1、江西省赣州市瑞金市 2014-2015 学年七年级上学期期末数学试 卷 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1 （3 分）| 3|的相反数是（） A 3 B 3 C D 2 （3 分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“ 中国梦，我的梦” ，能搜索到与之相关的结果 的条数约为 61700000，这个数用科学记数法表示为（） A 617105 B 6.17106 C 6.17107 D 0.617108 3 （3 分）下列各式中，与 2a 的同类项的是（） A 3a B 2ab C 3a2 D a2b 4 （3 分）将如图所示的直角三角形绕直角边 AC 旋转一周，所得的几何体从正面看是下
2、图中的（） A B C D 5 （3 分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑 15km，可早到 10 分钟，每小时骑 12km 就会迟到 5 分钟，问他家到学校的路程是多少 km？设他家到学校的路程是 x km，则据题 意列出的方程是（） A = + B + = C = D +10= 5 6 （3 分）如图，在数轴上有 A、B、C、D 四个整数点（即各点均表示整数） ，且 2AB=BC=3CD，若 A、D 两点表示的数的分别为 5 和 6，点 E 为 BD 的中点，那么该数轴 上上述五个点所表示的整数中，离线段 BD 的中点最近的整数是（） A 1 B 0 C 1 D 2 二、填空题（每小题
3、3 分，共 24 分） 7 （3 分）气温由1上升 2后是 8 （3 分）计算：3a 2a2= 9 （3 分）已知 3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解，则 a 的值是 10 （3 分）点 A、B、C 在同一条直线上，若 AB=4，BC=2，则 AC 等于 11 （3 分）已知|x|=3，y 2=4，且 xy，那么 x+y 的值是 12 （3 分）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若AOD=150，则 BOC 等于 13 （3 分）某种出租车的收费标准是：起步价 5 元（即行驶距离不超过 3 千米都需付 5 元 车费） ，超过 3 千米以后，每增加 0.5 千米，加收 0.9
4、元（不足 0.5 千米按 0.5 千米计） 某 人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19.4 元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远 可能值是千米 14 （3 分）在下列说法中： 绝对值不大于 3 的整数有 7 个； 若 AC=BC，则点 C 为线段 AB 的中点； 如果1+2+3=180，那么1、 2、3 互为补角； 两点之间，线段最短； 在等式 5=0.1x 的两边都除以 0.1，可得等式 x=0.5； 方程 3x5=2x4 移项得 3x2x=4+5 正确的有 三、 （每小题 6 分，共 24 分） 15 （6 分）计算：1 2014（11.5） 232（ 42） 16 （6 分）先化简
5、，再求值：2（x 2 +2x）4（x x2+1） ，其中 x=1 17 （6 分）解方程： = +1 18 （6 分）如图，点 C 为线段 AB 上一点，若线段 AC=12cm，AC：CB=3 ：2，D、E 两 点分别为 AC、AB 的中点，求 DE 的长 四、 （本题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 19 （8 分） “囧” （jiong）是最近时期网络流行语，像一个人脸郁闷的神情如图所示，一 张边长为 20 的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧” 字 图案（阴影部分） 设剪去的小 长方形长和宽分别为 x、y，剪去的两个小直角三角形的两 直角边长也分
6、别为 x、y （1）用含有 x、y 的代数式表示右图中“囧”的面积； （2）若|x 8|+（y 4） 2=0 时，求此时“囧”的面积 20 （8 分）情景：试根据图中 信息，解答下列问题： （1）购买 6 根跳绳需元，购买 12 根跳绳需元 （2）小红比小明多买 2 根，付款时 小红反而比小明少 5 元，你认为有这种可能吗？若有， 请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由 21 （8 分）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了 4 千米到达小明家，继续向东走 了 1.5 千米到达小红家，然后向西走了 8.5 千米到达小刚家，最后返回百货大楼 （1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1 个单位
7、长度表示 1 千米，请你在数轴上标出小 明、小红、小刚家的位置 （小明家用点 A 表示，小红家用点 B 表示，小刚家用点 C 表示） （2）小明家与小刚家相距多远？ （3）若货车每千米耗油 1.5 升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？ 五、 （本题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 22 （9 分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是 =adbc 例如： =1423=2， =（1）6 35=21按照这个规定，解答下列问题： （1）计算 的值； （2）计算：当 5x2+y=7 时， 的值； （3）若 =0.5，求 x 的值 23 （9 分）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出
8、的学生，购买了钢笔 30 支，毛笔 45 支， 共用了 1755 元，其中每支毛笔比钢笔贵 4 元 （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）学校仍需要 购买上面的两种笔共 105 支（每种笔的单价不变） 陈老师做完预算后， 向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领 2447 元 ”王老师算了一下，说：“如果你用 这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了 ”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他 用这些钱只买这两种笔的帐算错了 陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔如果签字笔的单价为 小于 10 元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为元 六、 （本题共 12 分）
9、 24 （12 分） 【问题提出】已知AOB=70，AOD= AOC， BOD=3BOC（BOC45 ） ，求BOC 的度数 【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决 （1）当射线 OC 在AOB 的内部时，若射线 OD 在 AOC 内部，如图 1，可求BOC 的 度数，解答过程如下： 设BOC= ， BOD=3BOC=3，COD=BOD BOC=2，AOD= AOC， AOD=COD=2，AOB= AOD+BOD=2+3=5=70， =14，BOC=14 问：当射线 OC 在AOB 的内部时，若射线 OD 在 AOB 外部，如图 2，请你求出 BOC 的度数； 【问题延伸】 （2）当射线
10、OC 在AOB 的外部时，请你画出图形，并求 BOC 的度数 【问题解决】综上所述：BOC 的度数分别是 江西省赣州市瑞金市 2014-2015 学年七年级上学期期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1 （3 分）| 3|的相反数是（） A 3 B 3 C D 考点： 绝对值；相反数 分析： 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数 解答： 解：| 3|的相反数是3 故选 B 点评： 本题考查绝对值与相反数的意义，是一道基础题可能会混淆倒数、相反数和绝 对值的概念，错误地认为3 的绝对值等于 ，或认为 |3|=3，把绝对值符号等同于括号 2
11、（3 分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“ 中国梦，我的梦” ，能搜索到与之相关的结果 的条数约为 61700000，这个数用科学记数法表示为（） A 617105 B 6.17106 C 6.17107 D 0.617108 考点： 科学记数法表示较大的数 分析： 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值 时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解答： 解：将 61700000 用科学记数法表示为 6.17107 故选 C 点评： 此题
12、考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）下列各式中，与 2a 的同类项的是（） A 3a B 2ab C 3a2 D a2b 考点： 同类项 分析： 本题是同类项的定义的考查，同类项是所含的字母相同，并且相同字母的指数也 相同的项中的字母是 a，a 的指数为 1， 解答： 解：2a 中的字母是 a，a 的指数为 1， A、3a 中的字母是 a，a 的指数为 1，故 A 选项正确； B、2ab 中字母为 a、b，故 B 选项错误； C、中字母 a 的指数为 2，故 C 选项错误；
13、 D、字母与字母指数都不同，故 D 选项错误， 故选：A 点评： 考查了同类项的定义同类项一定要记住两个相同：同类项是所含的字母相同， 并且相同字母的指数也相同 4 （3 分）将如图所示的直角三角形绕直角边 AC 旋转一周，所得的几何体从正面看是下 图中的（） A B C D 考点： 点、线、面、体 分析： 根据直角三角形绕直角边旋转一周得到的图形是圆锥，再根据圆锥体的主视图解 答 解答： 解：RtABC 绕直角边 AC 旋转一周得到一圆锥体， 圆锥体的主视图是等腰三角形 故选：D 点评： 本题考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力 5 （3 分）小明从家里骑自行车到学校，每
14、小时骑 15km，可早到 10 分钟，每小时骑 12km 就会迟到 5 分钟，问他家到学校的路程是多少 km？设他家到学校的路程是 x km，则据题 意列出的方程是（） A = + B + = C = D +10= 5 考点： 由实际问题抽象出一元一次方程 分析： 设他家到学校的路程是 x km，根据每小时骑 15km，可早到 1 0 分钟，每小时骑 12km 就会迟到 5 分钟，列方程即可 解答： 解：设他家到学校的路程是 x km， 由题意得， + = 故选 B 点评： 本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出 合适的等量关系，列方程 6 （3 分）如图，在数
15、轴上有 A、B、C、D 四个整数点（即各点均表示整数） ，且 2AB=BC=3CD，若 A、D 两点表示的数的分别为 5 和 6，点 E 为 BD 的中点，那么该数轴 上上述五个点所表示的整数中，离线段 BD 的中点最近的整数是（） A 1 B 0 C 1 D 2 考点： 比较线段的长短；数轴 专题： 数形结合 分析： 根据 A、D 两点在数轴上所表示的数，求得 AD 的长度，然后根据 2AB=BC=3CD，求得 AB、BD 的长度，从而找到 BD 的中点 E 所表示的数 解答： 解：|AD|=|6（5）|=11， 2AB=BC=3CD， AB=1.5CD， 1.5CD+3CD+CD=11，
16、CD=2， AB=3， BD=8， ED= BD=4， |6E|=4， 点 E 所表示的数是：6 4=2 离线段 BD 的中点最近的整数是 2 故选 D 点评： 本题考查了数轴、比较线段的长短灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之 间的数量关系也是十分关键的一点 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 7 （3 分）气温由1上升 2后是 1 考点： 有理数的加法 分析： 根据上升 2即是比原来的温度高了 2，就是把原来的温度加上 2即可 解答： 解：气温由 1上升 2， 1+2=1 故答案为：1 点评： 此题考查了有理数的加法，要先判断正负号的意义：上升为正，下降为负，再根 据有理数加法运
17、算法则进行计算 8 （3 分）计算：3a 2a2=4a2 考点： 合并同类项 分析： 根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得答案 解答： 解：原式=3+ （1）a 2 =4a2， 故答案为：4a 2 点评： 本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母部分不变 9 （3 分）已知 3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解，则 a 的值是 5 考点： 一元一次方程的解 专题： 计算题 分析： 由 3 为已知方程的解，将 x=3 代入方程计算，即可求出 a 的值 解答： 解：由题意将 x=3 代入方程得：6a=1， 解得：a=5 故答案为：5 点评： 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能
18、使方程左右两边相等的未知数的 值 10 （3 分）点 A、B、C 在同一条直线上，若 AB=4，BC=2，则 AC 等于 2 或 6 考点： 两点间的距离 分析： 分类讨论：C 在线段 AB 上；C 在线段 AB 的延长线上；根据线段的和差，可得 答案 解答： 解：当 C 在线段 AB 上时，由线段的和差，得 AC=ABBC=42=2； 当 C 在线段 AB 的延长线上时，由线段的和差，得 AC=AB+BC=4+2=6 故答案为：2 或 6 点评： 本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键 11 （3 分）已知|x|=3，y 2=4，且 xy，那么 x+y 的值是 1 或 7 考点： 有 理
19、数的乘方；绝对值；有理数的加法 分析： 根据绝对值的性质和有理数的乘方求出 x、y，然后相加计算即可得解 解答： 解：|x|=3，y 2=4， x=3，y=4， x y， x=3，y=4， 当 x=3，y=4 时，x+y=3+4=7， 当 x=3， y=4 时，x+y=3+4=1， 所以，x+y 的值是 1 或 7 故答案为：1 或 7 点评： 本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，有理数的加法，解题的关键在于判断 出 x、y 的值 12 （3 分）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若AOD=150，则 BOC 等于 30 考点： 余角和补角 分析： 从图可以看出， BOC 的度数
20、正好是两直角相加减去AOD 的度数，从而问题可 解 解答： 解：AOB= COD=90， AOD=150， BOC=AOB+CODAOD=90+90150=30 故答案为：30 点评： 此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察 图示，发现几个角之间的关系 13 （3 分）某种出租车的收费标准是：起步价 5 元（即行驶距离不超过 3 千米都需付 5 元 车费） ，超过 3 千米以后，每增加 0.5 千米，加收 0.9 元（不足 0.5 千米按 0.5 千米计） 某 人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19.4 元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远 可能值是 11
21、 千米 考点： 一元一次方程的应用 分析： 根据起步价与超过 3 千米以后的车费的和是支付的车费，设出未知数，列出方程 解答即可 解答： 解：设从甲地到乙地的路程为 x 千米，根据题意列方程得， 5+（x3 ）0.5 0.9=19.4， 5+1.8（x 3）=19.4， 5+1.8x5.4=19.4， 解得 x=11 答：此人从甲地到乙地经过的路的最远是 11 千米 故答案为：11 点评： 此题主要考查分段计费问题：不超过 3 千米的收费与超过 3 千米的收费，在解答 时要注意分析数据 14 （3 分）在下列说法中： 绝对值不大于 3 的整数有 7 个； 若 AC=BC，则点 C 为线段 AB
22、 的中点； 如果1+2+3=180，那么1、 2、3 互为补角； 两点之间，线段最短； 在等式 5=0.1x 的两边都除以 0.1，可得等式 x=0.5； 方程 3x5=2x4 移项得 3x2x=4+5 正确的有 考点： 余角和补角；绝对值；解一元一次方程；线段的性质：两点之间线段最短；两点 间的距离 分析： 根据绝对值的性质即可作出判断； 根据中点的定义即可作出判断； 根据补角的定义即可作出判断； 根据线段的性质即可作出判断； 根据等式的性质即可作出判断； 根据解一元一次方程的步骤即可作出判断 解答： 解：绝对值不大于 3 的整数有 3，2，1，0，1，2，3，一共 7 个，原题说法正 确；
23、 若 AC=BC，则点 C 为线段 AB 垂直平分线上的点，原题说法错误； 1、 2、3 有 3 个角，不符合补角的定义，原题说法错误； 两点之间，线段最短是正确的； 在等式 5=0.1x 的两边都除以 0.1，可得等式 x=50，原题说法错误； 方程 3x5=2x4 移项得 3x2x=4+5，原题说法正确 故答案为： 点评： 考查了绝对值的性质，中点的定义，补角的定义，线段的性质，等式的性质，解 一元一次方程，综合性较强，难度一般 三、 （每小题 6 分，共 24 分） 15 （6 分）计算：1 2014（11.5） 232（ 42） 考点： 有理数的混合运算 专题： 计算题 分析： 原式先
24、计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果 解答： 解：原式=1 18=1 = 点评： 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16 （6 分）先化简，再求值：2（x 2 +2x）4（x x2+1） ，其中 x=1 考点： 整式的加减化简求值 专题： 计算题 分析： 原式去括号合并得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 解答： 解：原式=2x 21+4x4x+4x24=6x25， 当 x=1 时，原式=65=1 点评： 此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17 （6 分）解方程： = +1 考点： 解一元一次方程 专题： 计算
25、题 分析： 方程去分母，去括号，移项合并，把 k 系数化为 1，即可求出解 解答： 解：去分母得：2（k+1）=3（3k+1 ）+6， 去括号得：2k+2=9k+3+6， 移项合并得：7k=7， 解得：k= 1 点评： 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数 系数化为 1，求出解 18 （6 分）如图，点 C 为线段 AB 上一 点，若线段 AC=12cm，AC：CB=3：2，D、E 两 点分别为 AC、AB 的中点，求 DE 的长 考点： 两点间的距离 分析： 根据 AC：CB=3：2，可得 CB 的长，根据线段的和差，可得 AB 的长，根据线段 中点的性质，
26、可得 AD、AE 的长，再根据线段的和差，可得答案 解答： 解：由 AC=12cm， AC：CB=3：2，得 CB=8cm， 由线段的和差，得 BA=AC+BC=12+8=20cm， 由 D、E 两点分别为 AC、AB 的中点，得 AD=0.5AC=6cm，AE=0.5AB=10cm， 由线段的和差，得 DE=AEAD=106=4cm 点评： 本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质 四、 （本题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 19 （8 分） “囧” （jiong）是最近时期网络流行语，像一个人脸郁闷的神情如图所示，一 张边长为 20 的正方形的纸片，剪去两个一
27、样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧” 字 图案（阴影部分） 设剪去的小 长方形长和宽分别为 x、y，剪去的两个小直角三角形的两 直角边长也分别为 x、y （1）用含有 x、y 的代数式表示右图中“囧”的面积； （2）若|x 8|+（y 4） 2=0 时，求此时“囧”的面积 考点： 列代数式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；代数式求值 分析： （1）根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列 式整理即可； （2）利用非负数的性质得出 x、y 的值，代入代数式进行计算即可得解 解答： 解：（1） “囧” 的面积： 2020 xy2xy =400xyxy =
28、4002xy； （2）|x 8|+（y4） 2=0， x=8，y=4 ， 当 x=8，y=4 时， “囧”的面积 =400284 =40064 =336 点评： 本题考查了列代数式和代数式求值，主要利用了正方形的面积，长方形的面积和 三角形的面积公式，准确识图是解题的关键 20 （8 分）情景：试根据图中信息，解答下列问题： （1）购买 6 根跳绳需 150 元，购买 12 根跳绳需 240 元 （2）小红比小明多买 2 根，付款时小红反而比小明少 5 元，你认为有这种可能吗？若有， 请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由 考点： 一元一次方程的应用 专题： 图表型 分析： （1）根据总价
29、=单价数量，现价=原价0.8，列式计算即可求解； （2）设小红购买跳绳 x 根，根据等量关系：小红比小明多买 2 跟，付款时小红反而比小明 少 5 元；即可列出方程求解即可 解答： 解：（1）25 6=150（元） ， 25120.8 =3000.8 =240（元） 答：购买 6 根跳绳需 150 元，购买 12 根跳绳需 240 元 （2）有这种可能 设小红购买跳绳 x 根，则 250.8x=25（x2） 5， 解得 x=11 故小红购买跳绳 11 根 点评： 考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系列出方程，再求解 21 （8 分）一辆
30、货车从百货大楼出发负责送货，向东走了 4 千米到达小明家，继续向东走 了 1.5 千米到达小红家，然后向西走了 8.5 千米到达小刚家，最后返回百货大楼 （1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1 个单位长度表示 1 千米，请你在数轴上标出小 明、小红、小刚家的位置 （小明家用点 A 表示，小红家用点 B 表示，小刚家用点 C 表示） （2）小明家与小刚家相距多远？ （3）若货车每千米耗油 1.5 升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？ 考点： 数轴 分析： （1）根据已知，以百货大楼为原点，以向东为正方向，用 1 个单位长度表示 1 千 米一辆货车从百货大楼出发，向东走了 4 千米，到达小明家
31、，继续向东走了 1.5 千米到达 小红家，然后西走了 8.5 千米，到达小刚家，最后返回百货大楼，则小明家、小红家和小 刚家在数轴上的位置可知 （2）用小明家的坐标减去与小刚家的坐标即可 （3）这辆货车一共行走的路程，实际上就是 4+1.5+8.5+3=17（千米） ，货车从出发到结束 行程共耗油量=货车行驶每千米耗油量货车行驶所走的总路程 解答： 解：（1）如图所示： （2）小明家与小刚家相距：4（ 3）=7 （千米） ； （3）这辆货车此次送货共耗油：（4+1.5+8.5+3）1.5=25.5 （升） 答：小明家与小刚家相距 7 千米，这辆货车此次送货共耗油 25.5 升 点评： 本题是一
32、道典型的有理数混合运算的应用题，同学们一定要掌握能够将应用问题 转化为有理数的混合运算的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具如工程问题、行程 问题等都是这类 五、 （本题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 22 （9 分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是 =adbc 例如： =1423=2， =（1）6 35=21按照这个规定，解答下列问题： （1）计算 的值； （2）计算：当 5x2+y=7 时， 的值； （3）若 =0.5，求 x 的值 考点： 解一元一次方程；有理数的混合运算；整式的加减化简求值 专题： 阅读型；新定义 分析： （1）利用题中的新定义计算即可得到结
33、果； （2）原式利用新定义变形，整理后把已知等式代入计算即可求出值； （3）已知等式利用新定义化简，计算即可求出 x 的值 解答： 解：（1）根据题中的新定义得：原式=40+42=2； （2）根据题中的新定义得：原式=3x 23y2x2+2y+2=5x2y+2， 把 5x2+y=7 代入得：原式=7+2= 5； （3）已知等式整理得：3x 66x+2=0.5， 移项合并得：9x=4.5 ， 解得：x= 0.5 点评： 此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，以及整式的加减 化简求值，弄 清题中的新定义是解本题的关键 23 （9 分）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔 30
34、 支，毛笔 45 支， 共用了 1755 元，其中每支毛笔比钢笔贵 4 元 （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）学校仍需要购买上面的两种笔共 105 支（每种笔的单价不变） 陈老师做完预算后， 向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领 2447 元 ”王老师算了一下，说：“如果你用 这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了 ”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他 用这些钱只买这两种笔的帐算错了 陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔如果签字笔的单价为 小于 10 元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 2 或 6 元 考点： 二元一次方程的应用；一元一次方
35、程的应用 分析： （1）设钢笔的单价为 x 元，则毛笔的单价为（x+4）元根据买钢笔 30 支，毛 笔 45 支，共用了 1755 元建立方程，求出其解即可； （2）根据第一问的结论设单价为 21 元的钢笔为 y 支，所以单价为 25 元的毛笔则为 （105y ）支，求出方程的解不是整数则说明算错了； 设单价为 21 元的钢笔为 z 支，单价为 25 元的毛笔则为（ 105y）支，签字笔的单价为 a 元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论 解答： 解：（1）设钢笔的单价为 x 元，则毛笔的单价为（x+4）元由题意得： 30x+45（x+4）=1755 ， 解得：x=21， 毛笔的单价为：x
36、+4=25 答：钢笔的单价为 21 元，毛笔的单价为 25 元 （2）设单价为 21 元的钢笔为 y 支，所以单价为 25 元的毛笔则为（105y）支根据题 意，得 21y+25（105 y）=2447 解之得：y=44.5 （不符合题意） 陈老师肯定搞错了 设单价为 21 元的钢笔为 z 支，签字笔的单价为 a 元，则根据题意，得 21z+25（105 z）=2447 a 4z=178+a， a、z 都是整数， 178+a 应被 4 整除， a 为偶数，又因为 a 为小于 10 元的整数， a 可能为 2、4、6、8 当 a=2 时，4z=180，z=45，符合题意； 当 a=4 时，4z=
37、182，z=45.5，不符合题意； 当 a=6 时，4z=184，z=46，符合题意； 当 a=8 时，4z=186，z=46.5，不符合题意 所以签字笔的单价可能 2 元或 6 元 故答案为：2 元或 6 点评： 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的 运用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键 六、 （本题共 12 分） 24 （12 分） 【问题提出】已知AOB=70，AOD= AOC， BOD=3BOC（BOC45 ） ，求BOC 的度数 【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决 （1）当射线 OC 在AOB 的内部时，若射线
38、 OD 在 AOC 内部，如图 1，可求BOC 的 度数，解答过程如下： 设BOC= ， BOD=3BOC=3，COD=BOD BOC=2，AOD= AOC， AOD=COD=2，AOB= AOD+BOD=2+3=5=70， =14，BOC=14 问：当射线 OC 在AOB 的内部时，若射线 OD 在 AOB 外部，如图 2，请你求出 BOC 的度数； 【问题延伸】 （2）当射线 OC 在AOB 的外部时，请你画出图形，并求 BOC 的度数 【问题解决】综上所述：BOC 的度数分别是 14，30，10 ，42 考点： 角的计算 专题： 分类讨论 分析： （1）由已知条件得出COD 、 AOD、
39、AOB 与 BOC 的关系，求出 BOC 的 度数； （2）分类讨论，根据AOD、 BODAOB 与BOC 的关系，得出 BOC 的度数 解答： 解：（1）设BOC= ，则BOD=3， 若射线 OD 在AOB 外部， 如图 2：COD=BODBOC=2， AOD= AOC， AOD= COD= ， AOB=BODAOD=3 = =70， =30 BOC=30； （2）当射线 OC 在AOB 外部时，根据题意，此时射线 OC 靠近射线 OB， BOC45， AOD= AOC， 射线 OD 的位置也只有两种可能； 若射线 OD 在AOB 内部，如图 3 所示， 则COD=BOC+ COD=4， AOB=BOD+AOD=3+4=7=70， =10， BOC=10； 若射线 OD 在AOB 外部，如图 4， 则COD=BOC+ BOD=4， AOD= AOC， AOD= COD= ， AOB=BODAOD=3 = =70， =42， BOC=42； 综上所述：BOC 的度数分别是 14，30，10，42 点评： 根据 OC、OD 的不同位置分类讨论BOC 的计算方法；分类讨论是关键
