1、第 1 页（共 14 页） 2015-2016 学年四川省凉山州高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的. 1已知全集为自然数集合 N，集合 A=1，3，5，7，9，B=0，3，6，9，12，则 A（ UB）=（ ） A3 ，5，7 B1，5，7 C1，3，9 D1 ，2，3 2sin（ ）的值是（ ） A B C D 3下列函数中，最小正周期为 的是（ ） Ay=cos4x By=sin2x C D 4下列函数中，是奇函数，又是定义域内为减函数的是（ ） Ay=| |x By= Cy=x 3 D
2、y=x 2 5函数 y= + + 的值域是（ ） A3 B3，1 C3，1，1 D3 ，1，1，3 6 的值是（ ） A B C2 D2 7函数的 f（x）=log 3x8+2x 零点一定位于区间（ ） A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （5，6） 8已知函数 y=f（x）+x 是偶函数，且 f（2）=1，则 f（ 2）=（ ） A1 B1 C5 D5 9函数 f（x）= （x 22x3）的单调减区间是（ ） A （3，+） B （1，+） C （，1） D （，1） 第 2 页（共 14 页） 10要得到函数 y=cos（ ）的图象，只需将函数 y=sin 的图象（ ） A
3、向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 11三个数 a=0.22，b=log 2，c=2 0.2 之间的大小关系是（ ） Aacb Bba c Ca bc Dbca 12已知 0，sin=2cos ，则 2sin2sincos +cos2 的值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 13sin（435）的值等于 14已知函数 y=f（x+1）定义域是 2，3，则 y=f（2x1）的定义域是 15函数 的值域为 16化简：（3a b ） （a b ）（2a b ）= 三、解答题.:(本题 6
4、个小题，共 48 分). 17计算： +log2 18已知 cos（+ ）= ，求 sin（ ）的值 19记关于 x 的不等式 0 的解集为 P，不等式|x 1| 1 的解集为 Q （1）若 a=3，求 P； （2）若 a0，且 QP，求 a 的取值范围 20已知 cos（+ ）= ， （0， ） ，求 sin（2 ）的值 21要使函数 y=1+2x+4xa 在 x（，1 时，y0 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 3 页（共 14 页） 22某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投 资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资
5、 1 万 元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元（如图） （1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系； （2）该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大 的收益，其最大收益为多少万元？ 第 4 页（共 14 页） 2015-2016 学年四川省凉山州高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的. 1已知全集为自然数集合 N，集合 A=1，3，5，7，9，B=0，3，6，9，12，则 A（ UB）=（ ） A3 ，5，7 B1
6、，5，7 C1，3，9 D1 ，2，3 【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可 【解答】解：全集为自然数集合 N，集合 A=1，3，5，7，9，B=0，3，6，9，12， 则 AUB=1， 5，7 故选：B 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2sin（ ）的值是（ ） A B C D 【考点】运用诱导公式化简求值 【专题】三角函数的求值 【分析】原式中的角度变形 【解答】解：sin（ ）=sin =sin （3+ ）=sin （+ ）=sin
7、 = 故选：A 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键 3下列函数中，最小正周期为 的是（ ） Ay=cos4x By=sin2x C D 【考点】三角函数的周期性及其求法 【专题】计算题 【分析】分别找出四个选项函数的 值，代入周期公式 T= 中求出各自的周期，即可得 到最小正周期为 的函数 【解答】解：A、y=cos4x 的周期 T= = ，本选项错误； B、y=sin2x 的周期 T= =，本选项正确； 第 5 页（共 14 页） C、y=sin 的周期为 T= =4，本选项错误； D、y=cos 的周期为 T= =8，本选项错误， 则最小正周期为 的函数
8、为 y=sin2x 故选 B 【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握三角函数的周期公式是解本题 的关键 4下列函数中，是奇函数，又是定义域内为减函数的是（ ） Ay=| |x By= Cy=x 3 Dy=x 2 【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】根据奇函数图象的对称性，指数函数的图象，反比例函数在定义域上的单调性， 奇函数和减函数的定义，便可判断每个选项的正误，从而得出正确选项 【解答】解：A. ，该函数图象不关于原点对称，不是奇函数； B. 在定义域内没有单调性； Cy=x 3，显然该函数为奇函数，根据减函数的定义知，在定义域内为
9、减函数，即该选 项正确； Dy=x 2，该函数为偶函数，不是奇函数 故选 C 【点评】考查指数函数的图象，奇函数的定义，减函数的定义，以及奇函数图象的对称 性 5函数 y= + + 的值域是（ ） A3 B3，1 C3，1，1 D3 ，1，1，3 【考点】三角函数值的符号；函数的值域 【专题】三角函数的求值 【分析】由函数的解析式对 x 进行分类讨论，分别利用三角函数值的符号化简求值，再求 出函数 y= + + 的值域 【解答】解：当 x 是第一象限角时，sinx0、cosx0、tanx0， 则 y= + + =1+1+1=3； 当 x 是第二象限角时，sinx 0、cosx0、tanx0，
10、则 y= + + =111=1； 当 x 是第三象限角时，sinx 0、cosx0、tanx0， 第 6 页（共 14 页） 则 y= + + =11+1=1； 当 x 是第四象限角时，sinx 0、cosx0、tanx0， 则 y= + + =1+11=1； 综上可得，函数 y= + + 的值域是1，3 ， 故选：B 【点评】本题考查三角函数值的符号，三角函数的值域，以及分类讨论思想 6 的值是（ ） A B C2 D2 【考点】二倍角的正切 【专题】计算题；三角函数的求值 【分析】利用二倍角的正切公式，即可得出结论 【解答】解： = 2= =2 故选：D 【点评】本题考查二倍角的正切公式，
11、考查学生的计算能力，比较基础 7函数的 f（x）=log 3x8+2x 零点一定位于区间（ ） A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （5，6） 【考点】函数的零点 【专题】函数的性质及应用 【分析】利用根的存在性定理分别判断，在区间端点符合是否相反即可 【解答】解：函数 f（x）=log 3x8+2x 为增函数， f（ 3）=log 338+2 3=1 0，f （4）=log 348+2 4=log3410， 函数在（3，4）内存在零点 故选：C 【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用根的存在性定理是解决此类问题的基本方 法 8已知函数 y=f（x）+x 是偶函数，且 f（2
12、）=1，则 f（ 2）=（ ） A1 B1 C5 D5 【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用 【专题】函数的性质及应用 【分析】根据函数 y=f（x）+x 是偶函数，可知 f（2）+（2）=f（2）+2，而 f（2） =1，从而可求出 f（2）的值 【解答】解：令 y=g（x）=f（x）+x， f（ 2）=1， 第 7 页（共 14 页） g（ 2） =f（2）+2=1+2=3 ， 函数 g（x）=f （x）+x 是偶函数， g（ 2）=3=f（2）+（2） ，解得 f（2）=5 故选 D 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想， 属于基础题 9函
13、数 f（x）= （x 22x3）的单调减区间是（ ） A （3，+） B （1，+） C （，1） D （，1） 【考点】复合函数的单调性 【专题】计算题 【分析】根据函数 f（x）= （x 22x3）的解析式，根据对数的真数部分必须为正， 我们可以求出函数的定义域，在各个区间上分类讨论复合函数 f（x）= （x 22x3） 的单调性，即可得到函数 f（ x）= （x 22x3）的单调减区间 【解答】解：要使函数 f（x） = （x 22x3）的解析式有意义 x22x30 解得 x1，或 x3 当 x（，1）时，内函数为减函数，外函数也为减函数，则复合函数 f（x） = （x 22x3）为增函
14、数； 当 x（3，+）时，内函数为增函数，外函数为减函数，则复合函数 f（x） = （x 22x3）为减函数； 故函数 f（x）= （x 22x3）的单调减区间是（3，+） 故选 A 【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中复合函数单调性的确定原则“同增异 减”是解答问题的关键，但解题中易忽略函数的定义域而错选 B 10要得到函数 y=cos（ ）的图象，只需将函数 y=sin 的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【专题】常规题型 第 8 页（共 14 页） 【分析】
15、先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数 到 的路线，即可得到选项 【解答】解： = = ， 只需将函数 的图象，向左平移 个单位长度得到函数 = 的图象 故选 A 【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意 诱导公式的应用 11三个数 a=0.22，b=log 2，c=2 0.2 之间的大小关系是（ ） Aacb Bba c Ca bc Dbca 【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及应用 【分析】利用对数函数的单调性即可得出 【解答】解：0a=0.2 21，b=log 20，c=2 0.21， b ac 故选：B 【点评】本题考查
16、了对数函数的单调性，属于基础题 12已知 0，sin=2cos ，则 2sin2sincos +cos2 的值为（ ） A B C D 【考点】三角函数的化简求值 【专题】计算题；规律型；函数思想；三角函数的求值 【分析】利用同角三角函数的基本关系式，化简所求的表达式为正切函数的形式，然后求 解即可 【解答】解：0，sin =2cos，tan =2， 2sin2sin cos+cos2= = = = 故选：D 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能 力 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 第 9 页（共 14 页） 13sin
17、（435）的值等于 【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值 【专题】计算题；规律型；函数思想；三角函数的求值 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可 【解答】解：sin（435）=sin （75 ）=sin （30+45 ）=sin30 cos45cos30 sin45 = 故答案为： 【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数，考查计算能力 14已知函数 y=f（x+1）定义域是 2，3，则 y=f（2x1）的定义域是 【考点】函数的定义域及其求法 【专题】计算题 【分析】利用函数的定义域是自变量的取值范围，同一法则 f 对括号的范围要求一致；先 求出 f（x）的定义域；再求出
18、f（2x1）的定义域 【解答】解：y=f（x+1 ）定义域是 2，3， 1x+14， f（ x）的定义域是1，4， 令12x14， 解得 0x ， 故答案为： 【点评】本题考查知 f（ax+b ）的定义域求 f（x）的定义域只要求 ax+b 的值域即可、知 f（x）的定义域为c，d求f（ax+b）的定义域只要解不等式 cax+bd 的解集即可 15函数 的值域为 （1，2 ） 【考点】函数的值域 【专题】函数的性质及应用 【分析】分析出 x0 时，函数为增函数，结合反比例型函数的图象和性质，可得答案 【解答】解： 故 x0 时，函数为增函数 由 x=0 时，f （0）= 1，x 趋于+时，f（
19、x）趋于 2 故函数 的值域为（1，2） 故答案为：（1，2） 第 10 页（共 14 页） 【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中分析出函数的单调性是解答的关键 16化简：（3a b ） （a b ）（2a b ）= 【考点】有理数指数幂的化简求值 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】利用有理数指数幂运算法则求解 【解答】解：（3a b ） （a b ）（2a b ） = = 故答案为： 【点评】本题考查有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数性 质、运算法则的合理运用 三、解答题.:(本题 6 个小题，共 48 分). 17计算： +log2
20、 【考点】对数的运算性质 【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用 【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可 【解答】解： +log2 =log252+log 2 =log252log 25=2 【点评】本题考查对数运算法则的应用，是基础题 18已知 cos（+ ）= ，求 sin（ ）的值 【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系 【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值 【解答】解：cos（+ ）= ， sin（ ）=sin （ + ）=cos（ + ）= ， 故答案为： 【点评】此题考查了
21、运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握 诱导公式是解本题的关键 第 11 页（共 14 页） 19记关于 x 的不等式 0 的解集为 P，不等式|x 1| 1 的解集为 Q （1）若 a=3，求 P； （2）若 a0，且 QP，求 a 的取值范围 【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法 【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用 【分析】 （1）把 a=3 代入不等式解集合 P；（2）根据 QP，求正数 a 的取值范围 【解答】解：（1）当 a=3 时，由 0，得 P=（1，3）4 分 （2）由|x1| 1，得：Q=x|0x26 分 由
22、a0，得 P=（1，a ） ，8 分 又 QP，所以 a2， 即 a 的取值范围是（2，+）10 分 【点评】本题主要考查不等式的解法和集合间的关系 20已知 cos（+ ）= ， （0， ） ，求 sin（2 ）的值 【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数 【专题】函数思想；整体思想；综合法；三角函数的求值 【分析】由二倍角公式和同角三角函数基本关系可得 cos2 和 sin2，代入 sin（2 ） = sin2 cos2，计算可得 【解答】解：cos（+ ）= ， （0， ） ， sin（+ ） = = ， sin（2+ ） =2sin（+ ）cos（ + ）= ， 由诱导公式
23、可得 cos2=sin（2 + ）= ， 同理可得 sin2=cos （2+ ） =sin2（+ ） cos 2（ + ）= sin（2 ）= sin2 cos2 = = 【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数基本关系， 属中档题 21要使函数 y=1+2x+4xa 在 x（，1 时，y0 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 12 页（共 14 页） 【考点】函数恒成立问题 【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 【分析】由题意，得 1+2x+4xa0 在 x（，1上恒成立，即 a 在 x（，1上恒成立运用指数函数的性质，结合二次函数的值
24、域求法，可得最大值， 进而得到 a 的范围 【解答】解：由题意，得 1+2x+4xa0 在 x（，1上恒成立， 即 a 在 x（，1上恒成立 又 = （ ） 2x（ ） x= （ ） x+ 2+ ， 当 x（，1时， （ ） x2，+） ， （2+ ） 2+ =6， a6 即 a 的取值范围是（6，+） 【点评】本题考查指数函数的性质和应用，将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是 解决这类问题常用的方法 22某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投 资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资 1 万 元时两类产品的收益分别为
25、0.125 万元和 0.5 万元（如图） （1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系； （2）该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大 的收益，其最大收益为多少万元？ 【考点】函数模型的选择与应用 【专题】函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （1）利用待定系数法确定出 f（x）与 g（x）解析式即可； （2）设设投资债券类产品 x 万元，则股票类投资为（20x）万元，根据 y=f（x） +g（x）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果 【解答】解：（1）设 f（x） =k1x，g（x）=k 2 ， 由题意，可得 f（1
26、）=0.125=k 1，g（1）=k 2=0.5， 则 f（x）=0.125x （x 0） ，g（ x）=0.5 （x0） ； （2）设投资债券类产品 x 万元，则股票类投资为（20x）万元， 第 13 页（共 14 页） 由题意，得 y=f（x）+g（20x）=0.125x+0.5 （0x20） ， 令 t= ，则有 x=20t 2， y=0.125（20t 2）+0.5t= 0.125（t2） 2+3， 当 t=2，即 x=16 万元时，收益最大，此时 ymax=3 万元， 则投资债券等稳健型产品 16 万元，投资股票等风险型产品 4 万元获得收益最大，最大收益 为 4 万元 【点评】此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键 第 14 页（共 14 页） 2016 年 2 月 21 日
