1、2015-2016 学年北京市怀柔区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的 19 的算术平方根是( ) A3 B3 C 3 D 2若 表示二次根式，则 x 的取值范围是( ) Ax2 Bx 2 Cx2 Dx2 3若分式 的值为 0，则 x 的值是( ) A2 B1 C0 D1 4剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批人类非物质文化遗产代表作名录 ， 下列剪纸作品中，是轴对称图形的为( ) A B C D 5下列二次根式是最简二次根式的是( ) A B C D 6下列各式计算正确的是( ) A + = B4
2、3 =1 C2 3 =6 D =3 7在一个不透明的箱子里，装有 3 个黄球、5 个白球、2 个黑球，它们除了颜色之外没有 其他区别从箱子里随意摸出 1 个球，则摸出白球的可能性大小为( ) A0.2 B0.5 C0.6 D0.8 8如图，一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图所示的残片，对图中的哪些数据测量后就可 到建材部门割取符合规格的三角形玻璃( ) AA，B ，C BA，线段 AB， B CA ，C ，线段 AB D B， C，线 段 AD 9如图是由线段 AB，CD，DF，BF，CA 组成的平面图形， D=28，则A+ B+C+F 的度数为( ) A62 B152 C208 D236 10
3、如图，直线 L 上有三个正方形 a，b，c ，若 a，c 的面积分别为 1 和 9，则 b 的面积为( ) A8 B9 C10 D11 二、填空题（本题共 21 分，每小题 3 分） 11如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是_ 12若实数 x，y 满足 ，则代数式 x+y 的值是_ 13如果三角形的两条边长分别为 23cm 和 10cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三 边的长为_cm 14若 a1，化简 等于_ 15已知 ，则分式 的值等于_ 16在ABC 中，AB=4，AC=3，AD 是ABC 的角平分线，则 ABD 与ACD 的面积之 比是_ 17阅读下面材料： 在数学课上，老师提
4、出如下问题： 小强的作法如下： 老师说：“小强的作法正确 ” 请回答：小强用直尺和圆规作图AO B=AOB，根据三角形全等的判定方法中的 _， 得出DO CDOC，才能证明 AOB=AOB 三、解答题（本题共 69 分，第 18-27 题，每小题 5 分，第 28 题 6 分，第 29 题 7 分，第 30 题 6 分） 18计算： 19计算： 20计算： 21计算： 22如图，在 RtABC 中， BAC=90，点 D 在 BC 边上，且 ABD 是等边三角形若 AB=2，求 BC 的长 23解分式方程： 24如图，点 C，D 在线段 BF 上，ABDE，AB=DF ，A=F，求证：BC=D
5、E 25先化简： ，然后从1，0，1，2 中选一个你认为合适的 a 值， 代入求值 26小红家最近新盖了房子，室内装修时，木工师傅让小红爸爸去建材市场买一块长 3m， 宽 2.2m 的薄木板用来做家居面，到了市场爸爸看到满足这个尺寸的木板有点大，买还是不 买爸爸犹豫了，因为他知道他家门框高只有 2m，宽只有 1m，他不知道这块木板买回家后 能不能完整的通过自家门框请你替小红爸爸解决一下难题，帮他算一算要买的木板能否 通过自家门框进入室内 （备用图可供做题参考，薄木板厚度可以忽略不计） 27列方程解应用题 李明和王军相约周末去怀柔图书馆看书，请根据他们的微信聊天内容求李明乘公交、王军 骑自行车每
6、小时各行多少公里？ 28已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G （1）判断 AC 与图中的那条线段相等，并证明你的结论； （2）若 CE 的长为 ，求 BG 的长 29已知：在ABC 中，D 为 BC 边上一点，B，C 两点到直线 AD 的距离相等 （1）如图 1，若ABC 是等腰三角形，AB=AC ，则点 D 的位置在_； （2）如图 2，若ABC 是任意一个锐角三角形，猜想点 D 的位置是否发生变化，请补全图 形并加以证明； （3）如图 3，当ABC
7、是直角三角形，A=90，并且点 D 满足（2）的位置条件，用等式 表示线段 AB，AC，AD 之间的数量关系并加以证明 30请阅读下列材料： 问题：如图 1，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 AP+BP 的值最小 小明的思路是：如图 2 所示，先作点 A 关于直线 l 的对称点 A，使点 A，B 分别位于直线 l 的两侧，再连接 AB，根据“两点之间线段最短”可知 AB 与直线 l 的交点 P 即为所求 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）如图 3，在图 2 的基础上，设 AA与直线 l 的交点为 C，过点 B 作 BDl，垂足为 D若 CP=1，
8、AC=1，PD=2 ，直接写出 AP+BP 的值； （2）将（1）中的条件“AC=1” 去掉，换成“BD=4AC”，其它条件不变，直接写出此时 AP+BP 的值； （3）请结合图形，求 的最小值 2015-2016 学年北京市怀柔区八年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的 19 的算术平方根是( ) A3 B3 C 3 D 【考点】算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义解答 【解答】解：3 2=9， 9 的算术平方根是 3 故选 A 【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键 2若 表示
9、二次根式，则 x 的取值范围是( ) Ax2 Bx 2 Cx2 Dx2 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可 【解答】解：由题意得，x2 0， 解得，x2， 故选：B 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数 是解题的关键 3若分式 的值为 0，则 x 的值是( ) A2 B1 C0 D1 【考点】分式的值为零的条件 【分析】根据分式值为零的条件可得 x1=0，且 x+20，再解即可 【解答】解：由题意得：x1=0，且 x+20， 解得：x=1 故选：D 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，
10、关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零 且分母不等于零注意：“分母不为零”这个条件不能少 4剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批人类非物质文化遗产代表作名录 ， 下列剪纸作品中，是轴对称图形的为( ) A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故正确； C、不是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故错误 故选 B 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿 对称轴折叠后可重合 5下列二次根式是最简二次根式的是( ) A B C D 【考点】最简二次根式 【分
11、析】A 选项的被开方数中含有分母； B、D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数； 因此这三个选项都不符合最简二次根式的要求所以本题的答案应该是 C 【解答】解：A、 = ；B、 =2；D 、 =2 ； 因此这三个选项都不是最简二次根式，故选 C 【点评】本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满 足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式 6下列各式计算正确的是( ) A + = B4 3 =1 C2 3 =6 D =3 【考点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法 【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可 【解答】
12、解：A. ，无法计算，故此选项错误， B.4 3 = ，故此选项错误， C.2 3 =63=18，故此选项错误， D. = ，此选项正确， 故选 D 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键 7在一个不透明的箱子里，装有 3 个黄球、5 个白球、2 个黑球，它们除了颜色之外没有 其他区别从箱子里随意摸出 1 个球，则摸出白球的可能性大小为( ) A0.2 B0.5 C0.6 D0.8 【考点】可能性的大小 【分析】由在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其 他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：在一个不透明的箱子里
13、，装有 3 个黄球、 5 个白球、2 个黑球，它们除了颜 色之外没有其他区别， 随机地从箱子里取出 1 个球，则取出白球的概率是： ； 故选 B 【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待用到 的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比 8如图，一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图所示的残片，对图中的哪些数据测量后就可 到建材部门割取符合规格的三角形玻璃( ) AA，B ，C BA，线段 AB， B CA ，C ，线段 AB D B， C，线 段 AD 【考点】全等三角形的应用 【分析】利用全等三角形的判定方法得出AB CABC（ASA ） ，进而得出答案 【解答
14、】解：测量A， B 的度数和线段 AB 的长度， 做A =A，AB=AB， B=B， 在ABC和ABC 中， ， ABCABC（ASA） ， 则可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃 故选：B 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确利用全等三角形的判定方法是解题关 键 9如图是由线段 AB，CD，DF，BF，CA 组成的平面图形， D=28，则A+ B+C+F 的度数为( ) A62 B152 C208 D236 【考点】三角形内角和定理 【分析】首先求出F+ B=D+EGD，然后证明出 C+A+F+BD=180，最后结合题 干D=28求出A+B+ C+F 的度数 【解答】解：如图可知BE
15、D=F+B，CGE= C+A， 又BED=D+EGD， F+B=D+EGD， 又CGE+EGD=180， C+A+F+BD=180， 又D=28 ， A+B+C+F=180+28=208， 故选：C 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的知识，解答本题的关键是求出 C+A+F+BD=180，此题难度不大 10如图，直线 L 上有三个正方形 a，b，c ，若 a，c 的面积分别为 1 和 9，则 b 的面积为( ) A8 B9 C10 D11 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得BAC=DCE，然后证明 ACBDCE，再结
16、合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可 【解答】解：由于 a、b、c 都是正方形，所以 AC=CD，ACD=90 ； ACB+DCE=ACB+BAC=90，即 BAC=DCE， 在ABC 和CED 中， ， ACBDCE（AAS） ， AB=CE，BC=DE； 在 RtABC 中，由勾股定理得： AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， 即 Sb=Sa+Sc=1+9=10， b 的面积为 10， 故选 C 【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明ACB DCE 二、填空题（本题共 21 分，每小题 3 分） 11如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是 x3 【考点】分
17、式有意义的条件 【分析】根据分式有意义分母不为零可得 x+30，再解即可 【解答】解：由题意得：x+30， 解得：x3， 故答案为：x3 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于 零 12若实数 x，y 满足 ，则代数式 x+y 的值是 2+ 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方 【分析】根据非负数的性质列出方程求出 x、y 的值，代入所求代数式计算即可 【解答】解：由题意得，x2=0，y =0， 解得 x=2，y= ， 则 x+y=2+ 故答案为：2+ 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 13
18、如果三角形的两条边长分别为 23cm 和 10cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三 边的长为 23cm 【考点】三角形三边关系 【分析】根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边即可求解 【解答】解：设第三边的长为 x，满足：23cm 10cmx23cm+10cm即 13cmx33cm因而第三边一定是 23cm 【点评】本题考查等腰三角形的概念，要注意三角形“任意两边之和第三边 ”这一定理 14若 a1，化简 等于 a 【考点】二次根式的性质与化简 【分析】首先根据 进行化简，然后再化简绝对值，合并同类项即可 【解答】解：a1， a10， =|a1|1=1a1=a 故答案为：a
19、【点评】本题主要考查的是二次根式的化简，掌握 是解题的关键 15已知 ，则分式 的值等于 1 【考点】分式的化简求值 【分析】根据题意得出 xy=2xy，代入代数式进行计算即可 【解答】解： =2， xy=2xy， 原式 = = = =1 故答案为：1 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 16在ABC 中，AB=4，AC=3，AD 是ABC 的角平分线，则 ABD 与ACD 的面积之 比是 4：3 【考点】角平分线的性质 【分析】估计角平分线的性质，可得出ABD 的边 AB 上的高与ACD 的 AC 上的高相等， 估计三角形的面积公式，即可得出ABD 与
20、ACD 的面积之比等于对应边之比 【解答】解：AD 是ABC 的角平分线， 设 ABD 的边 AB 上的高与 ACD 的 AC 上的高分别为 h1，h 2， h1=h2， ABD 与ACD 的面积之比 =AB：AC=4：3， 故答案为 4：3 【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线 的性质是解题的关键 17阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小强的作法如下： 老师说：“小强的作法正确 ” 请回答：小强用直尺和圆规作图AO B=AOB，根据三角形全等的判定方法中的 SSS， 得出DO CDOC，才能证明 AOB=AOB 【考点】作图基本作图；全
21、等三角形的判定 【分析】根据作图可得 DO=DO，CO=CO，CD=C D，再利用 SSS 判定DO CDOC 即可 【解答】解：根据作图可得 DO=DO，CO=CO，CD=CD， 在 COD 和CO D中 ， DOCDOC（SSS） ， 故答案为：SSS 【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握三角形 全等的判定方法 三、解答题（本题共 69 分，第 18-27 题，每小题 5 分，第 28 题 6 分，第 29 题 7 分，第 30 题 6 分） 18计算： 【考点】实数的运算；零指数幂 【分析】分别进行开方、开立方、绝对值的化简、零指数幂等运算，然后合并
22、【解答】解：原式=3 2+ 1 = 【点评】本题考查了实数的运算，涉及了开方、开立方、绝对值的化简、零指数幂等知识， 属于基础题 19计算： 【考点】二次根式的混合运算 【专题】计算题 【分析】先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可 【解答】解：原式= = = 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根 式的乘除运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点， 灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 20计算： 【考点】二次根式的混合运算 【专题】计算题 【分析】先把后面括号内提 ，然后利用平方差公式计算 【
23、解答】解：原式=（ +1） （ 1） = （21） = 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根 式的乘除运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点， 灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 21计算： 【考点】分式的混合运算 【分析】首先把括号内的分式通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法计算即可 【解答】解：原式= = =a 【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键 22如图，在 RtABC 中， BAC=90，点 D 在 BC 边上，且 ABD 是等边三角形若 AB=2，求 B
24、C 的长 【考点】等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形性质求出B=60，求出C=30，求出 BC=4 即可 【解答】解：ABD 是等边三角形， B=BAD=ADB=60， AB=2， BD=AD=2， BAC=90， DAC=9060=30， ADB=60， C=30， AD=DC=2， BC=BD+DC=2+2=4， BC 的长为 4 【点评】本题考查了等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学 生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目 23解分式方程： 【考点】解分式方程 【专题】计算题 【分析】本题的最简公分母是（x+1） （x1） ，方
25、程两边都乘最简公分母，可把分式方程转 换为整式方程求解 【解答】解：方程两边都乘（x+1） （x1） ， 得：（x+1）+2x（x1）=2（x+1） （x1） ， 解得：x=3 检验：当 x=3 时， （x+1 ） （x1）0 所以原方程的解是 x=3 【点评】 （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方 程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根 （3）分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母 24如图，点 C，D 在线段 BF 上，ABDE，AB=DF ，A=F，求证：BC=DE 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题
26、【分析】先由平行线得出B=EDF，再由 ASA 证明ABCFDE，得出对应边相等即 可 【解答】证明：AB DE B=EDF； 在ABC 和FDE 中， ， ABCFDE（ASA） ， BC=DE 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；证明三角形全等是解决问 题的关键 25先化简： ，然后从1，0，1，2 中选一个你认为合适的 a 值， 代入求值 【考点】分式的化简求值 【分析】首先对括号内的分式通分相减，把除法转化为乘法，然后进行约分即可化简，然 后代入求值 【解答】解：原式= = =1a， 当 a=2 时，原式=1 a=12=1 【点评】本题考查了分式的化简求值，注意取喜
27、爱的数代入求值时，要特注意原式及化简 过程中的每一步都有意义如果取 x=0，则原式没有意义，因此，尽管 0 是大家的所喜爱 的数，但在本题中却是不允许的 26小红家最近新盖了房子，室内装修时，木工师傅让小红爸爸去建材市场买一块长 3m， 宽 2.2m 的薄木板用来做家居面，到了市场爸爸看到满足这个尺寸的木板有点大，买还是不 买爸爸犹豫了，因为他知道他家门框高只有 2m，宽只有 1m，他不知道这块木板买回家后 能不能完整的通过自家门框请你替小红爸爸解决一下难题，帮他算一算要买的木板能否 通过自家门框进入室内 （备用图可供做题参考，薄木板厚度可以忽略不计） 【考点】勾股定理的应用 【分析】连结 H
28、F，由勾股定理解得 FH= = ，由 BC=2.2= ，得出 FHBC，即可得出结果 【解答】解：连结 HF，如图所示： FG=1，HG=2， 在 RtFGH 中，根据勾股定理： FH= = = ， BC=2.2= ， FHBC ， 小红爸爸要买的木板能通过自家门框进入室内 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键 27列方程解应用题 李明和王军相约周末去怀柔图书馆看书，请根据他们的微信聊天内容求李明乘公交、王军 骑自行车每小时各行多少公里？ 【考点】分式方程的应用 【分析】设王军骑自行车的速度为每小时 x 千米，则李明乘车的速度为每小时 3x 千米根 据他们的行驶时
29、间相差 小时列出方程并解答 【解答】解：设王军骑自行车的速度为每小时 x 千米，则李明乘车的速度为每小时 3x 千 米 根据题意，得 ， 解方程，得 x=20 经检验，x=20 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义 当 x=20 时，3x=320=60 答：王军骑自行车的速度为每小时 20 千米，李明乘车的速度为每小时 60 千米 【点评】本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等 关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而 另一个则用来设未知数 28已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且
30、BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G （1）判断 AC 与图中的那条线段相等，并证明你的结论； （2）若 CE 的长为 ，求 BG 的长 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得出 BD=CD，根据 AAS 证明 RtDFB 与 Rt DAC 全等即可； （2）连结 CG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和勾股定理解答即可 【解答】 （1）证明：CD AB， BDC=90， ABC=45， BCD 是等腰直角三角形 BD=CD， BEAC 于 E， BEC=90， BFD=EF
31、C， DBF=DCA， 在 RtDFB 与 RtDAC 中， ， RtDFBRtDAC， BF=AC； （2）BE 平分 ABC， ABE=CBE=22.5， BEAC 于 E， BEA=BEC=90， 又 BE=BE， RtBEARtBEC， CE=AE 连结 CG， BCD 是等腰直角三角形， BD=CD， 又 H 是 BC 边的中点， DHBC， DH 垂直平分 BC， BG=CG， EBC=22.5， GCB=22.5， EGC=45， RtCEG 是等腰直角三角形， CE 的长为 ， EG= ， 利用勾股定理得：CE 2+GE2=GC2， ， ， BG 的长为 【点评】本题考查了全等
32、三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握 三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 29已知：在ABC 中，D 为 BC 边上一点，B，C 两点到直线 AD 的距离相等 （1）如图 1，若ABC 是等腰三角形，AB=AC ，则点 D 的位置在点 D 为线段 BC 的中点； （2）如图 2，若ABC 是任意一个锐角三角形，猜想点 D 的位置是否发生变化，请补全图 形并加以证明； （3）如图 3，当ABC 是直角三角形，A=90，并且点 D 满足（2）的位置条件，用等式 表示线段 AB，AC，AD 之间的数量关系并加以证明 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】
33、 （1）点 D 为线段 BC 的中点，根据线段的中点即可解答； （2）点 D 的位置没有发生变化；作 BEAD 于点 E，CF AD 于点 F，证明BED CFD，得到 BD=DC即点 D 是 BC 边的中点； （3）AB，AC，AD 之间的数量关系为 AC2+AB2=4AD2如图 2，延长 AD 到点 H 使 DH=AD，连接 HC证明ABDHCD ，得到 1=3，AB=CH再证明ACH=90 ，得到 AC2+CH2=AH2由 DH=AD，得到 AC2+AB2=（2AD） 2即可解答 【解答】解：（1）点 D 为 BC 边的中点， BD=CD， 故答案为：点 D 为线段 BC 的中点； （2
34、）点 D 的位置没有发生变化， 证明：如图 1，作 BEAD 于点 E，CFAD 于点 F， BEAD 于点 E，CFAD 于点 F， 3=4=90， 在BED 和CFD 中， BEDCFD BD=DC即点 D 是 BC 边的中点 （3）AB，AC，AD 之间的数量关系为 AC2+AB2=4AD2 证明：如图 2，延长 AD 到点 H 使 DH=AD，连接 HC 点 D 是 BC 边的中点， BD=DC 在ABD 和HCD 中， ABDHCD 1=3，AB=CH A=90， 1+2=90 2+3=90 ACH=90 AC2+CH2=AH2 又 DH=AD， AC2+AB2=（2AD ） 2 A
35、C2+AB2=4AD2 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、勾股定理的应用，解决本题的关 键是作出辅助线，构建全等三角形 30请阅读下列材料： 问题：如图 1，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 AP+BP 的值最小 小明的思路是：如图 2 所示，先作点 A 关于直线 l 的对称点 A，使点 A，B 分别位于直线 l 的两侧，再连接 AB，根据“两点之间线段最短”可知 AB 与直线 l 的交点 P 即为所求 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）如图 3，在图 2 的基础上，设 AA与直线 l 的交点为 C，过点 B 作 BDl，垂足为
36、D若 CP=1，AC=1，PD=2 ，直接写出 AP+BP 的值； （2）将（1）中的条件“AC=1” 去掉，换成“BD=4AC”，其它条件不变，直接写出此时 AP+BP 的值； （3）请结合图形，求 的最小值 【考点】轴对称-最短路线问题 【分析】 （1）利用勾股定理求得 PA，根据三角形相似对应边成比例求得 PB，从而求得 PA+PB； （2）作 AEl，交 BD 的延长线于 E，根据已知条件求得 BE、AE，然后根据勾股定理即 可求得 AB，从而求得 AP+BP 的值； （3）设 AC=1，CP=m3，得到 AP= ，设 BD=2，DP=9m，得到 BP= ，于是得到 的最小值即为 AB
37、 的长， 如图，过 A作 AEBD 的延长线于点 E根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：（1）如图 2，AAl ，AC=1 ，PC=1， PA= ， PA=PA= ， AABD， A=B， APC=BPD， APCBPD， = ， = ， PB=2 ， AP+PB= +2 =3 ； 故答案为 3 ； （2）作 AEl，交 BD 的延长线于 E，如图 3， 则四边形 AEDC 是矩形， AE=DC=PC+PD=3，DE=AC=AC， BD=4AC， BD+AC=BD+DE=4， 即 BE=4， 在 RTABE 中，AB= =5， AP+BP=5， 故答案为 5； （3）设 AC=1，CP=m3， A AL 于点 C， AP= ， 设 BD=2，DP=9 m， BDL 于点 D， BP= ， 的最小值即为 AB 的长 即：AB= 的最小值 如图，过 A作 AEBD 的延长线于点 E AE=CD=CP+PD=m3+9m=6，BE=BD+DE=2+1=3 ， AB= 的最小值 = = = ， 的最小值为 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解 题的关键
