1、北京市西城区 20122013 学年度第一学期期末试卷（南区） 九年级数学 2013.1 考生须知 1本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作 答。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1二次函数 的最小值是2)1(xy A B1 C D2 2如图，O 是ABC 的外接圆，若ABC 40，则AOC 的度数为 A20 B40 C60 D80 3两圆的半径分别为
2、2 和 3，若圆心距为 5，则这两圆的位置关系是 A相交 B外离 C外切 D内切 4三角尺在灯泡 的照射下在墙上形成的影子如图所示. 若 0cm50cOA， ，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是 A52 B25 C425 D254 5如图，正方形 ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为 O，EF 与 GH 是此 外接圆的直径，EF=4，ADGH，EF GH，则图中阴影部分的面积是 A B2 C3 D4 6袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的从中随机 同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是 A B C D 41213231 7如图，直线 与 轴
3、、 轴分别交于 、 两点，43yxyAB AOB 绕点 顺时针旋转 90后得到 ，则点 的对应O 点 的坐标为 A （3，4） B （7，4） C （7，3） D （3，7） 8如图，ABC 中， B=60，ACB =75，点 D 是 BC 边上一个动点，以 AD 为直径作O，分别交 AB、AC 于点 E、F，若弦 EF 长度的最小值 为 1，则 AB 的长为 A. B. C. 1.5 D. 263243 影 子三 角 尺灯 泡OA AABCHGFE DO 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9扇形的半径为 9，且圆心角为 120，则它的弧长为_. 10已知抛物线 经过点 、 ，则
4、 与 的大小关系是23yx)2(1yA， )3(2yB， 12y _ 11如图，PA、PB 分别与O 相切于 A、B 两点，且 OP=2， APB=60若点 C 在O 上，且 AC= ，则圆周角2 CAB 的度数为 _ 12已知二次函数 的图象与 x 轴交于(1,0)和( ,0)，其中 ，与cbxay2 1x12x 轴交于正半轴上一点下列结论： ； ； ；y 0b24baca 其中所有正确结论的序号是_ca 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13计算： 22sin604cos3+in4t6 14已知抛物线 1yx （1）用配方法将 化成 2()yaxhk的形式；2 （2）将此抛物
5、线向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求平移后所得抛物线的解 析式 15如图，在 RtABC 中，C=90 ，点 D 在 AC 边上若 DB=6，AD= CD，sin CBD= ，求 AD 的长和 tanA 的223 值 16如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且 CDAB 于点 E （1）求证：BCO=D； （2）若 CD= ，AE=2，求O 的半径42 17如图，ABC 中， ACB=90，AC =BC=6，点 P 为 AC 边中点， 点 M 是 BC 边上一点将CPM 沿直线 MP 翻折，交 AB 于点 E， 点 C 落在点 D 处，BME=120 （1）求CMP
6、的度数；（2）求 BM 的长 EDCMBPA 18如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45方向，距离灯塔 100 海里 的 A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 的北偏东 30方 向上的 B 处. （1）B 处距离灯塔 P 有多远？ （2）圆形暗礁区域的圆心位于 PB 的延长线上，距离灯塔 200 海里 的 O 处已知圆形暗礁区域的半径为 50 海里，进入圆形暗礁 区域就有触礁的危险请判断若海轮到达 B 处是否有触礁的危险，并说明理由 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19已知抛物线 .32xy （1）它与 x 轴的交点的坐标为_； （2）在坐标系中利用描点法画出它的
7、图象； （3）将该抛物线在 轴下方的部分(不包含与 轴的交点) 记为 G，若直线 与x bxy G 只有一个公共点，则 的取值范围是 _b 20如图，AB 是O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C 的直线 与 AB 的延长线交于点 P，COB=2PCB . （1）求证：PC 是O 的切线； （2）点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N， 若 MN MC=8，求O 的直径. 21平面直角坐标系 中，原点 O 是正三角形 ABC 外接圆的圆心，点 A 在 轴的正半xy y 轴上，ABC 的边长为 6以原点 O 为旋转中心将ABC 沿逆时针方向旋转 角，得到 ，点 、 、 分别为点
8、A、B 、C 的对应点ABCC （1）当 =60时， 请在图 1 中画出 ； 若 AB 分别与 、 交于点 D、E，则 DE 的长为_； （2）如图 2，当 AB 时， 分别与 AB、BC 交于点 F、G，则点 的坐标为 A _，FBG 的周长为_，ABC 与 重叠部分的面积为 ABC _ 22阅读下面的材料： 小明在学习中遇到这样一个问题：若 1xm，求二次函数 的最大267yx 值他画图研究后发现， 和 时的函数值相等，于是他认为需要对 进行分类1x5m 讨论 他的解答过程如下： 二次函数 的对称轴为直线 ，267y3x 由对称性可知， 和 时的函数值相等x 若 1m5，则 时， 的最大值
9、为 2；1y 若 m5，则 时， 的最大值为 67m 请你参考小明的思路，解答下列问题： （1）当 x4 时，二次函数 的最大值为_；2142x （2）若 px2，求二次函数 的最大值；y （3）若 txt+2 时，二次函数 的最大值为 31，则 的值为_t 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23已知抛物线 经过点（ 1， ） 21()ymxn32m （1）求 的值；n （2）若此抛物线的顶点为（ p， q） ，用含 的式子分别表示 p和 q，并求 与 p之 间的函数关系式； （3）若一次函数 ，且对于任意的实数 ，都有 ，直接写
10、出218yxx1y2 的取值范围.m 24以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB 和COD，其中 ABO=DCO=30 （1）点 E、F 、M 分别是 AC、CD、DB 的中点，连接 FM、EM 如图 1，当点 D、C 分别在 AO、BO 的延长线上时， =_；FME 如图 2，将图 1 中的AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转 角（ ） ，其06 他条件不变，判断 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；E （2）如图 3，若 BO= ，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2点 P 是线段 AB 上的一个 动点，在将AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最
11、小值为_，最 大值为_ 25如图 1，平面直角坐标系 中，抛物线 与 x轴交于 A、B 两点，点xOy21yxbc C 是 AB 的中点，CDAB 且 CD=AB直线 BE 与 轴平行，点 F 是射线 BE 上的一个动点， 连接 AD、AF、DF. （1）若点 F 的坐标为（ ， ） ，AF = .9217 求此抛物线的解析式； 点 P 是此抛物线上一个动点，点 Q 在此抛物线的对称轴上，以点 A、F、P、Q 为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点 Q 的坐标； （2）若 ， ，且 AB 的长为 ，其中 如图 2，当2bctkt0t DAF=45时，求 的值和 DFA 的正切值.k 北京
12、市西城区 20122013 学年度第一学期期末试卷（南区） 九年级数学参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B A D C B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题号 9 10 11 12 答案 6 12y 15或 75 阅卷说明：第 11 题写对一个答案得 2 分第 12 题只写或只写得 2 分; 有错解得 0 分 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13解：原式 4 分 23243 . .5 分6 14解：（1） 21yx (4)3 .2 分 （2）抛物线 的顶点坐
13、标为 ， 3 分2x(2,3) 平移后的抛物线的顶点坐标为 . 4 分1 平移后所得抛物线的解析式为 . . 5 分268yxx 15解：如图 1. 在 RtDBC 中，C=90，sinCBD= ，DB=6 ，23 . 1 分sin64DB AD= CD= . 2 分122 ， 3 分5C AC= AD+CD=2+4=6， 4 分 在 RtABC 中，C=90， tanA= . 5 分2563B 16 （1）证明：如图 2. OC=OB， BCO=B. 1 分 B=D， BCO=D. 2 分 ADBC 图 1 B DOEAC 图 2 （2）解：AB 是O 的直径，且 CDAB 于点 E， CE
14、= CD= . 3 分1242 在 RtOCE 中， ，2CO 设O 的半径为 r，则 OC=r，OE=OA AE=r 2， . 4 分222()r 解得 .3 O 的半径为 3. 5 分 17解：如图 3. （1）将 CPM 沿直线 MP 翻折后得到DPM， CMP=DMP . 1 分 BME=120， CMP=30. 2 分 （2）AC=6 ，点 P 为 AC 边中点， CP=3. .3 分 在 RtCMP 中，CP=3 ，MCP=90，CMP=30， CM= . 4 分3 BM= . .5 分6 18解：（1）作 PCAB 于 C.（如图 4） 在 RtPAC 中，PCA=90，CPA
15、=90 45=45. . 2 分2cos5105PA 在 RtPCB 中，PCB=90，PBC =30. . 2BC 答：B 处距离灯塔 P 有 海里. .3 分2 （2）海轮若到达 B 处没有触礁的危险. 4 分 理由如下： ，01O 而 ，105 .2 . 5 分B B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险. 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19解：（1）它与 x 轴的交点的坐标为（-1，0） ， （3，0 ） ； 1 分 （2）列表： x -1 0 1 2 3 C4530PAB 图 4 图 3 EDCMBPA 图象（如图 5） ； 3 分 （3） 的取值范围是 或 .5 分
16、b1b42 阅卷说明：只写 或只写 得 1 分. 20 （1）证明：OA= OC， A=ACO . COB=2ACO . 又COB=2PCB， ACO=PCB . .1 分 AB 是O 的直径， ACO +OCB=90 . PCB +OCB=90, 即 OCCP. OC 是O 的半径， PC 是 O 的切线. 2 分 （2）解：连接 MA、MB .（如图 6） 点 M 是弧 AB 的中点， ACM=BAM. AMC=AMN， AMCNMA . 3 分 .ACN . 2 MCMN=8, . .4 分M AB 是O 的直径，点 M 是弧 AB 的中点， AMB=90，AM=BM= .2 . 5 分
17、24AB 21解：（1）如图 7 所示； 1 分 DE 的长为 ； 2 分 （2）点 的坐标为 ， FBG 的周长为 6 ，(3,) ABC 与 重叠部分的面积为 C 793 .5 分 阅卷说明：第（2）问每空 1 分. 22解：（1）当 x4 时，二次函数 的最大值为 49；42xy .1 分 y 0 -3 -4 -3 0 BACyxO 图 7 NMOPCBA 图 6 （2）二次函数 的对称轴为直线 ，241yx1x 由对称性可知， 和 时函数值相等 . 若 ，则 时， 的最大值为 17. 2 分4py 若 ，则 时， 的最大值为 . 3 分42p （3） 的值为 1 或-5 . 5 分t
18、阅卷说明：只写 1 或只写-5 得 1 分;有错解得 0 分. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23解：（1）抛物线 经过点（ ， ） ，21()yxmxn132m .3)1m . .1 分2n （2） ，13()2yx ， 2 分p . .3 分21qm ， .p .21()3()q . 5 分5 （3） 的取值范围是 且 . 7 分m2m0 阅卷说明：只写 或只写 得 1 分.31 24解：（1） ； 1 分FME2 结论： 的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点） 证明：连接 EF、AD、BC.（如图 8） RtAOB
19、中，AOB=90，ABO=30， .3tan0AOB RtCOD 中，COD=90，DCO=30 ， .t3DC .ABO AFEMOBDC 12345 6 图 8 又AOD=90+ BOD，BOC=90+ BOD， AOD=BOC. AODBOC .2 分 ，1= 2.3ADBC 点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点， EFAD，FMCB，且 ， .12EFAD12MCB ， 3 分3 3=ADC=1+6， 4=5. 2+5+6=90， 1+4+6=90，即 3+4=90. EFM=90. .4 分 在 RtEFM 中，EFM=90， ，3tanEFM EMF=30. . 5 分
20、3cos2FME （2）线段 PN 长度的最小值为 ，最大值为 . 7 分32 阅卷说明：第（2）问每空 1 分. 25解：（1）直线 BE 与 y轴平行，点 F 的坐标为（ ， ） ，91 点 B 的坐标为（ ， ） ，FBA =90，BF=1.920 在 RtABF 中，AF= ，17 . 4A 点 A 的坐标为（ ， ）.20 抛物线的解析式为 . .1 分219159()8yxx 点 Q 的坐标为 （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ）. 4 分1532Q37 阅卷说明：答对 1 个得 1 分. （2） ， ，2bct .t .1()yxt 由 ，220 .()xt 解得 ， .1
21、2xt ，0t 点 A 的坐标为（ ， ） ，点 B 的坐标为（ ， ）.02t0 AB= ，即 . 5 分 tt2k 方法一：过点 D 作 DG 轴交 BE 于点 G，AH BE 交直线 DG 于点 H，延x 长 DH 至点 M，使 HM=BF，连接 AM.（如图 9） DG 轴，AHBE， 四边形 ABGH 是平行四边形. ABF=90， 四边形 ABGH 是矩形. 同理四边形 CBGD 是矩形. AH=GB=CD=AB=GH= .2t HAB=90，DAF=45， 1+2=45. 在AFB 和AMH 中， AB=AH， ABF=AHM=90， BF=HM， AFBAMH. 6 分 1=3
22、，AF=AM，4= M. 3+2=45. 在AFD 和AMD 中， AF=AM， FAD=MAD， AD=AD， AFDAMD. DFA=M，FD=MD. DFA=4. 7 分 C 是 AB 的中点， DG=CB=HD= .t 设 BF= ，则 GF= ，FD=MD = .x2xtx 在 RtDGF 中， ，2DFG ，解得 .2()()tt3 .8 分an4ABt 方法二：过点 D 作 DMAF 于 M.（如图 10） CDAB，DMAF， 4321MHGy xODEFBCA 图 9 21NMACBFEDOxy 图 10 NCA=DMN=90. 1=2， NAC=NDM. tanNAC=tanNDM. . 6 分NCMAD C 是 AB 的中点，CD=AB= ，2t AC= ， .t 2()5Ct DAM=45， . 10sin45Att 设 CN= ，则 DN= .x2tx .10NMtt .2x 在 RtDNM 中 ， ，22DNM .10()()()ttx .2238x .()t ， （舍）.12t CN= ， 7 分3t AN= . 2103tt EB 轴，y EB 轴.x CDAB， CDEB. .12ACNBF AF= .03t MF= AF AM= .016tt . 8 分tan32DMFAtt
