1、北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文史类） 2015.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题 （共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项. 1. 设 为虚数单位，则复数 的模 =i 1izz A. 1 B. C. D. 222 2. 已知全集 ，若集合 ，则UR0AxUA A. ，或 B. ，或 C. D.0x1x101x1x 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱
2、锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. B. C. D. 1234 正视图 侧视图 俯视图 4.执行如右图所示的程序框图,则输出的 的值是i A.3 B.4 C.5 D.6 5.若 是两个非零的平面向量，则 “ ”是“ ”的,aba=b()=0+ab A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，塔 底部为点 ，若 两点相距为 100m 并且与点 在同一水平线上，现AB,CDB 从 两点测得塔顶 的仰角分别为 45o和 30，则塔 的高约为（精确到 0.1m，,CDA ， ）31.72.41 A. 36.5 B. 115.6 C. 120.
3、5 D. 136.5 D BAC 7.已知定义在 R上的函数 (1),)2xf 若直线 ya与函数 ()fx的图象恰有 两个公共点，则实数 a的取值范围是 A. 0,2 B.0, C.0,2 D. 1,2 8. 如图，在正方体中 1ABCD， M为 BC的中点，点 N在四边形 CD及其 内部运动若 1MN，则 点的轨迹为 A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上 9. 双曲线 的离心率是 ；渐近线方程是 2:14xCy 10.为了解某厂职工家庭人均
4、月收入情况,调查了该厂 80 户居民月收入,列出频率分布表 如下: 按家庭人均月 收入分组(百 元) 第一组10,6第二组1,2第三组,28第四组,34第五组,0第六组 4,6 频率 0.1 0.2 0.15 a0.1 0.1 则这 80 户居民中, 家庭人均月收入在 元之间的有 户（用数字作280,34 答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭 中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 . A B CD A1 B1 C1D1 M N . 11. 已知圆 的圆心位于第二象限且在直线 上，若圆 与两个坐标轴都相切，C21yxC 则圆 的标准方程是
5、 _. 12. 某单位有职工共 60 人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育 运动的共 28 人，喜欢文艺活动的共 26 人，还有 12 人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人. 13. 在平面直角坐标系中，若关于 的不等式组 表示一个三角形区域，则,xy0,(1)yxk 实数 的取值范围是_.k 14. 设 （ ） ，若无论 为何值，2 21()cos(1)sinco3sinfxaxx210ax 函数 的图象总是一条直线，则 的值是_.12a 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15
6、. （本小题满分 13 分） 某幼儿园有教师 人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：30 本科 研究生 合计 35 岁以下 5 2 7 3550 岁 （含 35 岁 和 50 岁） 17 3 20 50 岁以上 2 1 3 （）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率； （）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，求有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分 13 分） 已知平面向量 ， ， ，a=(sin,co)xb=(sin,co)x=(cos,in)x ，xR 函数 .()fb （）求函数 的单调递减区间；fx
7、（）若 ，求 的值.2fsin 17. （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 点PABCDABPDABC 是线段 的中点，点 是线段 上的动点EF （）若 是 的中点，求证： /平面 ；FEPC （）求证： ； （）若 ， ，当三棱锥 的体积等于 时，试判断点 在边2AB3PDBF43F 上的位置，并说明理由. 18.（本小题满分 13 分） 已知公比为 的等比数列 中， ，前三项的和为 .qna()N2a7 （）求数列 的通项公式；na （）若 ，设数列 满足 ， ,求使 的 的01nb12.nn01nb 最小值. 19. （本小题满分 13 分） 已知函数
8、()eln xfa ， R. （I）若 1x是 的极值点，求 的值： （）当 ea时，求证： ()efx. D A P C E F B 20. （本小题满分 14 分） 已知离心率为 的椭圆 与直线 相交于 两点32 2:1(0)xyCab2x,PQ （点 在 轴上方） ，且 点 是椭圆上位于直线 两侧的两个动点，且PxPQ,AB AQB （）求椭圆 的标准方程；C （）求四边形 面积的取值范围PS15? 北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级 第一学期期末统一考试 数学答案（文史类） 2015.1 一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A
9、D B C D B A 二、填空题：（满分 30 分） 题 号 9 10 11 12 13 14 答 案 52；1yx8;0.32211)()39x+y（ 22 0k4 （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题：（满分 80 分） 15. （本小题满分 13 分） 解：（）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件 A， 由题可知幼儿园总共有教师 30 人，其中“具有研究生学历”的共 6 人. 则 61()=305PA. 答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为 15. 4 分 （）设幼儿园中 35 岁以下具有研究生学历的教师为 A1， 2
10、，3550 岁(含 35 岁和 50 岁)具有研究生学历的教师为 B1， 2， 3， 50 岁以上具有研究生学历的教师为 C，从幼 儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，所有可能结果有 15 个，它们是： （ A1， 2） ， （ 1， ） ， （ A1， 2） ， （ 1， B3） ， （ 1， C） ， （ 2， B1） ， （ A2， ） ， （ 2， B3） ， （ 2， C） ， （ B1， 2） ， （ 1， 3） ， （ 1， ） ， （ 2， 3） ， （ 2， C） ， （ 3， ） ， 记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究
11、生或 50 岁 以上的研究生”为事件 D，则 中的结果共有 12 个，它们是：（ A1， 2） ， （ 1， B） ， （ A1， B2） ， （ 1， 3） ， （ A1， C） ， （ 2， B1） ， （ 2， ） ， （ ， 3） ， （ 2， C） ， （ ， C） ， （ ， ） ， （ B， ） ，故所求概率为 4()=5PD 答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁 以上的研究生的概率为 45. 13 分 16.（本小题满分 13 分） （）因为 a=(sin,co)x， b=(sin,co)x， =(cos,in)x， 所以
12、 ()ibc，fx = si(cs)(sic)xxx. 则 ()22ino= no2sin()4x. 则当 4kxk时，即 88kxk时， 函数 ()f为减函数， Z. 所以函数 ()fx的单调递减区间是 ,8k， kZ. 7 分 （）由（）知， ()2sin()4fxx，又 2f， 则 2sin()4， 1i(). 因为 22i()cos()4，所以 3cos()42.sini()in()()sin . 所以当 3co()42时， si123624； 当 3cos()42时， sin12326()4. 13 分 17. （本小题满分 14 分） （）证明： 在 PDB中，因为点 E是 BD中
13、点，点 F是 P中点， 所以 F/ 又因为 平面 C， P平面 C， 所以 /平面 4 分 （）证明： 因为 PD平面 AB， 且 CE平面 ， 所以 又因为底面 是正方形，且点 E是 BD的中点， 所以 BD 因为 P，所以 C平面 P， 而 F平面 ，所以 F 9 分 （）点 为边 上靠近 点的三等分点 说明如下： 由（）可知， CE平面 PB 又因为 PD平面 A， D平面 AC，所以 PDB. 设 Fx 由 2得 2， E， 所以 112363PBCPFVBx 由已知 24x， 所以 x 因为 D，所以点 为边 D上靠近 点的三等分点14 分 18. （本小题满分 13 分） （）由已
14、知得， 2137a，解得 2q， 1a或 2q， 14a D A P C E F B 则数列 na的通项公式为 12na或 3()n， N5 分 （）因为 01q，所以 3()n， . (5)210.(3)212. nnnnba ， . 由 0n，即 (5)2 ，即 ()0，即 即 5.则使 1nb的最小的 n的值为 6 13 分 19. （本小题满分 13 分） （I）函数 ()fx的定义域为 (0,). 因为 exaf , 又 1是 ()f的极值点,所以 (1)e0fa，解得 e. 经检验， x是 的极值点， 所以 a的值为 e. 5 分 （）证明： 方法 1： 当 e时， ()ln xf
15、 . 所以 exf . 若 01，则 x. 所以函数 ()f在 1,)单调递增. 所以当 x时， min(efxf. ( 0时， el; 时， elnx.) 所以 ()efx. 13 分 方法 2： 当 a时， ()eln xf ， 所以 xf . 设 ()e xg ，则 ()e1) xg ，所以 ()gx在 0,)单调递增. 又 10，所以当 0,时， (，即 f，所以 (fx在 0,1)单调递减； 当 (,)x时， ()gx，即 ()0fx，所以 ()fx在 1,)单调递增. （接下来表述同解法 1 相应内容） 所以 ()ef. 13 分 20.（本小题满分 14 分） 解：（）由已知得
16、32e，则 1ba，设椭圆方程为 21(0)4xyb 由题意可知点 (,1)P在椭圆上， 所以 24b解得 2b 故椭圆 C的标准方程为 18xy 4 分 （）由题意可知，直线 PA，直线 B的斜率都存在且不等于 0 因为 Q，所以 PAk 设直线 PA的斜率为 k，则直线 :1(2)yx（ k） 由 248(1),xy 得 2(4)86140k(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式 成立. 即 2226()()1640k, 化简得 10，解得 k. 因为 2是方程（1）的一个解，所以 2164Akx 所以 284Akx 当方程（1）根的判别式 0时， 12k，此时直线
17、 PA与椭圆相切. 由题意，可知直线 PB的方程为 ()yx 同理，易得 228()81414kkx 由于点 ,A是椭圆上位于直线 Q两侧的两个动点， APQB， 且能存在四边形 PB，则直线 A的斜率 k需满足 12. 设四边形 Q面积为 S，则 112APBABSxPQx 2288414Bkk 2164k 由于 12k，故64Sk . 当 12k时， 4，即 104k，即 04S. (此处另解：设 tk，讨论函数 ()ftt在 ,2时的取值范围.214()tft ，则当 12t时， ()0ft， ()ft单调递增. 则当 12t时， ()4,)ft，即 S0,4.) 所以四边形 APBQ面积 的取值范围是 ,. 14 分
