1、广东省潮州市潮安区 2015-2016 学年八年级（下）期末数学试 卷（解析版） 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1 的值等于（ ） A4 B4 C2 D2 2数据 2，4，3，4，5，3，4 的众数是（ ） A5 B4 C3 D2 3若点（m，n）在函数 y=2x+1 的图象上，则 2mn 的值是（ ） A2 B2 C1 D1 4菱形 ABCD 中，已知 AC=6，BD=8 ，则此菱形的周长为（ ） A5 B10 C20 D40 5下列给出的点中，在函数 y=2x+1 的图象上的点是（ ） A （1，3） B （ 2.5，4） C （2.5， 4） D （1，1
2、） 6在某样本方差的计算公式 s2= （x 18） 2+（x 28） 2+（x 108） 2中，数字 10 和 8 依次表示样本的（ ） A容量，方差 B平均数，容量 C容量，平均数 D方差、平均数 7甲、乙两班学生人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： 甲 = 乙 =80，s 甲 2=240，s 乙 2=180，则成绩较为稳定的班级是（ ） A甲班 B乙班 C两班成绩一样稳定 D无法确定 8将函数 y=3x+1 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为 （ ） Ay= 3x+3 By= 3x1 Cy= 3（x+2）+1 Dy= 3（x 2）+1
3、 9对于一次函数 y=2x+4，下列结论错误的是（ ） A若两点 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）在该函数图象上，且 x1x 2，则 y1y 2 B函数的图象不经过第三象限 C函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=2x 的图象 D函数的图象与 x 轴的交点坐标是（ 0，4） 10如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 为正方形边上一动点，运动路线是 ADCBA，设 P 点经过的路程为 x，以点 A、P、D 为顶点的三角形的面积是 y，则 下列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C D 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11一次函数
4、 y=2x+4 的图象与 y 轴交点的坐标是 12已知正比例函数 y=kx（k0），点（2，3）在函数上，则 y 随 x 的增大而 （增大或减小） 13如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3cm 到 D，则橡皮筋被拉长了 cm 14已知 x= ，y= + ，则 xy 的值为 15如果一组数据 1，11，x，5，9，4 的中位数是 6，那么 x= 16如图，函数 y=ax 和 y=bx+c 的图象相交于点 A（1，2），则不等式 axbx+c 的解集为 三、解答题（共 9 小题，满分 66 分） 17化简：（4 6 ） （ + ）（ ）
5、18如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的 中点，若 AC=10cm，求 EF 的长度 19如图，在ABC 中，E 点为 AC 的中点，其中 BD=1，DC=3，BC= ，AD= ， 求 DE 的长 20如图，已知直线 y=2x+4 与直线 y=2x2 相交于点 C （1）求两直线与 y 轴交点 A、B 的坐标； （2）求ABC 的面积 21某校学生会向全校 1900 名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调 查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图 1 和图 2，请根据相关信息， 解答系列问题： （1）本次
6、接受随机抽样调查的学生人数为 人，图 1 中 m 的值是 （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数 22已知水银体温计的读数 y（）与水银柱的长度 x（cm）之间是一次函数关系现有 一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线 及其对应水银柱的长度 水银柱的长度 x（cm） 4.2 8.2 9.8 体温计的读数 y（） 35.0 40.0 42.0 （1）求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为 6.2cm，求此时体温计
7、的读数 23某通讯公司推出、两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种 无月租费，且两种收费方式的通讯时间 x（分钟）与收费 y（元）之间的函数关系如图所 示 （1）有月租费的收费方式是 （填或 ），月租费是 元； （2）分别求出、两种收费方式中 y 与自变量 x 之间的函数关系式； （3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议 24如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，过点 B 作 BPAC，过点 C 作 CP BD，BP 与 CP 相交于点 P （1）判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由； （2）若将平行四边形 ABCD 改为菱形 ABCD
8、，其他条件不变，得到的四边形 BPCO 是什 么四边形，并说明理由； （3）若得到的是正方形 BPCO，则四边形 ABCD 是 （选填平行四边形、 矩形、菱形、正方形中你认为正确的一个） 25在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形 OABC 的位置如图所示，点 A，C 的坐标 分别为（10，0），（0，8）点 P 是 y 轴正半轴上的一个动点，将OAP 沿 AP 翻折得 到OAP，直线 BC 与直线 OP 交于点 E，与直线 OA交于点 F （1）当点 P 在 y 轴正半轴，且OAP=30时，求点 O的坐标； （2）当 O落在直线 BC 上时，求直线 OA 的解析式； （3）当点 P 在矩形
9、 OABC 边 OC 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段 CF 与线段 OP 的长度相等？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2015-2016 学年广东省潮州市潮安区八年级（下）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1 的值等于（ ） A4 B4 C2 D2 【分析】直接利用算术平方根的定义求出即可 【解答】解： =2 故选：D 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握定义是解题关键 2数据 2，4，3，4，5，3，4 的众数是（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次
10、数最多的数据求解即可 【解答】解：这组数据的众数为：4 故选 B 【点评】本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一组数据中出现次 数最多的数据叫做众数 3若点（m，n）在函数 y=2x+1 的图象上，则 2mn 的值是（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】将点（m，n）代入函数 y=2x+1，得到 m 和 n 的关系式，再代入 2mn 即可解答 【解答】解：将点（m，n）代入函数 y=2x+1 得， n=2m+1， 整理得，2mn=1 故选：D 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，一次函数图象上的点的坐标 符合函数解析式 4菱形 ABCD 中，已知 AC=6
11、，BD=8 ，则此菱形的周长为（ ） A5 B10 C20 D40 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得 BO=OD，AO=OC，在 RtAOD 中，根据勾股定理可以求得 AB 的长，即可求菱形 ABCD 的周长 【解答】解：根据题意，设对角线 AC、BD 相交于 O则 ACBD 则由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4 所以，在直角ABO 中，由勾股定理得 AB= = =5 则此菱形的周长是 4AB=20 故选 C 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本 题中根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键 5下列给出的点中，在函
12、数 y=2x+1 的图象上的点是（ ） A （1，3） B （ 2.5，4） C （2.5， 4） D （1，1） 【分析】将 A，B，C，D 分别代入一次函数解析式 y=2x+1，根据图象上点的坐标性质即 可得出正确答案 【解答】解：A将（1，3）代入 y=2x+1，x=1 时，y= 1，此点不在该函数图象上，故此 选项错误； B将（2.5， 4）代入 y=2x+1，x=2.5 时，y=6，此点不在该函数图象上，故此选项错误； C将（2.5， 4）代入 y=2x+1，x=2.5 时，y= 4，此点在该函数图象上，故此选项正确； D将（1，1）代入 y=2x+1，x=1 时，y=3，此点不在该
13、函数图象上，故此选项错误 故选：C 【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定 满足函数的解析式反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上 6在某样本方差的计算公式 s2= （x 18） 2+（x 28） 2+（x 108） 2中，数字 10 和 8 依次表示样本的（ ） A容量，方差 B平均数，容量 C容量，平均数 D方差、平均数 【分析】方差计算公式：S 2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，n 表示样本容量， 为平均数，根据此公式即可得到答案 【解答】解：由于 s2= （ x18） 2+（x 28） 2+（x 108） 2，所以
14、样本容量是 10，平均 数是 8 故选 C 【点评】本题考查方差的定义一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差 S2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大， 波动性越大，反之也成立 7甲、乙两班学生人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： 甲 = 乙 =80，s 甲 2=240，s 乙 2=180，则成绩较为稳定的班级是（ ） A甲班 B乙班 C两班成绩一样稳定 D无法确定 【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也 成立 【解答】解：s 甲 2=240，s 乙
15、 2=180， s 甲 2s 乙 2， 乙班成绩较为稳定， 故选：B 【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则 方差 S2= （ x1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越 大，波动性越大，反之也成立 8将函数 y=3x+1 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为 （ ） Ay= 3x+3 By= 3x1 Cy= 3（x+2）+1 Dy= 3（x 2）+1 【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可 【解答】解：将函数 y=3x+1 的图象沿 y 轴
16、向上平移 2 个单位长度， 平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1+2=3x+3 故选：A 【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键 9对于一次函数 y=2x+4，下列结论错误的是（ ） A若两点 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）在该函数图象上，且 x1x 2，则 y1y 2 B函数的图象不经过第三象限 C函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=2x 的图象 D函数的图象与 x 轴的交点坐标是（ 0，4） 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行判断 【解答】解：A、若两点 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）在该函数图象上，且 x1
17、x 2，则 y1y 2，所以 A 选项的说法正确； B、函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，所以 B 选项的说法正确； C、函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=2x 的图象，所以 C 选项的说法正确； D、函数的图象与 y 轴的交点坐标是（ 0，4），所以 D 选项的说法错误 故选 D 【点评】本题考查了一次函数的性质：一次函数 y=kx+b，k0，y 随 x 的增大而增大，函 数从左到右上升；k0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降由于 y=kx+b 与 y 轴交 于（0，b），当 b0 时，（0，b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴；当 b0 时，（
18、0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴 10如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 为正方形边上一动点，运动路线是 ADCBA，设 P 点经过的路程为 x，以点 A、P、D 为顶点的三角形的面积是 y，则 下列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C D 【分析】根据动点从点 A 出发，首先向点 D 运动，此时 y 不随 x 的增加而增大，当点 P 在 DC 上运动时，y 随着 x 的增大而增大，当点 P 在 CB 上运动时，y 不变，据此作出选择 即可 【解答】解：当点 P 由点 A 向点 D 运动，即 0x4 时， y 的值为 0； 当点 P 在 DC
19、上运动，即 4x8 时，y 随着 x 的增大而增大； 当点 P 在 CB 上运动，即 8x12 时，y 不变； 当点 P 在 BA 上运动，即 12x16 时，y 随 x 的增大而减小 故选 B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现 y 随 x 的变化而变化的趋势 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11一次函数 y=2x+4 的图象与 y 轴交点的坐标是 （0，4） 【分析】令 1x=0，求出 y 的值即可 【解答】解：令 x=0，则 y=4， 一次函数 y=2x+4 的图象与 y 轴交点的坐标是（0，4） 故答案为：（0，4）
20、【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知 y 轴上点的坐标特点是解答此 题的关键 12已知正比例函数 y=kx（k0），点（2，3）在函数上，则 y 随 x 的增大而 减小 （增大或减小） 【分析】首先利用待定系数法确定正比例函数解析式，再根据正比例函数的性质：k0 时， y 随 x 的增大而增大，k0 时，y 随 x 的增大而减小确定答案 【解答】解：点（2，3）在正比例函数 y=kx（k0）上， 2k=3 ， 解得：k= ， 正比例函数解析式是：y= x， k= 0， y 随 x 的增大而减小， 故答案为：减小 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，以及待定系数法确定正比例函
21、数解析式，关 键是掌握正比例函数的性质 13如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3cm 到 D，则橡皮筋被拉长了 2 cm 【分析】根据勾股定理，可求出 AD、BD 的长，则 AD+BDAB 即为橡皮筋拉长的距离 【解答】解：RtACD 中，AC= AB=4cm，CD=3cm ； 根据勾股定理，得：AD= =5cm； AD+BDAB=2ADAB=10 8=2cm； 故橡皮筋被拉长了 2cm 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用 14已知 x= ，y= + ，则 xy 的值为 2 【分析】由 x、y 的值直接代入 xy
22、 求解即可 【解答】解：xy= （ + ） = =2 故答案为2 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的化简并 代入求值 15如果一组数据 1，11，x，5，9，4 的中位数是 6，那么 x= 7 【分析】根据求中位数的方法，可知加上一个数 x，那么这组数据的个数就是 6，所以处于 最中间的两数的平均数就是此组数据的中位数；再根据中位数是 6，求得 x 的值 【解答】解：共 6 个数， 中位数是第 3 和第 4 个的平均数， 中位数为 6， =6， 解得：x=7， 故答案为：7 【点评】此题考查中位数的意义及求解方法的灵活运用，关键是明确这组数据有奇数个， 中
23、位数是最中间的那个数字 16如图，函数 y=ax 和 y=bx+c 的图象相交于点 A（1，2），则不等式 axbx+c 的解集为 x1 【分析】观察函数图象，当 x1 时，直线 y=ax 都在直线 y=bx+c 的上方，由此可得不等式 axbx+c 的解集 【解答】解：当 x1 时，axbx+c，即不等式 axbx+c 的解集为 x1 故答案为 x1 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y=kx+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直 线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集
24、合 三、解答题（共 9 小题，满分 66 分） 17化简：（4 6 ） （ + ）（ ） 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后根据二次根式的除法 法则和平方差公式计算 【解答】解：原式=（4 2 ） （53） =2 2 =22 =0 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根 式的乘除运算，然后合并同类二次根式 18如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的 中点，若 AC=10cm，求 EF 的长度 【分析】根据矩形的性质可得 AC=BD=10cm，BO=DO= BD=5cm，再
25、根据三角形中位线 定理可得 EF= DO=2.5cm 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， AC=BD=10cm，BO=DO= BD， OD= BD=5cm， 点 E、F 是 AO，AD 的中点， EF 是AOD 的中位线， EF= DO=2.5cm 【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相 等且互相平分 19如图，在ABC 中，E 点为 AC 的中点，其中 BD=1，DC=3，BC= ，AD= ， 求 DE 的长 【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定BCD 是直角三角形且BDC=90 ，再利用勾股 定理可求出 AC 的长，进而可求出 DE 的长 【解答
26、】解：BD=1 ，DC=3，BC= ， 又1 2+32=（ ） 2， BD 2+CD2=BC2， BCD 是直角三角形且BDC=90， ADC=90， AC= =4， 又E 点为 AC 的中点 DE= =2 【点评】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，首先要证明三角形 BCD 是直角三角 形且BDC=90是解题的关键 20如图，已知直线 y=2x+4 与直线 y=2x2 相交于点 C （1）求两直线与 y 轴交点 A、B 的坐标； （2）求ABC 的面积 【分析】（1）根据两直线解析式，分别令 x=0 求解即可得到点 A、B 的坐标； （2）联立两直线解析式求出点 C 的坐标，再求出 AB
27、的长，然后根据三角形的面积公式 列式计算即可得解 【解答】解：（1）对于直线 y=2x+4， 令 x=0，得到 y=4，即 A（0，4）， 对于直线 y=2x2， 令 x=0，得到 y=2，即 B（0， 2）； （2）联立得： ， 解得， ， 即 C（ ，1）， A（0，4），B（0， 2）， AB=6， 则 SABC= 6 = 【点评】本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点坐标的求解方法，联立两直 线解析式求交点是常用的方法之一，要熟练掌握 21某校学生会向全校 1900 名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调 查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图
28、1 和图 2，请根据相关信息， 解答系列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 人，图 1 中 m 的值是 32 （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数 【分析】（1）根据统计图可以分别求得本次接受随机抽样调查的学生人数和图 1 中 m 的 值； （2）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数 【解答】解：（1）由统计图可得， 本次接受随机抽样调查的学生人数为：48%=50， m%=18%16%
29、20%24%=32%， 故答案为：50，32； （2）本次调查获取的样本数据的平均数是： =16（元）， 本次调查获取的样本数据的众数是：10 元， 本次调查获取的样本数据的中位数是：15 元； （3）该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数为：1900 =608， 即该校本次活动捐款金额为 10 元的学生有 608 人 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关 键是明确题意，找出所求问题需要的条件 22已知水银体温计的读数 y（）与水银柱的长度 x（cm）之间是一次函数关系现有 一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻
30、度线 及其对应水银柱的长度 水银柱的长度 x（cm） 4.2 8.2 9.8 体温计的读数 y（） 35.0 40.0 42.0 （1）求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为 6.2cm，求此时体温计的读数 【分析】（1）设 y 关于 x 的函数关系式为 y=kx+b，由统计表的数据建立方程组求出其解 即可； （2）当 x=6.2 时，代入（1）的解析式就可以求出 y 的值 【解答】解：（1）设 y 关于 x 的函数关系式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， y= x+29.75 y 关于 x 的函数关系式为：y= +29.
31、75； （2）当 x=6.2 时， y= 6.2+29.75=37.5 答：此时体温计的读数为 37.5 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求 函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键 23某通讯公司推出、两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种 无月租费，且两种收费方式的通讯时间 x（分钟）与收费 y（元）之间的函数关系如图所 示 （1）有月租费的收费方式是 （填 或 ），月租费是 30 元； （2）分别求出、两种收费方式中 y 与自变量 x 之间的函数关系式； （3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议 【分析】（1）根
32、据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没 有，有多少； （2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可； （3）求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可 【解答】解：（1）；30； （2）设 y1=k1x+30，y 2=k2x，由题意得：将（500，80），（500，100）分别代入即可： 500k1+30=80， k 1=0.1， 500k2=100， k 2=0.2 故所求的解析式为 y1=0.1x+30； y2=0.2x； （3）当通讯时间相同时 y1=y2，得 0.2x=0.1x+30，解得 x=300
33、； 当 x=300 时，y=60 故由图可知当通话时间在 300 分钟内，选择通话方式实惠； 当通话时间超过 300 分钟时，选择通话方式实惠； 当通话时间在 300 分钟时，选择通话方式、 一样实惠 【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题注意 利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数 y 随 x 的变化，结合自变 量的取值范围确定最值 24如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，过点 B 作 BPAC，过点 C 作 CP BD，BP 与 CP 相交于点 P （1）判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由； （2）若将平行
34、四边形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，得到的四边形 BPCO 是什 么四边形，并说明理由； （3）若得到的是正方形 BPCO，则四边形 ABCD 是 正方形 （选填平行四边形、矩 形、菱形、正方形中你认为正确的一个） 【分析】（1）根据两组对边互相平行，即可得出四边形 BPCO 为平行四边形； （2）根据菱形的对角线互相垂直，即可得出BOC=90，结合（1）结论，即可得出四边 形 BPCO 为矩形； （3）根据正方形的性质可得出 OB=OC，且 OBOC ，再根据平行四边形的性质可得出 OD=OB，OA=OC，进而得出 AC=BD，再由 ACBD，即可得出四边形 ABCD 是正方
35、 形 【解答】解：（1）四边形 BPCO 为平行四边形，理由如下： BP AC，CPBD， 四边形 BPCO 为平行四边形 （2）四边形 BPCO 为矩形，理由如下： 四边形 ABCD 为菱形， ACBD ，则BOC=90， 由（1）得四边形 BPCO 为平行四边形， 四边形 BPCO 为矩形 （3）四边形 ABCD 是正方形，理由如下： 四边形 BPCO 是正方形， OB=OC，且 OBOC 又四边形 ABCD 是平行四边形， OD=OB，OA=OC， AC=BD， 又ACBD ， 四边形 ABCD 是正方形 【点评】本题考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质以及矩 形
36、的判定，解题的关键是：（1）利用两组对比互相平行的四边形为平行四边形得出四边形 BPCO 为平行四边形；（2）利用有一个直角的平行四边形为矩形得出四边形 BPCO 为矩形； （3）找出 AC=BD 且 ACBD本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记各 特殊图形的判定与性质是解题的关键 25在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形 OABC 的位置如图所示，点 A，C 的坐标 分别为（10，0），（0，8）点 P 是 y 轴正半轴上的一个动点，将OAP 沿 AP 翻折得 到OAP，直线 BC 与直线 OP 交于点 E，与直线 OA交于点 F （1）当点 P 在 y 轴正半轴，且OAP=
37、30时，求点 O的坐标； （2）当 O落在直线 BC 上时，求直线 OA 的解析式； （3）当点 P 在矩形 OABC 边 OC 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段 CF 与线段 OP 的长度相等？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）连接 OO，作 OGOA 于点 G，根据 AO=AO，OAO=2OPA=60 ，即 可得出OAO 是等边三角形，再结合点 A 的坐标即可得出点 O的坐标； （2）设直线 OA 的解析式为 y=kx+b，根据勾股定理可得出 BO的长度，再根据 O在线段 BC 上和 O在 CB 延长线上分两种情况考虑，由此即可得出点 O的坐标，
38、结合点 AO的坐 标利用待定系数法即可得出直线 OA 的解析式； （3）假设存在，设点 P（0，m ），根据点 O在直线 BC 的上下两侧来分类讨论根据平 行线的性质找出相等的角从而得出两三角形相似，再根据相似三角形的性质（或等角的三 角函数值相等）找出边与边之间的关系，由此即可列出关于 m 的方程，解方程即可得出结 论 【解答】25解：（1）连接 OO，作 OGOA 于点 G，如图 1 所示 OAO=2OPA=60，AO=AO， OAO 是等边三角形， 点 A 的坐标为（10，0）， OA=10 ，OG= OA=5，OG= OA=5 ， 点 O的坐标为（5，5 ） （2）设直线 OA 的解析
39、式为 y=kx+b 在 Rt ABO中，AO=10，AB=8 ， BO6， 当 O在线段 BC 上时，CO=106=4， 点 O的坐标为（4，8）， 则有 ，解得： ， 此时直线 OA 的解析式为 y= x+ ； 当 O在 CB 延长线上时， CO=10+6=16， 点 O的坐标为（16，8）， 则有 ，解得： 此时直线 OA 的解析式为 y= x （3）假设存在，由点 O的位置不同分两种情况： 当点 O在 BC 的上方时，设点 P（0，m ），过点 O作 OGOA 于点 G，过点 P 作 PQO G 于点 Q，如图 2 所示 OP=CF， BF=BCCF=10m， 点 C（0，8）， AB=
40、OC=8 在 Rt ABF 中，AB=8 ，BF=10m， AF= = OGx 轴，ABOA， OGAB， OGAABF ， ， OG= ，AG= ， OQ=OG OP= m，PQ=OAAG=10 PO Q+OPQ=90，POQ +AOG=90， OPQ=AO G=FAB ， ， PQ= =10 ， 解得：m 1= ，m 2=10， 经检验 m1= 是分式方程的解， 此时点 P 的坐标为（0， ）； 当点 O在 BC 的下方时，设 AF 与 y 轴的交点为 M，如图 3 所示 设点 P（0，m），则 CF=OP=m， BF=10+m，AB=8，OA=10， AF= = BCAO， AFB=MA
41、O， ， OM= ， PM=OMOP= m， MPO 与 AMO 互余， MPO =AFB， ，即 ， 解得：m 3= ，m 4=10（舍去）， 经检验 m3= 是分式方程的解， 此时点 P 的坐标为（0， ） 综上可知：当点 P 在矩形 OABC 边 OC 的运动过程中，存在某一时刻，使得线段 CF 与线 段 OP 的长度相等，点 P 的坐标为（0， ）或（0， ） 【点评】本题考查了等边三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式、平行线的性质 以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）得出OAO 是等边三角形；（2） 分两种情况求出点 O的坐标；（3）分情况找出关于 m 的方程本题属于中档题，难度不 大，尤其在解决（3）时，往往只会考虑到第一种情况而忘记第二种情况造成失分，因此在 日常练习中要注意培养考虑问题的全面性
