1、第六讲 七座桥问题 二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多 人冥思苦想在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了 今天，我们小学生也要大胆地研究研究它 这个问题叫做“七座桥问题” 当时，德国有个城市叫哥尼斯堡城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些 桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处(见下图)俗话说， “人 是万物之灵” ，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题： 如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七 座桥怎么个走法? 好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走 你是怎样
2、试的呢?你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上 岛因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛。也 没有桥，但在你面前却有一张图! 可是，这又是一张什么样的图呢?图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条 来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式可以说，这是一 张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图” 这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要 也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧!好!你做得很好!为什么这样说呢?因 为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成
3、了一个小笔尖 你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃 的想像是伟大智慧不可缺少的属性” 看来你并不缺少这种想像力! 让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的 亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗?用一句数学上常用的话说， 这 就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来 在下页左图中把陆地想像成了几大块这对过桥问题并不产生影响 在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的 实质 在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”
4、了，但还是 显得复杂 在下面右图中，圆进一步缩成了点这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图 形 了经过上面这样的一番简化,七桥问题的确就变成了上右图(即为第五讲习题 l 中的图(9)是 不是能一笔画成的问题了很容易看出图中共有 4 个奇点，由上一讲得到的判定法则可知， 它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥 这样七桥问题就得到了圆满的解决 这种解法是大数学家欧拉找到的这种简化也就是一种抽象过程所谓“抽象”就是 在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面而只抓住那个能体现问题实质的 东西 就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西 最后，再把
5、解决七桥问题的要点总结一下： 把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了 如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形 不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥 由前述判定法则可知，有 0 个奇点或 2 个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时， 图形就不能一笔画出来 模仿这种思路，也能解决类似好多问题 习 题 六 1学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断(见下图) 过桥问题： 可否一次通过的桥(每座桥只能走一次)? 例: 仿此例依次判断出： 2下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗? (每座小桥最多只
6、准走一次，陆地上可以重复地来回走) 3在我国著名数学家陈景润写的数学趣谈一书中，有下面的这样一道题，大意是 说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了 15 座桥把两个小岛和 河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达 另一岸，可能吗?(每座桥只能走一次) 4下图所示为一座售货厅问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门吗? 请说明你的理由 如果售厅出现在 4 号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不重复地走 遍各个门，再从 4 号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门? 习题六解答 1解：见下图 过桥问题： 一笔画问题： 可否一
7、次通过所有的桥 可否一笔画成图形(笔不 (每座桥只能走一次) 能抬起，不能重复) 2解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有 4 个奇点 3解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的 桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走 一次而到达另外一个岸画出图来就能一目了然了见下图 因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画 所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸 4解：从入口进入售货厅后，也就是从 l 号房间开始不能一次不重复地走遍各个门, 因为虽然整个图形(见下图)只有 2 个奇点，但点 1 是偶点 当出口在 4 号房间时，如再在 1 号和 3 号房间之间开一个门，则从 1 号房间开始后就 能一次不重复地走遍各个门因为点 1 变成了奇点，点 4 仍为奇点，而整个图形只有 2 个 奇点，因此可以从 l 号房间进，4 号房间出见下图(进入售货厅后先从 1 号房间进入 3 号 房间即可)
