1、第 1 页（共 24 页） 2015-2016 学年湖北省黄山市大冶市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：每题分，共 30 分 1观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2若关于 x 的一元二次方程 x2（b 2）x+b 3=0 有两个相等的实数根，则 b 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 3抛物线 y= （x3） 25 的对称轴是直线（ ） Ax= 3 Bx=3 Cx=5 Dx= 5 4如图，点 A、B、P 为上的点，若APB=40，则 AOB 等于（ ） A20 B40 C80 D100 5在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外
2、其他都相同，小红通 过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有（ ） A15 个 B20 个 C30 个 D35 个 6下列函数中，图象经过点（ ，4）的反比例函数是（ ） Ay= By= Cy= Dy= 7已知 x=3 是一元二次方程 2x2+mx+15=0 的一个解，则方程的另一个解是（ ） A B C5 D 第 2 页（共 24 页） 8在二次函数 y=x2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx 1 Dx1 9小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口都安装有红灯、绿灯，假如每 个路口
3、红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ） A B C D 10已知 a、h、k 为三数，且二次函数 y=a（x h） 2+k 在坐标平面上的图形通过（0，5） 、 （10，8）两点若 a0，0h10，则 h 之值可能为下列何者？（ ） A1 B3 C5 D7 二、填空题：每小题 3 分，共 24 分 11已知点 M（3， 4）与点 N 关于原点 O 对称，点 N 的坐标为 12在半径为 12 的O 中，60圆心角所对的弧长是 13已知O 的半径为 5cm，弦 CD=6cm，则圆心 O 到弦 CD 的距离是 cm 14某市为响应国家“厉行节约，反对浪费”号召，
4、减少了对办公经费的投入2014 年投入 3000 万元预计 2016 年投入 2430 万元，则该市办公经费的年平均下降率为 15二次函数 y=x24x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，ABC 的面积为 16在同一平面上O 外一点 P 到O 的距离最长为 7cm，最短为 2cm，则O 的半径为 cm 17如图，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 y= 上，且 ABx 轴，C、D 在 x 轴上， 若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 第 3 页（共 24 页） 18如图，等腰直角三角形 ABC 顶点 A 在 x 轴上，BCA=90，AC=BC=2 ，反比例函 数
5、 y= （x0）的图象分别与 AB，BC 交于点 D，E 连结 DE，当BDEBCA 时，点 E 的坐标为 三、解答题：共 66 分 19解方程： （1）x 2+6x16=0 （2）x 2+1=2 x 20如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m）现在已备足可以砌 50m 的墙的材料，使矩形花园的面 积为 300m2，试求 BC 的长 21如图，O 是ABC 的外接圆，BC 是 O 的直径，作CAD= B，且点 D 在 BC 延长 线上 （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 AB=3， B=30，求 D 的长 第 4
6、页（共 24 页） 22在一个口袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”“丽” 、 “黄”、 “石”的文字 （1）先从袋摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球，求两次摸出的球上是写有“美 丽”二字的概率； （2）先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球求两次摸出的球上写有“黄石” 二字的 概率 23已知抛物线 C1：y=x 2+bx+c 经过点 A（1，3） ，B（3，3） （1）求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标； （2）若抛物线 C2：y=ax 2（a0）与线段 AB 恰有一个公共点，求 a 的取值范围 24九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x
7、（1x90）天的售价与 销量的相关信息如下表： 时间 x（天） 1x50 50x90 售价（元/件） x+40 90 每天销量（件） 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果 25已知ACD=90，MN 是过 A 点的直线，AC=DC，DBMN 于点 B，连接 BC （1）如图 1，将BCD 绕点 C 逆时针方向旋转 90得到ECA 求证：点 E 在直线 MN 上； 猜
8、想线段 AB、BD、CB 满足怎样的数量关系，并证明你的猜想 （2）当 MN 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时，猜想线段 AB、BD、CB 又满足怎样的数列关 系，并证明你的猜想 第 5 页（共 24 页） 26如图，在直角坐标系中矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合点 A、C 分别在坐标轴 上，反比例函数 y= （k0）的图象与 AB、BC 分别交于点 E、F （E、F 不与 B 点重合） ， 连接 OE，OF （1）若 B 点的坐标为（4，2 ） ，且 E 为 AB 的中点 求四边形 BEOF 的面积 求证：F 为 BC 的中点 （2）猜想 与 的大小关系，并证明你的猜想 第 6
9、页（共 24 页） 2015-2016 学年湖北省黄山市大冶市九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每题分，共 30 分 1观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误 故选 C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分沿对称轴
10、折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原 图重合 2若关于 x 的一元二次方程 x2（b 2）x+b 3=0 有两个相等的实数根，则 b 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】根的判别式 【分析】根据题意知道=0，即（ b2） 24（b3）=0，然后化简解得这个一元二次方程的根 就可得出答案 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2（b2）x+b 3=0 有两个相等的实数根， =（b 2） 24（b 3）=b 28b+16=（b 4） 2=0， b=4 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0
11、， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 3抛物线 y= （x3） 25 的对称轴是直线（ ） 第 7 页（共 24 页） Ax= 3 Bx=3 Cx=5 Dx= 5 【考点】二次函数的性质 【分析】本题函数式是抛物线的顶点式，可直接求顶点坐标及对称轴 【解答】解：抛物线 y= （x3） 25 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，抛物线对称轴是 x=3 故选 B 【点评】考查顶点式 y=a（xh） 2+k，顶点坐标是（h，k ） ，对称轴是 x=h，要掌握顶点式 的性质 4如图，点 A、B、P 为上的点，若APB=40，则 AOB 等于（ ）
12、 A20 B40 C80 D100 【考点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可求出 AOB 的度数 【解答】解：点 A、B 、P 是 O 上的三点，APB=40， AOB=2APB=240=80 故选：C 【点评】本题主要考查了圆周角定理；熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是 所对的圆心角的一半是解决问题的关键 5在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通 过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有（ ） A15 个 B20 个 C30 个 D35 个 【考点】利用频
13、率估计概率 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可 以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解 【解答】解：设袋中有黄球 x 个，由题意得 =0.3， 解得 x=15，则白球可能有 5015=35 个 故选 D 【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是利用黄球的概率 公式列方程求解得到黄球的个数 第 8 页（共 24 页） 6下列函数中，图象经过点（ ，4）的反比例函数是（ ） Ay= By= Cy= Dy= 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】将（ ，4）代入 y= 即可求出 k 的值，则反比例函数的解析式即可求出 【解答
14、】解：比例系数为：4 =2，反比例函数解析式是 y= 故选 D 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵 坐标的积应等于比例系数 7已知 x=3 是一元二次方程 2x2+mx+15=0 的一个解，则方程的另一个解是（ ） A B C5 D 【考点】根与系数的关系 【分析】设方程另一根为 t，根据根与系数的关系得到 3t= ，然后解一次方程即可 【解答】解：设方程另一根为 t， 根据题意得 3t= ， 解得 t= 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程的两根 为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x
15、1x2= 8在二次函数 y=x2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx 1 Dx1 【考点】二次函数的性质 【专题】压轴题 【分析】抛物线 y=x2+2x+1 中的对称轴是直线 x=1，开口向下，x1 时，y 随 x 的增大而 增大 【解答】解：a= 10， 二次函数图象开口向下， 又对称轴是直线 x=1， 第 9 页（共 24 页） 当 x 1 时，函数图象在对称轴的左边，y 随 x 的增大增大 故选 A 【点评】本题考查了二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的性质：当 a0，抛物线开口向下，对 称轴为直线 x= ，在对称轴左边
16、，y 随 x 的增大而增大 9小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口都安装有红灯、绿灯，假如每 个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法 【分析】列举出所有情况，看遇到两次红灯的情况占总情况的多少即可 【解答】解：画树状图得： 由树状图可知共有 8 种情况，遇到两次红灯的有 3 种情况，所以遇到两次红灯的概率是 ， 故选 B 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以 上完成的事件；注意
17、概率=所求情况数与总情况数之比 10已知 a、h、k 为三数，且二次函数 y=a（x h） 2+k 在坐标平面上的图形通过（0，5） 、 （10，8）两点若 a0，0h10，则 h 之值可能为下列何者？（ ） A1 B3 C5 D7 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】数形结合 【分析】先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线 x=h，由于抛 物线过（0，5） 、 （10，8）两点若 a0，0h10，则点（0，5）到对称轴的距离大于 点（10，8）到对称轴的距离，所以 h010 h，然后解不等式后进行判断 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x=h， 而（0，5） 、 （
18、10，8）两点在抛物线上， h010 h，解得 h5 故选 D 第 10 页（共 24 页） 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向 下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定 抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（0，c） ；抛物线与 x 轴交点个数由决定， =b24ac0 时，抛物线
19、与 x 轴有 2 个交点； =b24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题：每小题 3 分，共 24 分 11已知点 M（3， 4）与点 N 关于原点 O 对称，点 N 的坐标为 （3，4） 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进而得出答 案 【解答】解：3 的相反数是3，4 的相反数是 4， 点 M（3，4）关于原点的对称点的坐标为 （3，4） ， 故答案为：（3，4） 【点评】此题主要考查了两点关于原点对称的坐标的特点：两点关于原点对称，两点的横 坐标互为相反数，
20、纵坐标互为相反数，用到的知识点为：a 的相反数为a 12在半径为 12 的O 中，60圆心角所对的弧长是 4 【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长公式列式计算即可 【解答】解：在半径为 12 的O 中，60圆心角所对的弧长是： =4， 故答案为 4 【点评】本题主要考查了弧长公式：l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R） 注意：在弧长的计算公式中，n 是表示 1的圆心角的倍数， n 和 180 都不要带单 位 若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长 第 11 页（共 24 页） 13已知O 的半径为 5cm，弦 CD=6cm，则圆心 O 到弦 CD 的距离是 4 cm
21、 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】根据题意画出图形，过点 O 作 OECD 于点 E，连接 OC，先根据垂径定理求出 CE 的长，再由勾股定理求出 OE 的长即可 【解答】解：如图所示，过点 O 作 OECD 于点 E，连接 OC， 弦 CD=6cm， OC=5cm， CE= CD=3cm， OE= = =4cm 故答案为：4 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的 关键 14某市为响应国家“厉行节约，反对浪费”号召，减少了对办公经费的投入2014 年投入 3000 万元预计 2016 年投入 2430 万元，则该市办公经费的年平均下降率为 10%
22、【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】等量关系为：2014 年的投入资金（1 增长率） 2=2016 年的投入资金，把相关数 值代入计算求得合适解即可 【解答】解：设该市办公经费的年平均下降率为 x，依题意有 3000（1x） 2=2430， 解得（1x） 2=0.81， 1x0 ， 1x=0.9， x=10% 答：该市办公经费的年平均下降率为 10% 故答案为：10% 【点评】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 a，变化 后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b 15二次函数 y=x24x+3 的图象交 x
23、 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，ABC 的面积为 3 第 12 页（共 24 页） 【考点】二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】由二次函数 y=x24x+3 求出 A、B 两点的 x 轴坐标，再求出 C 点的 y 轴坐标，根 据面积公式就解决了 【解答】解：由表达式 y=x24x+3=（x 1）（x3） ， 则与 x 轴坐标为：A（1，0） ，B（3，0） ， 令 x=0，得 y=3，即 C（0，3） ABC 的面积为： 【点评】此题考查二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标后问题就解决了 16在同一平面上O 外一点 P 到O 的距离最长为 7cm，最短为 2cm，
24、则O 的半径为 2.5 cm 【考点】点与圆的位置关系 【分析】画出图形，根据图形和题意得出 PA 的长是 P 到O 的最长距离，PB 的长是 P 到 O 的最短距离，求出圆的直径，即可求出圆的半径 【解答】解：如图，PA 的长是 P 到O 的最长距离，PB 的长是 P 到O 的最短距离， 圆外一点 P 到O 的最长距离为 7cm，最短距离为 2cm， 圆的直径是 72=5（cm） ， 圆的半径是 2.5cm 故答案为：2.5 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，注意：作直线 PO（O 为圆心） ，交O 于 A、B 两点，则得出 P 到 O 的最长距离是 PA 长，最短距离是 PB 的长 17
25、如图，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 y= 上，且 ABx 轴，C、D 在 x 轴上， 若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 2 第 13 页（共 24 页） 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【专题】压轴题 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的 矩形的面积 S 的关系 S=|k|即可判断 【解答】解：过 A 点作 AEy 轴，垂足为 E， 点 A 在双曲线 上， 四边形 AEOD 的面积为 1， 点 B 在双曲线 y= 上，且 ABx 轴， 四边形 BEOC 的面积为 3， 四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 31=2 故答案为
26、：2 【点评】本题主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想， 做此类题一定要正确理解 k 的几何意义 18如图，等腰直角三角形 ABC 顶点 A 在 x 轴上，BCA=90，AC=BC=2 ，反比例函 数 y= （x0）的图象分别与 AB，BC 交于点 D，E 连结 DE，当BDEBCA 时，点 E 的坐标为 （ ， ） 第 14 页（共 24 页） 【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】首先设点 D 的坐标是（ m， ） ，点 E 的坐标是（n
27、， ） ，应用待定系数法求出直 线 AB 的解析式是多少；然后根据BDE BCA，可得BDE=BCA=90 ，推得直线 y=x 与直线 DE 垂直，再根据点 D、E 关于直线 y=x 对称，推得 mn=3；最后根据点 D 在直线 AB 上，求出点 n 的值是多少，即可判断出点 E 的坐标是多少 【解答】解：如图 1， 点 D、 E 是反比例函数 y= （x0）的图象上的点， 设点 D 的坐标是（ m， ） ，点 E 的坐标是（n， ） ， 又BCA=90，AC=BC=2 ， C（n，0） ，B（n，2 ） ，A（n2 ，0） ， 设直线 AB 的解析式是：y=ax+b， 则 解得 直线 AB
28、的解析式是： y=x+2 n 又BDEBCA ， BDE=BCA=90， 直线 y=x 与直线 DE 垂直， 点 D、 E 关于直线 y=x 对称， 第 15 页（共 24 页） = ， mn=3，或 m+n=0（舍去） ， 又 点 D 在直线 AB 上， =m+2 n，mn=3， 整理，可得 2n22 n3=0， 解得 n= 或 n= （舍去） ， 点 E 的坐标是（ ， ） 故答案为：（ ， ） 【点评】 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的 关键是要明确：三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法： 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两
29、个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的 两个三角形相似 （2）此题还考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k；双曲线是关于原点 对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 三、解答题：共 66 分 19解方程： （1）x 2+6x16=0 （2）x 2+1=2 x 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -配方法 【分析】 （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移
30、项后求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可 【解答】解：（1）x 2+6x16=0， （x2） （ x+8）=0 x2=0， x+8=0， x1=2，x 2=8； 第 16 页（共 24 页） （2）x 2+1=2 x， x22 x+1=0 b24ac=（ 2 ） 2411=16， x= ， x1= +2，x 2= 2 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题 的关键 20如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m）现在已备足可以砌 50m 的墙的材料，使矩形花园的面 积为 300m2
31、，试求 BC 的长 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】根据可以砌 50m 长的墙的材料，即总长度是 50 米，AB=x 米，则 BC=（502x） 米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可 【解答】解：设 BC 的长为 xm，根据题意，得 （50x ）x=300， 解方程，得 x=20，x=30 （不合题意，舍去） 所以，BC 的长为 20m 答：BC 的长为 20m 【点评】本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出 的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙 MN 最长可利用 25m，舍掉不符合题意的数 据 21如图，O 是ABC
32、的外接圆，BC 是 O 的直径，作CAD= B，且点 D 在 BC 延长 线上 （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 AB=3， B=30，求 D 的长 第 17 页（共 24 页） 【考点】切线的判定 【专题】证明题 【分析】 （1）连接 OA，如图，由 0A=OB 得到2= B，根据圆周角定理，由 BC 是O 的 直径得到1+2=90，加上CAD=B，则2= CAD，所以 CAD+1=90，然后根据切线 的判定定理可得到 AD 是O 的切线； （2）在 RtABC 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AC= AB= ，然后证明 ACD 为等腰三角形即可得到 CD 的长 【解
33、答】 （1）证明：连接 OA，如图， 0A=OB， 2=B， BC 是 O 的直径， BAC=90，即 1+2=90， CAD=B， 2=CAD， CAD+1=90， OAAD， AD 是 O 的切线； （2）解：在 RtABC 中，B=30， AC= AB= 3= ， ACB=90B=60， CAD=B=30， D=30， CD=CA= 【点评】本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半 径） ，再证垂直即可也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系 22在一个口袋中装有四个完全相同的小
34、球，它们分别写有“美”“丽” 、 “黄”、 “石”的文字 （1）先从袋摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球，求两次摸出的球上是写有“美 丽”二字的概率； 第 18 页（共 24 页） （2）先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球求两次摸出的球上写有“黄石” 二字的 概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美 丽”二字的结果数，然后根据概率公式求解； （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上写有“黄石” 二字的 结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： 用 1、2、3
35、、4 别表示美、丽、黄、石， （1）画树形图如下， 由树形图可知，所有等可能的情况有 16 种，其中“1，2”出现的情况有 2 种， P（美丽）= = ； （2）画树状图如下， 由树状图可知，所有等可能的情况有 12 种，其中出现“3 ，4” 的情况有 2 种， P（黄石）= = 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有 可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时 要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比 23已知抛物线 C1：y=x 2+bx+c 经过点 A（1，3） ，B（3，
36、3） （1）求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标； （2）若抛物线 C2：y=ax 2（a0）与线段 AB 恰有一个公共点，求 a 的取值范围 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【专题】计算题 【分析】 （1）直接把 A、B 两点坐标代入 y=x2+bx+c 得到关于 b、c 的方程组，然后解方程 组求出 b、c 即可得到抛物线 C1 的解析式，再把解析式配成顶点式可的抛物线的顶点坐标； （2）由于 ABx 轴，把 A、 B 两点坐标代入 y=ax2 可计算出对应的 a 的值，然后根据抛物 线 C2：y=ax 2（a 0）与线段 AB 恰有一个公共点可确定 a 的范围 【解答】
37、解：（1）将 A（1，3） 、B（3，3）代入 y=x+bx+c 得 ，解得 b=2，c=0， 第 19 页（共 24 页） 所以抛物线 C1 的解析式为 y=x22x； y=x22x=（x1） 21 抛物线 C1 的顶点坐标为（1， 1） ； （2）当抛物线 C2 恰好经过 A 点时，将 A（ 1，3）代入 y=ax2 得 a=3， 当抛物线 C2 恰好过经过 B 点，将 B（3，3）代入 y=ax2 得 9a=3，解得 a= ， 所以 a 的取值范围为 a3 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系 式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式
38、，从而代入数值求解一般地， 当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知 抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交 点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了二次函数的性质 24九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（1x90）天的售价与 销量的相关信息如下表： 时间 x（天） 1x50 50x90 售价（元/件） x+40 90 每天销量（件） 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天
39、销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果 【考点】二次函数的应用 【专题】销售问题 【分析】 （1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案； （2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案； （3）根据二次函数值大于或等于 4800，一次函数值大于或等于 48000，可得不等式，根据 解不等式组，可得答案 【解答】解：（1）当 1x50 时，y=（x+4030）=2x 2+180x+2000， 当 50x90 时， y=（90 30）=120x+12000， 综上所述：y= ； （2）当 1x 5
40、0 时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为 x=45， 第 20 页（共 24 页） 当 x=45 时，y 最大 =2452+18045+2000=6050， 当 50x90 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x=50 时，y 最大 =6000， 综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元； （3）当 1x 50 时，y= 2x2+180x+20004800，解得 20x70， 因此利润不低于 4800 元的天数是 20x50，共 30 天； 当 50x90 时，y= 120x+120004800，解得 x60， 因此利润不低于 4800 元的天数是 50x6
41、0，共 11 天， 所以该商品在销售过程中，共 41 天每天销售利润不低于 4800 元 【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性 质求最值 25已知ACD=90，MN 是过 A 点的直线，AC=DC，DBMN 于点 B，连接 BC （1）如图 1，将BCD 绕点 C 逆时针方向旋转 90得到ECA 求证：点 E 在直线 MN 上； 猜想线段 AB、BD、CB 满足怎样的数量关系，并证明你的猜想 （2）当 MN 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时，猜想线段 AB、BD、CB 又满足怎样的数列关 系，并证明你的猜想 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质
42、；等腰直角三角形 【分析】 （1）由四边形内角和定理得出CAB+CDB=180 ，由旋转的性质得出 ECABCD，得出EAC= BDC，因此CAB+ EAC=180，即可得出结论； 证出ECB 为等腰直角三角形，由勾股定理得出 BE= BC，再由 BE=AE+AB，AE=BD，即可得出结论； （2）过点 C 作 CECB 与 MN 交于点 E，则ECB=90 ， ACE=DCB，证出 CAE=CDB，由 ASA 证明 ACEDCB，得出 AE=DB，EC=BC，证出ECB 为等腰直 角三角形，由勾股定理得出 EB= BC，即可得出结论 【解答】 （1）证明：DB MN， ABD=90，在四边形
43、 ACDB 中， ACD=90， ACD+ABD=180， CAB+CDB=180， 第 21 页（共 24 页） 由旋转的性质得：ECABCD ， EAC=BDC， CAB+EAC=180， 点 E 在直线 MN 上； 解：AB+BD= BC，理由如下： ACD=90， ACB+BCD=90， 由知ECA=BCD ，EC=BC， ECB=ECA+ACB=90， ECB 为等腰直角三角形， BE= BC， BE=AE+AB， 由知 AE=BD， AB+BD= BC； （2）解：ABBD= BC，理由如下： 过点 C 作 CECB 与 MN 交于点 E，如图 2 所示： 则ECB=90 ， AC
44、D=90， ACE=DCB， DBAB， CAE=CDB， 在ACE 和DCB 中， ， ACEDCB（ASA） ， AE=DB，EC=BC， EB=ABAE=ABDB，ECB 为等腰直角三角形， EB= BC， ABBD= BC 【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性 质、四边形内角和定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中， 需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果 第 22 页（共 24 页） 26如图，在直角坐标系中矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合点 A、C 分别在坐标轴 上，反比例函数 y= （k0）的图象与
45、AB、BC 分别交于点 E、F （E、F 不与 B 点重合） ， 连接 OE，OF （1）若 B 点的坐标为（4，2 ） ，且 E 为 AB 的中点 求四边形 BEOF 的面积 求证：F 为 BC 的中点 （2）猜想 与 的大小关系，并证明你的猜想 【考点】反比例函数综合题 【专题】综合题；反比例函数及其应用 【分析】 （1）由 B 的坐标得到 AB 与 BC 的长，进而求出矩形 OCBA 的面积，由 B 坐 标，根据 E 为 AB 中点，求出 E 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值，利用反比例函数 k 的几何意义求出三角形 AEO 与三角形 OCF 的面积，由矩形 ABCO 面积三角形 A
46、OE 面积 三角形 OCF 面积 =四边形 BEOF 面积，求出即可；连接 OB，由矩形面积求出三角形 OBC 面积，由三角形 OCF 面积得到三角形 OBC 面积为三角形 OCF 面积的 2 倍，而两三 角形高相同，故底 BC=2CF，即 F 为中点，得知； （2） = ，理由为：设 B 点坐标为（a，b） （a 0，b0） ，表示出 A，C，E，F 坐标， 进而表示出 AE，BE，CF，BF，分别求出 与 的值，验证即可 【解答】解：（1）B 点的坐标为（ 4，2） ， S 矩形 OCBA=42=8， E 为 AB 的中点， E 点的坐标为（2，2） ， 点 E、F 在双曲线上， k=4， SAEO=SFCO= k=2， S 四边形 BE0F=S 矩形 ABCOSAEOSOFC=822=4； 连接 OB， 第 23 页（共 24 页） 易知 SOBC= S 矩形 ABCO=4， SOFC=2， SOBC=2SOFC， SOCF= SOBC， BC=2FC， F 为 BC 的中点； （2） = ，理由为： 设 B 点坐标为（a ，b） （a0，b0） ， 则点 A（0，b） ，C（a
