1、第 1 页（共 25 页） 2015-2016 学年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 A=x|x26x+80，集合 B=xN|y= ，则 AB=（ ） A3 B1，3 C1 ，2 D1，2，3 2若 z=12i，则复数 |z1|在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若 sin= ， 为第三象限的角，则 cos（ ）等于（ ） A B C D 4某学生在上学路上要经过 3 个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红 灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 1 分钟
2、，则这名学生在上学路上遇到红灯停 留的总时间至多是 2 分钟的概率为（ ） A B C D 5已知在ABC 中，A=60，D 为 AC 上一点，且 BD=3， = ，则 等于（ ） A1 B2 C3 D4 6阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为（ ） A64 B73 C512 D585 7一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 8过双曲线 =1（a 0，b0）的右焦点 F 作斜率为 1 的直线，且 l 与此双曲线的 两条渐近线的交点分别为 B， C，若 = ，则此双曲线的离心率为（ ） A B
3、2 C D 9若函数 y=sinx 能够在某个长度为 1 的区间上至少两次获得最大值 1，且区间 ， 上为增函数，则正整数 的值为（ ） A6 B7 C8 D9 10 （x 2x+ay） 7 的展开式中，x 7y2 的系数为 ，则 a 等于（ ） A2 B C2 D 11棱长为 a 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所 示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是 3 ，则 a 等于（ ） A2 B C2 D 12设函数 f（x）= ，若曲线 y= sinx+ 上存在点（x 0，y 0）使得 f（f（y 0） ）=y 0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A0
4、，e 2e+1 B0，e 2+e1 C0，e 2e1 D0，e 2+e+1 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13函数 g（x）=sinx log2（ +x）为偶函数，则 t= 第 3 页（共 25 页） 14已知点 P（x，y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则 z=x2+y2 的取 值范围是 15已知点 A 是抛物线 y2=2px 上的一点，F 为其焦点，若以 F 为圆心，以|FA|为半径的 圆交准线于 B，C 两点，且FBC 为正三角形，当ABC 的面积是 时，则抛物线的方 程为 16已知 a，b，c 是ABC 的三边，且 b22a b2c=0，2a+ b2c
5、+1=0，则ABC 的最 大角的余弦值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） （22、23、24 题任选一题作答，每题 10 分） 17已知等差数列a n的前 5 项的和为 55，且 a6+a7=36 （1）求数列a n的通项公式； （2）设数列 bn= ，且数列b n的前 n 项和为 Sn，证明：S n 18近日有媒体在全国范围开展“2015 年国人年度感受”的调查，在某城市广场有记者随机 访问 10 个步行的路人，其年龄的茎叶图如下： （1）求这些路人年龄的中位数与方差； （2）若从 40 岁以上的路人中，随机抽取 3 人，其中 50 岁以上的路人数为 X，求 X 的数 学期望
6、 19在四棱锥 PABCD 中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60 ，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA=2AB=4 （1）求证：CE平面 PAB； （2）若 F 为 PC 的中点，求 AF 与平面 AEC 所成角的正弦值 第 4 页（共 25 页） 20在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F 在 x 轴上，D 为短轴上一个 端点，且DOF 的内切圆的半径为 ，离心率 e 是方程 2x25x+2=0 的一个根 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，过椭圆 C 的右焦点作直线 lAB 交椭圆 C 于 M，N 两
7、点，是否存在常数 ，使得|AB| 2=|MN|？若存在，请求出 ；若不存在， 请说明理由 21已知函数 f（x）= 的最大值为 1 （1）求实数 a 的值； （2）如果函数 m（x） ，n（x ）在公共定义域 D 上，满足 m（x）n（x） ，那么就称 n（x）为 m（x）的“线上函数”，若 p（x）= ，q（x）= （x1） ，求 证：q（x）是 p（x）的“线上函数” 四、选择作答（请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，作答时请写清题号，10 分） 选修 4-1：几何证明选讲 22如图，O 的弦 ED，CB 的延长线交于点 A （1）若 BDAE，AB=4，BC=2，AD=3，求
8、 CE 的长； （2）若 = ， = ，求 的值 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系已知直 线与椭圆的极坐标方程分别为 l：cos +2sin=0，C ： 2= （1）求直线与椭圆的直角坐标方程； （2）若 P 是椭圆 C 上的一个动点，求 P 到直线 l 距离的最大值 选修 4-5：不等式选讲 24不等式|2x1| |x+1|2 的解集为 x|axb （1）求 a，b 的值； 第 5 页（共 25 页） （2）已知 xyz，求证：存在实数 k 使 + 恒成立，并求出 k 的最大值 第 6 页（共 25 页） 2015-20
9、16 学年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷 （理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 A=x|x26x+80，集合 B=xN|y= ，则 AB=（ ） A3 B1，3 C1 ，2 D1，2，3 【考点】交集及其运算 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 x 的范围，找出正整数解确定出 B， 找出两集合的交集即可 【解答】解：由 A 中不等式变形得：（ x2） （x4）0， 解得：2x4，即 A=（2，4） ， 由 B 中 y= ，xN，得到 3x0，xN ， 解得：x3，xN，即 B=0，1，2，3， 则 AB=
10、3， 故选：A 2若 z=12i，则复数 |z1|在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、几何意义即可得出 【解答】解：z=12i， 则复数 |z1|= |12i1|= 2= 2= + i， 在复平面上对应的点 在第二象限 故选：B 3若 sin= ， 为第三象限的角，则 cos（ ）等于（ ） A B C D 【考点】两角和与差的余弦函数 第 7 页（共 25 页） 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得 cos（ ） 的值 【解答】解：sin= ，
11、为第三象限的角，cos = = ， 则 cos（ ）=coscos sinsin = （ ） = ， 故选为：D 4某学生在上学路上要经过 3 个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红 灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 1 分钟，则这名学生在上学路上遇到红灯停 留的总时间至多是 2 分钟的概率为（ ） A B C D 【考点】几何概型 【分析】这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是 2 分钟共包括三种情况，一是 没有遇到红灯，二是遇到一次，三是遇到二次，分别求出三种情况的概率，然后代入互斥 事件概率加法公式即可得到答案 【解答】解：设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的
12、总时间至多是 2min 为事件 A， 这名学生在上学路上遇到 k 次红灯的事件 Ak（k=0 ，1，2） 则由题意，得： P（A 0）=（ ） 3= ，P （B 1）= ，P（B 2）= 由于事件 A 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， 事件 B 的概率为 P（B 0）+ P（B 1）+P （B 2）= 故选：A 5已知在ABC 中，A=60，D 为 AC 上一点，且 BD=3， = ，则 等于（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】可画出图形，设 A， B，C 所对的边分别为 a，b，c，并设 AD=m，这样根据便可 得到 ，从而得到 m= ，这样在
13、ABD 中由余弦定理便可建立关于 c 的方程，可解 出 c= ，从而有 m= ，然后进行数量积的计算便可求出 的值 【解答】解：如图，设ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且设 AD=m； 第 8 页（共 25 页） A=60 ，由 得： ； ； 又 BD=3，在 ABD 中由余弦定理得： ； ，m= ； 故选：C 6阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为（ ） A64 B73 C512 D585 【考点】程序框图 【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条 件，直到满足条件输出 S，结束循环，得
14、到所求 【解答】解：经过第一次循环得到 S=0+13，不满足 S50，x=2， 执行第二次循环得到 S=13+23，不满足 S50，x=4， 执行第三次循环得到 S=13+23+43=73， 满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出 S=73 故选 B 第 9 页（共 25 页） 7一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】三视图复原的几何体是三棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可 【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥， 底面是底边长为 2，高为 2 的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为 2 三棱锥的体积
15、为： = = 故选 D 8过双曲线 =1（a 0，b0）的右焦点 F 作斜率为 1 的直线，且 l 与此双曲线的 两条渐近线的交点分别为 B， C，若 = ，则此双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把 B，C 表示出来，再由向 量共线的坐标表示，求出 b，c 与 a 的关系，即可求双曲线的离心率 【解答】解：设右焦点为 F（c，0） ， 第 10 页（共 25 页） 过双曲线 =1（a 0， b0）的右焦点 F 作斜率为1 的直线为：y=x+c， 渐近线的方程是：y= x， 由 得：B（ ， ） ， 由 得，
16、C（ ， ） ， 所以 =（ c， ）= （ ， ） ， =（ ， ）=（ ， ） ， 又 = ，即有 = ， 化简可得 b= a， 由 a2+b2=c2 得， a2=c2， 所以 e= = 故选：A 9若函数 y=sinx 能够在某个长度为 1 的区间上至少两次获得最大值 1，且区间 ， 上为增函数，则正整数 的值为（ ） A6 B7 C8 D9 【考点】正弦函数的图象 【分析】利用三角函数的图象和性质即可解答 【解答】解：函数 y=sinx 能够在某个长度为 1 的区间上至少两次获得最大值 1， 三角函数的图象与性质可知：图象的周期的长度+ 个周期长度必须小于等于 1； 即： ； 解得：
17、， 第 11 页（共 25 页） 由题意可知： 只能取：8 或 9， 又x ， 上为增函数 上为增函数 考查：=8 和 =9 当 =8 时，使得函数区间 ， 上为增函数 故选：C 10 （x 2x+ay） 7 的展开式中，x 7y2 的系数为 ，则 a 等于（ ） A2 B C2 D 【考点】二项式定理的应用 【分析】根据（x 2xay） 7 表示 7 个因式（x 2xay）的积，得出展开式中含 x7y2 项的系数由 2 个因式取 y，其余的 5 个因式中有 3 个取 x，有 2 个取 x2，列出方程求出 a 的值 【解答】解：（x 2x+ay） 7 的展开式中，：（x 2xay） 7 表示
18、7 个因式（x 2xay）的积， 故有 2 个因式取 y，其余的 5 个因式中有 3 个取 x，有 2 个取 x2， 可得出含 x7y2 项的系数； 所以 x7y2 项的系数为 （a） 2 （ 1） 3 =210a2= ，即 a2= a= ， 故选：D 11棱长为 a 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所 示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是 3 ，则 a 等于（ ） A2 B C2 D 【考点】球内接多面体 【分析】将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的ABD 的面积 【解答】解：如图球的截面图就是正四面体中的ABD， 已知正四面体棱长为
19、a 所以 AD= a，AC= 所以 CD= = a 第 12 页（共 25 页） 截面面积是： ， a=2 故选：C 12设函数 f（x）= ，若曲线 y= sinx+ 上存在点（x 0，y 0）使得 f（f（y 0） ）=y 0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A0，e 2e+1 B0，e 2+e1 C0，e 2e1 D0，e 2+e+1 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值 【分析】利用函数 f（x）的单调性可以证明 f（y 0）=y 0令函数 f（x）=x，化为 a=x2lnxx令 h（x）=x 2lnxx，利用导数研究其单调性即可得出 【解答】解：1sinx 1， 当
20、sinx=1 时，y= sinx+ 取得最大值 y= + =e， 当 sinx=1 时，y= sinx+ 取得最小值 y= + =1， 即函数 y= sinx+ 的取值范围为 1，e， 若 y= sinx+ 上存在点（x 0，y 0）使得 f（f （y 0） ）=y 0 成立， 则 y01，e且 f（y 0）=y 0 若下面证明 f（y 0）=y 0 假设 f（y 0）=cy 0，则 f（f（y 0） ）=f（c）f（y 0）=c y0，不满足 f（f（y 0） ）=y 0 同理假设 f（y 0）=cy 0，则不满足 f（f（y 0） ）=y 0 综上可得：f（y 0）=y 0y 01，e 函
21、数 f（x）= ，的定义域为（0，+） ， 等价为 =x，在（0，e上有解 即平方得 lnx+x+a=x2， 第 13 页（共 25 页） 则 a=x2lnxx， 设 h（x）=x 2lnxx，则 h（x）=2x1 = = ， 由 h（x）0 得 1xe ，此时函数单调递增， 由 h（x）0 得 0x1，此时函数单调递减， 即当 x=1 时，函数取得极小值，即 h（1）=1ln1 1=0， 当 x=e 时，h（e ）=e 2lnee=e2e1， 则 0h（x）e 2e1 则 0ae 2e1 故选：C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13函数 g（x）=sinx lo
22、g2（ +x）为偶函数，则 t= 【考点】函数奇偶性的性质 【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可 【解答】解：g（x）=sinxlog 2（ +x）为偶函数， g（x ）=g （x） ， 即sinxlog 2（ x）=sinxlog 2（ +x） ， 即 log2（ x）= log2（ +x） ， 则 log2（ x）+log 2（ +x）=0， 即 log2（ x） （ +x）=log 2（x 2+2tx2）=log 22t=0， 即 t= ， 故答案为： 第 14 页（共 25 页） 14已知点 P（x，y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则 z=x2+y2 的取 值范围
23、是 ，5 【考点】简单线性规划 【分析】画出满足条件的平面区域，根据 zx 2+y2 的几何意义求出 z 的范围即可 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， z=x2+y2 的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方， 显然 A 到原点的距离最大，此时 z=5， 设原点到直线 x+2y2=0 的距离是 d， 则 d= = ， 故 z 的取值范围是： ，5 15已知点 A 是抛物线 y2=2px 上的一点，F 为其焦点，若以 F 为圆心，以|FA|为半径的 圆交准线于 B，C 两点，且FBC 为正三角形，当ABC 的面积是 时，则抛物线的方 程为 y 2=16x 【考点】抛物线的简
24、单性质 【分析】由题意得|BC|=|AF|= p，利用ABC 的面积是 ，由抛物线的定义可得 p p= ，求出 p，可得抛物线的方程 【解答】解：由题意得|BC|=|AF|= p， ABC 的面积是 ， 第 15 页（共 25 页） 由抛物线的定义可得 p p= ， p=8，抛物线的方程为 y2=16x 故答案为：y 2=16x 16已知 a，b，c 是ABC 的三边，且 b22a b2c=0，2a+ b2c+1=0，则ABC 的最 大角的余弦值为 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】将已知两式子相加可解得：c= ，相减可得 a= = 10，显然 ca ，解得：b2+ ，或 b 0（舍去） ，
25、再由 cb= b= 0（b2+ ） ，可得最大边为 c， 由余弦定理可得：（ ） 2=（ ） 2+b22 bcosC， 化简可解得 cosC 的值 【解答】解：b 22a b2c=0， 2a+ b2c+1=0， +可解得：c= ， 可解得： a= = 10， 显然 ca，解得：|b |2，即：b2+ ，或 b 0（舍去） ， 再比较 c 与 b 的大小 cb= b= = 0（b2+ ） cb， 最大边为 c 由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC， 第 16 页（共 25 页） 即：（ ） 2=（ ） 2+b22 bcosC， 化简可得：cosC= ， 解得：cosC= ， 故答案为：
26、 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） （22、23、24 题任选一题作答，每题 10 分） 17已知等差数列a n的前 5 项的和为 55，且 a6+a7=36 （1）求数列a n的通项公式； （2）设数列 bn= ，且数列b n的前 n 项和为 Sn，证明：S n 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （1）由等差数列通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能 求出数列a n的通项公式； （2）由 bn= = = = （ ） ，利用裂项求和法 能求出数列b n的前 n 项和，再由不等式的性质即可得证 【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，
27、由前 5 项的和为 55，且 a6+a7=36， 可得 ， 解得 a1=7，d=2， 则数列a n的通项公式 an=7+（n 1）2=2n +5； （2）证明：b n= = = = （ ） ， 可得数列b n的前 n 项和： Sn= （1 + + + + ） = （1+ ）= （ ） ， 第 17 页（共 25 页） 即有原不等式成立 18近日有媒体在全国范围开展“2015 年国人年度感受”的调查，在某城市广场有记者随机 访问 10 个步行的路人，其年龄的茎叶图如下： （1）求这些路人年龄的中位数与方差； （2）若从 40 岁以上的路人中，随机抽取 3 人，其中 50 岁以上的路人数为 X，求
28、 X 的数 学期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图 【分析】 （1）把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中间两个数的平均数即是 中位数；再求出这组数据的平均数与方差； （2）40 岁以上有 7 人，其中 4050 岁有 4 人，50 岁以上有 3 人，X=0，1，2，3，计算 对应的概率，即可求 X 的数学期望 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据，把这 10 个数据按照从小到大的顺序排列， 排在中间的两个数是 43 和 45，则这组数据的中位数是 =44； 平均数是 = （22+34+34+42+43+45+45+51+52+52）=42， 方差是 s2= （2242）
29、2+（3442） 22+（42 42） 2+（4342） 2+（45 42） 22+（5142） 2+（52 42） 22=82.8； （2）40 岁以上的路人有 7 人，其中 4050 岁有 4 人，50 岁以上有 3 人， X=0，1 ，2，3 P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= EX=1 +2 +3 = 19在四棱锥 PABCD 中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60 ，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA=2AB=4 （1）求证：CE平面 PAB； （2）若 F 为 PC 的中点，求 AF 与平面 AEC 所成角的正弦值
30、第 18 页（共 25 页） 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （1）取 AD 得中点 M，连接 EM，CM则 EM PA，由CAD=60 ，CM=AM， 得 MCAB 由此能证明 CE平面 PAB （2）以 C 为原点，CA 为 x 轴，CD 为 y 轴，过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴建立空间直 角坐标系，利用向量法能求出 AF 与平面 AEC 所成角的正弦值 【解答】证明：（1）取 AD 得中点 M，连接 EM，CM则 EMPA， EM平面 PAB，PA 平面 PAB， EM平面 PAB， 在 Rt ACD 中，CAD=60，CM=AM，ACM=60，
31、 而BAC=60，MCAB MC平面 PAB，AB平面 PAB， MC平面 PAB， 又EMMC=M ， 平面 EMC平面 PAB， EC平面 EMC，CE平面 PAB 解：以 C 为原点，CA 为 x 轴， CD 为 y 轴，过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， ABC=ACD=90 ，BAC=CAD=60 ，E 为 PD 的中点， PA=2AB=4，F 为 PC 的中点， A（4，0，0） ，C（0，0，0） ，P（4，0，4） ，F （2，0，2） ， D（0，4 ，0） ，E（2，2 ，2） ， =（2 ，0，2） ， =（4，0，0） ， =（2，2 ，
32、2） ， 设平面 AEC 的法向量 =（x，y，z） ， 则 ，取 y= ，得 =（0， ， 3） ， 设 AF 与平面 AEC 所成角为 ， 则 sin= = = AF 与平面 AEC 所成角的正弦值为 第 19 页（共 25 页） 20在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F 在 x 轴上，D 为短轴上一个 端点，且DOF 的内切圆的半径为 ，离心率 e 是方程 2x25x+2=0 的一个根 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，过椭圆 C 的右焦点作直线 lAB 交椭圆 C 于 M，N 两点，是否存在常数 ，使得|AB| 2
33、=|MN|？若存在，请求出 ；若不存在， 请说明理由 【考点】椭圆的简单性质 【分析】 （1）设椭圆的方程为 + =1（ab0） ，运用离心率公式和内切圆的性质以 及三角形的面积公式，计算即可得到 a，b，c，进而得到椭圆方程； （2）设出直线 l 的方程为 x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线 x=my，代入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得|AB|，再由计算即可得到所求常数 【解答】解：（1）设椭圆的方程为 + =1（ab0） ， 由题意可得 e= = ， a2b2=c2， bc= （a +b+c） ， 第 20 页（共 25 页） 解方程可得 a=2，b= ，c=1
34、， 即有椭圆的方程为 + =1； （2）设 l 的方程为 x=my+1，M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ， 由 得（3m 2+4）y 2+6my9=0， 即有 y1+y2= ，y 1y2= ， |MN|= = = ， 设 A（x 3，y 3） ，B（x 4，y 4） ， 由 x=my 代入椭圆方程可得 消去 x，并整理得 y2= ， |AB|= |y3y4|= ， 即有 = =4 故存在常数 =4，使得|AB| 2=4|MN| 21已知函数 f（x）= 的最大值为 1 （1）求实数 a 的值； （2）如果函数 m（x） ，n（x ）在公共定义域 D 上，满足 m（x）n（x）
35、，那么就称 n（x）为 m（x）的“线上函数”，若 p（x）= ，q（x）= （x1） ，求 证：q（x）是 p（x）的“线上函数” 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （1）f（x）= 的最大值为 1，则函数 f（x ）在（0，+）不单调，故有极值 点，继而到函数的最大值，求出 a 即可， （2）分别根据导数和函数的最值的关系，求出 p（x）和 q（x）最值，即可证明 第 21 页（共 25 页） 【解答】解：（1）f（x） = ，x0， f（x） ， 函数 f（x）= 的最大值为 1 f（x） =0，解得 x=e1a，此时 a1 f（x） max=f（
36、e 1a）= =1， 解得 a=1 （2）由（1）可知 q（x）= = ， q（x）= 0 在（1，+）恒成立， q（x）在（1，+）为减函数， q（x）q（1）= ， p（x）= ，x1， p（x）=2e x1 0 在（1，+ ）恒成立， p（x）在（1，+）为增函数， p（x）p（1）= ， p（x）q（x） ， q（x）是 p（x）的“线上函数” 四、选择作答（请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，作答时请写清题号，10 分） 选修 4-1：几何证明选讲 22如图，O 的弦 ED，CB 的延长线交于点 A （1）若 BDAE，AB=4，BC=2，AD=3，求 CE 的长； （2
37、）若 = ， = ，求 的值 第 22 页（共 25 页） 【考点】与圆有关的比例线段 【分析】 （1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段 AE 的长，再根据 勾股定理的线段的关系可求得 CE 的长度即可 （2）由已知 AC=2AB，AE=3AD ，从而 AD= ，由ABD AEC，能求出 的 值 【解答】解：（1）O 的弦 ED，CB 的延长线交于点 A，BDAE，AB=4 ，BC=2，AD=3 ， 由割线定理得 ABAC=ADAE， AE= = =8， DE=AEAD=83=5， 又 BDAE，BE 为直径，C=90， 在 Rt ACE 中，由勾股定理得 CE2=AE2AC
38、2=28， CE=2 （2）AEC=ABD ，A=A ， = ， = ，AC=2AB，AE=3AD， ADAE=AB AC，3AD 2=2AB2，AD= ， ABDAEC， = ， = 选修 4-4：坐标系与参数方程 第 23 页（共 25 页） 23在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系已知直 线与椭圆的极坐标方程分别为 l：cos +2sin=0，C ： 2= （1）求直线与椭圆的直角坐标方程； （2）若 P 是椭圆 C 上的一个动点，求 P 到直线 l 距离的最大值 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】 （1）直接根据极坐标和直角坐标
39、的互化公式进行求解即可； （2）利用平行线系，然后，借助于直线与圆相切，求解得到相应的最大值即可 【解答】解：（1）根据直线与椭圆的极坐标方程分别为 l：cos+2sin=0， 直线的极坐标方程为 l：cos +2sin=0， cos+2sin=0， x+2y=0， 根据椭圆的极坐标方程为 2= 2cos2+42sin2=4， +y2=1， 直线的直角坐标方程为：x+2y=0， 椭圆的直角坐标方程为： +y2=1， （2）设与已知直线平行的直线方程为：x+2y+m=0， 联立 ， 8y 2+4my+m24=0 =8 m2=0 m=2 ， d= = P 到直线 l 距离的最大值 选修 4-5：不
40、等式选讲 24不等式|2x1| |x+1|2 的解集为 x|axb （1）求 a，b 的值； 第 24 页（共 25 页） （2）已知 xyz，求证：存在实数 k 使 + 恒成立，并求出 k 的最大值 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法 【分析】 （1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的 3 个不等式组，求得每个不等 式组的解集，再取并集，即得所求 （2）由条件可得 + ，从而证得结论，可得 k 的最大值 为 2 【解答】解：（1）由不等式|2x1| |x+1|2，可得 ，或 ， 或 解求的 x，解求得 x ，解 求得 x 4， 综上可得， x4 再根据不等式的解集为x|axb，可得 a= ，b=4 （2）xyz，xy0，yz0，xz 0， + = + = + + = ， 故存在实数 k 使 + 恒成立 由以上可得，k 的最大值为 2 第 25 页（共 25 页） 2016 年 10 月 19 日
