1、河南省郑州市 20142015 学年度八年级上学期期末数学模拟试卷 （五） 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1在ABC 中，三个角和三条边分别满足下列条 件： A=B，a：c=1： ； a：b：c=1：2：3； （a+b） 2c2=2ab； a+b=14，ab=48 ，c=10 其中能证明ABC 是直角三角形的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2下列说法中，正确的是（ ） A 0.4 的算术平方根是 0.2 B 16 的平方根是 4 C 的立方根是 4 D （2） 3 的立方根是 2 3实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 化简后为（ ） A 7 B 7 C
2、 2a15 D 无法确定 4在已知点 M（3， 4） ，在 x 轴上有一点与 M 的距离为 5，则该点的坐标为（ ） A （6，0） B （0，1） C （0， 8） D （6，0）或（0，0） 5如图，坐标平面内一点 A，O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P、O 、A 为顶点的三 角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 6如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 6，点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 上，且 D 的坐标为，P 是 OB 上的一动点，试求 PD+PA 和的最小值是（ ） A 2
3、B C 4 D 6 7下图中表示一次函数 y=mx+n 与正比例函数 y=nx（m，n 是常数，且 mn0）图象的是（ ） A B C D 8某中学举行的一次运动会上，参加男子跳高决赛的 12 名运动员的成绩如下所示： 成绩（单位：数） 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 人数 1 3 2 4 1 1 这 12 名运动员决赛成绩的众数、中位数依次是（ ） A 1.75 米，1.70 米 B 1.70 米，1.75 米 C 1.75 米，1.725 米 D 1.725 米，1.75 米 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高
4、分别是 2 米、0.3 米、0.2 米，A，B 是这个台阶上 两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短 路程是 米 10已知直线 y=4x+b 与两坐标轴围成的面积是 5，则 b 的值为 11 “一次函数 y=kx+b，当 b0 时，函数图象交 y 轴的负半轴”是一个 命题（填“ 真”或 “假”） 12如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数若在此平面直角坐标系内移动 点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点 A 的横坐标仍是整数，则移动后点 A 的 坐标为 13如图，数轴上 M 表示的数是 14一个正比例函数图象
5、与一次函数 y=x+2 的图象交于点 P，点 P 到 x 轴距离为 2，则这个正比例 函数的表达式是 15已知一次函数 y=kxk， 若 y 随着 x 的增大而减小，则该函数图象经过第 象限 三、解答题 16正方形的边长为 2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（ ，0） ，并写出另外 三个顶点的坐标 17张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a 221 321 421 521 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1 42+1 52+1 （1）请你分别观察 a，b，c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n（n1）的代数式表示： a= ，b= ，c
6、= ； 猜想：以 a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想 18某中学组织初三数学竞赛，要求每班各选出 5 名学生参加预选赛如图是初三（1）班和初三 班学生参加数学预选赛成绩的统计图 （1）根据统计图填写下表： 平均数（分） 中位数（分） 初三（1）班 85 初三班 80 如果在每班参加预选赛学生中取前 3 名学生参加决赛，结合两 班预选赛成绩情况，你认为在决赛时 哪 个班级实力更强？请说明理由 19研究课题：蚂蚁怎样爬最近？ 研究方法：如图 1，正方体的棱长为 5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点 A 沿着正方体表面爬到 点 C1 处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正
7、方体右侧面展开，由勾股定理得最短路 程的长为 AC1= cm这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为 平面内两点间距离最短问题 研究实践：（1）如图 2，正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为 6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上 的点 A 沿着棱柱表面爬到 C1 处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为 如图 3，圆锥的母线长为 4cm，圆锥的侧面展开图如图 4 所示，且AOA 1=120，一只蚂蚁欲从圆 锥的底面上的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长 （3）如图 5，没有上盖的圆柱盒高为 10cm，底面圆的周长为 32cm，点 A 距离下底面 3cm一只 位于圆柱
8、盒外表面点 A 处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点 B 处请求出蚂蚁需要爬行的最 短路程 的长 20在平面直角坐标系中，有四点 A（4，0） ，B（3，2） ，C（2，3） ，D（3，0） ，请你画出图形， 并求四边 形 ABCD 的面积 21已知，如图，XOY=90 ，点 A、B 分别在射线 OX、OY 上移动，BE 是ABY 的平分线，BE 的反向延长线与OAB 的平分线相交于点 C，试问 ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请 给出证明；如果随点 A、B 移动发生变化，请求出变化范围 22在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到 A 区和 B 区的得分不同， A 区为
9、小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点） 现统计小华、小芳和小明 掷中与得 分情况如下： 小华：77 分 小芳 75 分 小明： 分 （1）求掷中 A 区 、B 区一次各得多少分？ 依此方 法计算小明的得分为多少分？ 23 【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点 p（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2）为端点的线段中点坐标为 （ ， ） 【运用】已知：如图，在直角梯形 COAB 中，OCAB，AOC=90 ，AB=4，AO=8，OC=1 0，以 O 为原点建立平面直角坐标系， 点 D 为线段 BC 的中点，动点 P 从点 A 出发，以每秒 4 个单位的 速度，沿折线 AO
10、CD 向终点 C 运动，运动时间是 t 秒 （1）D 点的坐标为 ； 当 t 为何 值时，APD 是直角三角形； （3）点 P 移动过程中，设OPD 的面积为 S，请直接写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的 取值范围； （3）如果另有一动点 Q，从 C 点出发，沿折线 CBA 向终点 A 以每秒 5 个单位的速度与 P 点同时 运动，当一点到达终点时，两点均停止运动，问：P、C、 Q、A 四点围成的四边形的面积能否为 28？如果可能，求出对应的 t；如果不可能，请说明理由 河南省郑州市 20142015 学年度八年级上学期期末数学模拟 试卷（五） 参考答案与试题解析 一、选择题
11、（每小题 3 分，共 24 分） 1在ABC 中，三个角和三条边分别满足下列条件： A=B，a：c=1： ； a：b：c=1：2：3； （a+b） 2c2=2ab； a+b=14，ab=48 ，c=10 其中能证明ABC 是直角三角形的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就 是直角三角形分别进行分析即可 解答： 解：A=B， a：b：c=1：1： ， 12+12=（ ） 2， ABC 是直角三角形； 12+2232， ABC 不是直角三角形； （a
12、+b） 2c2=2ab， a2+2ab+b2c2=2ab， a2+b2=c2， ABC 是直角三角形； a+b=14， a2+2ab+b2=196， ab=48， a2+b2=100=c2， ABC 是直角三角形 能证明ABC 是直角三角形的有，共 3 个， 故选：C 点评： 此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理逆定理内容 2下列说法中，正确的是（ ） A 0.4 的算术平方根是 0.2 B 16 的平方根是 4 C 的立方根是 4 D （2） 3 的立方根是 2 考点： 立方根；平方根 ；算术平方根 分析： A、根据算术平方根的定义进行判断； B、根据平方根的定义，求数 a 的平
13、方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a 的平方根， 由此即可解决问题； C、此题实际上是求 8 的立方根； D、根据立方根的定义进行解答 解答： 解：A、0.04 的算术平方根是 0.2，故本选项错误； B、16 的平方根是 4，故本选项错误； C、 =8，在 的立方根是 2，故本选项错误； D、 （2） 3 的立方根是 2，故本选项正确 故选：D 点评： 本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义以及立方根的定义，是综合基础题，比较简 单 3实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 化简后为（ ） A 7 B 7 C 2a15 D 无法确定 考点： 二次根式的性质与化简；实数与
14、数轴 分析： 先从实数 a 在数轴上的位置，得出 a 的取值范围，然后求出（a4）和（a11）的取值范围， 再开方化简 解答： 解：从实数 a 在数轴上的位置可得， 5a10， 所以 a40， a110， 则 ， =a4+11a， =7 故选 A 点评： 本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念 4在已知点 M（3， 4） ，在 x 轴上有一点与 M 的距离为 5，则该点的坐标为（ ） A （6，0） B （0， 1） C （0，8） D （6，0）或（0，0） 考点： 两点间的距离公式 分析： 到点 M 的距离为定值的点在以 M 为圆心，以 5 为半径的圆上，圆与 x
15、 轴的交点即为所求 点 解答： 解：该点与 M 点的距离是 5，则这点就是以 M 点为圆心，以 5 为半径的圆与 x 轴的交点， 如图：过 M 作 x 轴的垂线，垂足是 N，则 ON=3，MN=4根据 勾股定理就可以求得 OM=5，则 O 就是圆与 x 轴的一个交点，则 O 坐标是（0，0） ；设另一个交点是 A，MNOA，则本题满足垂径 定理 ，AN=ON=3 点 A 的坐标是（6，0） 故选 D 点评： 本题运用了垂径定理，把求点的坐标的问题转化为求线段的长的问题，利用数形结合可以 更直观地解题 5如图，坐标平面内一点 A，O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P、O 、A 为
16、顶点的三 角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质 专题： 动点型 分析： 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：OA 为等腰三角形底边 ；OA 为等腰三角形 一条腰 解答： 解：如上图：OA 为等腰三角形底边，符合符合条件的动点 P 有一个； OA 为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点 P 有三个 综上所述，符合条件的点 P 的个数共 4 个 故选 C 点评： 本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问 题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求
17、解 6如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 6，点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 上，且 D 的坐标为，P 是 OB 上的一动点，试求 PD+PA 和的最小值是（ ） A 2 B C 4 D 6 考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理 专题： 压轴题；动点型 分析： 要求 PD+PA 和的最小值， PD，PA 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化 PD，PA 的值， 从而找出其最小值求解 解答： 解：连接 CD，交 OB 于 P则 CD 就是 PD+PA 和的最小值 在直角OCD 中， COD=90，OD=2，OC=6， CD= =2 ， PD+PA=PD+
18、PC=CD=2 PD+PA 和的最小值是 2 故选 A 点评： 考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用 7下图中表示一次函数 y=mx+n 与正比例函数 y=nx（m，n 是常数，且 mn0）图象的是（ ） A B C D 考点： 一次函数图象与系数的关系 分析： 根据正比例函数的图象确定 n 的符号，然后由“两数相乘，同号得正，异号得负 ”判断 出 n 的符号，再根据一次函数的性质进行判断 解答： 解：A、根据图中正比例函数 y=nx 的图象知，n0； m，n 是常数，且 mn0，m0， 一次函数 y=mx+n 的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误； B、根据图中正比例函数
19、y=nx 的图象知，n0；m，n 是常数，且 mn0， m0，一次函数 y=mx+n 的图象经过第一、二、四象 限；故本选项正确； C、根据图中正比例函数 y=nx 的图象知，n0；m，n 是常数，且 mn0， m0，一次函数 y=mx+n 的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误； D、根据图中正比例函数 y=nx 的图象知，n0；m ，n 是常数，且 mn0，m0， 一次函数 y=mx+n 的图象经过第一、二、四象限；故本选项错误； 故选 B 点评： 本题综合考查了正比例函数、一次函数图象与系数的关系一次函数 y=kx+b（k0）的图 象有四种情况： 当 k0，b0，函数 y=kx+b 的
20、图象经过第一、二、三象限； 当 k0，b0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、 三、四象限； 当 k0，b0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限； 当 k0，b0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限 8某中学举行的一次运动会上，参加男子跳高决赛的 12 名运动员的成绩如下所示： 成绩（单位：数） 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 人数 1 3 2 4 1 1 这 1 2 名运动员决赛成绩的众数、中位数依次是（ ） A 1.75 米，1.70 米 B 1.70 米，1.75 米 C 1.75 米，1.725 米 D 1.725 米，1.
21、75 米 考点： 中位数；众数 专题： 应用题 分析： 根据众数和中位数的概念求解即 可第 6、7 个数的平均数为中位数 解答： 解：数据总数是 12，中位数为（1.70+1.75）2=1.725，数据 1.75 出现了 4 次，出现次数最 多，所以众数是 1.75 故选 C 点评： 考查了中位数和众数的概念将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据 的平均数）叫做中位数众数是一组数据中出现次数最多的数 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是 2 米、0.3 米、0.2 米，A，B 是这个台阶上 两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，
22、想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短 路程是 2.5 米 考点： 平面展开-最短路径问题；勾股定理 分析： 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 解答： 解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 2，宽为（0.2+0.3）3， 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 x， 由勾股定理得：x 2=22+（0.2+0.3）3 2=2.52， 解得 x=2.5 点评： 本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答 10已知直线 y=4x+ b 与两坐标轴围成的面积是 5，则 b
23、 的值为 2 考点： 一次函数图象上点的坐标特征 分析： 直线 y=4x+b 与 x 轴的交点为（ ，0） ，与 y 轴的交点是（ 0，b） ，由题意得， | b|=1， 求解即可 解答： 解：直线 y=2x+b 与 x 轴的交点为（ ，0） ，与 y 轴的交点是（0，b） ， 直线 y=4x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是 5， | b|=5， 解得：b=2 故答案是：2 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征需注意在计算平面直角坐标系中的三角形面积 时，不确定的未知字母来表示线段长时，应用绝对值表示 11 “一次函数 y=kx+b，当 b0 时，函数图象交 y 轴的负半轴”是一个
24、 假 命题（填“ 真”或“ 假”） 考点： 一次函数图象与系数的关系；命题与定理 分析： 根据一次函数 y=kx+b 的图象的性质可以判定 b 的符号，从而判定该命题 解答： 解：一次函数 y=kx+b，当 b0 时，函数图象交 y 轴的正半轴， 该命题为一个假命题 故答案为：假 点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系在直线 y=kx+b 中，当 k0 时，y 随 x 的增大而 增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 12如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数若在此平面直角坐标系内移动 点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点 A 的横坐标仍是整数，则移动
25、后点 A 的 坐标为 （1， 1） ， （ 2，2） ， （0，2） ， （2， 3） 考点： 利用轴对称设计图案 专题： 压轴题 分析： 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把 A 进行移动可得到点的坐标，注意考虑全 面 解答： 解：如图所示： A1（1， 1） ，A 2（ 2，2） ，A 3（0，2） ，A 4（2， 3） ， （3，2） （此时不是四边形，舍去） ， 故答案为：（1，1） ， （ 2，2） ， （0，2） ， （2， 3） 点评： 此题主要考查了利用轴对称设计图案， 关键是掌握轴对称图
26、形的定义，根据 3 个定点所在 位置，找出 A 的位置 13如图，数轴上 M 表示的数是 1 考点： 实数与数轴；勾股定理 分析： 本题首先根据已知条件利用勾股定理求得 AC 的长度，AC=AM，进而利用实数与数轴的关 系解答即可求解 解答： 解：由勾股定理可知，AC= = ， 又 AC=AM，点 M 在正半轴上， 故 M 表示的数是 1 故答案为： 1 点评： 本题主要考查了勾股定理及实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，不仅 要结合图 形，还需要灵活运用勾股定理 14一个正比例函数图象与一次函数 y=x+2 的图象交于点 P，点 P 到 x 轴距离为 2，则这个正比例 函数的表达式是
27、y= x 考点： 两条直线相交或平行问题 专题： 计算题 分析： 由点 P 到 x 轴距离为 2 得到 P 点的纵坐标为 2 或 2，再利用点 P 在直线 y=x+2 确定 P 点坐 标（其中点 P 在 y 轴上不合题意舍去） ，然后利用待定系数法求正比例函数解析式 解答： 解：点 P 到 x 轴距离为 2， P 点的纵坐标为 2 或2， 当 y=2 时， x+2=2，解得 x=0，不合题意舍去； 当 y=2 时，x+2=2，解得 x=4，此时 P 点坐标为（4，2） ， 设正比例函数解析式为 y=kx， 把 P（4，2）代入得 4k=2，解得 k= ， 正比例函数的解析式为 y= x 故答案
28、为 y= x 点评： 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的 一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数 相同，即 k 值相同 15已知一次函数 y=kxk，若 y 随着 x 的增大而减小，则该函数图象经过第 一、二、四 象限 考点： 一次函数图象与系数的关系 分析： 根据已知 条件“ y 随 x 的增大而减小”判断 k 的取值，再根据 k，b 的符号即可判断直线所经 过的象限 解答： 解：一次函数 y=kxk，y 随着 x 的增大而减小， k 0，即 k 0， 该函数图象经过第一、二、四象限 故答案为一、二、
29、四 点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系解答本题注意理解：直线 y=kx+b 所在的位置与 k、b 的符号有直接的关系k0 时， 直线必经过一、三象限；k0 时，直线必经过二、四象限； b0 时，直线与 y 轴正半轴相交；b=0 时，直线过原点；b0 时，直线与 y 轴负半轴相交 三、解答题 16正方形的边长为 2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（ ，0） ，并写出另外 三个顶点的坐标 考点： 正方形的性质；坐标与图形性质 专题： 计算题 分析： 先找到 A（ ，0） ，根据正方形的对称性，可知 A 点的对称点 C 的坐标，同样可得出 B 和 D 的坐标 解答： 解：建立坐
30、标轴，使正方形的对称中心为原点， 则 A（ ，0） ，C（ ，0） ， 那么 B 的坐标是（0， ） ， 其对称点 D 的坐标是（0， ） 点评： 本题利用了正方形既是轴对称图形又是中心对称图形的性质 17张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a 221 321 421 521 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1 42+1 52+1 （1）请你分别观察 a，b，c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n（n1）的代数式表示： a= n 21 ，b= 2n ，c= n 2+1 ； 猜想：以 a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想 考点： 勾
31、股定理的逆定理；列代数式 专题： 应用题；压轴题 分析： （1）结合表中的数据，观察 a，b，c 与 n 之间的关系，可直接写出答案； 分别求出 a2+b2，c 2，比较即可 解答： 解：（1）由题意有：n 21，2n，n 2+1； 猜想为：以 a，b，c 为边的三角形是直角三角形 证明：a=n 21，b=2n；c=n 2+1 a2+b2=（n 21） 2+2=n42n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n 2+1） 2 而 c2=（n 2+1） 2 根据勾股定理的逆定理可知以 a，b，c 为边的三角形是直角三角形 点评： 本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题
32、18某中学组织初三数学竞赛，要求每班各选出 5 名学生参加预选赛如图是初三（1）班和初三 班学生参加数学预选赛成绩的统计图 （1）根据统计图填写下表： 平均数（分） 中位数（分） 初三（1）班 85 初三班 80 如果在每班参加预选赛学生中取前 3 名学生参加决赛，结合两班预选赛成绩情况，你认为在决赛时 哪个班级实力更强？请说明理由 考点： 条形统计图；加权平均数；中位数 分析： （1）分别写出两个班级的 5 名参赛同学的分数，排序后位于中间位置的数为该组数据的中 位数，计算班的平均分即可 （3）分别计算前三名的平均分，比较其大小 解答： 解：（1）初三（1）班 5 名同学的成绩分别为 75，
33、75，85，90，100， 中位数为 85， 初三二班的平均分为：（70+75+80+100+100）5=85 三（ 1）班、三班前三名选手的平均分分别为 91.7 分，93.3 分， 在每班参加复赛的选手中分别选出 3 人参加决赛，三班的实力更强一些 点评： 本题考 查了统计图的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的 关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据理解平均数、中位数和众数的概念，并能根据 它们的意义解决问题 19研究课题：蚂蚁怎样爬最近？ 研究方法：如图 1，正方体的棱长为 5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点 A 沿着正方体表面爬到 点 C1 处，要求该蚂
34、蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路 程的长为 AC1= cm这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为 平面内两点间距离最短问题 研究实践：（1）如图 2，正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为 6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上 的点 A 沿着棱柱表面爬到 C1 处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为 2 如图 3，圆锥的母线长为 4cm，圆锥的侧面展开图如图 4 所示，且AOA 1=120，一只蚂蚁欲从圆 锥的底面上的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长 （3）如图 5，没有上盖的圆柱盒高为 10cm，底面圆的周长为 32cm，点
35、 A 距离下底面 3cm一只 位于圆柱盒外表面点 A 处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点 B 处请求出蚂蚁需要爬行的最短路程 的长 考点： 平面展开-最短路径问题；圆锥的计算；圆柱的计算 专题： 应用题 分析： （1）将各图展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答， （3）作出点 A 关于 CD的 对称点 A，可构造直角三角形或利用相似三角形等有关知识，进而得出求出 BA=20cm，即是所 求 解答： 解：（1）画图分两种情况： ， ， ， 最短路程为 cm， 故答案为 cm， 如图 1，连接 AA1，过点 O 作 OPAA1，则 AP=A1P， AOP=A1OP， 由题意，OA=4cm， A
36、OA1=120， AOP=60 AP=OAsinAOP=4sin60=2 蚂蚁需要爬行的最短路程的长为 AA1= ， （3）画图 2，点 B 与点 B关于 PQ 对称，可得 AC=16，BC=12 ， 最短路程为 AB= =20cm 点评： 本题主要考查了同学们的空间想象能力，同时要求同学们能将立体图形侧面展开，有一定 难度 20在平面直角坐标系中，有四点 A（4，0） ，B（3，2） ，C（ 2，3） ，D （ 3，0） ，请你画出图形， 并求四边形 ABCD 的面积 考点： 坐标与图形性质；三角形的面积 分析： 建立平面直角坐标系，然后找出点 A、B、C、D 的位置，再根据四边形的面积等于
37、两个直 角三角形的面积与梯形的面积的和列式计算即可得解 解答： 解：四边形 ABCD 如图所示， 四边形 ABCD 的面积= 13+ 5+ 12， = + +1， =15 点评： 本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，主要利用了平面直角坐标系中点的位置的确 定 21已知，如图，XOY=90 ，点 A、B 分别在射线 OX、OY 上移动，BE 是ABY 的平分线，BE 的反向延长线与OAB 的平分线相交于点 C，试问 ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请 给出证明；如果随点 A、B 移动发生变化，请求出变化范围 考点： 三角形内角和定理；角平分线的定义 专题： 探究型 分析： 根据角平
38、分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解 解答： 解：C 的大小保持不变理由： ABY=90+OAB，AC 平分 OAB，BE 平分ABY， ABE= ABY= （90 +OAB）=45+ OAB， 即ABE=45+ CAB， 又ABE=C+ CAB， C=45， 故ACB 的大小不发生变化，且始终保持 45 点评： 本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意： 求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180”这一隐含的条件； 三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决 22在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到 A 区和 B 区的得分不同， A 区为小圆内部分，B
39、 区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点） 现统计小华、小芳和小明 掷中与得分情况如下： 小华：77 分 小芳 75 分 小明： ？ 分 （1 ）求掷中 A 区、B 区一次各得多少分？ 依此方法计算小明的得分为多少分？ 考点： 二元一次方程组的应用 分析： （1）首先设掷到 A 区和 B 区的得分分别为 x、y 分，根据图示可得等量关系：掷到 A 区 5 个的得分+掷到 B 区 3 个的得分=77 分； 掷到 A 区 3 个的得分+掷到 B 区 5 个的得分=75 分， 根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中 A 区、B 区一次各得多少分； 由图示可得求的是掷到 A 区 4 个的得分+
40、 掷到 B 区 4 个 的得分，根据（1）中解出的数代入计算即 可 解答： 解：（1）设掷到 A 区和 B 区的得分分别为 x、y 分， 依题意得： ， 解得： ， 答：掷中 A 区、B 区一次各得 10，9 分 由（1）可知：4x+4y=76， 答：依此方法计算小明的得分为 76 分 点评： 此题主要考查了二元一次 方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关 系，列出方程组 23 【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点 p（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2）为端点的线段中点坐标为 （ ， ） 【运用】已知：如图，在直角梯形 COAB 中，OCAB，AOC=90 ，AB=4
41、，AO=8，OC=10，以 O 为原点建立平面直角坐标系，点 D 为线段 BC 的中点，动点 P 从点 A 出发，以每秒 4 个单位的 速度，沿折线 AOCD 向终点 C 运动，运动时间是 t 秒 （1）D 点的坐标为 （4，7 ） ； 当 t 为何值时，APD 是直角三角形； （3）点 P 移动过程中，设OPD 的面积为 S，请直接写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的 取值范围； （3）如果另有一动点 Q，从 C 点出发，沿折线 CBA 向终点 A 以每秒 5 个单位的速度与 P 点同时 运动，当一点到达终点时，两点均停止运动，问：P、C、 Q、A 四点围成的四边形的面积能否
42、为 28？如果可能，求出对应的 t；如果不可能，请说明理由 考点： 一次函数综合题 分析： （1）坐标系中线段中点的坐标等于线段两端点坐标和的一半； 分两种情况，DP 垂直 AP 或 PD 垂直 DA，根据勾股定理，可得答案； （3）分类讨论：0t2，2 t 时，根据三角形的面积公式，可得答案； （4）利用已知条件可求 BC=10，直角梯形 COAB 的面积=56假设 P、C、Q、A 四点围成的四边 形的面积为 28，由于动点 P 从点 A 出发到达点 O 时，用时 2 秒，此时从 C 点出发的点 Q 恰好到达 点 B，P 、C 、Q、A 四点围成的四边形即为直角梯形 COAB，所以 t=2
43、秒时四边形的面积不能为 28分两种情况：t2，t2 解答： 解：（1）如图 1： AO=8， 从点 D 向 OA 引垂线，垂足为 D1，OD 1=4从 D 向 OC 引垂线，垂足为 D2OD 2=DD1= （AB+CO ） =7 故 D 点的坐标是（4，7） 故答案为：（4，7） ； 如图 2： 直角三角形即能满足勾股定理 则根据速度公式可得：当 DPAO， 点 D 为线段 BC 的中点，D 点的坐标是（4，7） AP =4， t1=1， 利用勾股定理表示出 AP12=82+（4t 8） 2，AD 2=42+72，P 1D=2=42+（74t+8 ） 2， t2= （3）S= （4）解：存在对
44、应的 t，能够使 P、C 、Q 、A 四点围成的四边形的面积为 28理由如下： 由于 t=2 秒时， P、C、Q、A 四点围成的四边形即为直角梯形 COAB， 所以 t=2 秒时四边形的面积不能为 28 AP=4t，CQ=5t 下面分两种情况分别讨论：如图 3， t2 秒时，点 P 在边 OA 上，点 Q 在边 BC 上 四边形 PCQA 的面积=28， POC 的面积+ ABQ 的面积= 直角梯形 COAB 的面积 四边形 PCQA 的面积=28， 10（8 4t）+ 4 =28， 解得 t=1 1 2， t= 符合题意； 如图 4： t2 秒时，点 P 在边 OC 上，点 Q 在边 AB 上，四边形 PCQA 为梯形 四边形 PCQA 的面积=28， （ 184t+145t） 8=28， 解得 t= ， t= 符合题意 故当 t=1 或 时，P、C、Q、A 四点围成的四边形的面积为 28 点评： 本题考查梯形，坐标与图形性质，直角三角形的判定等，注意动态问题要考虑全面
