1、甘肃省庆阳市 2017 届九年级（上）期末数学试卷(解析版) 一、选择题 1下列事件中是必然发生的事件是（ ） A抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上 B射击运动员射击一次，命中十环 C在地球上，抛出的篮球会下落 D明天会下雨 2已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x23x+a=0 的两个解，若（m1）（n1） =6，则 a 的值为（ ） A 10 B4 C4 D10 3已知 P（x，y ）在第三象限，且|x |=1，|y|=7 ，则点 P 关于 x 轴对称的点的 坐标是（ ） A（1.7 ） B（1，7） C（ 1，7） D（1，7） 4如图，在方格纸中，随机选择标有序号中的一个
2、小正方形涂黑， 与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ） A B C D 5在同一坐标系中，一次函数 y=mx+n2 与二次函数 y=x2+m 的图象可能是（ ） A B C D 6甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的 频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ） A掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率 B从一个装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C抛一枚硬币，出现正面的概率 D任意写一个整数，它能被 2 整除的概率 7某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次 降价的百分率相同，
3、求每次降价的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所 列的方程中正确的是（ ） A560 （1+x） 2=315 B560（1 x） 2=315 C560 （1 2x） 2=315 D560 （1x 2）=315 8二次函数 y=x2+4x+3 的图象可以由二次函数 y=x2 的图象平移而得到，下列平 移正确的是（ ） A先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 9如图，将O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O，点 P 是优弧 上一点，
4、则APB 的度数为（ ） A45 B30 C75 D60 10如图，已知 AB 是O 的直径，AD 切O 于点 A，点 C 是 的中点，则下 列结论：OCAE；EC=BC；DAE= ABE；AC OE ，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题 11圆内接四边形 ABCD 中，已知A=70，则C= 12若（m2） mx+1=0 是一元二次方程，则 m 的值为 13如图，Rt ABC 中，B=90 ，AB=3cm，BC=4cm，将ABC 折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则ABE 的周长等于 cm 14如图，将弧长为 6，圆心角为 120的圆形纸片 AOB
5、 围成圆锥形纸帽，使 扇形的两条半径 OA 与 OB 重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是 15将抛物线 y=2x212x+16 绕它的顶点旋转 180，所得抛物线的解析式是 16在平面直角坐标系中，P 的圆心是（2，a ）（a 2），半径为 2，函数 y=x 的图象被 P 截得的弦 AB 的长为 ，则 a 的值是 17如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（ 3，0），对称轴 为直线 x=1，给出四个结论： b 24ac； 2a+b=0； a +b+c0； 若点 B（ ，y 1），C（ ，y 2）为函数图象上的两点，则 y1y 2 其中正确结论是 三、解答题（
6、共 78 分） 18（6 分）计算：（3 ） 0 +（1） 2011 19（6 分）先化简，再求值： ，其中 x 满足 x23x+2=0 20（7 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a2=0 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 21（7 分） 如图，将小旗 ACDB 放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标 为 A（6 ，12 ），B （6， 0），C（0，6），D（ 6，6）以点 B 为旋转中心， 在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转 90 （1）画出旋转后的小旗 ACDB； （2）写出点 A，C，D的坐
7、标； （3）求出线段 BA 旋转到 BA时所扫过的扇形的面积 22（8 分）一个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2 ，3 ，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区域， 分别标有数字 1，2，3（如图）小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参 加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘， 如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 4，那么小颖去，否则小亮 去 （1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游 戏公平 23（8 分）为了响应政府提出的由中
8、国制造向中国创造转型的号召，某公司 自主设计了一款成本为 40 元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发 现该产品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）满足一次函数关系： y=10x+1200 （1）求出利润 S（元）与销售单价 x（元）之间的关系式（利润=销售额成本）； （2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 24（8 分）如图，某足球运动员站在点 O 处练习射门，将足球从离地面 0.5m 的 A 处正对球门踢出（点 A 在 y 轴上），足球的飞行高度 y（单位：m）与飞 行时间 t（单位： s）之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行
9、 0.8s 时，离 地面的高度为 3.5m （1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ （2）若足球飞行的水平距离 x（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有 函数关系 x=10t，已知球门的高度为 2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离 球门的水平距离为 28m，他能否将球直接射入球门？ 25（9 分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D以 AB 上某一点 O 为圆心作 O，使O 经过点 A 和点 D （1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC=3，B=30 求O 的半径； 设O 与 AB
10、边的另一个交点为 E，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的阴影部 分的图形面积（结果保留根号和 ） 26（9 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边的中线，AN 为 ABC 的外角CAM 的平分线， CEAN 于点 E，线段 DE 交 AC 于点 F （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？证明你的结论 27（14 分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线 y= x2 交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标是 2 （1）求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标 （2）在 x 轴上是否存在点 C，使得ABC 是直角三角
11、形？若存在，求出点 C 的 坐标，若不存在，请说明理由 （3）过线段 AB 上一点 P，作 PMx 轴，交抛物线于点 M，点 M 在第一象限， 点 N（ 0，1），当点 M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多 少？ 2016-2017 学年甘肃省庆阳市九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1下列事件中是必然发生的事件是（ ） A抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上 B射击运动员射击一次，命中十环 C在地球上，抛出的篮球会下落 D明天会下雨 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件 【解答】解：A、抛两枚均匀
12、的硬币，硬币落地后，都是正面朝上是随机事件， 故 A 错误； B、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故 B 错误； C、在地球上，抛出的篮球会下落是必然事件，故 C 正确； D、明天会下雨是随机事件，故 D 错误； 故选：C 【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随 机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在 一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下， 可能发生也可能不发生的事件 2已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x23x+a=0 的两个解，若（m1）（n1） =6，则 a 的值为（ ） A 10 B4
13、C4 D10 【考点】根与系数的关系 【分析】利用根与系数的关系表示出 m+n 与 mn，已知等式左边利用多项式乘 多项式法则变形，将 m+n 与 mn 的值代入即可求出 a 的值 【解答】解：根据题意得：m+n=3，mn=a ， （m1）（n1）=mn（ m+n）+1=6， a 3+1=6， 解得：a=4 故选 C 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关 键 3已知 P（x，y ）在第三象限，且|x |=1，|y|=7 ，则点 P 关于 x 轴对称的点的 坐标是（ ） A（1.7 ） B（1，7） C（ 1，7） D（1，7） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的
14、点的坐标 【分析】直接利用第三象限点的性质得出 x，y 的值，进而利用关于 x 轴对称点 的性质得出是解题关键 【解答】解：P（x ，y）在第三象限，且|x |=1， |y|=7， P（ 1，7）， 点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是：（ 1，7） 故选：A 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质以及第三象限点的坐标性质， 正确记忆各象限内点的坐标性质是解题关键 4如图，在方格纸中，随机选择标有序号中的一个小正方形涂黑， 与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式；轴对称图形 【分析】由随机选择标有序号中的一个小正方形涂黑，共有 5 种等 可能的结果
15、，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有 3 种情况，直接利用概率 公式求解即可求得答案 【解答】解：在方格纸中，随机选择标有序号中的一个小正方形 涂黑，共有 5 种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有 ，3 种情况， 使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：35= 故选 C 【点评】此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率=所求情况数 与总情况数之比也考查了轴对称图形的定义 5在同一坐标系中，一次函数 y=mx+n2 与二次函数 y=x2+m 的图象可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】本题可先由一次函数 y=mx+n2 图象得到字母系
16、数的正负，再与二次函 数 y=x2+m 的图象相比较看是否一致 【解答】解：A、由直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，n 20，错误； B、由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上可知，m0，由直线可知， m 0，错误； C、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知，m0， 错误； D、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知， m0 ， 正确， 故选 D 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一 种很好的方法，难度适中 6甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的 频率绘出的统计
17、图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ） A掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率 B从一个装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C抛一枚硬币，出现正面的概率 D任意写一个整数，它能被 2 整除的概率 【考点】利用频率估计概率 【分析】根据统计图可知，试验结果在 0.33 附近波动，即其概率 P0.33，计 算四个选项的概率，约为 0.33 者即为正确答案 【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率为 ，故此选项错误； B、从一装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是： = 0.33 ；故此选项正确； C、掷一枚硬币，出现正
18、面朝上的概率为 ，故此选项错误； D、任意写出一个整数，能被 2 整除的概率为 ，故此选项错误 故选：B 【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概 率用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比同时此题在解答中要 用到概率公式 7某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次 降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所 列的方程中正确的是（ ） A560 （1+x） 2=315 B560（1 x） 2=315 C560 （1 2x） 2=315 D560 （1x 2）=315 【考点】由实际问题抽象出一元二次方
19、程 【分析】设每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格 =降价前的价格（1 降价 的百分率），则第一次降价后的价格是 560（1x），第二次后的价格是 560（1x） 2，据此即可列方程求解 【解答】解：设每次降价的百分率为 x，由题意得： 560（1x） 2=315， 故选：B 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边 的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即 可 8二次函数 y=x2+4x+3 的图象可以由二次函数 y=x2 的图象平移而得到，下列平 移正确的是（ ） A先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 B先向左平移 2
20、个单位，再向下平移 1 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】把二次函数 y=x2+4x+3 化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函 数 y=x2 的图象平移而得到 【解答】解：根据题意 y=x2+4x+3=（x+2 ） 21，按照 “左加右减，上加下减”的规 律，它可以由二次函数 y=x2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到 故选 B 【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式 的能力 9如图，将O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O，
21、点 P 是优弧 上一点， 则APB 的度数为（ ） A45 B30 C75 D60 【考点】圆周角定理；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题） 【分析】作半径 OCAB 于 D，连结 OA、OB，如图，根据折叠的性质得 OD=CD，则 OD= OA，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到OAD=30， 接着根据三角形内角和定理可计算出AOB=120， 然后根据圆周角定理计算APB 的度数 【解答】解：作半径 OCAB 于 D，连结 OA、OB，如图， 将O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O， OD=CD， OD= OC= OA， OAD=30 ， 又 OA=OB， CBA=
22、30 ， AOB=120， APB= AOB=60 故选 D 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了含 30 度的直角三角形三边 的关系和折叠的性质 10如图，已知 AB 是O 的直径，AD 切O 于点 A，点 C 是 的中点，则下 列结论：OCAE；EC=BC；DAE= ABE；AC OE ，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】切线的性质；垂径定理 【分析】由 C 为弧 EB 中点，利用垂径定理的逆定理得到 OC 垂直于 BE，根据等 弧对等弦得到 BC=EC，再由 AB 为直角，利用
23、圆周角定理得到 AE 垂直于 BE，进 而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到 OC 与 AE 平行，由 AD 为圆的切线，利用切线的性质得到 AB 与 DA 垂直，利用同角的余角相等得到 DAE= ABE，根据 E 不一定为弧 AC 中点，可得出 AC 与 OE 不一定垂直，即 可确定出结论成立的序号 【解答】解：C 为 的中点，即 ， OCBE ，BC=EC，选项 正确； BFO=90， AB 为圆 O 的直径， AE BE ，即BEA=90 ， BFO= BEA， OCAE ，选项正确； AD 为圆的切线， DAB=90 ，即DAE + EAB=90， EAB+ABE=90 ，
24、 DAE= ABE，选项正确； 点 E 不一定为 中点，故 E 不一定是 中点，选项错误， 则结论成立的是， 故选 C 【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理， 熟练掌握性质及定理是解本题的关键 二、填空题 11圆内接四边形 ABCD 中，已知A=70，则C= 110 【考点】圆内接四边形的性质 【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补，即可解决问题 【解答】解：如图， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， A+C=180， A=70， C=110， 故答案为 110 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，记住圆内接四边形对角互补是解题的 关键 12若（m
25、2） mx+1=0 是一元二次方程，则 m 的值为 2 【考点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【解答】解：根据题意得： ， 解得：m=2 故答案是：2 【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数 为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0）特别 要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点 13如图，Rt ABC 中，B=90 ，AB=3cm，BC=4cm，将ABC
26、折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则ABE 的周长等于 7 cm 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对 应边和对应角相等 【解答】解：由折叠的性质知，AE=CE， ABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3 +4=7cm 故答案为：7 【点评】本题考查了翻折变换的知识，利用了折叠的性质 14如图，将弧长为 6，圆心角为 120的圆形纸片 AOB 围成圆锥形纸帽，使 扇形的两条半径 OA 与 OB 重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是 6 【考点】圆锥的计算 【分析】根据弧长求得圆锥的底面半径和
27、扇形的半径，利用勾股定理求得圆锥 的高即可 【解答】解：弧长为 6， 底面半径为 62=3， 圆心角为 120， =6， 解得：R=9 ， 圆锥的高为 =6 ， 故答案为：6 【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够利用圆锥的底面周长等于 侧面展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，难度一般 15将抛物线 y=2x212x+16 绕它的顶点旋转 180，所得抛物线的解析式是 y=2（x3） 22， 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据抛物线解析式间的关系，可得顶点式解析式，根据绕它的顶点旋 转 180，可得顶点相同，开口方向相反，可得答案 【解答】解：y=2x 212x+16， 顶点式
28、 y=2（ x3） 22， 抛物线 y=2x212x+16 绕它的顶点旋转 180，所得抛物线的解析式是 y=2（x 3） 22， 故答案为：y=2（x3） 22 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了绕定点旋转的规律 16在平面直角坐标系中，P 的圆心是（2，a ）（a 2），半径为 2，函数 y=x 的图象被 P 截得的弦 AB 的长为 ，则 a 的值是 【考点】垂径定理；坐标与图形性质 【分析】过 P 点作 PEAB 于 E，过 P 点作 PCx 轴于 C，交 AB 于 D，连接 PA分别求出 PD、DC，相加即可 【解答】解：过 P 点作 PEAB 于 E，过 P 点作 PC
29、x 轴于 C，交 AB 于 D，连 接 PA AB=2 ， AE= ，PA=2， PE=1 点 D 在直线 y=x 上， AOC=45， DCO=90， ODC=45， PDE=ODC=45， DPE=PDE=45 ， DE=PE=1， PD= P 的圆心是（ 2，a）， 点 D 的横坐标为 2， OC=2， DC=OC=2， a=PD+DC=2+ 故答案为：2+ 【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关 系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键注意函数 y=x 与 x 轴的 夹角是 45 17如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（
30、 3，0），对称轴 为直线 x=1，给出四个结论： b 24ac； 2a+b=0； a +b+c0； 若点 B（ ，y 1），C（ ，y 2）为函数图象上的两点，则 y1y 2 其中正确结论是 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据抛物线与 x 轴交点个数可判断； 根据抛物线对称轴可判断； 根据抛物线与 x 轴的另一个交点坐标可判断； 根据 B、C 两点离对称轴的距 离的大小，可判断 【解答】解：由函数图象可知抛物线与 x 轴有 2 个交点， b 24ac0 即 b24ac，故正确； 对称轴为直线 x=1， =1，即 2ab=0，故错误； 抛物线与 x 轴的交点 A 坐标为（ 3，0）
31、且对称轴为 x=1， 抛物线与 x 轴的另一交点为（ 1，0 ）， 将（1，0）代入解析式可得，a+b+c=0 ，故错误； 由| +1| +1|，可知点 B 离对称轴距离较远， y 1y 2，故正确； 综上，正确的结论是：， 故答案为 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 y=ax2+bx+c（a0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位 置及 a 的符号决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的 交点个数，决定了 b24ac 的符号，此外还要注意 x=1，3 对应函数值的正负来 判断其式子的正确与否 三、解答题（共 78 分） 18
32、计算：（3 ） 0 +（1） 2011 【考点】二次根式的混合运算；零指数幂 【分析】先利用零指数幂的意义和二次根式的除法法则运算，然后合并即可 【解答】解：原式=1（ ）1 =1（2 ）1 =12+ 1 = 2 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根 式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可 19先化简，再求值： ，其中 x 满足 x23x+2=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法；分式的化简求值 【分析】本题要对分式进行化简，可对分式中的分子分母进行因式分解，将可 进行约分的式子约掉然后根据方程 x23x+2=0 解出 x 的值，代入已化简的分式 中 【解
33、答】解：原式= ， x 23x+2=0， （x2）（x1）=0， x=1 或 x=2， 当 x=1 时，（x 1） 2=0，分式 无意义 x=2，原式=2 【点评】本题考查了分式的化简和一元二次方程的解法，在解题时学生往往会 忽略 x 的不可取问题分式中分母不为 0，因此 x1 20已知关于 x 的方程 x2+2x+a2=0 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系 【分析】（1）关于 x 的方程 x22x+a2=0 有两个不相等的实数根，即判别式 =b24a
34、c0即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围 （2）设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出 a 的值和方 程的另一根 【解答】解：（1）b 24ac=（2） 241（a 2）=124a0， 解得：a3 a 的取值范围是 a3； （2）设方程的另一根为 x1，由根与系数的关系得： ， 解得： ， 则 a 的值是1，该方程的另一根为 3 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别 式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0 方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 21 如图，将小旗 ACDB 放于平面直角坐标系中，得到
35、各顶点的坐标为 A（ 6， 12），B （6，0）， C（0，6），D（ 6，6）以点 B 为旋转中心，在平 面直角坐标系内将小旗顺时针旋转 90 （1）画出旋转后的小旗 ACDB； （2）写出点 A，C，D的坐标； （3）求出线段 BA 旋转到 BA时所扫过的扇形的面积 【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算 【分析】（1）根据平面直角坐标系找出 A、C、D 、B的位置，然后顺次连接 即可； （2）根据旋转的性质分别写出点 A，C，D的坐标即可； （3）先求出 AB 的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解 【解答】解：（1）小旗 ACDB如图所示； （2）点 A（ 6，0），C （ 0，
36、6），D （0，0）； （3）A（ 6，12 ），B（ 6，0）， AB=12， 线段 BA 旋转到 BA时所扫过的扇形的面积= =36 【点评】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积计算，熟练掌握旋转变换 只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键 22一个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2 ，3 ，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区域， 分别标有数字 1，2，3（如图）小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参 加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘， 如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 4，那
37、么小颖去，否则小亮 去 （1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游 戏公平 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】（1）画树状图展示所有 12 种等可能性结果，再找出其中数字之和小 于 4 的结果数，然后根据概率公式求解； （2）利用概率公式计算出 P（和不小于 4），则 P（和小于 4）P （和不小于 4），于是可判断游戏不公平，改变游戏规则后使数字之和小于 4 和数字之和不 小于 4 的结果数相等即可 【解答】解：（1）画树状图： 共有 12 种等可能性结果，其中数字之和小于 4 的有 3 种情况， 所以
38、P（和小于 4）= = ， 即小颖参加比赛的概率为 ； （2）该游戏不公平理由如下： 因为 P（和不小于 4）= ， 所以 P（和小于 4）P （和不小于 4）， 所以游戏不公平，可改为：若数字之和为偶数，则小颖去；若数字之和为奇数， 则小亮去 【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率， 然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平也考查了列表法与树 状图法 23为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计 了一款成本为 40 元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品 每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）满足一次函数关系：
39、y=10x+1200 （1）求出利润 S（元）与销售单价 x（元）之间的关系式（利润=销售额成本）； （2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）根据“总利润=单件的利润销售量 ”列出二次函数关系式即可； （2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润 【解答】解：（1）S=y（x40）=（x 40）（10x +1200）= 10x2+1600x48000； （2）S=10x 2+1600x48000=10（x 80） 2+16000， 则当销售单价定为 80 元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是 16000 元 【点评】此
40、题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润 的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值 （或最小值） 24如图，某足球运动员站在点 O 处练习射门，将足球从离地面 0.5m 的 A 处 正对球门踢出（点 A 在 y 轴上），足球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行 0.8s 时，离地面的高 度为 3.5m （1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ （2）若足球飞行的水平距离 x（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有 函数关系 x=10t，已知球门的高度为
41、2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离 球门的水平距离为 28m，他能否将球直接射入球门？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， 于是得到 ，求得抛物线的解析式为：y= t2+5t+ ，当 t= 时，y 最大 =4.5； （2）把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8，当 t=2.8 时， y= 2.82+52.8+ =2.252.44，于是得到他能将球直接射入球门 【解答】解：（1）由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过（0，0.5） （0.8，3.5）， ， 解得： ， 抛物线的解析式为
42、：y= t2+5t+ ， 当 t= 时，y 最大 =4.5； （2）把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8， 当 t=2.8 时， y= 2.82+52.8+ =2.252.44， 他能将球直接射入球门 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用， 正确求得解析式是解题的关键 25如图，在 RtABC 中，C=90 ，BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D以 AB 上某一点 O 为圆心作O ，使O 经过点 A 和点 D （1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC=3，B=30 求O 的半径； 设O 与 AB 边的另一个交点为 E，
43、求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的阴影部 分的图形面积（结果保留根号和 ） 【考点】切线的判定；扇形面积的计算 【分析】（1）连接 OD，根据平行线判定推出 ODAC ，推出 ODBC ，根据切 线的判定推出即可； （2）根据含有 30角的直角三角形的性质得出 OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从 而求得半径 r 的值；根据 S 阴影 =SBOD S 扇形 DOE 求得即可 【解答】解：（1）直线 BC 与O 相切； 连结 OD，OA=OD， OAD=ODA， BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D， CAD=OAD， CAD=ODA， ODAC， ODB=C=90， 即
44、ODBC 又直线 BC 过半径 OD 的外端， 直线 BC 与 O 相切 （2）设 OA=OD=r，在 RtBDO 中，B=30， OB=2r， 在 RtACB 中，B=30， AB=2AC=6， 3r=6 ，解得 r=2 （3）在 Rt ACB 中，B=30， BOD=60 B=30，OD BC， OB=2OD， AB=3OD， AB=2AC=6， OD=2，BD=2 SBOD = ODBD=2 ， 所求图形面积为 【点评】本题考查了切线的判定，含有 30角的直角三角形的性质，扇形的面积 等知识点的应用，主要考查学生的推理能力 26已知：如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边的中
45、线，AN 为ABC 的外 角CAM 的平分线， CEAN 于点 E，线段 DE 交 AC 于点 F （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？证明你的结论 【考点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质 【分析】（1）由在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边的中线，可得 ADBC，BAD=CAD，又由 AN 为ABC 的外角CAM 的平分线，可得 DAE=90，又由 CEAN，即可证得：四边形 ADCE 为矩形； （2）由四边形 ADCE 为矩形，可得 AF=CF，又由 AD 是 BC 边的中线，即可得 DF 是ABC 的中位线
46、，则可得 DFAB，DF= AB 【解答】（1）证明：在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边的中线， ADBC，BAD=CAD， ADC=90， AN 为ABC 的外角CAM 的平分线， MAN= CAN， DAE=90 ， CEAN， AEC=90 ， 四边形 ADCE 为矩形； （2）DFAB，DF= AB 理由：四边形 ADCE 为矩形， AF=CF， BD=CD， DF 是ABC 的中位线， DFAB，DF= AB 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性 质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 27（14 分）（2015连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物 线 y= x2 交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标是2 （1）求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标 （2）在 x 轴上是否存在点 C，使得ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的 坐标，若不存在，请说明理由 （3）过线段 AB 上一点 P，作 PMx 轴，交抛物线于点 M，点 M 在第一象限， 点 N（ 0，1），当点 M 的横坐标为
