转 80得 OP求证： AP=BP； （2）点 T 在左半弧上，若 AT 与弧相切，求点 T 到 OA 的距离； （3）设点 Q 在优弧 上，当 AOQ 的面积最大时，直接写出 BOQ 的度数 第 6 页（共 26 页） 八、解答题（共 1
9、小题，满分 12 分） 26在 RtABC 中， C=90，P 是 BC 边上不同于 B、C 的一动点，过 P 作 PQAB，垂 足为 Q，连接 AP （1）试说明不论点 P 在 BC 边上何处时，都有PBQ 与ABC 相似； （2）若 AC=3，BC=4 ，设 BP 长为 x，请用含 x 的代数式表示 PQ= ；BQ= ；当 BP 为何值时，AQP 面积最大，并求出最大值； （3）在 RtABC 中，两条直角边 BC、AC 满足关系式 BC=kAC，是否存在一个 k 的值， 使 RtAQP 既与 RtACP 全等，也与 RtBQP 全等，并说明理由 第 7 页（共 26 页） 2015-20
10、16 学年河北省唐山市乐亭县九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 48 分） 1tan45 的值为（ ） A B1 C D 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据 45角这个特殊角的三角函数值，可得 tan45=1，据此解答即可 【解答】解：tan45=1， 即 tan45的值为 1 故选：B 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是牢记 30、 45、60角的各种三角函数值 2已知O 的半径是 6cm，点 O 到同一平面内直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与 O 的位 置关系是（ ） A相交 B相切 C相离
11、D无法判断 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】设圆的半径为 r，点 O 到直线 l 的距离为 d，若 dr ，则直线与圆相交；若 d=r， 则直线与圆相切；若 dr，则直线与圆相离，从而得出答案 【解答】解：设圆的半径为 r，点 O 到直线 l 的距离为 d， d=5，r=6， d r， 直线 l 与圆相交 故选：A 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小关系完成判定 3若 x1，x 2 是方程 x2=4 的两根，则 x1+x2 的值是（ ） A0 B2 C4 D8 【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-直接开平方法 【分析】将原方程
12、转化为一元二次方程的一般形式，再根据根与系数的关系 x1+x2= 就可 以求出其值 【解答】解：x 2=4， x24=0， a=1， b=0，c= 4， 第 8 页（共 26 页） x1， x2 是方程是 x2=4 的两根， x1+x2= ， x1+x2= =0， 故选 A 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，根与系数的关系，在解答中注意求根公式 的运用 4甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且毎团游客的平均年龄都是 32 岁，这三个 团游客年龄的方差分别是 S 甲 2=27，S 乙 2=19.6，S 丙 2=1.6，导游小王最喜欢带游客年龄相 近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选
13、（ ） A甲团 B乙团 C丙团 D甲或乙团 【考点】方差 【专题】应用题 【分析】由 S 甲 2=27，S 乙 2=19.6，S 丙 2=1.6，得到丙的方差最小，根据方差的意义得到丙 旅行团的游客年龄的波动最小 【解答】解：S 甲 2=27，S 乙 2=19.6，S 丙 2=1.6， S 甲 2S 乙 2 S 丙 2， 丙旅行团的游客年龄的波动最小，年龄最相近 故选 C 【点评】本题考查了方差的意义：方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小，方 差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定 5圆心角为 120，弧长为 12 的扇形半径为（ ） A6 B9 C18 D36 【考点
14、】弧长的计算 【专题】计算题 【分析】根据弧长的公式 l= 进行计算 【解答】解：设该扇形的半径是 r 根据弧长的公式 l= ， 得到：12= ， 解得 r=18， 故选：C 【点评】本题考查了弧长的计算熟记公式是解题的关键 6关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ） A B C D 第 9 页（共 26 页） 【考点】根的判别式 【专题】判别式法 【分析】先根据判别式的意义得到=（ 3） 24m0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得=（ 3） 24m0， 解得 m 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a
15、 0）的根的判别式=b 24ac：当 0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 7若二次函数 y=ax2 的图象经过点 P（2，4） ，则该图象必经过点（ ） A （2，4） B （ 2，4） C （ 4，2） D （4，2） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为 y 轴，再根据二次函数的对称性解答 【解答】解：二次函数 y=ax2 的对称轴为 y 轴， 若图象经过点 P（2，4） ， 则该图象必经过点（2，4） 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性， 确定出
16、函数图象的对称轴为 y 轴是解题的关键 8已知一组数据 x1，x 2，x 3 的平均数为 6，则数据 x1+1，x 2+1，x 3+1 的平均数为（ ） A6 B7 C9 D12 【考点】算术平均数 【分析】根据数据 x1，x 2，x 3 的平均数和数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数 也加或减这个数即可求出平均数 【解答】解：数据 x1，x 2，x 3 的平均数是 6， 数据 x1+1，x 2+1，x 3+1 的平均数是 6+1=7 故选：B 【点评】此题考查平均数的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键 9如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，BD=2AD，DEBC 交 A
17、C 于点 E，若线段 DE=5，则线段 BC 的长为（ ） 第 10 页（共 26 页） A7.5 B10 C15 D20 【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】常规题型；压轴题 【分析】由 DEBC，可证得ADEABC，然后由相似三角形的对应边成比例求得答 案 【解答】解：DEBC， ADEABC， = ， BD=2AD， = ， DE=5， = ， BC=15 故选：C 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的 应用 10如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E， A=22.5，OC=4，CD 的长为（ ） A2 B4 C4 D8 【考点】垂
18、径定理；等腰直角三角形；圆周角定理 【分析】根据圆周角定理得BOC=2A=45 ，由于 O 的直径 AB 垂直于弦 CD，根据垂 径定理得 CE=DE，且可判断 OCE 为等腰直角三角形，所以 CE= OC=2 ，然 后利用 CD=2CE 进行计算 【解答】解：A=22.5， BOC=2A=45， O 的直径 AB 垂直于弦 CD， CE=DE，OCE 为等腰直角三角形， 第 11 页（共 26 页） CE= OC=2 ， CD=2CE=4 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理
19、 11如图，DE 是ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF=DE，连接 CF，则 SCEF：S 四边形 BCED 的值为（ ） A1：3 B2：3 C1：4 D2：5 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【分析】先利用 SAS 证明ADECFE（SAS） ，得出 SADE=SCFE，再由 DE 为中位线， 判断ADE ABC，且相似比为 1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到 S ADE：S ABC=1：4，则 SADE：S 四边形 BCED=1：3，进而得出 SCEF：S 四边形 BCED=1：3 【解答】解：DE 为ABC 的中位线，
20、AE=CE 在ADE 与 CFE 中， ， ADECFE（SAS） ， SADE=SCFE DE 为ABC 的中位线， ADEABC，且相似比为 1：2， SADE：S ABC=1：4， SADE+S 四边形 BCED=SABC， SADE：S 四边形 BCED=1：3， SCEF：S 四边形 BCED=1：3 故选：A 【点评】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理关键是 利用中位线判断相似三角形及相似比 第 12 页（共 26 页） 12如果点 A（2，y 1） ，B （ 1，y 2） ，C（2，y 3）都在反比例函数 的图象上， 那么 y1，y 2，y 3 的大小
21、关系是（ ） Ay 1y 3y 2 By 2y 1y 3 Cy 1y 2y 3 Dy 3y 2y 1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】分别把 x=2，x=1，x=2 代入解析式求出 y1、y 2、y 3 根据 k0 判断即可 【解答】解：分别把 x=2，x=1，x=2 代入解析式得： y1= ， y2=k， y3= ， k 0， y2 y1y 3 故选：B 【点评】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据 k0 确定 y1、y 2、y 3 的大小是解此题的关键 13二次函数 y=x2+2kx+1（k0）的图象可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图
22、象 【分析】根据对称轴公式，可得对称轴在 y 轴的左侧，根据函数图象与 y 轴的交点，可得 答案 【解答】解：数 y=x2+2kx+1（k0）的对称轴是 x= =k0，得 对称轴在 y 轴的左侧 当 x=0 时，y=1，图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方，故 A 正确； 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象的对称轴及图象与 y 轴的交点是解题关 键 第 13 页（共 26 页） 14如图，边长为 a 的正六边形内有两个三角形（数据如图） ，则 =（ ） A3 B4 C5 D6 【考点】正多边形和圆 【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可 【解答】解
23、：如图， 三角形的斜边长为 a， 两条直角边长为 a， a， S 空白 = a a= a2， AB=a， OC= a， S 正六边形 =6 a a= a2， S 阴影 =S 正六边形 S 空白 = a2 a2= a2， = =5， 法二：因为是正六边形，所以OAB 是边长为 a 的等边三角形，即两个空白三角形面积为 SOAB，即 =5 故选：C 【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三 角形的面积来计算 第 14 页（共 26 页） 15在二次函数 y=x2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx
24、 1 Dx1 【考点】二次函数的性质 【专题】压轴题 【分析】抛物线 y=x2+2x+1 中的对称轴是直线 x=1，开口向下，x1 时，y 随 x 的增大而 增大 【解答】解：a= 10， 二次函数图象开口向下， 又对称轴是直线 x=1， 当 x 1 时，函数图象在对称轴的左边，y 随 x 的增大增大 故选 A 【点评】本题考查了二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的性质：当 a0，抛物线开口向下，对 称轴为直线 x= ，在对称轴左边，y 随 x 的增大而增大 16如图，ABC 的三个顶点分别为 A（1，2） ，B（2，5） ，C （6，1） 若函数 y= 在第 一象限内的图象与ABC 有交
25、点，则 k 的取值范围是（ ） A2k B6 k10 C2 k6 D2k 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】压轴题；数形结合 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分 别是交点为 A、与线段 BC 有交点，由此求解即可 【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为 A， 过点 A（1，2 ）的反比例函数解析式为 y= ， k2 随着 k 值的增大，反比例函数的图象必须和线段 BC 有交点才能满足题意， 经过 B（2，5） ，C（6，1）的直线解析式为 y=x+7， 第 15 页（共 26 页） ，得 x27x+k=0 根据0，得
26、k 综上可知 2k 故选：A 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难 度注意自变量的取值范围 二、仔细填一填（每小题 3 分，共 12 分） 17在 RtABC 中， C=90， ，BC=8，则ABC 的面积为 24 【考点】解直角三角形 【专题】计算题 【分析】根据 tanA 的值及 BC 的长度可求出 AC 的长度，然后利用三角形的面积公式进行 计算即可 【解答】解：tanA= = ， AC=6， ABC 的面积为 68=24 故答案为：24 【点评】本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表 示形式，从而得出三角形的两条
27、直角边，进而得出三角形的面积 18一小球被抛出后，距离地面的高度 h（米）和飞行时间 t（秒）满足下面函数关系式： h=5（t1） 2+6，则小球距离地面的最大高度是 6 【考点】二次函数的应用 【分析】由函数的解析式就可以得出 a=50，抛物线的开口向下，函数由最大值，就可以 得出 t=1 时，h 最大值为 6 【解答】解：h= 5（t1） 2+6， a=50， 抛物线的开口向下，函数由最大值， t=1 时，h 最大 =6 故答案为：6 【点评】本题考了二次函数的解析式的性质的运用，解答时直接根据顶点式求出其值即 可 第 16 页（共 26 页） 19如图，在边长为 9 的正三角形 ABC
28、中，BD=3 ，ADE=60 ，则 AE 的长为 7 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】先根据边长为 9，BD=3，求出 CD 的长度，然后根据ADE=60 和等边三角形的 性质，证明ABD DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得 CE 的长度，即可 求出 AE 的长度 【解答】解：ABC 是等边三角形， B=C=60，AB=BC； CD=BCBD=93=6； BAD+ADB=120 ADE=60， ADB+EDC=120 DAB=EDC， 又B=C=60 ， ABDDCE， 则 = ， 即 = ， 解得：CE=2， 故 AE=ACCE=92=7 故答案为：7
29、【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角 形的性质证得ABD DCE 是解答此题的关键 20如图，直线 l：y= x+1 与坐标轴交于 A，B 两点，点 M（m ，0）是 x 轴上一动点， 以点 M 为圆心，2 个单位长度为半径作M，当M 与直线 l 相切时，则 m 的值为 2 2 或 2+2 第 17 页（共 26 页） 【考点】直线与圆的位置关系；一次函数的性质 【专题】压轴题 【分析】根据直线 ly= x+1 由 x 轴的交点坐标 A（0，1） ，B（2，0） ，得到 OA=1， OB=2，求出 AB= ；设M 与 AB 相切与 C，连接 MC，则
30、MC=2，MCAB， 通过BMO ABO，即可得到结果 【解答】解：在 y= x+1 中， 令 x=0，则 y=1， 令 y=0，则 x=2， A（ 0， 1） ，B（2，0） ， AB= ； 如图，设M 与 AB 相切与 C， 连接 MC，则 MC=2，MC AB， MCB=AOB=90，B=B， BMCABO， ，即 ， BM=2 ， OM=2 2，或 OM=2 +2 m=22 或 m=2+2 故答案为：22 ，2+2 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质， 注意分类讨论是解题的关键 三、用心答一答，相信你一定行（共 6 大题，60 分） 21已知代
31、数式 x2+5x4 与 4x+2 的值相等，求 x 的值 第 18 页（共 26 页） 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】利用代数式 x2+5x4 与 4x+2 的值相等列方程得到 x2+5x4=4x+2，再整理为 x2+x6=0，然后利用因式分解法解方程即可 【解答】解：根据题意得 x2+5x4=4x+2， 整理得 x2+x6=0， （x+3） （x 2）=0， x+3=0 或 x2=0， 解得 x1=3，x 2=2 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过 因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为
32、0，这就能得 到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一 元一次方程的问题了（数学转化思想） 四、解答题（共 1 小题，满分 8 分） 22已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A（2，0） ，与反比 例函数在第一象限内的图象的交于点 B（2，n） ，连接 BO，若 SAOB=4 （1）求该反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 与 y 轴的交点为 C，求 OCB 的面积 【考点】反比例函数综合题 【专题】计算题；待定系数法 【分析】 （1）先由 A（2，0） ，得 OA=2，点 B（2，n） ，S
33、AOB=4，得 OAn=4，n=4，则 点 B 的坐标是（2，4） ，把点 B（2，4）代入反比例函数的解析式为 y= ，可得反比例函 第 19 页（共 26 页） 数的解析式为：y= ；再把 A（ 2，0） 、B（2，4）代入直线 AB 的解析式为 y=kx+b 可得 直线 AB 的解析式为 y=x+2 （2）把 x=0 代入直线 AB 的解析式 y=x+2 得 y=2，即 OC=2，可得 S OCB= OC2= 22=2 【解答】解：（1）由 A（2，0） ，得 OA=2； 点 B（2，n）在第一象限内，S AOB=4， OAn=4； n=4； 点 B 的坐标是（2，4） ； 设该反比例函
34、数的解析式为 y= （a0） ， 将点 B 的坐标代入，得 4= ， a=8； 反比例函数的解析式为：y= ； 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0） ， 将点 A，B 的坐标分别代入，得 ， 解得 ； 直线 AB 的解析式为 y=x+2； （2）在 y=x+2 中，令 x=0，得 y=2 点 C 的坐标是（0，2） ， OC=2； SOCB= OC2= 22=2 【点评】本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应 用知识、解决问题的能力此题有点难度 五、解答题（共 1 小题，满分 10 分） 23如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： 第 20 页（共
35、 26 页） sin2A1+sin2B1= 1 ；sin 2A2+sin2B2= 1 ；sin 2A3+sin2B3= 1 （1）观察上述等式，猜想：在 RtABC 中， C=90，都有 sin2A+sin2B= 1 （2）如图，在 RtABC 中，C=90，A 、B、C 的对边分别是 a、b、c，利用三角 函数的定义和勾股定理，证明你的猜想 （3）已知：A+ B=90，且 sinA= ，求 sinB 【考点】勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形 【专题】几何综合题；规律型 【分析】 （1）由前面的结论，即可猜想出：在 RtABC 中， C=90，都有 sin2A+sin2B=1；
36、（2）在 RtABC 中， C=90利用锐角三角函数的定义得出 sinA= ，sinB= ，则 sin2A+sin2B= ，再根据勾股定理得到 a2+b2=c2，从而证明 sin2A+sin2B=1； （3）利用关系式 sin2A+sin2B=1，结合已知条件 sinA= ，进行求解 【解答】解：（1）由图可知：sin 2A1+sin2B1=（ ） 2+（ ） 2=1； sin2A2+sin2B2=（ ） 2+（ ） 2=1； sin2A3+sin2B3=（ ） 2+（ ） 2=1 观察上述等式，可猜想：sin 2A+sin2B=1 （2）如图，在 RtABC 中， C=90 sinA= ，s
37、inB= ， sin2A+sin2B= ， C=90， a2+b2=c2， sin2A+sin2B=1 （3）sinA= ，sin 2A+sin2B=1， 第 21 页（共 26 页） sinB= = 【点评】本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数 的定义，比较简单 六、解答题（共 1 小题，满分 10 分） 24如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线 x= （1）求抛物线的解析式； （2）M 是线段 AB 上的任意一点，当MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标
38、【考点】二次函数综合题 【专题】综合题 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待定系 数法求解即可； （2）首先求得点 B 的坐标，然后分 CM=BM 时和 BC=BM 时两种情况根据等腰三角形的 性质求得点 M 的坐标即可 【解答】解：（1）设抛物线的解析式 把 A（2，0） 、C（0，3）代入得： 解得： 即 （2）由 y=0 得 x1=2，x 2=3 B（ 3，0） 第 22 页（共 26 页） CM=BM 时 BO=CO=3 即BOC 是等腰直角三角形 当 M 点在原点 O 时，MBC 是等腰三角形 M 点坐标（0 ，0） 如图所示：当 BC=BM
39、 时 在 RtBOC 中，BO=CO=3， 由勾股定理得 BC= BC= ， BM= M 点坐标（ ， 综上所述：M 点坐标为：M 1（ ，M 2（0，0） 【点评】本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析 式，较为简单第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强 七、解答题（共 1 小题，满分 12 分） 25如图，OAB 中，OA=OB=10，AOB=80，以点 O 为圆心，6 为半径的优弧 分别 交 OA，OB 于点 M，N （1）点 P 在右半弧上（BOP 是锐角） ，将 OP 绕点 O 逆时针旋转 80得 OP求证： AP=BP； （2）点
40、 T 在左半弧上，若 AT 与弧相切，求点 T 到 OA 的距离； （3）设点 Q 在优弧 上，当 AOQ 的面积最大时，直接写出 BOQ 的度数 【考点】圆的综合题 【分析】 （1）首先根据已知得出AOP=BOP ，进而得出AOPBOP ，即可得出答案； 第 23 页（共 26 页） （2）利用切线的性质得出ATO=90，再利用勾股定理求出 AT 的长，进而得出 TH 的长 即可得出答案； （3）当 OQOA 时，AOQ 面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可 【解答】 （1）证明：如图 1，AOP= AOB+BOP=80+BOP， BOP=POP+BOP=80+BOP， AOP=B
41、OP， 在 AOP 和BOP 中 AOPBOP（SAS） ， AP=BP； （2）解：如图 1，连接 OT，过点 T 作 THOA 于点 H， AT 与 相切， ATO=90， AT= = =8， OATH= ATOT， 即 10TH= 86， 解得：TH= ，即点 T 到 OA 的距离为 ； （3）解：如图 2，当 OQOA 时， AOQ 的面积最大； 理由：OQ OA， QO 是 AOQ 中最长的高，则 AOQ 的面积最大， BOQ=AOQ+AOB=90+80=170， 当 Q 点在优弧 右侧上， OQOA， QO 是 AOQ 中最长的高，则 AOQ 的面积最大， BOQ=AOQAOB=9
42、080=10， 综上所述：当BOQ 的度数为 10或 170时，AOQ 的面积最大 第 24 页（共 26 页） 【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及切线的判定与性质以及全等三角形的判定与性 质等知识，根据数形结合进行分类讨论得出是解题关键 八、解答题（共 1 小题，满分 12 分） 26在 RtABC 中， C=90，P 是 BC 边上不同于 B、C 的一动点，过 P 作 PQAB，垂 足为 Q，连接 AP （1）试说明不论点 P 在 BC 边上何处时，都有PBQ 与ABC 相似； （2）若 AC=3，BC=4 ，设 BP 长为 x，请用含 x 的代数式表示 PQ= x ；BQ= x ；
43、当 BP 为何值时，AQP 面积最大，并求出最大值； （3）在 RtABC 中，两条直角边 BC、AC 满足关系式 BC=kAC，是否存在一个 k 的值， 使 RtAQP 既与 RtACP 全等，也与 RtBQP 全等，并说明理由 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）利用勾股定理求出 AB，根据相似三角形的性质列出比例式求出 PQ、BQ，根据三角 形的面积公式求出AQP 面积，根据二次函数的性质解答即可； （3）根据全等三角形的对应边相等和勾股定理计算即可 【解答】解：（1）不论点 P 在 BC 边上何处时，都有 PQB=C=90，B= B， PBQ
44、ABC； 第 25 页（共 26 页） （2）C=90，AC=3 ，BC=4， AB= =5， PBQ 与ABC， = = ，即 = = ， PQ= x，BQ= x； SAPQ= PQAQ= （5 x） x = x2+ x =（x ） 2+ ， 则当 BP= 时，AQP 面积最大，最大值为 ； （3）存在 RtAQPRtACP， AQ=AC， 又 RtAQPRtBQP， AQ=QB， AQ=QB=AC， 在 RtABC 中，由勾股定理得 BC2=AB2AC2 即 BC2=（2AC） 2AC2， 则 BC2=3AC2， BC= AC， k= 时， RtAQP 既与 RtACP 全等，也与 RtBQP 全等 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及二次函数的性质， 掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式、 掌握二次函数的性质是解题的关键 第 26 页（共 26 页） 2016 年 3 月 5 日
