1、2014-2015 学年安徽省安庆市桐城市九年级（上）期末数学试 卷 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分四个选项中只有一项是正确的 1已知 2x=3y，则下列比例式成立的是（ ） A = B = C = D = 2在函数 y=（x+1） 2+3 中，y 随 x 增大而减小，则 x 的取值范围为（ ） A x1 B x3 C x1 D x3 3如图，点 A 是反比例函数图象的一点，自点 A 向 y 轴作垂线，垂足为 T，已知 S AOT=4，则此函数的表达式为（ ） A B C D 4如图，已知ABC， P 为 AB 上一点，连接 CP，以下条件中不能判定ACPABC 的是 （ ） A A
2、CP=B B APC=ACB C D 5有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为 300cm2，其中一条边的长度为 5cm经测量，这条边的实际长度为 15m，则这块草坪的实际面积是（ ） A 100m 2 B 270m 2 C 2700m 2 D 90000m 2 6在 RtABC 中，C=90，若 AC=2BC，则 sinA 的值是（ ） A B 2 C D 7如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ） A 1x5 B x5 C x1 且 x5 D x1 或 x5 8已知：如图，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是劣
3、弧上不同于点 C 的任意一点， 则BPC 的度数是（ ） A 45 B 60 C 75 D 90 9如图，在等腰 RtABC 中，C=90，AC=3，D 是 AC 上一点若 tanDBA= ，则 AD 的长为（ ） A 2 B C D 1 10如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，四边形 EFGH 是边长为 2 的正方形，点 D 与 点 F 重合，点 B，D（F） ，H 在同一条直线上，将正方形 ABCD 沿 FH 方向平移至点 B 与点 H 重合时停止，设点 D、F 之间的距离为 x，正方形 ABCD 与正方形 EFGH 重叠部分的面积为 y，则能大致反映 y 与 x 之间函数关系
4、的图象是（ ） A B C D 二、填空题：每小题 5 分，满分 20 分 11若点 P1（1，m） ，P 2（2，n）在反比例函数 y= 的图象上，则 m n（填 “” 、 “”或“=”号） 12如图，已知直线 l1l 2 3l 4，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 tan= 13如图，直径分别为 CD、CE 的两个半圆相切于点 C，大半圆 M 的弦与小半圆 N 相切于点 F，且 ABCD，AB=4，设 、 的长分别为 x、y，线段 ED 的长为 z，则 z（x+y）的值为 14已知抛物线 C1：y 1=a1x2+b1x+c1，C 2：y
5、 2=a2x2+b2x+c2，且满足 = = =k（k0，1） ，则称抛物线 C1，C 2互为“友好抛物线” 关于“友好抛物线” 有以下说法：C 1，C 2开口方向、开口大小相同；C 1，C 2的对称轴相同；如果 y2的最 值为 m，则 y1的最值为 km；如果 C2与 x 轴的两交点间距离为 d，则 C1与 x 轴的两交点 间距离也为 d其中正确的结论是 （把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题：每小题 8 分，满分 90 分 15计算|tan60tan45|+ 16观察下列算式： 132 2=1；243 2=1；354 2=1； ； （1）请你按以上规律写出第 4 个算式； （2）
6、把这个规律用含字母的式子表示出来； （3）你认为第（2）小 题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由 17桐城市某房产公司推出热气球观房活动，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看某小 区内一栋高楼顶部的仰角为 30，看这栋高楼底部的俯角为 60，A 处于高楼的水平距离 为 30m，求这栋高楼有多高？（结果精确到 1m，参考数据： 1.4， 1.7） 18如图，已知直线 y1=2x 经过点 P（2，a） ，点 P 关于 y 轴的对称点 P在反比例函 数 y2= （k0）的图象上 （1）求点 P的坐标； （2）求反比例函数的解析式，并直接写出当 y22 时自变量 x 的取值范围 19如图，已知 O
7、 是坐标原点，B、C 两点的坐标分别为（3，1） 、 （2，1） （1）以 0 点为位似中心在 y 轴的左侧将OBC 放大到两倍（即新图与原图的相似比为 2） ， 画出图形； （2）分别写出 B、C 两点的对应 点 B、C的坐标； （3）如果OBC 内部一点 M 的坐标为（x，y） ，写出 M 的对应点 M的坐标 20如图，点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且BAC=BDC=DAE （1）求证：BEACDA； （2）请猜想 可能等于图中哪两条线段的比例？并证明你的猜想 21如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E连接 AC、OC、BC （1）求证
8、：ACO=BCD； （2）若 EB=8cm，CD=24cm，求O 的直径 22桐城市某游乐场投资 150 万元引进了一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计 开放后每月可创收 33 万元，而改游乐设施开放后，从第 1 个月到第 x 个月的维修保养费用 累计为 y 万元，且满足 y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用所得称为游乐场的纯 收益 W 万元 （1）若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元，分别求出 y 关于 x 的函数解 析式以及 W 关于 x 的表达式； （2）问设施开放几个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益多少万元？ （3）几个月后，能收回投
9、资？ 23如图，已知线段 ABCD，AD 与 BC 相交于点 K，E 是线段 AD 上一动点 （1）若 BK=KC，求 的值 （2）连接 BE，若 BE 平分ABC，则当 AE= AD 时，猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有怎样 的等量关系？请写出你的结论并予以证明； （3）再探究：当 AE= AD（n2） ，而其余条件不变时，线段 AB、BC、CD 三者之间又有怎 样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明 2014-2015 学年安徽省安庆市桐城市九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分四个选项中只有一项是正确的 1已知 2x=3y，则下
10、列比例式成立的是（ ） A = B = C = D = 考点： 比例的性质 专题： 计算题 分析： 把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以 转化为等积式 2x=3y，即可判断 解答： 解：A、变成等积式是：xy=6，故错误； B、变成等积式是：3x=2y，故错误； C、变成等积式是：2x=3y，故正确； D、变成等积式是：3x=2y，故错误 故选 C 点评： 本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否 相同即可 2在函数 y=（x+1） 2+3 中，y 随 x 增大而减小，则 x 的取值范围为（ ） A x1 B x3 C x1
11、D x3 考点： 二次函数的性质 分析： 由条件可知二次函数的对称轴为 x=1，且开口向上，可得出答案 解答： 解： y=（x+1） 2+3， 二次函数开口向上，且对称轴为 x=1， 当 x1 时，y 随 x 增大而减小， 故选 C 点评： 本题主要考查二次函数的增减性及对称轴，掌握在 y=a（xh） 2+k 中二次函数的 对称轴为 x=h 是解题的关键 3如图，点 A 是反比例函数图象的一点，自点 A 向 y 轴作垂线，垂足为 T，已知 S AOT=4，则此函数的表达式为（ ） A B C D 考点： 反比例函数系数 k 的几何意义 专题： 数形结合 分析： 由图象上的点所构成的三角形面积为
12、可知，该点的横纵坐标的乘积绝对值为 2，又 因为点 M 在第二象限内，所以可知反比例函数的系数 解答： 解：由题意得：|k|=2S AOT =8； 又因为点 M 在第二象限内，则 k0； 所以反比例函数的系数 k 为8 故选 D 点评： 本题主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想， 做此类题一定要正确理解 k 的几何意义 4如图，已知ABC，P 为 AB 上一点，连接 CP，以下条件中不能判定ACPABC 的是 （ ） A ACP=B B APC=ACB C D 考点： 相似
13、三角形的判定 分析： 由图可得A=A，又由有两角对应相等的三角形相似，即可得 A 与 B 正确，又由 两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，即可得 C 正确，利用排除法即可求得答案 解答： 解：A=A， 当ACP=B 时，ACPABC，故 A 选项正确； 当APC=ACB 时，ACPABC，故 B 选项正确； 当 时，ACPABC，故 C 选项正确； 若 ，还需知道ACP=B，不能判定ACPABC故 D 选项错误 故选：D 点评： 此题考查了相似三角形的性质此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等 的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用 5有一多边形草坪，在市政建设设
14、计图纸上的面积为 300cm2，其中一条边的长度为 5cm经测量，这条边的实际长度为 15m，则这块草坪的实际面积是（ ） A 100m 2 B 270m 2 C 2700m 2 D 90000m 2 考点： 比例线段 专题： 计算题；压轴题 分析： 实际图形与设计图是相似图形，相似比是 5：1500=1：300，相似多边形面积的比 等于相似比的平方，就可求出这块草坪的实际面积 解答： 解：设草坪的实际面积是 x 平方米， 则有 ， 解得 x=2700m2 故选 C 点评： 实际图形与设计图是相似图形，本题实际就是考查相似多边形的性质注意单位的 转换 6在 RtABC 中，C=90，若 AC=
15、2BC，则 sinA 的值是（ ） A B 2 C D 考点： 锐角三角函数的定义 专题： 压轴题 分析： 根据正弦的定义 sinA= 解答 解答： 解：根据题意，AB= = BC，sinA= = = 故选 C 点评： 本题主要考查角的正弦的定义，需要熟练掌握 7如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ） A 1x5 B x5 C x1 且 x5 D x1 或 x5 考点： 二次函数与不等式（组） 专题： 压轴题 分析： 利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的 另一个交点坐标，结合图象可得出 ax2+bx+c0 的解集 解答：
16、解：由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0） ， 图象与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） 利用图象可知： ax2+bx+c0 的解集即是 y0 的解集， x1 或 x5 故选：D 点评： 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合， 题目非常典型 8已知：如图，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是劣弧上不同于点 C 的任意一点， 则BPC 的度数是（ ） A 45 B 60 C 75 D 90 考点： 圆周角定理；正多边形和圆 分析： 连接 OB、OC，首先根据正方形的性质，得BOC=90，再根据圆周角定理，得 BPC=45 解答：
17、 解：如图，连接 OB、OC，则BOC=90， 根据圆周角定理，得：BPC= BOC=45 故选 A 点评： 本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用 这里注意：根据 90的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆 心 9如图，在等腰 RtABC 中，C=90，AC=3，D 是 AC 上一点若 tanDBA= ，则 AD 的长为（ ） A 2 B C D 1 考点： 解直角三角形 分析： 想要求 AD 的长，求 CD 的长即可，根据 tanDBA= 和 tan45=1，即可求得 tanCBD 的值，即可解题 解答： 解：CBD+DBA=ABC=45， tanABC= =1
18、， tanDBA= ， tanCBD= ， CD=BCtanCBD=2 ， AD=32=1 故选 D 点评： 本题考查了直角三角形中正切值的运用，考查了两角和的正切公式，熟练运用两角 和的正切公式是解题的关键 10如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，四边形 EFGH 是边长为 2 的正方形，点 D 与 点 F 重合，点 B，D（F） ，H 在同一条直线上，将正方形 ABCD 沿 FH 方向平移至点 B 与点 H 重合时停止，设点 D、F 之间的距离为 x，正方形 ABCD 与正方形 EFGH 重叠部分的面积为 y，则能大致反映 y 与 x 之间函数关系的图象是 （ ） A B C
19、D 考点： 动点问题的函数图象 专题： 应用题；压轴题 分析： 正方形 ABCD 与正方形 EFGH 重叠部分主要分为 3 个部分，是个分段函数，分别对应 三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案 解答： 解：DF=x，正方形 ABCD 与正方形 EFGH 重叠部分的面积为 y y= DF2= x2（0x ） ； y=1（ x2 ） ； BH=3 x y= BH2= x23 x+9（2 x3 ） 综上可知，图象是 故选：B 图： 点评： 解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之 间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用 二、填空题：每
20、小题 5 分，满分 20 分 11若点 P1（1，m） ，P 2（2，n）在反比例函数 y= 的图象上，则 m n（填“” 、 “”或“=”号） 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征 专题： 计算题 分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特得到 1m=2，2n=2，然后分别解方程求出 m 和 n 的值，再比较大小即可 解答： 解：点 P1（1，m） ， P2（2，n）在反比例函数 y= 的图象上， 1m=2 ，2n=2， m=2，n=1， mn 故答案为 点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y= （k 为常数，k0） 的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定
21、值 k，即 xy=k 12如图，已知直线 l1l 2 3l 4，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 tan= 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义 分析： 根据正方形的性质就可以得出 AE= AD，由平行线的性质就可以得出=ADE， 就可以求出结论 解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形， AD=AB，A=90 l 1l 2 3l 4，相邻两条平行直线间的距离都是 1， AE= AB，=ADE AE= AD tanADE= ， tan= ， tan= 故答案为： 点评： 本题考查了平行线等分线段定理的运用，正方
22、形的性质的运用，三角函数值的运用， 解答时运用平行线等分线段定理求解是关键 13如图，直径分别为 CD、CE 的两个半圆相切于点 C，大半圆 M 的弦与小半圆 N 相切于点 F，且 ABCD，AB=4，设 、 的长分别为 x、y，线段 ED 的长为 z，则 z（x+y）的值为 8 考点： 垂径定理；勾股定理；切线的性质 专题： 计算题；压轴题 分析： 过 M 作 MGAB 于 G，连 MB，NF，根据垂径定理得到 BG=AG=2，利用勾股定理可得 MB2MG 2=22=4，再根据切线的性质有 NFAB，而 ABCD，得到 MG=NF，设M，N 的半 径分别为 R，r，则 z（x+y）=（CDC
23、E） （R+ r）=（R 2r 2） 2，即可得到 z（x+y）的值 解答： 解：过 M 作 MGAB 于 G，连 MB，NF，如图， 而 AB=4， BG=AG=2， MB 2MG 2=22=4， 又大半圆 M 的弦与小半圆 N 相切于点 F， NFAB， ABCD， MG=NF， 设M，N 的半径分别为 R，r， z（x+y）=（CDCE） （R+ r） ， =（2R2r） （R+r）， =（R 2r 2）2 ， =42 ， =8 故答案为：8 点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了切 线的性质和圆的面积公式以及勾股定理 14已知抛物线 C1：y 1
24、=a1x2+b1x+c1，C 2：y 2=a2x2+b2x+c2，且满足 = = =k（k0，1） ，则称抛物线 C1，C 2互为“友好抛物线” 关于“友好抛物线” 有以下说法：C 1，C 2开口方向、开口大小相同；C 1，C 2的对称轴相同；如果 y2的最 值为 m，则 y1的最值为 km；如果 C2与 x 轴的两交点间距离为 d，则 C1与 x 轴的两交点 间距离也为 d其中正确的结论是 （把所有正确结论的序号都填在横线上） 考点： 二次函数的性质 专题： 新定义 分析： 当 k0 时，可判断；由 = 可得到 = ，可判断；根据二次函数的最值， 可分别求得 y2和 y1的最值，再结合条件可
25、判断；根据根与系数的关系求出与 X 轴的两 交点的距离|ge|和|dm|，即可判断 解答： 解：由已知可知：a 1=ka2，b 1=kb2，c 1=kc2， 根据友好抛物线的条件，a 1、a 2的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定相 同，故不正确； 由 = 可得到 = ，所以可知其对称轴相同，故正确； 因为如果 y2的最值是 m，则 y1的最值是 =k =km，故正确； 因为设直线 y1于 x 轴的交点坐标是（e，f） ， （g，h） ，则 e+g= ，eg= ， 直线 y2于 x 轴的交点坐标是（m，n） ， （d，p） ，则 m+d= ，md= ， 可求得：d=|ge|= = =
26、 = =|dm|，故正确； 故答案为： 点评： 本题主要考查二次函数的对称轴、开口方向、最值等，由条件得出 a1=ka2，b 1=kb2，c 1=kc2是解题的关键 三、解答题：每小题 8 分，满分 90 分 15计算|tan60tan45|+ 考点： 特殊角的三角函数值 专题： 计算题 分析： 本题可分别解出 tan60与 tan45的值，比较它们的大小，再对原式去绝对 值而根号内的数可配成平方式，讨论平方内的数的大小，最后代入原式即可 解答： 解：原式=|tan60tan45|+|cos301| =tan60tan45+1cos30 = = 点评： 本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊
27、角的函数值是解题关键 16观察下列算式： 132 2=1；243 2=1；354 2=1； 465 2=1 ； （1）请你按以上规律写出第 4 个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来； （3）你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由 考点： 规律型：数字的变化类 分析： （1）按照前 3 个算式的规律写出即可； （2）观察发现，算式序号与比序号大 2 的数的积减去比序号大 1 的数的平方，等于1， 根据此规律写出即可； （3）先利用单项式乘多项式的法则与完全平方公式分别计算第 n 个式子左边的第一项与第 二项，再去括号、合并同类项，所得结果与1 比较即可 解答： 解：（
28、1）132 2=1， 243 2=1， 354 2=1， 第 4 个算式为：465 2=1； 故答案为：465 2=1； （2）第 n 个式子是：n（n+2）（n+1） 2=1； （3）第（2）小题中所写出的式子一定成立理由如下： 左边=n（n+2）（n+1） 2=n2+2n（n 2+2n+1）=n 2+2nn 22n1=1，右边=1， 左边=右边， n（n+2）（n+1） 2=1 点评： 此题主要考查了规律型：数字的变化类，观察出算式中的数字与算式的序号之间的 关系是解题的关键 17桐城市某房产公司推出热气球观房活动，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看某小 区内一栋高楼顶部的仰角为 30
29、，看这栋高楼底部的俯角为 60，A 处于高楼的水平距离 为 30m，求这栋高楼有多高？（结果精确到 1m，参考数据： 1.4， 1.7） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： 过 A 作 ADBC，垂足为 D，在直角ABD 与直角ACD 中，根据三角函数即可求得 BD 和 CD，即可求解 解答： 解：过 A 作 ADBC，垂足为 D 在 RtABD 中， BAD=60，AD=30m， BD=ADtan60=30 =30 m， 在 RtACD 中， CAD=30，AD=30m， CD=ADtan30=30 =10 m， BC=30 +10 =40 68（m） 答：这栋楼高约为 68m
30、 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据所给的仰角和俯角构造直 角三角形，利用三角函数的知识求解直角三角形 18如图，已知直线 y1=2x 经过点 P（2，a） ，点 P 关于 y 轴的对称点 P在反比例函 数 y2= （k0）的图象上 （1）求点 P的坐标； （2）求反比例函数的解析式，并直接写出当 y22 时自变量 x 的取值范围 考点： 待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；关于 x 轴、y 轴 对称的点的坐标 分析： （1）把 P 的坐标代入直线的解析式，即可求得 P 的坐标，然后根据关于 y 轴对称 的两个点之间的关系，即可求得 P的坐标； （
31、2）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的增减性即可求 得 x 的范围 解答： 解：（1）把 P（2，a）代入直线的解析式得：a=2（2）=4，则 P 的坐标 是（2，4） ， 点 P 关于 y 轴的对称点 P的坐标是：（2，4） ； （2）把 P的坐标（2，4）代入反比例函数 y2= （k0）的解析式得：4= ，解得： k=8，则函数的解析式是：y 2= ； 在解析式中，当 y=2 时，x=4， 则当 y22 时自变量 x 的取值范围是：x4 或 x0 点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及反比例函数的性质，容易出现的错误 是在求 x 的范围时忽视 x0 这
32、一条件 19如图，已知 O 是坐标原点，B、C 两点的坐标分别为（3，1） 、 （2，1） （1）以 0 点为位似中心在 y 轴的左侧将OBC 放大到两倍（即新图与原图的相似比为 2） ， 画出图形； （2）分别写出 B、C 两点的对应点 B、C的坐标； （3）如果OBC 内部一点 M 的坐标为（x，y） ，写出 M的对应点 M的坐标 考点： 作图-位似变换；点的坐标 专题： 作图题 分析： （1）延长 BO，CO 到 BC，使 OB，OC的长度是 OB，OC 的 2 倍顺次连接三 点即可； （2）从直角坐标系中，读出 B、C的坐标； （3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好
33、是原坐标乘以2 的坐标， 所以 M 的坐标为（x，y） ，写出 M 的对应点 M的坐标为（2x，2y） 解答： 解：（1） （2）B（6，2） ，C（4，2） ； （3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以2 的坐标， 所以 M 的坐标为（x，y） ，写出 M 的对应点 M的坐标为（2x，2y） 点评： 本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关 键，看图也是关键很多信息是需要从图上看出来的 20如图，点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且BAC=BDC=DAE （1）求证：BEACDA； （2）请猜想 可能等于图中哪两
34、条线段的比例？并证明你的猜想 考点： 相似三角形的判定与性质 分析： （1）由三角形外角的性质及条件可得到AEB=ADC，结合条件可得到 DAC=EAB，可证得结论； （2）利用（1）的结论可证得ADEACB，再利用相似三角形的性质可得出 = 或 解答： （1）证明：BAC=DAE， DAE+EAC=BAC+EAC， 即BAE=DAC， DAE=BDC， DAE+ADE=BDC+ADE， 即AEB=ADC， BEACDA； （2）解： = 或 ，证明如下： 由（1）可知ADEACB， = ，且DAE=BAC， ADEACB， = = ， = 或 点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握
35、相似三角形的判定方法是解题的关键， 即两个三角形的三边对应成比例、两个三角形有两组角对应相等、两个三角形的两 组对边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似 21如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E连接 AC、OC、BC （1）求证：ACO=BCD； （2）若 EB=8cm，CD=24cm，求O 的直径 考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理 专题： 几何综合题 分析： （1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为AOC 是等腰三角形， 即可求证 （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径 解答： （1）证明：连接 OC， AB 为O 的直径，
36、CD 是弦，且 ABCD 于 E， CE=ED， （2 分） BCD=BAC （3 分） OA=OC，OAC=OCA ACO=BCD （5 分） （2）解：设O 的半径为 Rcm，则 OE=OBEB=（R8）cm， CE= CD= 24=12cm， （6 分） 在 RtCEO 中，由勾股定理可得 OC2=OE2+CE2，即 R2=（R8） 2+122（8 分） 解得 R=13，2R=213=26cm 答：O 的直径为 26cm （10 分） 点评： 本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力 22桐城市某游乐场投资 150 万元引进了一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计 开放后每月可创收
37、 33 万元，而改游乐设施开放后，从第 1 个月到第 x 个月的维修保养费用 累计为 y 万元，且满足 y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用所得称为游乐场的纯 收益 W 万元 （1）若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元，分别求出 y 关于 x 的函数解 析式以及 W 关于 x 的表达式； （2）问设施开放几个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益多少万元？ （3）几个月后，能收回投资？ 考点： 二次函数的应用 分析： （1）将 x=1，y=2 及 x=2，y=6 代入关系式 y=ax2+bx 求出 a、b 的值进而求出 y 与 x 的关系式，再由利润=收
38、入投资维修保养费用就可以得出 W 与 x 的关系式； （2）由（1）的 W 与 x 的关系式变为顶点式就可以求出结论； （3）由函数的解析式可以得出 0x16 时 y 随 x 的增大而增大，当 W=0 时求出 x 的值即 可求出结论 解答： 解：（1）由题意，得 ， 解得： ， y=x2+x W=33x150（x 2+x） ， W=x 2+32x150 答：y 关于 x 的函数解析式为 y=x2+x，W 关于 x 的表达式为 W=x 2+32x150； （2）W=x 2+32x150， W=（x16） 2+106 a=10， x=16 时，W 最大 =106 万元 答：设施开放 16 个月时，
39、游乐场的纯收益达到最大，最大收益 106 万元； （3）由题意，得 0=x 2+32x150， 解得：x 1=16+ ，x 2=16 ， 16+ 16 ， x=16 x 为整数， x=5 时，W0， 当 x=6 时，W0， 6 个月后，能收回投资 点评： 本题考查了二次函数的顶点式的运用，利润=收入投资维修保养费用的数量关 系的运用，一元二次方程的运用，解答时求出函数的关系式是关键 23如图，已知线段 ABCD，AD 与 BC 相交于点 K，E 是线段 AD 上一动点 （1）若 BK=KC，求 的值 （2）连接 BE，若 BE 平分ABC，则当 AE= AD 时，猜想线段 AB、BC、CD 三
40、者之间有怎样 的等量关系？请写出你的结论并予以证明； （3）再探究：当 AE= AD（n2） ，而其余条件不变时，线段 AB、BC、CD 三者之间又有怎 样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明 考点： 相似形综合题 分析： （1）由已知得 BK=KC，由 CDAB 可证KCDKBA，利用 = 求值； （2）AB=BC+CD作ABD 的中位线，由中位线定理得 EFABCD，可知 G 为 BC 的中点， 由平行线及角平分线性质，得GEB=EBA=GBE，则 EG=BG= BC，而 GF= CD，EF= AB， 利用 EF=EG+GF 求线段 AB、BC、CD 三者之间的数量关系； （3）当 A
41、E= AD（n2）时，EG=BG= BC，而 GF= CD，EF= AB，EF=EG+GF 可得 BC+CD=（n1）AB 解答： 解：（1）BK=KC， =1， 又CDAB， KCDKBA， =1； （2）当 BE 平分ABC，AE= AD 时，AB=BC+CD； 证明：取 BD 的中点为 F，连接 EF 交 BC 于 G 点， 由中位线定理，得 EFABCD， G 为 BC 的中点，GEB=EBA， 又EBA=GBE， GEB=GBE， EG=BG= BC，而 GF= CD，EF= AB， EF=EG+GF， 即： AB= BC+ CD； AB=BC+CD； （3）由（2）同理可得：当 AE= AD（n2）时，EFAB， 同理可得： = = ，则 BG= BC，则 EG=BG= BC， = = ，则 GF= CD， = = ， + CD= AB， BC+CD=（n1）AB， 故当 AE= AD（n2）时，BC+CD=（n1）AB 点评： 本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分 线的性质，正确的作出辅助线构造平行线利用三角形的中位线定理解决问题是解题的关 键
