1、 肇庆市中小学教学质量评估 20162017 学年第一学期统一检测题 高二数学（理科） 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生 务必用黑色字迹的 钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位 号填写在答题卷上对应位置，再用 2B 铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑 2. 选择题每小 题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂 其它答案，答案不能写在 试卷或草稿纸上 3. 非选择题 必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应 的位置上；如
2、需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液不按以上要求作答的答案无效 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. （1）命题“ ， ”的否定是0xln （A） ， （B） ，0xln （C） ， （D） ，l （2）过点 且与直线 垂直的直线是(,1)30xy （A） （B） （C） （D）0xy130xy10xy （3）双曲线 的离心率是 2169 （A） （B） （C） （D）5453742516 （4）图 1 是一个组合体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的体积是 (A
3、) （B ） 38193 （C） （D） 1 （5） “ ”是“ ”的0x20x2 2俯视图 图 1 1 3正视图 侧视图 1 1 2 1 11 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）直线 与圆 相交于 A、B 两点，且 ，则实数430xya22(1)()9xy42 的值是a （A） 或 （B） 或55a1 （C） 或 （D ） 或 1a （7）如图 2，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB，CD 在原正方体中的位置关系是 （A）平行 （B）相交成 60 （C）相交且垂直 （D）异面直线 （8）已知椭圆 过点 ，则此椭圆上任意一点 到两焦
4、点的距离的和是 214xym(0,4) （A）4 （B）8 （C） 12 （D）16来源:Z,xx,k.Com （9）一个几何体的三视图如图 3 所示（单位：cm） ， 则该几何体的表面积是 （A）4 （B） 2cm42cm （C） （D）243 （10）已知过点 的直线 与圆 有两个交点时,其斜率 的取值范围是(2,0)l20xyk （A） （B）2 （C） （D）,41,8 （11） 是空间两条不同直线， 是两个不同平面有以下四个命题：,mn, 若 , 且 ，则 ； 若 , 且 ，则 ；AAmnnmn 若 , 且 ，则 ； 若 , 且 ，则 .AA 其中真命题的序号是 （A） （B） （C
5、） （D） （12）已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点,已知点 ，则(1)ykx2:35xyB7(,0)3M A B D C 图 2 正视图 侧视图 俯视图 图 3 2 1 M 图 5 的值是MAB （A） （B） （C） （D）94944949 二 、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. （13）已知直线 ，若 ，则 的值等于 .12:30,:30lxylxmy12lAm （14）如图 4，在圆 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在26 圆上运动时，则线段 PD 的中点 M 的轨迹方程为 . （15）某四面体的三视图如图 5
6、所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于 . （16）有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为 ，已知球的半径 ，则43R 此圆锥的体积为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. （17） （本小题满分 11 分） 已知斜率 且过点 的直线 与直线 相交于点 M.12k(7,)A1l2:30lxy （）求以点 M 为圆心且过点 的圆的标准方程 C；4,)B （）求过点 且与圆 C 相切的直线方程.(4,)N （18） （本小题满分 11 分） 如图 6，已知正方体 ，1ABD,EFGH 分别是 、 、 、 的中点.1A
7、DC （）求证： 四点共面；,EFGH y x 俯视图图 4 正视图 侧视图 （）求证： .1GHBD （19） （本小题满分 12 分） 已知 分别是双曲线 的左右焦点，点 P 是双曲线上任一点，且12,F2:1(0)9xyCa ，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为 L.12|P （）求双曲线 C 的渐近线方程和抛物线 L 的标准方程； （）过抛物线 L 的准线与 x 轴的交点作直线，交抛物线于 M、N 两点，问直线的斜率等于 多少时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线 L 的焦点? （20） （本小题满分 12 分） 如图 7，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是等腰直角三角形，PA
8、BCDPABCDAP 是直角， ， .APD,12,5 （）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （）求平面 PCD 与平面 PAB 所成二面角的平面角的余弦值. （21） （本小题满分 12 分） 如图 8，直角梯形 中， ， 且 的面积等于ABCD90BADBCA 面积的 梯形 所在平面外有一点 ，满足 平面 ， ADC12PDPB （）求证：平面 平面 ；P （）侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ?E/ 若存在，指出点 的位置并证明；若不存在，请说明理由； E （22） （本小题 满分 12 分） 已知椭圆 G 的中心在平面直角坐标系的原点，离心率 ，右焦点与圆 C：12e 的
9、圆心重合.230xy （）求椭圆 G 的方程； P A B C D C 图 7 （）设 、 是椭圆 G 的左焦点和右焦点，过 的直线 与椭圆 G 相交于1F2 2F:1lxmy A、B 两点，请问 的内切圆 M 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 的AB l 方程，若不存在，请说明理由. 20162017 学年第一学期统一检测题 高二数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A D A A B B C C B D （12）解析：将 代入 中得 新_课_标第_一_网(1)ykx 23y22(13)6350
10、kxk ，42365480k ，1221kx 231x 所以 12121277(,)(,)()3MAByxy 3xk 22211249()()kxk2 22576()33k . 4221649k 二、填空题 （13） （14） （15） 来源 :Z#xx#k.Com 132164xy3 （ 16） 或 （答 1 个得 3 分，答 2 个得 5 分） 4535 （15）解析：由三视图知该几何体为棱锥 SABD，其中 SC平面 ABCD；四面体 SABD 的四个面 中 SBD 面的面积最大，三角形 SBD 是边长为 的等边三角形，所2 以此四面体的四个面中面积最 大的为 3824 （16）解析：由
11、 得圆锥底面半径为 ，如图设 ，24r2r1Ox 则 ，圆锥的高 或 235xR35hRx35hR 所以，圆锥的体积为 414(35)VSh 或 14(35)3VSh 三、解答题 （17） （本小题满分 11 分） 解：（）依题意得，直线 的方程为 ，即 . （2 分）1l1(7)2yx250y 由 ，解得 . 即点 M 的坐标为 . （4 分）2305xyx, 设圆 C 的半径为 ，则 . （5 分）r2222(41)()9B 所以，圆 C 的标准方程为 . （6 分）新*课标*第*一*网()xy （）因为圆 C 过点 B（4 ，-2） ，所以直线 x=4 为过点 N（4，2）且与圆 C 相
12、切的直线. （8 分） 设过点 且与圆 C 相切的直线方程的斜率为 ，(,2)N1k 则直线方程为 . （9 分）1140kxyk 由 ，得 ，即 是圆 C 的一条切线方程. 123172420xy （10 分） 综上，过点 且与圆 C： 相切的直线方程为 和(4,)N22()()9xy7240xy . 4x （11 分） （18） （本小题满分 11 分） 证明：（）如图，连结 AC. （1 分） 分别是 、 的中点， . （2 分）,EF1ADCEFAC 分别是 、 的中点， . （3 分）GHBGH . （4 分） 四点共面。 （5 分）,EF （）连结 BD. 是正方体， . （7 分
13、）1ABCD1,ACBD ， 平面 ， 平面 . （9 分）1,11BD 又 ， 平面 ， （10 分）GH 又 平面 ， . （11 分）1BD1B1GHD （19） （本小题满分 12 分） 解：（）由双曲线的定义可知， ，即 . （1 分）2a1 双曲线的标准方程为 . （2 分）219yx 双曲线的渐近线方程 . （3 分）3 双曲线的右顶点坐标为 ，即抛物线 L 的焦点坐标为 ，1,0A1,0A 抛物线 L 的标准方程为 ， （5 分）24yx （）抛物线 的准线与对称轴的交点为 . （6 分）2(,) 设直线 MN 的斜率为 k，则其方程为 . （7 分）1ykx 由 ，得 . x
14、yk4)1(22220kxxk 直线 MN 与抛物线交于 M、 N 两点， ，解得 . （8 分）24()0k1k 设 ，抛物线焦点为 F(1，0)，12,xy 以线段 MN 为直径的圆经过抛物线焦点，MFNF. （9 分） ，即 . （10 分）12x12120yx 又 ， ， 且 同号， 212()k12211246yx12,y . 解得 ， . （11 分）6)(2k2k 即直线的斜率等于 时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点. （12 分） （20） （本小题满分 12 分） 解：取 AD 的中点 O，连结 OP，OC， 是等腰直角三角形， 是直角， .ADPAPDOAD 平面
15、 平面 ， 平面 .BCBC ， ，又 ， . 即 两两垂直. （2 分）,O 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由条件知， ， .2251CAO1PO 故 各点的坐标分别为： ， ，,BDP(0,)(,0)A(,)(2,0)BC ，所以， ， ，(0,1)(,),B,1(,1)D . （4 分）(0,1)DP （）设平面 PCD 的法向量为 ，则 ，即(,)xyzn0DCPAn20xyz 令 ，则 ，故 是平面 PCD 的一个法向量. （6 分）1x2,yz1,2 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ，则 ，即11 123sincos, 9BPAn 直线 PB 与平面 P
16、CD 所成角的正弦值为 . （8 分）3 （）设平面 PAB 的法向量为 ，则 ，即 .1(,)xyzm0ABP10xyz 令 ，则 ，故 是平面 PAB 的一个法向量 . （10 分）1y1z0,) 设平面 PCD 与平面 PAB 所成角的二面角的平面角为 ，则 ，所以222cos09Anm 平面 PCD 与平面 PAB 所成二面角的平面角的余弦值 0. （12 分） （21） （本小题满分 12 分） 证明：（） 平面 ， （1 分）PABCDPA 又 的面积等于 面积的 ，BC12 （2 分）12 在底面 中， ， ，A90BA1BCAD ， （4 分）CD2CD 又 ， 平面 （5 分
17、）PAPA 又 平面 ， 平面 平面 . （6 分） （）取 的中点 ，使得 平面 . （7 分）EBCD 证明如下： 取 的中点是 ，连结 ， ， ，PDFBEFC 则 ，且 （8 分）/EA12AD 由已知 ， （9 分）90C/ 又 ， ，且 .12B/EFB 四边形 为平行四边形， （10 分） （11 分）E 平面 ， 平面 ， 平面 （12 分） PCDPCDEPCD （22） （本小题满分 12 分） 解：（）圆 C： 的圆心为 . （1 分）230xy(,) 设椭圆 G 的方程 ，21ab 则 ，得 . （ 2 分）1,ce ， （ 3 分）2213b 椭圆 G 的方程 . （
18、4 分） 24xy （）如图，设 内切圆 M 的半径为 ， 与直线 的切点为 C，则三角形 的面积等于1ABFrl 1ABF 的面积+ 的面积+ 的面积. M1 即 .当 最12()ABFSr 212()()4AFBrar1ABFS 大时， 也最大， 内切 圆的面积也最大. （5 分）r1 设 、 ( )，1(,)xy2,)20,y 则 . （6 分）1112ABFSFy 由 ，得 ，243 xmy2(4)690m 解得 , . （7 分） 213614my23614my . （8 分）1 2ABFS 令 ，则 ，且 ，2tm1t21mt 有 . （9 分）1223()43ABFSttt 令 ，因为 在 上单调递增，有 . （10 分）)ftt(ft1,)()14ft . 即当 ， 时， 有最大值 ，得 ，这时所求内切圆的面积为1234ABFS 0m4r3maxr . （11 分）96 存在直线 ， 的内切圆 M 的面积最大值为 . （12 分）:lx1ABF916
