1、第 1 页（共 25 页） 2015-2016 学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1如图，在ABC 中，C=90，AB=5，BC=3 ，则 sinA 的值是（ ） A B C D 2将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地 面上的影子的形状一定不是（ ） A三角形 B平行四边形 C矩形 D正方形 3抛物线 y=x22x+1 的顶点坐标是（ ） A （1，0） B （ 1，0） C （ 2，1） D （2，1） 4四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，设有下列条件：
2、AC=BD；ACBD；AC 与 BD 互相平分； 矩形 ABCD； 菱形 ABCD； 正方形 ABCD，则下列推理成立的是（ ） A B C D 5将抛物线 y=（x 1） 2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析 式为（ ） Ay= （ x2） 2 By= （x 2） 2+6 Cy=x 2+6 Dy=x 2 6某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示） 则小鱼上 的点（a，b）对应大鱼上的点（ ） A （2a， 2b） B （ a，2b） C （ 2b，2a） D （2a，b） 7抛物线 y=x2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标
3、 y 的对应值如下表： x 2 1 0 1 2 第 2 页（共 25 页） y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法正确的个数是（ ） 抛物线与 x 轴的一个交点为（ 2，0） ；抛物线与 y 轴的交点为（0，6） ；抛物线的 对称轴是 x=1；在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 A1 B2 C3 D4 8函数 y= 与 y=kx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 9方程 x（x+2）=0 的根是 10一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的 5 个白球和若干个红球，在不允许将球倒 出来数的前提下，
4、小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再 从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中不断重复上述过程小亮共摸 了 100 次，其中有 10 次摸到白球因此小亮估计口袋中的红球大约有 11如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB 和 AC 上的点，DEBC，AD=2BD，S ABC=36，则四边形 BCED 的面积为 12在“文博会” 期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长 60cm，宽 40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边若丝绸花边的面积为 650cm2，设丝绸花边的 宽度 xcm，根据题意，可列方程为 13如图，矩形 ABCD 中，E 是 A
5、D 的中点，将ABE 沿直线 BE 折叠后得到GBE，延 长 BG 交 CD 于点 F，若 AB=6，BC=4 ，则 FD 的长为 第 3 页（共 25 页） 14如图，两个反比例函数 y= 和 y= 的图象分别是 l1 和 l2设点 P 在 l1 上，PC x 轴， 垂足为 C，交 l2 于点 A，PDy 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则PAB 的面积为 三、解答题（共 1 小题，满分 4 分） 15如图，下列是一个机器零件毛坯和它的主视图，请画出这个机器零件的左视图与俯视 图 四、解答题（共 9 小题，满分 74 分） 16 （1）解方程：x 22x3=0 （2）若关于 x 的方程
6、2x25x+c=0 没有实数根，求 c 的取值范围 17小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相同的扇形）做游 戏同时转动两个转盘，如果所得颜色能配成紫色，那么小明获胜；如果所得颜色相同， 那么小亮获胜，这个游戏对双方是否公平？请说明理由 第 4 页（共 25 页） 18我市某花卉生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的温室栽培一种在自然光照且温 度为 18的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，温室 内温度 y（）随时间 x（小时）变化的函数图象，其中 DA 段所满足的表达式为 y=5x+13，BC 段是反比例函数图象的一部分，点 E 是 BC 段上一
7、点请根据图中信息解答 下列问题： （1）写出反比例函数的关系式； （2）恒温系统在这天保持温室内温度 18的时间有多少小时？ 19小华为了测量楼房 AB 的高度，他从楼底的 B 处沿着斜坡向上行走 20m，到达坡顶 D 处已知斜坡的坡角为 15小华的身高 ED 是 1.6m，他站在坡顶看楼顶 A 处的仰角为 45， 求楼房 AB 的高度 （计算结果精确到 1m） （参考数据：sin15= ，cos15= ，tan15 = ） 20某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元价格出售，由于国家出台了有关 调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米 5670 元的价格
8、销 售 （1）求平均每次下调的百分率； （2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力，请问 房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 21如图，在ABC 中，AB=AC ，D 为边 BC 上一点，DEAB，AEBC，连接 AD，EC （1）求证：ADCECD； （2）若 BD=CD，判断四边形 ADCE 的形状，并说明理由 第 5 页（共 25 页） 22某旅行社组团去外地考察学习，10 人起组团每人单价 1200 元该旅行社对超过 10 人的团给予优惠，即考察团每增加一人，每人的单价就降低 20 元由于条件限制，考察团 人数不能超过 30 人，设考察
9、团人数为 x（人） （1）求每人单价 y（元） ，与考察团人数 x（人）之间的函数表达式； （2）当考察团人数为多少人时，该旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？ 23数学问题：在 151 这 51 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和 大于 51，有多少中不同取法？ 数学模型：为找到解决上面问题的方法，先建立简单的数学模型进行研究： （1）在 15 这 5 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于 5，有 多少种不同取法？ 解决问题过程如下： 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2）
10、（2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 第 1 行有 1 种取法（1，5） 第 2 行有 2 种取法（2，4） ， （2，5） 第 3 行有 3 种取法（3，3） ， （3，4） ， （3，5） 第 4 行有 4 种取法（4，2） ， （4，3） ， （4，4） ， （4，5） 第 5 行有 5 种取法（5，1） ， （5，2） ， （5，3） ， （5，4） ， （5，5） 共有 1+2+3+4+5 种取法
11、，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（3，3） ， （4，4） ， （5，5） ，要从总数中减去这 3 中取法，并且（4，2）与（2，4） ， （4，3）与 （3，4） ， （5，1）与（1，5） ， （5，2）与（2，5） ，（5，4）与（4，5）是同一种取法， 因此共有 =6 种不同的取法 （2）在 16 这 6 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于 6，有 多少种不同的取法？ 解决问题过程如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5）
12、 （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 第 1 行有 1 种取法（1，6） 第 6 页（共 25 页） 第 2 行有 2 种取法（2，5） ， （2，6） 第 3 行有 3 种取法（3，4） ， （3，5） ， （3，6） 第 4 行有 4 种取法（4，3） ， （4，4） ， （4，5） ， （4，6） 第 5 行有
13、5 种取法（5，2） ， （5，3） ， （5，4） ， （5，5） ， （5，6） 第 6 行有 6 种取法（6，1） ， （6，2） ， （6，3） ，6，4） ， （6，5） ， （6，6） 共有 1+2+3+4+5+6 种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（4，4） ， （5，5） ， （6，6） ，要从总数中减去这 3 中取法，并且（4，3）与（3，4） ， （5，2）与 （2，5） ， （5，3）与（3，5） ， （5，4）与（4，5） ， （6，1）与（1，6） ， （6，2）与 （2，6）（6，5）与（5，6）是同一种取法，因此共有 =9 种不同的 取法 归纳
14、探究： 仿照上述研究问题的思路和解决过程，回答下列提出的问题： （1）在 17 这 7 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于 7，共 有 种不同取法 （只填结果） （2）在 18 这 8 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于 8，共 有 种不同取法 （只填结果） （3）在 1n（n 为奇数）这 n 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和 大于 n，共有 种不同取法 （只填最简算式） （4）在 1n（n 为偶数）这 n 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和 大于 n，共有 种不同取法 （只填最简算式） 类比应用：类比上述研究方
15、法或应用其结论，解决下列提出的问题： （5）各边长都是整数，最大边长为 51 的三角形有多少个？（直接列出算术，并计算结果） 24如图，在矩形 OAHC 中，OC=4，OA=6，B 为 CH 中点，连接 AB动点 M 从点 O 出 发沿 OA 边向点 A 运动；动点 N 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 运动，两个动点同时出发， 速度都是每秒 1 个单位长度，连接 CM，CN，MN，设运动时间为 t（秒） （0t5） 解 答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 A 在 MN 的垂直平分线上？ （2）求CMN 的面积 S 与 t 之间的函数表达式； （3）当 t 为何值时，CMN 的面积 S
16、 有最小值？ （4）是否存在某一时刻 t，使得 CMN 为直角三角形？若存在，求出相应的 t 值；若不存 在，请说明理由 第 7 页（共 25 页） 2015-2016 学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1如图，在ABC 中，C=90，AB=5，BC=3 ，则 sinA 的值是（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】利用正弦函数的定义即可直接求解 【解答】解：sinA= = 故选 C 2将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地 面上的影子的形状
17、一定不是（ ） A三角形 B平行四边形 C矩形 D正方形 【考点】平行投影 【分析】根据平行投影下平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可 得到正确的选项 【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行 则正方形的木板在太阳光下的影子得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段，不 可能为三角形 故选：A 3抛物线 y=x22x+1 的顶点坐标是（ ） A （1，0） B （ 1，0） C （ 2，1） D （2，1） 【考点】二次函数的性质 【分析】将原抛物线方程 y=x22x+1 转化为顶点式方程，然后根据顶点式方程找顶点坐 标 【解答】解：由原方程，得 y=（x1 ） 2
18、， 第 8 页（共 25 页） 该抛物线的顶点坐标是：（1，0） 故选 A 4四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，设有下列条件： AC=BD；ACBD；AC 与 BD 互相平分； 矩形 ABCD； 菱形 ABCD； 正方形 ABCD，则下列推理成立的是（ ） A B C D 【考点】正方形的判定；菱形的判定 【分析】由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个 角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案 【解答】解：A、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误； B、对角线垂直的菱形是正方形，正确； C、对角线相等且垂直的四
19、边形不一定是正方形，故错误； D、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误 故选 B 5将抛物线 y=（x 1） 2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析 式为（ ） Ay= （ x2） 2 By= （x 2） 2+6 Cy=x 2+6 Dy=x 2 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：将抛物线 y=（x1） 2+3 向左平移 1 个单位所得直线解析式为：y= （x1+1） 2+3，即 y=x2+3； 再向下平移 3 个单位为：y=x 2+33，即 y=x2 故选 D 6某学习小组在讨论
20、“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示） 则小鱼上 的点（a，b）对应大鱼上的点（ ） A （2a， 2b） B （ a，2b） C （ 2b，2a） D （2a，b） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 第 9 页（共 25 页） 【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点 为位似中心，相似比为 1：2 【解答】解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是 1：2， 对应点是（2a ，2b） 故选 A 7抛物线 y=x2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表： x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法
21、正确的个数是（ ） 抛物线与 x 轴的一个交点为（ 2，0） ；抛物线与 y 轴的交点为（0，6） ；抛物线的 对称轴是 x=1；在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 A1 B2 C3 D4 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】从表中知道当 x=2 时，y=0，当 x=0 时，y=6，由此可以得到抛物线与 x 轴的一个 交点坐标和抛物线与 y 轴的交点坐标，从表中还知道当 x=1 和 x=2 时，y=4，由此可以得 到抛物线的对称轴方程，同时也可以得到在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 【解答】解：从表中知道： 当 x=2 时，y=0， 当 x=0 时，y=6， 抛物线与 x 轴的一个交
22、点为（2，0） ，抛物线与 y 轴的交点为（0，6） ， 从表中还知道： 当 x=1 和 x=2 时，y=4， 抛物线的对称轴方程为 x= （1+2）=0.5， 同时也可以得到在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 所以正确 故选 C 8函数 y= 与 y=kx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） 第 10 页（共 25 页） A B C D 【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象 【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较 看是否一致 【解答】解：由解析式 y=kx2+k 可得：抛物线对称轴 x=0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可
23、得 k0，则k0，抛物线开口方向向上、抛 物线与 y 轴的交点为 y 轴的负半轴上；本图象与 k 的取值相矛盾，故 A 错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k0，则 k0，抛物线开口方向向下、抛 物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故 B 正确； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k0，则 k0，抛物线开口方向向下、抛 物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，故 C 错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛 物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值
24、相矛盾，故 D 错误 故选：B 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 9方程 x（x+2）=0 的根是 x 1=0，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】先根据方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x（x+2）=0， x=0，x+2=0， x1=0，x 2=2， 故答案为：x 1=0，x 2=2 10一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的 5 个白球和若干个红球，在不允许将球倒 出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再 从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中不断重复上述过程小亮共摸 了
25、100 次，其中有 10 次摸到白球因此小亮估计口袋中的红球大约有 45 【考点】利用频率估计概率 【分析】共摸了 100 次，其中 10 次摸到白球，则有 90 次摸到红球；摸到白球与摸到红球 的次数之比为 1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为 1：9；即可计算出红球数 第 11 页（共 25 页） 【解答】解：小亮共摸了 100 次，其中 10 次摸到白球，则有 90 次摸到红球， 白球与红球的数量之比为 1：9， 白球有 5 个， 红球有 95=45（个） ， 故答案为：45 11如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB 和 AC 上的点，DEBC，AD=2BD，S ABC=
26、36，则四边形 BCED 的面积为 16 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】先求出 ，再求出ADE 和ABC 相似，然后根据相似三角形面积的比等于相 似比的平方求出ADE 的面积，再求解即可 【解答】解：AD=2BD ， =2， = ， DEBC， ADE ABC， = ， S ABC=36， 四边形 BCED 的面积=36 =16 故答案为：16 12在“文博会” 期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长 60cm，宽 40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边若丝绸花边的面积为 650cm2，设丝绸花边的 宽度 xcm，根据题意，可列方程为 （60 2x） （40x）=604
27、0650 第 12 页（共 25 页） 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】设丝绸花边的宽度为 xcm，根据丝绸花边的面积为 650cm2，列出方程即可 【解答】解：设花边的宽度为 xcm，根据题意得： （602x ） （40 x）=60 40650 故答案为（602x） （40 x）=6040 650 13如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE 沿直线 BE 折叠后得到GBE，延 长 BG 交 CD 于点 F，若 AB=6，BC=4 ，则 FD 的长为 4 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】根据点 E 是 AD 的中点以及翻折的性质可以求出 AE=DE=EG，
28、然后利用“HL ”证 明EDF 和EGF 全等，根据全等三角形对应边相等可证得 DF=GF；设 FD=x，表示出 FC、BF，然后在 RtBCF 中，利用勾股定理列式进行计算即可 【解答】解：E 是 AD 的中点， AE=DE， ABE 沿 BE 折叠后得到 GBE， AE=EG，AB=BG， ED=EG， 在矩形 ABCD 中， A= D=90， EGF=90 ， 在 Rt EDF 和 RtEGF 中， ， RtEDFRtEGF（HL） ， DF=FG， 设 DF=x，则 BF=6+x，CF=6x， 在 Rt BCF 中， （4 ） 2+（6x） 2=（6+x） 2， 解得 x=4 故答案为
29、：4 14如图，两个反比例函数 y= 和 y= 的图象分别是 l1 和 l2设点 P 在 l1 上，PC x 轴， 垂足为 C，交 l2 于点 A，PDy 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则PAB 的面积为 第 13 页（共 25 页） 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】设 P 的坐标是（a， ） ，推出 A 的坐标和 B 的坐标，求出APB=90 ，求出 PA、PB 的值，根据三角形的面积公式求出即可 【解答】解：点 P 在 y= 上， |x p|yp|=|k|=1， 设 P 的坐标是（a， ） （a 为正数） ， PAx 轴， A 的横坐标是 a， A 在 y= 上， A
30、 的坐标是（a， ） ， PB y 轴， B 的纵坐标是 ， B 在 y= 上， 代入得： = ， 解得：x= 2a， B 的坐标是（ 2a， ） ， PA=| （ ）|= ，PB=|a （2a）|=3a， PAx 轴，PBy 轴，x 轴y 轴， PAPB， PAB 的面积是： PAPB= 3a= 故答案为： 三、解答题（共 1 小题，满分 4 分） 第 14 页（共 25 页） 15如图，下列是一个机器零件毛坯和它的主视图，请画出这个机器零件的左视图与俯视 图 【考点】作图-三视图 【分析】分别画出从几何体的左边和上面看所得到的图形即可 【解答】解：如图所示： 四、解答题（共 9 小题，满分
31、 74 分） 16 （1）解方程：x 22x3=0 （2）若关于 x 的方程 2x25x+c=0 没有实数根，求 c 的取值范围 【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法 【分析】 （1）用因式分解法解方程即可 （2）由题意0，解不等式即可 【解答】解：（1）x 22x3=0， （x3 ） （x+1 ）=0 ， x3=0 或 x+1=0， x 1=2，x 2=1 （2）方程 2x25x+c=0 没有实数根， 0， 258c0， 第 15 页（共 25 页） c 17小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相同的扇形）做游 戏同时转动两个转盘，如果所得颜色能配成紫色，那么小明
32、获胜；如果所得颜色相同， 那么小亮获胜，这个游戏对双方是否公平？请说明理由 【考点】游戏公平性 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得小明获胜与小亮获胜的概率，比较 概率大小，即可知是否公平 【解答】解：公平 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，所得颜色能配成紫色的有 2 种情况，所得颜色相同的有 2 种情 况， P（小明获胜）=P（小亮获胜）= ， 这个游戏对双方是公平的 18我市某花卉生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的温室栽培一种在自然光照且温 度为 18的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，温室 内温度 y（）随时间 x（小时）变化的函数图象
33、，其中 DA 段所满足的表达式为 y=5x+13，BC 段是反比例函数图象的一部分，点 E 是 BC 段上一点请根据图中信息解答 下列问题： （1）写出反比例函数的关系式； （2）恒温系统在这天保持温室内温度 18的时间有多少小时？ 【考点】反比例函数的应用 第 16 页（共 25 页） 【分析】 （1）将点 E 的坐标代入反比例函数的一般形式后即可确定其解析式； （2）将 y=18 代入求得的反比例函数的解析式后根据图象直接得出大棚温度 18的时间； 【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为 y= ， E（15，12） ， k=1512=180， 反比例函数的解析式为 y= ； （2）当 y
34、=18 时，y=5x +13=18， 解得：x=1； 当 y= =18 时，x=10 ， 所以恒温系统在这天保持大棚温度 18的时间为 101=9 小时 19小华为了测量楼房 AB 的高度，他从楼底的 B 处沿着斜坡向上行走 20m，到达坡顶 D 处已知斜坡的坡角为 15小华的身高 ED 是 1.6m，他站在坡顶看楼顶 A 处的仰角为 45， 求楼房 AB 的高度 （计算结果精确到 1m） （参考数据：sin15= ，cos15= ，tan15 = ） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用- 坡度坡角问题 【分析】作 DHAB 于 H，根据余弦的定义求出 BC，根据正弦
35、的定义求出 CD，结合题意 计算即可 【解答】解：作 DHAB 于 H， DBC=15，BD=20 ， BC=BDcosDBC=20 =19.2，CD=BD sinDBC=20 =5， 由题意得，四边形 ECBF 和四边形 CDHB 是矩形， EF=BC=19.2 ，BH=CD=5 ， AEF=45 ， AF=EF=19.2， AB=AF+FH+ HB=19.2+1.6+5=25.826m， 答：楼房 AB 的高度约为 26m 第 17 页（共 25 页） 20某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元价格出售，由于国家出台了有关 调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决
36、定以每平方米 5670 元的价格销 售 （1）求平均每次下调的百分率； （2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力，请问 房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】 （1）设出平均每次下调的百分率为 x，利用原每平方米销售价格（1每次下调的 百分率） 2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可； （2）求出先下调 5%，再下调 15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求 解 【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率是 x，根据题意列方程得， 7000（1x） 2=5670， 解得：x 1=10%，x
37、 2=190%（不合题意，舍去） ； 答：平均每次下调的百分率为 10% （2） （15%）（115%） =95%85% =80.75%， （1x） 2=（110%） 2=81% 80.75%81%， 房产销售经理的方案对购房者更优惠 21如图，在ABC 中，AB=AC ，D 为边 BC 上一点，DEAB，AEBC，连接 AD，EC （1）求证：ADCECD； （2）若 BD=CD，判断四边形 ADCE 的形状，并说明理由 第 18 页（共 25 页） 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】 （1）利用 SAS 证得ACDECD； （2）当点 D 是 BC 中点时，四边形 ADCE 是矩形；
38、首先证得四边形 ADCE 是平行四边形， 然后证得 ADBC 即可利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形 【解答】证明：（1）ABDE，AE BC， 四边形 ABDE 是平行四边形， AB=DE， AB=AC， AC=DE， ABDE， B=EDC， AB=AC， B=ACD， EDC=ACD， 在ACD 与ECD 中， ， ACDECD（SAS） ， AD=EC； （2）当 BD=CD 时，四边形 ADCE 是矩形 理由如下：AB=AC，点 D 是 BC 中点， BD=DC，ADBC， 由平移性质可知 四边形 ABDE 是平行四边形， AE=BD，AEBD， AE=DC，AEDC， 四
39、边形 ADCE 是平行四边形， ADBC， 四边形 ADCE 是矩形 22某旅行社组团去外地考察学习，10 人起组团每人单价 1200 元该旅行社对超过 10 人的团给予优惠，即考察团每增加一人，每人的单价就降低 20 元由于条件限制，考察团 人数不能超过 30 人，设考察团人数为 x（人） （1）求每人单价 y（元） ，与考察团人数 x（人）之间的函数表达式； （2）当考察团人数为多少人时，该旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）当 0x10 时，每人单价为 1200 元；当 10x30 时，根据每人单价=原 定每人单价因人数增减而减少的价格，
40、可列函数关系； 第 19 页（共 25 页） （2）根据营业额=每人单价人数，分别列出 0x10、10x30 的函数关系式，求出 相应范围内的最值，比较可得 【解答】解：（1）当 0x10 时，y=1200； 当 10x30 时，y=1200 20（x10）= 20x+1400； 故 y 与 x 间的函数关系式为：y= （2）设旅行社可以获的营业额为 W 元， 当 0x10 时，W=1200x； W 随 x 的增大而增大， 当 x=10 时，W 取得最大值，最大值为 12000 元； 当 10x30 时，W=（20x +1400）x= 20x2+1400x=20（x 35） 2+24500，
41、x35 时，W 随 x 的增大而增大， 当 x=30 时，W 取得最大值，最大值为 W=20（30 35） 2+24500=24000 元， 综上，当 x=30 时，W 取得最大值 24000 元 答：当考察团人数为 30 人时，该旅行社可以获得最大营业额，最大营业额是 24000 元 23数学问题：在 151 这 51 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和 大于 51，有多少中不同取法？ 数学模型：为找到解决上面问题的方法，先建立简单的数学模型进行研究： （1）在 15 这 5 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于 5，有 多少种不同取法？ 解决问题过程如
42、下： 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 第 1 行有 1 种取法（1，5） 第 2 行有 2 种取法（2，4） ， （2，5） 第 3 行有 3 种取法（3，3） ， （3，4） ， （3，5） 第 4 行有 4 种取法（4，2） ， （4，3） ， （4，4） ， （4，5） 第 5 行有
43、5 种取法（5，1） ， （5，2） ， （5，3） ， （5，4） ， （5，5） 共有 1+2+3+4+5 种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（3，3） ， （4，4） ， （5，5） ，要从总数中减去这 3 中取法，并且（4，2）与（2，4） ， （4，3）与 （3，4） ， （5，1）与（1，5） ， （5，2）与（2，5） ，（5，4）与（4，5）是同一种取法， 因此共有 =6 种不同的取法 第 20 页（共 25 页） （2）在 16 这 6 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于 6，有 多少种不同的取法？ 解决问题过程如下： 1 2 3 4
44、 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 第 1 行有 1 种取法（1，6） 第 2 行有 2 种取法（2，5） ， （2，6） 第 3 行有 3 种取法（3，4） ， （3，
45、5） ， （3，6） 第 4 行有 4 种取法（4，3） ， （4，4） ， （4，5） ， （4，6） 第 5 行有 5 种取法（5，2） ， （5，3） ， （5，4） ， （5，5） ， （5，6） 第 6 行有 6 种取法（6，1） ， （6，2） ， （6，3） ，6，4） ， （6，5） ， （6，6） 共有 1+2+3+4+5+6 种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（4，4） ， （5，5） ， （6，6） ，要从总数中减去这 3 中取法，并且（4，3）与（3，4） ， （5，2）与 （2，5） ， （5，3）与（3，5） ， （5，4）与（4，5） ， （6
46、，1）与（1，6） ， （6，2）与 （2，6）（6，5）与（5，6）是同一种取法，因此共有 =9 种不同的 取法 归纳探究： 仿照上述研究问题的思路和解决过程，回答下列提出的问题： （1）在 17 这 7 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于 7，共 有 12 种不同取法 （只填结果） （2）在 18 这 8 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于 8，共 有 16 种不同取法 （只填结果） （3）在 1n（n 为奇数）这 n 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和 大于 n，共有 种不同取法 （只填最简算式） （4）在 1n（n 为偶数）
47、这 n 个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和 大于 n，共有 种不同取法 （只填最简算式） 类比应用：类比上述研究方法或应用其结论，解决下列提出的问题： （5）各边长都是整数，最大边长为 51 的三角形有多少个？（直接列出算术，并计算结果） 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）根据 15 这 5 个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式计算可得； （2）根据 16 这 6 个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式计算可得； 第 21 页（共 25 页） （3）n 为奇数时可类比在 15 这 5 个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式化简 可得； （4）n 为偶数时可类比在 16 这 6 个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式化简 可得； （5）根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则各边长都是 整数，最大边长为 51 的三角形的个数
