1、第 1 页（共 30 页） 2015-2016 学年河北省唐山市滦县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 16 个小题，1-6 小题每小题 2 分，7-16 小题每小题 2 分，共 42 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案的序号填 写在对应的括号内 1方程 x2+1=2x 的根是（ ） Ax 1=1，x 2=1 Bx 1=x2=1 Cx 1=x2=1 Dx 1=1+ ，x 2=1 2在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 25m，那么这根旗杆的高度为（ ） A10m B12m C15m D40m 3一台印刷
2、机每年可印刷的书本数量 y（万册）与它的使用时间 x（年）成反比例关系， 当 x=2 时，y=20则 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 4已知 RtABC 中， C=90，AC=3，BC=4，若以 2.5cm 为半径作C，则斜边 AB 与 C 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D无法确定 5在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ） 第 2 页（共 30 页） A B C D 6关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2+x+m21=0 有一根为 0，则 m 的值为（ ） A1 B1 C1 或 1 D 7如图，已知1=2，那么添加下列一个条件后
3、，仍无法判定 ABCADE 的是（ ） AC= E BB= ADE C D 8如图，关于抛物线 y=（x1） 22，下列说法错误的是（ ） A顶点坐标为（1，2） B对称轴是直线 x=l C开口方向向上 D当 x 1 时，y 随 x 的增大而减小 9如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ） A1 x5 Bx5 Cx 1 且 x5 Dx1 或 x5 10如图，四边形 ABCD 内接于O ，若四边形 ABCO 是平行四边形，则 ADC 的大小为 （ ） 第 3 页（共 30 页） A45 B50 C60 D75 11用一个半径为 18c
4、m，圆心角为 140的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半 径是（ ） A7cm B8cm C9cm D10cm 12在平面直角坐标系中有两点 A（6，2） 、B（6，0） ，以原点为位似中心，相似比为 1：3，把线段 AB 缩小，则过 A 点对应点的反比例函数的解析式为（ ） A B C D 13如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为 半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得扇形 DAB 的面积为（ ） A6 B7 C8 D9 14如图，函数 y= 和 y= 的图象分别是 l1 和 l2，设点 P 在 l1 上，PC x 轴，垂足为 C，
5、交 l2 于点 A，PD y 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则三角形 PAB 的面积为（ ） A8 B9 C10 D11 第 4 页（共 30 页） 15已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： a+b+c0；a b+c0； b+2a0；abc0 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 16如图，正方形 ABCD 和正AEF 都内接于 O，EF 与 BC、CD 分别相交于点 G、H， 则 的值是（ ） A B C D2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，请把各小题正确答案填写在对应题 号的横线处 17为解决“最后一公里”
6、 的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用，到 2014 年底，全市已有公租自行车 25000 辆，预计到 2016 年底，全市将有公租自行车 42250 辆，则两年的平均增长率为 18如图，ABC 中，DE BC，EF AB，AD=3，AB=7， BF=2，则 FC 的长为 19如图，用总长度为 12 米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档 和竖档分别与 AD、AB 平行，则矩形框架 ABCD 的最大面积为 m 2 第 5 页（共 30 页） 20如图，在O 中，AB 是O 的直径，AB=8cm ，C、D 为弧 AB 的三等分点，M 是 AB 上一动点，CM+D
7、M 的最小值是 cm 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 66 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 21已知反比例函数 y= （k 为常数，k1） （1）其图象与正比例函数 y=x 的图象的一个交点为 P，若点 P 的纵坐标是 2，求 k 的值； （2）若在其图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围； （3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 A（x 1、x 2） 、B（x 2、y 2） ，当 y1y 2 时，试比较 x1 与 x2 的大小； （4）若在其图象上任取一点，向 x 轴和 y 轴作垂线，若所得矩形面积为 6，求 k 的值 22如图，一艘渔
8、船正以 30 海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在 A 处看风小岛 C 在船的 北偏东 60 度40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 30 度已知以 小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续 向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？ 23如图，已知ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 D，过点 D 作 DEBC，垂足为 E，连接 OE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 CD= ， ACB=30，求 OE 的长 第 6 页（共 30 页） 24某厂生产 A、B 两种产品，其单价随市场变化而做
9、相应调整，营销人员根据前三次单 价变化的情况，绘制了如下统计表及不完整的折线图： 第一次 第二次 第三次 A 产品单价（元/件） 6 5.2 6.5 B 产品单价（元/件） 3.5 4 3 并求得了 A 产品三次单价的平均数和方差： ；S A2= （65.9） 2+（5.25.9） 2+（6.55.9） 2= （1）补全“A、 B 产品单价变化的折线图 ”，B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了百 分之多少？ （2）求 B 产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小； （3）该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为 6.5 元/件 则 A 产品这四次单价的中位数是 元/件 若 A 产品这四
10、次单价的中位数是 B 产品四次单价中位数的 2 倍少 1，则 B 产品的第四次单 价为 元/件 25 （1）问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，DPC= A=B=90求 证：ADBC=AP BP （2）探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当 DPC=A=B= 时，上 述结论是否依然成立？说明理由 （3）应用：请利用（1） （2）获得的经验解决问题： 如图 3，在ABD 中，AB=12，AD=BD=10点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出 发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足 DPC=A设点 P 的运动时间为 t（秒）
11、，当以 D 为圆 心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切，求 t 的值 第 7 页（共 30 页） 26如图，抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A（3，0） ，B（ 1，0）两点 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 M，直线 y=2x+9 与 y 轴交于点 C，与直线 OM 交于点 D现将抛 物线平移，保持顶点在直线 OD 上若平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共 点，求它的顶点横坐标的值或取值范围 第 8 页（共 30 页） 2015-2016 学年河北省唐山市滦县九年级（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 16 个小题，1-6 小题每
12、小题 2 分，7-16 小题每小题 2 分，共 42 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案的序号填 写在对应的括号内 1方程 x2+1=2x 的根是（ ） Ax 1=1，x 2=1 Bx 1=x2=1 Cx 1=x2=1 Dx 1=1+ ，x 2=1 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】在本题中，把 2x 移项后，左边是完全平方公式，再直接开方即可 【解答】解：把方程 x2+1=2x 移项，得到 x22x+1=0， （ x1） 2=0， x1=0， x1=x2=1， 故选 B 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化
13、为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的 倍数 2在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 25m，那么这根旗杆的高度为（ ） A10m B12m C15m D40m 【考点】相似三角形的应用 【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解 【解答】解：设旗杆高度为 x 米， 由题意得， = ， 解得：x=15 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟 记 第 9 页（共 30 页） 3一台印刷机每年可印
14、刷的书本数量 y（万册）与它的使用时间 x（年）成反比例关系， 当 x=2 时，y=20则 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象 【分析】设 y= （k0） ，根据当 x=2 时，y=20，求出 k，即可得出 y 与 x 的函数图象 【解答】解：设 y= （k0） ， 当 x=2 时，y=20 ， k=40， y= ， 则 y 与 x 的函数图象大致是 C， 故选：C 【点评】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的解析式 得出函数的图象 4已知 RtABC 中， C=90，AC=3，BC=4，若以 2.5cm
15、为半径作C，则斜边 AB 与 C 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D无法确定 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】过 C 作 CDAB 于 D，根据勾股定理求出 AB，根据三角形的面积公式求出 CD， 得出 dr，根据直线和圆的位置关系即可得出结论 【解答】解：过 C 作 CDAB 于 D，如图所示： 在 RtABC 中，C=90 ，AC=4，BC=3， 由勾股定理得：AB= = =5， ABC 的面积= ACBC= ABCD， 34=5CD， CD=2.42.5， 即 dr， 第 10 页（共 30 页） 斜边 AB 与C 的位置关系是相交， 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理
16、，三角形的面积，直线和圆的位置关系的应用；解此题的关 键是能正确作出辅助线，并进一步求出 CD 的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离， 相切，相交 5在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ） A B C D 【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【专题】压轴题；网格型 【分析】先设小正方形的边长为 1，然后找个与B 有关的 RTABD，算出 AB 的长，再 求出 BD 的长，即可求出余弦值 【解答】解：设小正方形的边长为 1，则 AB=4 ，BD=4， cosB= = 故选 B 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找 出与角
17、B 有关的直角三角形 6关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2+x+m21=0 有一根为 0，则 m 的值为（ ） A1 B1 C1 或 1 D 【考点】一元二次方程的解 第 11 页（共 30 页） 【分析】方程的根即方程的解，把 x=0 代入方程即可得到关于 m 的方程，即可求得 m 的 值另外要注意 m10 这一条件 【解答】解：根据题意得：m 21=0 且 m10 解得 m=1 故选 B 【点评】本题主要考查方程的解的定义，容易忽视的条件是 m10 7如图，已知1=2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABCADE 的是（ ） AC= E BB= ADE C D 【考点】相似三角形
18、的判定 【分析】先根据1=2 求出BAC=DAE ，再根据相似三角形的判定方法解答 【解答】解：1=2， DAE=BAC， A、添加C=E，可用两角法判定 ABCADE，故本选项错误； B、添加 B=ADE，可用两角法判定 ABCADE，故本选项错误； C、添加 = ，可用两边及其夹角法判定 ABCADE，故本选项错误； D、添加 = ，不能判定ABCADE，故本选项正确； 故选 D 【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角BAC=DAE 是 确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法 8如图，关于抛物线 y=（x1） 22，下列说法错误的是（ ） A顶点坐标
19、为（1，2） B对称轴是直线 x=l 第 12 页（共 30 页） C开口方向向上 D当 x 1 时，y 随 x 的增大而减小 【考点】二次函数的性质 【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，2） ，对称轴是直线 x=1，根据 a=10，得出开口向上，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，根据结论即可判断选项 【解答】解：抛物线 y=（x 1） 22， A、因为顶点坐标是（1，2） ，故说法正确； B、因为对称轴是直线 x=1，故说法正确； C、因为 a=10，开口向上，故说法正确； D、当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，故说法错误 故选 D 【点评】本题主要考查对二次函数的性质
20、的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进 行判断是解此题的关键 9如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ） A1 x5 Bx5 Cx 1 且 x5 Dx1 或 x5 【考点】二次函数与不等式（组） 【专题】压轴题 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出 ax2+bx+c0 的解集 【解答】解：由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0） ， 图象与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） 利用图象可知： ax2+bx+c0 的解集即是 y0 的解集， x 1 或 x5 故选：D
21、【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结 合，题目非常典型 10如图，四边形 ABCD 内接于O ，若四边形 ABCO 是平行四边形，则 ADC 的大小为 （ ） 第 13 页（共 30 页） A45 B50 C60 D75 【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理 【分析】设ADC 的度数=， ABC 的度数=，由题意可得 ，求出 即可 解决问题 【解答】解：设ADC 的度数= ，ABC 的度数=； 四边形 OADC 是平行四边形， ADC=AOC； ADC= ，AOC=；而 +=180， ， 解得：=120，=60， ADC=60， 故
22、选 C 【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用 11用一个半径为 18cm，圆心角为 140的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半 径是（ ） A7cm B8cm C9cm D10cm 【考点】圆锥的计算 【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得 【解答】解：设此圆锥的底面半径为 r，由题意，得 2r= ， 解得 r=7 故选 A 【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥 底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作 为相等关系，列方程求解 12在平面直角坐标系中
23、有两点 A（6，2） 、B（6，0） ，以原点为位似中心，相似比为 1：3，把线段 AB 缩小，则过 A 点对应点的反比例函数的解析式为（ ） 第 14 页（共 30 页） A B C D 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；位似变换 【专题】压轴题 【分析】先根据相似比为 1：3，求 A 点对应点的坐标，再利用待定系数法求解析式 【解答】解：A 1B1O 和 ABO 以原点为位似中心， A1B1OABO，相似比为 1：3， A1B1= ，OB 1=2， A1 的坐标为（2， ）或（2， ） ， 设过此点的反比例函数解析式为 y= ，则 k= ， 所以解析式为 y= 故选 B 【点评】此题关
24、键运用位似知识求对应点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式 13如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为 半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得扇形 DAB 的面积为（ ） A6 B7 C8 D9 【考点】扇形面积的计算 【分析】由正方形的边长为 3，可得弧 BD 的弧长为 6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形 DAB= ，计算即可 【解答】解：正方形的边长为 3， 第 15 页（共 30 页） 弧 BD 的弧长 =6， S 扇形 DAB= = 63=9 故选 D 【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式 S 扇形 D
25、AB= 14如图，函数 y= 和 y= 的图象分别是 l1 和 l2，设点 P 在 l1 上，PC x 轴，垂足为 C，交 l2 于点 A，PD y 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则三角形 PAB 的面积为（ ） A8 B9 C10 D11 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】设 P 的坐标是（a， ） ，推出 A 的坐标和 B 的坐标，求出APB=90，求出 PA、PB 的值，根据三角形的面积公式求出即可 【解答】解：点 P 在 y= 上， |xp|yp|=|k|=1， 设 P 的坐标是（a， ） （a 为正数） ， PAx 轴， A 的横坐标是 a， A 在 y= 上，
26、A 的坐标是（a ， ） ， PBy 轴， B 的纵坐标是 ， B 在 y= 上， 代入得： = ， 解得：x= 3a， 第 16 页（共 30 页） B 的坐标是（3a， ） ， PA=| （ ）|= ， PB=|a（ 3a）|=4a， PAx 轴，PBy 轴，x 轴y 轴， PAPB， PAB 的面积是： PAPB= 4a=8 故选 A 【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据 P 点的坐标得出 A、B 的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目 15已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： a+b+c0；a b+c0； b+2
27、a0；abc0 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】压轴题 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后 根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：当 x=1 时，结合图象 y=a+b+c0，故此选项正确； 当 x=1 时，图象与 x 轴交点负半轴明显小于1，y=ab+c0，故本选项错误； 由抛物线的开口向上知 a 0， 对称轴为 1x= 0， 2ab， 即 2a+b0， 故本选项错误； 对称轴为 x= 0， a、b 异号，即 b0， 图象与坐标相交于 y
28、 轴负半轴， c0， 第 17 页（共 30 页） abc0， 故本选项正确； 正确结论的序号为 故选：C 【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数关系，同学们应掌握二次函数 y=ax2+bx+c 系 数符号的确定： （1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a0；否则 a0； （2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x= 判断符号； （3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c0；否则 c0； （4）当 x=1 时，可以确定 y=a+b+C 的值；当 x=1 时，可以确定 y=ab+c 的值 16如图，正方形 ABCD 和正AEF 都内接于 O，E
29、F 与 BC、CD 分别相交于点 G、H， 则 的值是（ ） A B C D2 【考点】正多边形和圆 【专题】压轴题 【分析】首先设O 的半径是 r，则 OF=r，根据 AO 是EAF 的平分线，求出COF=60 ， 在 RtOIF 中，求出 FI 的值是多少；然后判断出 OI、CI 的关系，再根据 GHBD，求出 GH 的值是多少，再用 EF 的值比上 GH 的值，求出 的值是多少即可 【解答】解：如图，连接 AC、BD、OF， ， 设 O 的半径是 r， 则 OF=r， AO 是 EAF 的平分线， OAF=602=30， OA=OF， OFA=OAF=30， COF=30+30=60，
30、第 18 页（共 30 页） FI=rsin60= ， EF= ， AO=2OI， OI= ，CI=r = ， ， ， = ， 即则 的值是 故选：C 【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正 多边形的有关概念：中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心正多边 形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径中心角：正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心 距 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，请把各小题正确答案填写在对应题 号的横线处 17为解决“最后一公里” 的交通接驳
31、问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用，到 2014 年底，全市已有公租自行车 25000 辆，预计到 2016 年底，全市将有公租自行车 42250 辆，则两年的平均增长率为 30% 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，设增长率为 x，由题意可得 25000（1+x） 2=42250，经解和检验后得增长率是 30% 【解答】解：设增长率为 x，由题意可得 25000（1+x） 2=42250 解得 x=0.3 或 2.3（不合题意，舍去） 即增长率是 30%， 故答案为：30% 【点评】本题考查的是一元二次方程中的增长率问
32、题，一般形式为 a（1+x） 2=b，a 为起始 时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量，难度不大 18如图，ABC 中，DE BC，EF AB，AD=3，AB=7， BF=2，则 FC 的长为 第 19 页（共 30 页） 【考点】平行线分线段成比例 【分析】根据平行四边形的判定定理和性质定理得到 EF=BD=4，根据平行线分线段成比例 定理列出比例式，计算即可 【解答】解：AD=3 ，AB=7， BD=4， DEBC，EF AB， 四边形 BDEF 是平行四边形， EF=BD=4， EFAB， = ，即 = ， 解得 CF= 故答案为： 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用和
33、平行四边形的判定和性质的应用， 灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键 19如图，用总长度为 12 米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档 和竖档分别与 AD、AB 平行，则矩形框架 ABCD 的最大面积为 4 m 2 【考点】二次函数的应用 【分析】用含 x 的代数式（123x） 3=4x 表示横档 AD 的长，然后根据矩形面积公式得到 二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积 【解答】解：AB 为 x 米，则 AD= =4x， S 长方形框架 ABCD=ABAD=x2+4x=（x 2） 2+4， 当 x=2 时，S 取得最大值=4； 长方形框架 ABCD 的面积
34、S 最大为 4m2 故答案为：4 第 20 页（共 30 页） 【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质 求最值是解题的关键 20如图，在O 中，AB 是O 的直径，AB=8cm ，C、D 为弧 AB 的三等分点，M 是 AB 上一动点，CM+DM 的最小值是 8 cm 【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理 【分析】作点 C 关于 AB 的对称点 C，连接 CD 与 AB 相交于点 M，根据轴对称确定最短 路线问题，点 M 为 CM+DM 的最小值时的位置，根据垂径定理可得 = ，然后求出 CD 为直径，从而得解 【解答】解：如图，作点 C 关
35、于 AB 的对称点 C，连接 CD 与 AB 相交于点 M， 此时，点 M 为 CM+DM 的最小值时的位置， 由垂径定理， = ， = ， = = ，AB 为直径， CD 为直径则 CD=AB=8（cm） 故答案是：8 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出 CM+DM 的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 66 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 21已知反比例函数 y= （k 为常数，k1） （1）其图象与正比例函数 y=x 的图象的一个交点为 P，若点 P 的纵坐标是 2，求 k 的值； （2）若
36、在其图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围； （3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 A（x 1、x 2） 、B（x 2、y 2） ，当 y1y 2 时，试比较 x1 与 x2 的大小； （4）若在其图象上任取一点，向 x 轴和 y 轴作垂线，若所得矩形面积为 6，求 k 的值 第 21 页（共 30 页） 【考点】反比例函数的性质；反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标 特征 【分析】 （1）设点 P 的坐标为（m ，2） ，由点 P 在正比例函数 y=x 的图象上可求出 m 的值， 进而得出 P 点坐标，再根据点 P 在反比例函数 y=
37、 的图象上，所以 2= ，解得 k=5； （2）由于在反比例函数 y= 图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，故 k10，求出 k 的取值范围即可； （3）反比例函数 y= 图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大，所以 A（x 1， y1）与点 B（x 2，y 2）在该函数的第二象限的图象上，且 y1y 2，故可知 x1x 2； （4）利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可 【解答】解：（1）由题意，设点 P 的坐标为（m ，2） 点 P 在正比例函数 y=x 的图象上， 2=m，即 m=2 点 P 的坐标为（2，2） 点 P 在反比例函数
38、y= 的图象上， 2= ，解得 k=5 （2）在反比例函数 y= 图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小， k10 ，解得 k1 （3）反比例函数 y= 图象的一支位于第二象限， 在该函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大 点 A（ x1，y 1）与点 B（x 2， y2）在该函数的第二象限的图象上，且 y1y 2， x1 x2 （4）在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩形为 6， |k|=6， 解得：k=6 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比 例函数的增减性是解答此题的关键 22如图，一艘渔船正以 30 海里/小时的速度由西向东赶
39、鱼群，在 A 处看风小岛 C 在船的 北偏东 60 度40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 30 度已知以 第 22 页（共 30 页） 小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续 向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？ 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】根据题意实质是比较 C 点到 AB 的距离与 10 的大小因此作 CDAB 于 D 点， 求 CD 的长 【解答】解：作 CDAB 于 D， 根据题意，AB=30 =20， CAD=30， CBD=60， 在 RtACD 中，AD= = CD， 在 RtBCD
40、 中，BD= = CD， AB=ADBD， CD CD=20， CD= 10 ， 所以不可能 【点评】本题考查了解直角三角形的应用， “化斜为直”是解三角形的常规思路，常需作垂线 （高） ，构造直角三角形原则上不破坏特殊角（30、45 、60） 23如图，已知ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 D，过点 D 作 DEBC，垂足为 E，连接 OE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 CD= ， ACB=30，求 OE 的长 第 23 页（共 30 页） 【考点】切线的判定 【分析】 （1）连接 OD、BD，求出 BDAC，AD=DC，根据三角形的中位线得出
41、ODBC，推出 ODDE，根据切线的判定推出即可； （2）解直角三角形求出 BC、BD，求出 AB 得出 OD，根据三角形的面积公式求出高 DE，在ODE 中，根据勾股定理求出 OE 即可 【解答】 （1）证明：连接 OD、BD， AB 是O 直径， ADB=90， BDAC， AB=BC， D 为 AC 中点， OA=OB， ODBC， DEBC， DEOD， OD 为半径， DE 是O 的切线； （2）解：CD= ，ACB=30， cos30= ， BC=2， BD= BC=1， AB=BC， A=C=30， BD=1， AB=2BD=2， OD=1， 在 RtCDB 中，由三角形面积公式
42、得： BCDE=BDCD， 1 =2DE， DE= ， 在 RtODE 中，由勾股定理得： OE= = 第 24 页（共 30 页） 【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，含 30 度角的直 角三角形，解直角三角形等知识点的综合运用 24某厂生产 A、B 两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单 价变化的情况，绘制了如下统计表及不完整的折线图： 第一次 第二次 第三次 A 产品单价（元/件） 6 5.2 6.5 B 产品单价（元/件） 3.5 4 3 并求得了 A 产品三次单价的平均数和方差： ；S A2= （65.9） 2+（5.25.9） 2
43、+（6.55.9） 2= （1）补全“A、 B 产品单价变化的折线图 ”，B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了百 分之多少？ （2）求 B 产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小； （3）该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为 6.5 元/件 则 A 产品这四次单价的中位数是 6.25 元/件 若 A 产品这四次单价的中位数是 B 产品四次单价中位数的 2 倍少 1，则 B 产品的第四次单 价为 3.75 元/件 【考点】方差；折线统计图；中位数 【分析】 （1）根据题目提供数据补充折线统计图即可； （2）分别计算平均数及方差即可； （3）首先确定这四次单价的中位数，然后确定第四次
44、调价的范围，根据“A 产品这四次单 价的中位数是 B 产品四次单价中位数的 2 倍少 1”列式求出 B 产品这四次单价的中位数即可 求得 B 产品的第四次单价 【解答】解：（1）补全“A、 B 产品单价变化的折线图”如图所示： 第 25 页（共 30 页） B 产品第三次的单价比上一次的单价降低的百分数为： 100%=25%； （2） = （3.5+4+3）=3.5； SB2= （3.5 3.5） 2+（43.5） 2+（3 3.5） 2= ， ， B 产品的单价波动小； （3）A 产品这四次单价的中位数是： =6.25， 设 B 产品这四次单价的中位数是 x 元/ 件 根据题意：2x1=6.
45、25， x=3.625， 第四次单价应大于 3.5，小于 4， =3.625， a=3.75 元/件 故答案为 6.25，3.75 【点评】本题考查了方差、条形统计图、算术平均数、中位数的知识，解题的关键是根据 方差公式进行有关的运算，难度不大 25 （1）问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，DPC= A=B=90求 证：ADBC=AP BP （2）探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当 DPC=A=B= 时，上 述结论是否依然成立？说明理由 （3）应用：请利用（1） （2）获得的经验解决问题： 如图 3，在ABD 中，AB=12，A
46、D=BD=10点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出 发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足 DPC=A设点 P 的运动时间为 t（秒） ，当以 D 为圆 心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切，求 t 的值 第 26 页（共 30 页） 【考点】圆的综合题 【分析】 （1）由DPC= A=B=90可得ADP=BPC ，即可证到 ADPBPC，然后运用 相似三角形的性质即可解决问题； （2）由DPC= A=B= 可得 ADP=BPC，即可证到ADPBPC ，然后运用相似三角 形的性质即可解决问题； （3）过点 D 作 DEAB 于点 E，根据等腰三角形的性质可得 AE=BE=6，根据勾股定理可 得 DE=8，由题可得 DC=DE=8，则有 BC=108=2易证DPC= A=B根据 ADBC=APBP，就可求出 t 的值 【解答】 （1）证明：如图 1， DPC=A=B=90， ADP+APD=90， BPC+APD=90， APD=BPC， ADPBPC， ， ADBC=AP
