1、1 2020 年高考物理 100 考点最新模拟题千题精练 第四部分 曲线运动 专题 4.14 竖直面内或斜面内的圆周运动的绳模型（提高篇） 一选择题 1 （2 019 沈阳三模）如图所示，水平地面上有一光滑弧形轨道与半径为 r 的光滑圆轨道相 连，且固定在同一个竖直面内。将一只质量为 m 的小球由圆弧轨道上某一高度处无初速释放。 为使小球在沿圆轨道运动时始终不脱离轨道，这个高度 h 的取值可为（ ） A 2.2r B 1.2r C 1.6r D 0.8r 【参考答案】 D 【命题意图】本题考查机械能守恒定律、牛顿运动定律及其相关知识点。 【解题思路】 为使小球在沿圆轨道运动时始终不脱离轨道，一
2、种是小球沿圆轨道运动到不超 过与圆心等高的位置； 一种是能够通过光滑圆轨道的最高点。 若小球沿圆轨道运动到不超过 与圆心等高的位置，设其无初速释放小球的最大高度为 h1，由机械能守恒定律， mgh1 =mgr， 解得 h1=r ，即高度 h 的取值不大于 r。若小球能够通过光滑圆轨道的最高点， 设恰能通过光 2 滑圆轨道的最高点时的速度为 v， 在最高点，由牛顿第二定律， mg=m v r ，设小球能够通过 光 滑 圆 轨 道 的 最 高 点 ， 无 初 速 释 放 小 球 的 最 小 高 度 为 h2 ， 由 机 械 能 守 恒 定 律 ， mgh2 1 =2mgr+ 2 mv2，解得 h
3、2=2.5r ，即高度 h 的取值必须不小于 2.5r。综合上述分析可知选 项 D 正确。 2. 如图所示，一质量为 M 的人站在台秤上，一根长为 R 的悬线一端系一个质量为 m 的小 球， 手拿悬线另一端， 小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动， 且小球恰好能通过圆轨 道最高点，则下列说法正确的是 ( ) 2 3 A 小球运动到最高点时，小球的速度为零B 当 小球运动到最高点时，台秤的示数最小，且为 4 Mg C小球在 a、 b、 c 三个位置时，台秤的示数相同 D小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态 【参考答案】 C v2 【名师解析】 小球恰好能通过圆轨道最
4、高点，由 mg mR， 得 v gR， A 项错误；当小 球恰通过圆轨道最高点 b 时，悬线拉力为 0， 此时对人受力分析，得出台秤对人的支持力 F Mg ，在 a、 c 两处时小球受重力和水平指向圆心的拉力，台秤对人的支持力也为 F Mg ， 即台秤的示数也为 Mg， 故 C 项正确；小球在 a、 c 连线以上 (不包括 b 点 )时，人受到悬线斜向上 的拉力，人对台秤的压力小于 Mg， 在 a、c 连线以下时，人受到悬线斜向下的拉力，人 对台秤的压力大于 Mg， 人处于平衡态，没有超、失重现象， B 、 D 两项错误。 3. 如图所示，长为 L 的细绳一端固定在 O 点，另一端拴住一个小球
5、，在 O 点的正下方与 O L 点相距 2的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子，把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开 始释放，当细绳碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是 ( ) A 小球的角速度突然增大 B 小球的线速度突然增大 5 C小球的向心加速度突然增大 D 小球受悬线的拉力突然增大 【参考答案】 ACD 【名师解析】 细绳碰到钉子，半径减半，圆周运动的圆心变为 P 点，由于只是细绳碰钉 子，小球并未受到其他外力作用而改变速度大小， 即小球的线速度不变， B v 2 v 错 误 ； 由 r 可 v 2 知 变大， A 正确；由 a r 可知 a 增大， C 正确；在经过最低点时， F mg m
6、 r ，得 F v2 mg m r ，可以判断 F 增大， D 正确。 二计算题 1 （2019 合肥三模） 如图所示，一对杂技演员荡秋千（均视为质点），女演员由与悬点 O1 等高的 A 位置静止摆下，男演员从平台上 D 点静止摆下，某时刻女演员摆到最低点 B 时 离开秋千，到达 C 点（男演员下摆的最低点）刚好被男演员接住，最后二者恰好摆回到平 台 D 点。已知男、女演员均在同一竖直平面内运动，其质量分别为 2m 和 m， 其余质量忽略 不计，秋千的绳长分别为 l 和 2l， O1 与 O2 等高，空气阻力不计，重力加速度为 g。求： （ l ）女演员摆到最低点 B 的速度； （ 2） 秋千
7、绳 O2D 与竖直方向的夹角； 6 （ 3） 若男演员接住女演员用时 t， 此过程女演员对男演员的平均作用力。 【命题意图】本题考查机械能守恒定律、动量守恒定律、动量定理及其相关知识点。 【解题思路】 （ 1） 对于女演员，从 A 运动到 B， 设其速度大小为 v， 由机械能守恒定律得： mgl= 代入数据得： v= （ 2） 设秋千绳 O2D 和竖直方向的夹角为 ，男演员从平台上 D 点静止摆下至 C 点时，速度 大小为 vc， 由机械能守恒定律有： 2mg2l（1 -cos） =（2 m） 。 7 y 当女演员到达 C 点时刚好被男演员接住，最后二者恰好摆回到平台 D 点， 可见男女演员的
8、共同速度大小也应该为 vc。 男演员接住女演员的过程水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，有： mv+2mvc =3mvc 代 入 数 据 得 ： cos= ， =60 若男演员接住女演员时两者速度方向相反，有： mv-2mvc=3 mvc 代 入 数 值 得 ： cos= （不符合实际，舍去） （ 3） 女演员从从 B 点离开秋千做平抛运动，到达 C 点的竖直速度大小为 vy v 2=2 g（ 2l-l） =2gl 设男演员对女演员的平均作用力大小为 F， 取竖直向上方向为正方向，对女演员，由动量 定 理： 解得： F=mg+ 根据牛顿第三定律，女演员对男演员的平均作用力大小为 mg+ ，方
9、向竖直向下。 答：（ l） 女演员摆到最低点 B 的速度为 ； （ ） 秋千绳 O2D 与竖直方向的夹角为 60； （ ） 若男演员接住女演员用时 t， 此过程女演员对男演员的平均作用力为 mg+ 。 2.（ 12 分） （ 2018 北京西城期末） 游 乐 场 的 过 山 车 可 以 底 朝 上 在 圆 轨 道 上 运 行 ， 游 客 却 不 会 掉 下 来 ， 如 图 甲 所 示 。 我 们 把 这 种 情 形 抽 象 为 如 图 乙 所 示 的 模 型 ： 弧 形 轨 道 的 下 端 N 与 竖 直 圆 轨 道 平 滑 相 接 ， P 为圆轨道的最高点。使小球（可视为 质点）从弧形轨道上
10、端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。 不考虑小球运动所受的摩擦等阻力。 8 （ 1） 小 球 沿 弧 形 轨 道 运 动 的 过 程 中 ， 经 过 某 一 位 置 A 时 动 能 为 Ek1， 重 力 势 能 为 EP1，经过 9 另一位置 B 时动能为 Ek2， 重力势能为 EP2。请根据动能定理和重力做功的特点，证明：小球 由 A 运动到 B 的过程中，总的机械能保持不变，即 Ek1+EP1=Ek2+EP2； （ 2） 已知圆形轨道的半径为 R， 将一质量为 m1 的小球，从弧形轨道距地面高 h=2.5 R 处由 静止释放。 a. 请通过分析、计算，说明小球能否通过圆轨道的最高点
11、P； b. 如果在弧形轨道的下端 N 处静置另一个质量为 m2 的小球。仍将质量为 m1 的小球，从弧 形轨道距地面高 h = 2.5R 处由静止释放， 两小球将发生弹性正撞。 若要使被碰小球碰后能通过 圆轨道的最高点 P， 那么被碰小球的质量 m2 需要满足什么条件？请通过分析、计算，说明你 的理由。 【 名 师 解 析 】 （12 分） 解： （ 1） 根据动能定理 W 总 = WG = Ek2 Ek1 （1 分） 根据重力做功的特点可知 WG = Ep1Ep2 （1 分） 联立以上两式 Ek2 Ek1 = Ep1Ep2 整理得到 Ek2 + Ep2 = Ep1 + Ek1 （1 分） （
12、 2） a. 假设小球刚好能过最高点，在最高点时小球只受重力作用 此时重力提供向心力 m1 g 2 m1 v （1 分） 解得小球能过最高点的最小速度为 R vmi n gR （1 分） 小球从 M 到 P， 设小球运动到最高点 P 时的速度为 vP 10 1 P 根据机械能守恒定律 m1 gh 1 m v 2 2 m1 g 2R （1 分） 解得 vP gR vmin ，即小球刚好能过最高点。 （1 分） b. 以小球 m1 为研究对象，设小球运动到 N 点时的速度为 v1 从 M 到 N，根据机械能守恒定律 m gh 1 m v 2 （1 分） 1 2 1 1 以两个小球为研究对象，碰后两
13、小球的速度分别为 v1、 v2 根据动量守恒定律 m1v1 = m1v1+m2v2 （1 分） 根据能量守恒定律 1 m v 2 1 m v 2 1 m v 2 （1 分） 2 1 1 2 1 1 2 2 2 联立解得小球 m2 碰后的速度 v 2m1 v （1 分） 2 1 m1 m2 因为小球 m1 从 h =2.5R 处滚下时恰好能过最高点， 所以只要 m2 在 N 点被碰后的速度 v2 v1 ， 11 它就能过最高点。 从上式中分析可以得到， 当 m2m1 时，可得 v2 v1 。 所以当满足 m2m1 时， 小球 m2 被碰后能通过圆轨道的最高点 P。 （1 分） 3 （2019 山
14、东潍坊教科院模拟）如图是过山车的部分模型图模型图中光滑圆形轨道的半 径 R=8.1m，该光滑圆形轨道固定在倾角为 =37斜轨道面上的 Q 点，圆形轨道的最高点 A 与 P 点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接现使小车（视作质点）从 P 点以一定的初速度沿斜面向下 运动，已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为 =10/81，不计空气阻力，过山车质量为 20kg，取 g=10 m/ s2，sin37 =0.6 ，cos37 =0.8 若小车恰好能通过圆形轨道的最 高点 A 处，求： （1） 小车在 A 点的速度为多大； （2） 小车在圆形轨道的最低点 B 时对轨道的压力为重力的多少倍； （3） 小车在
15、 P 点的动能 【名师解析】（ 1） 设小车经过 A 点时的临界速度为 vA， v2 由， mg=m A R 解得 vA =9m/s。 （ 2） 从 B 到 A，根据动能定理有： 12 - mg2R= 1 2 1 mv A - 2 2 2 mvB v2 在 B 点， FN-mg=m B ， R 解得 FN=6mg， 由牛顿第三定律可知，小车对轨道的压力等于 6mg （ 3） 对 P 到 A，根据动能定理得， 1 -mgcos PxQ= 2 mv A 2-Ekp 其 中 xPQsin R= +Rcos ， 解得小车在 P 点的动能 Ekp=1290J. 13 2 m y 答：（ 1） 小车在 A
16、 点的速度为 9m/s； （2） 小车在圆形轨道的最低点 B 时对轨道的压力为重力的 6 倍； （3） 小车在 P 点的动能为 1290J 4 为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为 60，长为 L12 3 m 的倾斜轨道 AB，通过微小圆弧与长为 L 2 3 的水平轨道 BC 相 连，然后在 C 处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道 D，如图所示。现将一个小球从距 A 点高为 h 0.9 m 的水平台面上以一定的初速度 v0 水平弹出，到 A 点时速度方 向恰沿 AB 方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与 AB 和 BC 间的动摩擦因数均为 3。 g
17、 3 取 10 m/s2，求： (1)小球初速度 v0 的大小； (2)小球滑过 C 点时的速率 vC； (3)要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径 R 应该满足什么条件。 【名师解析】 (1) 小球做平抛运动到达 A 点，由平抛运动规律知竖直方向有： v2 2 gh 即： vy 3 2 m/s 14 因为在 A 点的速度恰好沿 AB 方向， 所以小球初速度： v0v ytan 30 6 m/s (2)从水平抛出到 C 点的过程中，由动能定理得： mg(hL 1sin )mg 1Lcos mg2 1mv2 1 2 解得： vC3 6 m/s 。 2 C 2mv0 v 2 (3)小球刚好能通
18、过最高点时，由牛顿第二定律有： mg mR1 小球做圆周运动过程中，由动能定理有： 2mgR 1 1 2 1mv2 2mv 2 C v2 解 得 ： R1 C 1.08 m 5g 15 v 2 当小球刚好能到达与圆心等高时有： mgR2 1 2 解 得 ： R2 2 C 2.7 m 2g 2mvC 当圆轨道与 AB 相切时： R3 L2tan 60 1.5 m，即圆轨道的半径不能超过 1.5 m 综上所述，要使小球不离开轨道， R 应该满足的条件是： 0 R1.08 m。 答案 (1) 6 m/s (2)3 6 m/s (3)0R 1.08 m 5 (12 分 )(2017 临 沂模拟 )如图
19、所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在 A 点，自然状态 时其右端位于 B 点水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道 MNP ，其形状为半径 R0.8 m 的圆环剪去了左上角 135的圆弧， MN 为其竖直直径， P 点到桌面的竖直距离也是 R.用质 量 m 0.5 kg 的物块将弹簧缓慢压缩到 C 点释放，物块过 B 点后其位移与时间的关系为 x 8t 2t 2(m)， 物块飞离桌面后由 P 点沿切线落入圆轨道 g 10 m/ s2， 求： (1) 物 块 在 水 平 桌 面 上 受 到 的 摩 擦 力 ； (2)B 、 P 间的水平距离； (3) 判断物块能否沿圆轨道到达 M 点 【参考答案】
20、 (1)大小为 2 N，方向向左 (2)7.6 m (3) 不能 【 名 师 解 析 】 (1) 对 比 x v0 t 1at2 与 x 8t 2t 2， 可 知 a 4 m/s2 ， v0 8 m/ s.(2 分 ) 16 g 由牛顿第二定律得 Ff m a 2 N (1 分 ) 即摩擦力大小为 2 N， 方向向左 (2)物块在 DP 段做平抛运动，有 vy 2gR 4 m/s，(1 分 ) t vy 0.4 s (1 分 ) vx 与 v 夹 角 为 45， 则 vx vy4 m/s， (1 分 ) xDP vxt 1.6 m (1 分 ) v2 v 2 在 BD 段 x BD x 0 6 m， (1 分 ) 2a 17 PM 所 以 xBP xBD x DP7.6 m (1 分 ) (3)设物块能到达 M 点，由机械能守恒定律有 1 2mgR(1 cos 45 ) 1 2 ， (1 分 ) 2mv P 2mvM v2 v 2 ( 2 2)gR ( 2 2)gR.(1 分 ) 要能到达 M 点，需满足 v M gR ，而 （2 2） gR gR，所以物块不能到达 M 点 (1 分)
