1、2017-2018 学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符 合题意的 1 （3 分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为 0.056 盎司将 0.056 用科学记数法表示为（ ） A5.610 1 B5.610 2 C5.610 3 D0.56 101 2 （3 分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、 扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象下列四个文字依次为某女书 传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下
2、列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 4 （3 分）若分式 的值为 0，则 x 的值等于（ ） A0 B2 C3 D3 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ab 5b3=b2 B （b 5） 2=b7 C b2b4=b8 Da （a 2b）=a 2+2ab 6 （3 分）如图，在ABC 中，B=C=60，点 D 为 AB 边的中点，DEBC 于 E，若 BE=1，则 AC 的长为（ ） A2 B C4 D 7 （3 分）如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD，BC=DC将仪器上的点 A 与PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点
3、 A，C 画一条射线 AE，AE 就是PRQ 的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪 器结构，可得ABCADC ，这样就有QAE=PAE则说明这两个三角形全等的 依据是（ ） ASAS BASA CAAS DSSS 8 （3 分）如图，根据计算长方形 ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A （a +b） 2=a2+2ab+b2 B （ab ） 2=a22ab+b2 C （ a+b） （ab）=a 2b2 Da（a+b）=a 2+ab 9 （3 分）如图，已知等腰三角形 ABC，AB=AC若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧， 交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是（ ）
4、AAE=EC BAE=BE CEBC=BAC DEBC= ABE 10 （3 分）如图，点 P 是AOB 内任意一点，且AOB=40，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，当PMN 周长取最小值时，则MPN 的度数为（ ） A140 B100 C50 D40 二、填空题：（本题共 16 分，每小题 2 分） 11 （2 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12 （2 分）在平面直角坐标系中，若点 M（2，1 ）关于 y 轴对称的点的坐标为 13 （2 分）如图，点 B、 F、C、E 在一条直线上，已知 FB=CE，ACDF，请你添加一个 适当的条件
5、使得ABCDEF 14 （2 分）等腰三角形一边等于 5，另一边等于 8，则周长是 15 （2 分）如图，D 在 BC 边上，ABCADE，EAC=40 ，则B 的度数为 16 （2 分）如图，在ABC 中，ACB=90 ，AD 是ABC 的角平分线， BC=10cm，BD：DC=3：2，则点 D 到 AB 的距离为 17 （2 分）如果实数 a，b 满足 a+b=6，ab=8，那么 a2+b2= 18 （2 分）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线 已知：线段 AB 求作：线段 AB 的垂直平分线 小红的作法如下： 如图，分别以点 A 和点 B 为
6、圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C； 再分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径（不同于中的半径）作弧，两 弧相交于点 D，使点 D 与点 C 在直线 AB 的同侧； 作直线 CD 所以直线 CD 就是所求作的垂直平分线 老师说：“小红的作法正确 ” 请回答：小红的作图依据是 三、解答题（本题共 9 个小题，共 54 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19 （5 分）计算： 20 （5 分）因式分解： （1）x 24 （2）ax 24axy+4ay2 21 （5 分）如图，点 E， F 在线段 AB 上，且 AD=BC，A=B ，AE=BF求证： DF
7、=CE 22 （5 分）已知 x2+x=2，求（x+2） 2x（x+3）+（x+1） （x1）的值 23 （5 分）解分式方程： 24 （5 分）先化简，再求值： ，其中 x= 2 25 （6 分）列分式方程解应用题： 北京第一条地铁线路于 1971 年 1 月 15 日正式开通运营截至 2017 年 1 月，北京地铁 共有 19 条运营线路，覆盖北京市 11 个辖区据统计，2017 年地铁每小时客运量 是 2002 年地铁每小时客运量的 4 倍，2017 年客运 240 万人所用的时间比 2002 年客 运 240 万人所用的时间少 30 小时，求 2017 年地铁每小时的客运量？ 26 （
8、6 分）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 于点 D，AM 是ABC 的外角CAE 的平 分线 （1）求证：AMBC ； （2）若 DN 平分ADC 交 AM 于点 N，判断ADN 的形状并说明理由 27 （6 分）定义：任意两个数 a，b，按规则 c=ab+a+b 扩充得到一个新数 c，称所得的 新数 c 为“ 如意数” （1）若 a= ，b=1，直接写出 a，b 的“如意数”c； （2）如果 a=m4，b=m ，求 a，b 的“如意数”c，并证明 “如意数”c0 （3）已知 a=x21（x0） ，且 a，b 的“如意数”c=x 3+3x21，则 b= （用含 x 的式 子表示） 28 （
9、6 分）如图，在等边三角形 ABC 的外侧作直线 AP，点 C 关于直线 AP 的对称点为 点 D，连接 AD，BD ，其中 BD 交直线 AP 于点 E （1）依题意补全图形； （2）若PAC=20，求AEB 的度数； （3）连结 CE，写出 AE，BE，CE 之间的数量关系，并证明你的结论 2017-2018 学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符 合题意的 1 （3 分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为 0.056 盎司将 0.056 用科学记数法表示为（ ） A
10、5.610 1 B5.610 2 C5.610 3 D0.56 101 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较 大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为 零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：将 0.056 用科学记数法表示为 5.6102， 故选：B 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 2 （3 分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、 扇面、布帕等物品上，是一种独特而神
11、奇的文化现象下列四个文字依次为某女书 传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】利用轴对称图形定义判断即可 【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对 称图形的是 ， 故选：A 【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键 3 （3 分）下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可 【解答】解：A、 =|a+b|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、 2 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、 是最简二次根式，故本选项符合题意； D、 =
12、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此 题的关键 4 （3 分）若分式 的值为 0，则 x 的值等于（ ） A0 B2 C3 D3 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零 【解答】解：分式 的值为 0， x2=0 且 x+30， x=2 故选：B 【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的 关键 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ab 5b3=b2 B （b 5） 2=b7 C b2b4=b8 Da （a 2b）=a 2+2ab 【分析】根据整式的除法和乘法
13、判断即可 【解答】解：A、b 5b3=b2，正确； B、 （b 5） 2=b10，错误； C、 b2b4=b6，错误； D、a（a 2b） =a22ab，错误； 故选：A 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键 6 （3 分）如图，在ABC 中，B=C=60，点 D 为 AB 边的中点，DEBC 于 E，若 BE=1，则 AC 的长为（ ） A2 B C4 D 【分析】在 RtBDE 中可先求得 BD 的长，则可求得 AB 的长，由条件又可证得ABC 为等边三角形，则可求得 AC=AB，可求得答案 【解答】解： B=60，DEBC， BD=2BE=2， D 为 AB 边的
14、中点， AB=2BD=4， B= C=60， ABC 为等边三角形， AC=AB=4， 故选：C 【点评】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角 形的性质求得 AB 的长是解题的关键 7 （3 分）如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD，BC=DC将仪器上的点 A 与PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点 A，C 画一条射线 AE， AE 就是PRQ 的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪 器结构，可得ABCADC ，这样就有QAE=PAE则说明这两个三角形全等的 依据是（ ） ASAS BASA CAAS D
15、SSS 【分析】在ADC 和ABC 中，由于 AC 为公共边，AB=AD，BC=DC，利用 SSS 定理可 判定ADCABC，进而得到DAC=BAC，即QAE=PAE 【解答】解：在ADC 和ABC 中， ， ADCABC （SSS） ， DAC=BAC， 即QAE=PAE 故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用 SSS 判断全等，再运用性质， 是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意 8 （3 分）如图，根据计算长方形 ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A （a +b） 2=a2+2ab+b2 B （ab ） 2=a22ab+b2
16、C （ a+b） （ab）=a 2b2 Da（a+b）=a 2+ab 【分析】长方形 ABCD 的面积可以表示为 a（a+b） ，也可表示为两个长方形的面积和， 即 a2+ab，所以 a（a+b ）=a 2+ab 【解答】解：长方形 ABCD 面积=两个小长方形面积的和， 可得 a（a +b）=a 2+ab 故选：D 【点评】此题应用面积法，通过大长方形的面积等于两个小长方形面积的和得出等 式 9 （3 分）如图，已知等腰三角形 ABC，AB=AC若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧， 交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是（ ） AAE=EC BAE=BE CEBC=BAC DEBC
17、= ABE 【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：AB=AC， ABC=ACB， 以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E， BE=BC， ACB=BEC， BEC=ABC=ACB ， A=EBC， 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相 等，难度不大 10 （3 分）如图，点 P 是AOB 内任意一点，且AOB=40，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，当PMN 周长取最小值时，则MPN 的度数为（ ） A140 B100 C50 D40 【分析】分别作点 P 关于 OA、
18、OB 的对称点 P1、P 2，连 P1、P 2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，PMN 的周长 =P1P2，然后得到等腰 OP 1P2 中， OP 1P2+OP 2P1=100，即可得 出MPN=OPM+OPN= OP 1M+OP 2N=100 【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P 2，连接 P1P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，则 OP1=OP=OP2，OP 1M=MPO，NPO= NP 2O， 根据轴对称的性质，可得 MP=P1M，PN=P 2N，则 PMN 的周长的最小值=P 1P2， P 1OP2=2AOB=80， 等腰OP 1P2 中，OP 1P
19、2+OP 2P1=100， MPN=OPM+OPN=OP 1M+OP 2N=100， 故选：B 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰 OP 1P2 中 OP 1P2+OP 2P1=100是关键凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质 定理，多数情况要作点关于某直线的对称点 二、填空题：（本题共 16 分，每小题 2 分） 11 （2 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即 可 【解答】解：式子 在实数范围内有意义， x10， 解得 x1 故答案为：x1 【
20、点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0 12 （2 分）在平面直角坐标系中，若点 M（2，1 ）关于 y 轴对称的点的坐标为 （2，1） 【分析】根据关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点 （x，y ）关于 y 轴的对称点的坐标是（ x，y ）即可得到点 M（2，1）关于 y 轴对称 的点的坐标 【解答】解：点 M（2，1）关于 y 轴的对称点的坐标是（ 2，1） ， 故答案为：（2，1） 【点评】此题主要考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记 规律：（1）关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数
21、（2）关 于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变 13 （2 分）如图，点 B、 F、C、E 在一条直线上，已知 FB=CE，ACDF，请你添加一个 适当的条件 A=D 使得ABCDEF 【分析】根据全等三角形的判定定理填空 【解答】解：添加A=D理由如下： FB=CE， BC=EF 又ACDF， ACB=DFE 在ABC 与DEF 中， ， ABCDEF（AAS） 故答案是：A=D 【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握， 熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目， 比较典型 14 （2 分）等腰三角形一边等
22、于 5，另一边等于 8，则周长是 18 或 21 【分析】因为等腰三角形的两边分别为 5 和 8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有 两种情况，需要分类讨论 【解答】解：当 5 为底时，其它两边都为 8，5、8、8 可以构成三角形，周长为 21； 当 5 为腰时，其它两边为 5 和 8，5、5、8 可以构成三角形，周长为 18， 所以答案是 18 或 21 故填 18 或 21 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三 角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下 分类讨论 15 （2 分）如图，D 在 BC 边上，ABCADE，E
23、AC=40 ，则B 的度数为 70 【分析】根据全等三角形的性质得出 AB=AD，BAC=DAF ，求出BAD=EAC=40， 根据等腰三角形的性质得出B=ADB，即可求出答案 【解答】解：ABCADE ， AB=AD， BAC=DAF， BACDAC=DAF DAC， BAD=EAC ， EAC=40 ， BAD=40 ， AB=AD， B= ADB= （180 BAD）=70， 故答案为：70 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知 识点，能根据全等三角形的性质得出 AB=AD 和求出 BAD=EAC 是解此题的关键 16 （2 分）如图，在ABC 中，
24、ACB=90 ，AD 是ABC 的角平分线， BC=10cm，BD：DC=3：2，则点 D 到 AB 的距离为 4cm 【分析】先由 BC=10cm， BD：DC=3 ：2 计算出 DC=4cm，由于ACB=90 ，则点 D 到 AC 的距离为 4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点 D 到 AB 的距离等于 4cm 【解答】解：BC=10cm，BD ：DC=3 ：2， DC=4cm， AD 是ABC 的角平分线，ACB=90 ， 点 D 到 AB 的距离等于 DC，即点 D 到 AB 的距离等于 4cm 故答案为 4cm 【点评】本题考查了角平分线的判定与性质：角平分线上的点到角的两边的距
25、离相等； 到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 17 （2 分）如果实数 a，b 满足 a+b=6，ab=8，那么 a2+b2= 20 【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值 【解答】解：a+b=6，ab=8， a 2+b2=（a+b） 22ab=3616=20， 故答案为：20 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 18 （2 分）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线 已知：线段 AB 求作：线段 AB 的垂直平分线 小红的作法如下： 如图，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长
26、为半径作弧，两弧相交于点 C； 再分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径（不同于中的半径）作弧，两 弧相交于点 D，使点 D 与点 C 在直线 AB 的同侧； 作直线 CD 所以直线 CD 就是所求作的垂直平分线 老师说：“小红的作法正确 ” 请回答：小红的作图依据是 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线 上；两点确定一条直线 【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得出结论 【解答】解：如图，由作图可知，AC=BC=AD=BD， 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条 直线 【点评】本题考查
27、的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关 键 三、解答题（本题共 9 个小题，共 54 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19 （5 分）计算： 【分析】利用零指数幂、负整数幂的意义和二次根式的乘法法则运算 【解答】解：原式= + +21 = +2 +1 =3 +1 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然 后进行二次根式的乘除运算，再合并即可 20 （5 分）因式分解： （1）x 24 （2）ax 24axy+4ay2 【分析】 （1）原式利用平方差公式分解即可； （2）原式提取 a，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：（1）
28、原式=（x +2） （x2） ； （2）原式=a（x 24xy+4y2）=a（x 2y） 2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解 本题的关键 21 （5 分）如图，点 E， F 在线段 AB 上，且 AD=BC，A=B ，AE=BF求证： DF=CE 【分析】利用 AE=BF，得到 AF=BE，证明ADF BCE（SAS ） ，即可得到 DF=CE（全等 三角形的对应边相等） 【解答】证明：点 E， F 在线段 AB 上，AE=BF， AE +EF=BF+EF， 即：AF=BE， 在ADF 与BCE 中， ， ADFBCE（SAS） DF=CE（全等三角
29、形对应边相等） 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明 ADFBCE 22 （5 分）已知 x2+x=2，求（x+2） 2x（x+3）+（x+1） （x1）的值 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子， 然后根据 x2+x=2，即可解答本题 【解答】解：（x+2） 2x（x+3）+（x +1） （x1） =x2+4x+4x23x+x21 =x2+x+3， x 2+x=2， 原式=2+3=5 【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值 的方法 23 （5 分）解分式方程： 【分析】分式方程去分母转化
30、为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即 可得到分式方程的解 【解答】解：方程两边同乘（x2） ，得 1+2（x2）=1x 解得：x= ， 经检验 x= 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 24 （5 分）先化简，再求值： ，其中 x= 2 【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式= = ， 当 x= 2 时， 原式= = = 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和 运算法则 25 （6 分）列分式方程解应用题： 北京第一条地铁线路于 1971
31、年 1 月 15 日正式开通运营截至 2017 年 1 月，北京地铁 共有 19 条运营线路，覆盖北京市 11 个辖区据统计，2017 年地铁每小时客运量 是 2002 年地铁每小时客运量的 4 倍，2017 年客运 240 万人所用的时间比 2002 年客 运 240 万人所用的时间少 30 小时，求 2017 年地铁每小时的客运量？ 【分析】设 2002 年地铁每小时客运量 x 万人，则 2017 年地铁每小时客运量 4x 万人， 根据 2017 年客运 240 万人所用的时间比 2002 年客运 240 万人所用的时间少 30 小 时列出分式方程，求出答案即可 【解答】解：设 2002
32、年地铁每小时客运量 x 万人，则 2017 年地铁每小时客运量 4x 万 人， 由题意得 ， 解得 x=6， 经检验 x=6 是分式方程的解， 答：2017 年每小时客运量 24 万人 【点评】本题考查了分式方程的应用；解这类问题时要注意分析题中的等量关系，由 时间关系列出方程是解决问题的关键 26 （6 分）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 于点 D，AM 是ABC 的外角CAE 的平 分线 （1）求证：AMBC ； （2）若 DN 平分ADC 交 AM 于点 N，判断ADN 的形状并说明理由 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可； （2）利用平分线的定义和平行线的
33、性质进行解答即可 【解答】证明：（1）AB=AC，ADBC， BAD=CAD= AM 平分EAC ， EAM=MAC= MAD=MAC +DAC= = ADBC ADC=90 MAD+ADC=180 AMBC （2）ADN 是等腰直角三角形， 理由是：AMAD ， AND= NDC， DN 平分 ADC， ADN= NDC=AND AD=AN， ADN 是等腰直角三角形 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定 与性质解答 27 （6 分）定义：任意两个数 a，b，按规则 c=ab+a+b 扩充得到一个新数 c，称所得的 新数 c 为“ 如意数” （1）若 a
34、= ，b=1，直接写出 a，b 的“如意数”c； （2）如果 a=m4，b=m ，求 a，b 的“如意数”c，并证明 “如意数”c0 （3）已知 a=x21（x0） ，且 a，b 的“如意数”c=x 3+3x21，则 b= x+2 （用含 x 的式 子表示） 【分析】 （1）根据“如意数”的定义即可判断； （2）利用配方法即可解决问题； （3）根据“如意数” 的定义，构建方程求出 b 即可； 【解答】解：（1）c= 1+ +1=2 +1 （2）c=（ m4） （m）+ （m 4）+（m） =m2+4m4 =（m2） 20， c0 （3）由题意 x3+3x21=（x 21）b+（x 21）+b，
35、 x 2b=x3+2x2， x0， b=x+2 故答案为 x+2 【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决 问题，属于中考常考题型 28 （6 分）如图，在等边三角形 ABC 的外侧作直线 AP，点 C 关于直线 AP 的对称点为 点 D，连接 AD，BD ，其中 BD 交直线 AP 于点 E （1）依题意补全图形； （2）若PAC=20，求AEB 的度数； （3）连结 CE，写出 AE，BE，CE 之间的数量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）根据要求画出图象即可； （2）根据AEB=D+PAD，只要求出D，DAE 即可； （3）结论：CE +AE=BE在
36、 BE 上取点 M 使 ME=AE，只要证明AEC AMB 即可解决 问题； 【解答】解：（1）图象如图所示； （2）在等边ABC 中， AC=AB，BAC=60 ， 由对称可知：AC=AD ， PAC=PAD ， AB=AD， ABD=D ， PAC=20， PAD=20 ， BAD=BAC +PAC+ PAD=100， ， AEB=D+PAD=60 （3）结论：CE +AE=BE 理由：在 BE 上取点 M 使 ME=AE， 在等边ABC 中， AC=AB，BAC=60 由对称可知：AC=AD ， EAC=EAD， 设EAC=DAE=x AD=AC=AB ， ， AEB=60x+x=60 AME 为等边三角形， 易证：AEC AMB， CE=BM， CE+AE=BE 【点评】本题考查作图轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
