1、2010 学年度第一学期期末质量诊断 高 三 数 学 试 卷 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1.若 1+7i2-abi（ 是虚数单位， ,abR） ，则乘积 ab的值是 . 2.已知 sin(),1x ， sin(),1x，则函数 ()fx 的最小正周期是 . 3.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 43，半径为 18 cm 的扇形，则 圆锥母线与底面所成角的余弦值为_ 4.若关于 x 的方程 |1|2,(0,1)xaa有两个不相等实数根， 则实数
2、 的取值范围是 . 5.某校要求每位学生从 7 门选修课程中选修 4 门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课 方案有_种 （以数字作答） 6.已知 ()yfx 的图像与 1ln2yx的图像关于直线 yx对称，则 ()fx 7.二项式 12 nx 的展开式前三项系数成等差数列，则展开式中 2项的系数为 8.已知线性方程组的增广矩阵为 0241357a ，若该线性方程组无解，则 a 9.等比数列 na中， 1cosx， (,)，公比 sinqx，若12limn ， 则 x 10过抛物线 2yx的焦点，方向向量为 (2,3)d的直线的一个点方向式方程是 11已知等差数列 na的前 项和为 nS，
3、 109a， 209072S，则 201S 12.设 21S， 221， 22231S， ，nn ， ，某学生猜测 2()Sab，老师回答正确，则 ab 13.已知数列 na中， 14， 1,()nanN，则通项公式 na . 14.定义在 R 上的函数 f(x)的图像过点 M（6，2）和 N（2，6） ，且对任意正实数 k，有 f(x+k) f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|4 的解集为( 4,4)时，实数 t 的值为 二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论，其中有且只有一个结论是正确的必须用 2B 铅笔将正确结论的代号
4、涂黑，选对得 5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分 15给出下列命题，其中正确的命题是 （ ） (A) 若 zC，且 20z，那么 z一定是纯虚数 (B)若 1z、 C2且 021z，则21z (C) 若 R，则 |z不成立 (D) 若 x，则方程 3x只有一个根 16已知 2,1ABCxy是 圆 上 不 同 的 三 个 点 ， 0OAB，若存在 ,实 数 使得 OC=O ，则 ,的关系为 （ ） (A) 21 (B) 1 (C) 1 (D) 1 17函数 ()sin()fxAx（其中 0,|2A）的图象如图所示，为了得到co2g 的图像，则只要将 ()fx的图像 （ ） （A
5、）向右平移 6个单位长度 （B）向右平移12 个单位长度 （C）向左平移 个单位长度 （D ）向左平移 个单位长度 18已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） (A)求数列 1n的前 10 项和 )(*Nn18 题图 (B)求数列 21n的前 10 项和 )(*Nn (C)求数列 的前 11 项和 (D)求数列 的前 11 项和 )(* 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题 务 必写在黑色矩形边框内 19 （本题满分 12 分）设三角形 ABC的内角 ， ， 的对边分别为 abc， ， ，若223acb ，求 的大小和 cosin的
6、取值范围 20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知正四棱锥 P-ABCD 的全面积为 2，记正四棱锥的高为 h （1）用 h 表示底面边长,并求正四棱锥体积 V 的最大值； （2）当 V取最大值时，求异面直线 AB 和 PD 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） 21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知函数 txfx1)(（ 是常实数） （1）若函数的定义为 R， 求 ()yfx的值域； （2）若存在实数 t 使得 是奇函数，证明 ()yfx的图像在 1
7、()2xg图像 的下方 22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满 分 7 分 给定椭圆 2:1(xyCab 0 )，称圆心在原点 O，半径为 2ab的圆是椭圆 C的 “伴随圆” 若椭圆 的一个焦点为 1(2,F，其短轴上的一个端点到 1F的距离为 3 （1）求椭圆 的方程及其“伴随圆”方程； （2）若倾斜角为 045的直线 l与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C的伴随圆相交于 M、N 两 AB CDP 点，求弦 MN 的长； （3）点 P是椭圆 C的伴随圆上的一个动点，过点 P作直线 12,l，使得 12,l与椭圆
8、 C都只有一 个公共点，求证： 1l 2. 23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 8 分 已知数列 na是首项 13，公比 3q的等比数列，设 315lognnbat，常数 *Nt， 数列 nbc满 足 （1）求证： n是等差数列； （2）若 c是递减数列，求 t 的最小值； （3）是否存在正整数 k，使 12,kkc重新排列后成等比数列？若存在，求 k，t 的值；若不 存在，说明理由 数学试卷参考答案 一填空题 1. -3 2. 3. 4. 10,2 5. 5 6. 21()xfe)(R 7. 358 8.
9、2 23 9. 6 10. 42yx 11. 2011 12. 1 13. 2n 14. 2 二选择题 15.A 16. A 17. D 18.B 三解答题 19.解：由 223acb和余弦定理得 223cosacbB ，3 分 所以 6B4 分cosincosinACAcosin6A13i2i3 9 分 因为 3A，所以 0sin1A 所以， cosinAC的取值范围为 (01， 12 分 20.解：（1）设底面边长为 a，斜高为 H，由题意 2a，所以 12aH，2 分 又因为 22Hh ，所以 21h4 分 因而 213Vah， 当且仅当 h时，体积最大， max16V8 分 此时 12
10、a， 34H （2） PDQ即为异面直线 AB 和 PD 所成的角11 分3tana 所以异面直线 AB 和 PD 所成角的大小 3arctn14 分 21解：（1）因为 20xt恒成立，所以 0t，2 分 当 0t时， ()yf的值域为 (,1)； 4 分 当 t时，由 21xt得， 20xty，因而 2(1)0yt 即 ()yfx的值域为 ),(t 。 6 分 （2）由 是奇函数得 1，所以 1()2xf8 分2()1()xxfxg ， 04 11 分 当“=”成立时，必有 2(1)xx，即 2x，此式显然不成立13 分 OQ 所以对任意实数 x 都有 )(xgf 即 ()yf的图像在 1
11、2图像的下方14 分 22解：（1）因为 ,3ca，所以 b2 分 所以椭圆的方程为 213xy ， 伴随圆的方程为 24.4 分 （2）设直线 l的方程 yxb，由 213 yxb 得 224630bx 由 22(6)1(3)0b得 246 分 圆心到直线 l的距离为 |bd 所以 2|MNr8 分 （3）当 12,l中有一条无斜率时，不妨设 1l无斜率， 因为 l与椭圆只有一个公共点，则其方程为 3x或 ， 当 1l方程为 3x时，此时 1l与伴随圆交于点 (,1), 此时经过点 (,)（或 ,)且与椭圆只有一个公共点的直线是 1y(或 )，即 2l为1y (或 ，显然直线 12,l垂直；
12、 同理可证 1l方程为 3x时，直线 12,l垂直.10 分 当 2,都有斜率时，设点 0(,)Pxy其中 204xy， 设经过点 0(,)Pxy与椭圆只有一个公共点的直线为 0()kxy， 由 213 yk ，消去 y得到 2203()3xky， 即 2 200()6()()kxkx，12 分22041330yykx ， 经过化简得到： 2000()1xk， 因为 204xy，所以有 22000(3)(3)xkyx，14 分 设 12,l的斜率分别为 12,k，因为 12,l与椭圆都只有一个公共点， 所以 ,k满足方程 000(3)(3)xykx， 因而 12，即 12,l垂直.16 分 2
13、3.解：（1）由题意知， 3 nna ，1 分 因为 1135log5nnb， 131log5bat 数列 n是首项为 1bt，公差 d的等差数列4 分 （2）由（1）知， 5nt， 31(5) nnct ，133510ntct 恒成立，即 351tn恒成立，7 分 因为 3()fn是递减函数， 所以，当 n=1 时取最大值， max35()6.1fn，9 分 因而 6.t，因为 tN，所以 7t10 分 （3）记 5ktx， 33(5)kkkctx，11133()()kkkct ， 2223311(50)(0)kkcktx 若 k是等比中项，则由 21kkc得 122333()()kkkxx 化简得2150x ，解得 0x或 5（舍） ，11 分 所以 nt，因而 1nt13 分 及 20t14 分 若 1kc是等比中项，则由 21kkc得 2233311(0)5kkkxx 化简得2(0)5xx ，显然不成立16 分 若 2kc是等比中项，则由 21kkc得 12433311(5)0kk kxx 化简得510x ，因为 2540不是完全不方数，因而，x 的值是无理数， 显然不成立18 分
