1、第 8 章 层流的不稳定性及转捩 首先用试验的方法研究由层流到紊流转变规律的是英国人雷诺。 1883 年雷诺发表了他在曼 切斯特大学进行圆管流动试验研究的论文。 1930 年普朗特在德国哥廷根大学建立了层流稳定性 理论。 粘性流动中存在两种不同的流动型态：层流和稳流。 由于这两种流动具有不同的本质和 表现，而且在各种具体边界条件下其流速分布，切应力的大小与分布，能量损失，扩散性质均不 相同，所以研究流动在什么情况和条件下游层流转变为紊流具有重要的意义。 8.1 圆管流动的转捩 在进行圆管流动试验时，随着圆管流动雷诺数 ReUd的不同，在管中将两种完全不同的流 动型态。 流动雷诺数较小时，管中的
2、每一个流体质点均沿着与流道中心线平行的直线匀速前进。 不同流层的流体质点互不相扰，互不掺混，是为层流。 当雷诺数增加到一定数值时，流动变得杂 乱无章，不同流层的流体质点相互掺混，曲线蜿蜒曲折，由于掺混而引起不同流层之间的能量交 换，一点处的流速和压强均呈随机的脉动现象而断面上的时间平均流速的分布趋于均匀化，这就 是紊流。 钱宁教授在它的泥沙运动力学一书中曾做过一个生动的比喻，比喻层流恰似一对排 列整齐、训练有素的士兵列队沿街道前进，而紊流则是沿街道进行的一群醉汉，虽然总体上仍沿 街道前进，但每一个醉汉却杂乱无章的运动。 由层流向紊流转捩的雷诺数成为临界雷诺数 Recrit圆管流动的临界雷诺数：
3、Re230mcritcritud (8.1.1) 式中 mu表示圆管断流面平均流速， 为圆管直径。 当雷诺数在临界雷诺数一下时，即使存在对 水流的强烈扰动，扰动将由于流体的粘性而衰减，流动仍继续保持层流状态。 只有在流动雷诺数 大于临界雷诺数时，扰动在流动中不仅不会衰减，而且逐渐放大，层流才会由于扰动而转变为紊 流。 在层流中水头损失与流速的一次方程正比，而在紊流中水头损失与流速的平方成正比。 水头 损失增加的原因在于紊流中动量的横向扩散和传递。 当雷诺数在临界雷诺数附近的一个范围内，流动具有间歇性， 它可能是 而为层流，时而为紊流。 罗塔在 1956 年所发表的在圆管中距管轴中心不同距离 0
4、r（ 为圆管半 径）处量测的流速随时间变化的纪录如图 8-1 中所示，可以看出这种现象。 图 8-1 紊流中的间歇现象 这个流速纪录是在雷诺数 Re250是由热线风速计量测的。 图中表示的流速有时是层流， 有时是脉动剧烈的紊流，而紊流的出现在时间上又是随机的。 在距圆管中心较近处，层流的流速 大于紊流的时间平均流速值而靠近管壁处则恰恰相反。 这种时而层流时而紊流的流动现象常用间 歇系数 来表示它的特性。 间歇系数的定义为： tT (8.1.2) 式中 tT表示在测量过程中流动呈现脉动的部分时间而 T则为总的两侧时间。 如果1 ，表示在整个量测时段中流动均呈现脉动，是为紊流。 反之当 0则表示整
5、个量测时段均 为层流,没有紊流脉动出现。 8.2 壁面边界层流动的转捩 边界层中的流动同样存在转裂的问题，而且边界层流动的各种特性都强烈地受流动型态的影 响。 边界层的转捩同样存在临界雷诺数，而且临界雷诺数还受其它很多因素，如来流紊流度，壁 面性质，压强梯度等的因素。 对于顺流放置的平板，在平板前端边界层总是层流流动，但当距平板前缘一定距离后，边界 层雷诺数达到临界雷诺数，边界层内的流动将由层流向紊流过渡。 平板边界层的雷诺数：56Re3.10.xcritcritU: (8.2.3) 如果来流紊流度甚小， rit有时可达到 64。 转捩可以从流速、压强等物理量开始出现随机 脉动现象来判断。 也
6、可以很容易的从流速图形看出，当由层流边界层通过转捩点变为紊流边界层， 边界层厚度突然曾厚。 形状参数 12H则由层流时的 2.下降到紊流边界层的 1.34:。 这是由于 在 12H中，紊流边界层由于流速分布更去均匀化而 1减小，由于阻力增加而 2加大的原故。 平板层流边界层中档雷诺数达到临界雷诺数，则在平板的某处的某点出突然出现一个个小的紊流 区域，称为紊流斑。 紊流斑的形状由图 8-2 所示。 图 8-2 紊流斑 由于其各部分流速不同而随流动向下游逐渐扩展，紊流斑周围流体仍处于层流形状而紊流内 则为紊流。 随着紊流斑的扩展，不同的紊流斑将融合到一起知道边界层内全部变为紊流。 图 8- 2 为
7、舒鲍尔和克莱巴诺夫于 1955 年量测的结果。 (a)为平面图，(b)为侧视图。 紊流斑是在 A点 人工的发生，图中 01.3， 05.， 为边界层厚度，试验中来流速度 10mUs。 图中上 部与为使用热线风速计量测的当紊流斑经过一点是的流速示波图，图中时间间隔为 6秒。 紊流斑流过的部分明显呈间歇性质。 自然情况下紊流斑的产生在时间上和空间上升成都是随机的。 边界层内的一个局部扰动可能成为紊流斑生成的原因。 8.3 层流稳定性理论 8.3.1 层流稳定性基本概念 层流稳定性理论的基本点是：层流流动经常会受到一些小的扰动。 例如在管流的情况，这些 扰动有可能石油管道进口产生的。 在边界层流动中
8、这些扰动则可能是由壁面粗糙或外流的某些 不规则所产生的。 研究层流对这些外来小扰动的抑制能力也就是层流稳定性问题。 当这些小扰 动叠加到主流流动上以后，就要观察这些扰动时随时间而增长扩大还是随时间而逐渐消失。 如果 扰动随时间而衰减以至消失，则层流流动是稳定的，反之则流动不稳定，是流动最后由层流转变 为紊流。 层流稳定性理论的主要内容是寻求在各种流动情况些层流对微小扰动失去抑制能力时的 雷诺数，也就是临界雷诺数 Recrit。 层流稳定性理论首先要将流动分解为一个主要流动和加在它上面的小扰动。 设主流流速在直 角坐标系中的分量为 U， V， W，压力为 P。 非恒定的小扰动由 u， v， w和
9、 p表示，于是流 动的速度分量和压力可以写为： uv (8.3.1) wWpP (8.3.2) 这里假设小扰动的各个分量与相应的主流各个分量比是小量。 为简单起见首先考虑不可压缩流体而为恒定平行流动叠加一个二为非恒定小扰动，即 Uy ， 0V， Px (8.3.3),uxyt ， ,vxt， w， ,pyt (8.3.4) 叠加后的流动为： u ， v， 0W， p (8.3.5) 假定由（8.3.3）时所表示的主流动是 N-S 方程的一个解，叠加后的流动（8.3.5）式也必须满足 N- S 方程。 扰动项均为小量，因此它们的二次项可以忽略。 层流稳定性理论需要回答对于这样一 个主流流动，扰动
10、随时间放大或随时间衰减。 为此将（8.3.5）式代入二维、不可压缩、非恒定流 动的 N-S 方程 21uupuvtxyxy (8.3.6a)2vt (8.3.6b)0uvxy (8.3.6c) 忽略扰动量的二次项，得到： 2 1pdUUv utxyxy (8.3.7a) 2vt (8.3.7b)0uvxy (8.3.7c) 由于主流流动（8.3.3）本身符合 N-S 方程，因此可得：21dpUxy (8.3.8a)0 (8.3.8b) 将（8.3.8a）式及（ 8.3.8b）代入（8.3.7）式，得： 2d1uUpvutxyx (8.3.9a)2vt (8.3.9b)0uxy (8.3.9c)
11、 如果将（8.3.9a ）对 y 取微分减去（ 8.3.9b）对 x 取微分，则可消去式中的压强扰动项 p，从而得 到 2 2duvuvUuvUtyxyxyyx (8.3.10a)0 (8.3.10b) 两个方程式，含两个未知量 u， v. 边界条件则为在壁面上 0u， v，在无穷远处扰动消失， 同样 0u， v。 8.3.2 奥尔佐默费尔德方程 假定小扰动是由一些在 x 方向传播的扰动波所组成，扰动为二维的，因而可引入流函数,xyt . 设代表一个单独扰动波的流函数为： ,ixtyte (8.3.11) 式中 ri为复幅度，下标 r 为表实数部分，i 表虚数部分. 任一二围绕动可以展开为傅
12、里叶级数，级数的每一项均代表这样的一个扰动。式(8.3.11)中 为一实数代表波数， 2为扰 动的波长， 为复数： ri (8.3.12) 式中 r为扰动的圆频率， i则为放大系数，他决定着放大或衰减的程度。 如果 0i，则扰动 被衰减，主流的层流流动是稳定的。 相反，如果 0i，则不稳定。ricc (8.3.13)ic 表示扰动波在 x 方向的传播速度， i则视其符号而表示衰减或放大的程度。 由于假设主流流动Uy 只是 y 的函数，因而假设扰动的幅度也只是 y 的函数 由 8.3.11 式可以计算扰动速度 ixtuey (8.3.14) ixtvix (8.3.15) 将 8.3.14、8.
13、3.15 式代入 8.3.10a 式中并使之无量纲化可得到一个关于幅度的四阶常微分方程：2 241ReUcU (8.3.16) 这就是奥尔佐默费尔德（Orr-Sommerfeld）方程，是层流稳定性理论的出发点。 注意 （8.3.16）式异化为无量纲形式，所有长度均除以长度参数尺度 b 或 ，b 为宽度， 为边界层厚 度。 速度均除以主流的最大速度 max。 “， ”表示对无量纲坐标 y或 的微分。 Re则代表 雷诺数，视所采用的长度参考尺度而定。 maxReUb 或 maxReU （8.3.16）式左侧诸项是有惯性得来而右侧诸项则由粘性项得出。 边界条件为： 00yuv， ， 即 ， ， 即
14、 ， (8.3.17) 有人证明，如果扰动是三维的，则所得临界雷诺数更高，因此二维扰动相比之下更易于失去稳定 性，故一般只需考虑将二为扰动加于二维主流上。 这样，流动稳定性问题变为求解奥尔佐默费尔德方程的特征值问题。 边界层徐符合 （8.3.17） 。 当主流 Uy已经给定，式（8.3.16）包含 4 个参数， ， Re， rc和 i。 4 个参数中 主流的雷诺数 Re应为已知。 扰动的波长 2也可以考虑为已经给定的量。 在这种情况下， 微分方程式（8.3.16）与边界条件（8.3.17）对于每一个 和 e值将得到一个特征函数 y和一 个复数特征值 ric。 当 0ic，层流（ ,ReU）对于
15、给定的 值所代表的波动扰动是稳定的。 反之，如 0i，则层流变得不稳定。 i则表示一种中性扰动的情形。 图 8-3 表示二维边界层流动叠加一个二维扰动后层流稳定性的计算结果。 图中纵坐标采用 ，横坐标为 ReU。 为断面最大主流速度，即该断面处势流流速， 为边界层厚度。 平 面上每一点均相应一个 ric的值。 其中由 0ic的连线将平面分为稳定和不稳定两个区域。 的轨迹线，如图 8-3 中对应不同流速剖面和的 a 和 b 两条曲线称为拇指线，形状相似。 中性 稳定曲线也称为拇指线。 在中性稳定曲线上相当雷诺数 Re为最小值得点具有重要意义，如图 8- 3 中与和 轴平行的虚线相切的点。 在这个
16、点处，雷诺数即为临界雷诺数 Recrit。 当流动的雷 诺数小于临界雷诺数，对于任何 值的扰动，主流都是稳定的。 对于比临界雷诺数打的流动，则 当某些具有特定波长的扰动时流动将是不稳定的。 图 8-3 边界层流动稳定性 图 8-3 中比较了两种流速剖面的流动，可以看出，具有拐点的流速分布，其中性稳定曲线 所包含的不稳定区域较之没有拐点的流速分布所对应的中性稳定曲线所包含的不稳定区域要大 很多，而且中性稳定曲线 a 所具有的临界雷诺数小于中性稳定曲线 b 的临界雷诺数。 这都说明具 有拐点的流速分布起流动稳定性要小。 这里需要指出的是，但观察一个壁面边界层流动时可以发现，由层流稳定性理论计算出的
17、临 界雷诺数往往小于实际流动转捩点的雷诺数。 这是因为当流动达到临界雷诺数后，一些扰动将被 放大并向下游继续发展，经过相当的发展过程后层流才会转变为紊流，因此转捩点均出现在临界 雷诺数断面的下游。 为了区分，可将雷诺数达到临界值的点称为不稳定点，而由层流转变为紊流 的点称为转捩点。 奥尔佐默费尔德方程在数学上求解释很困难的，因此几十年来层流稳定性问题并没有得到 完全的解决，只是在一些简单的流动情况下得到了一些解答。 但人们对层流稳定性的认识却因此 而得到了很大的提高。 8.3.3 奥尔佐默费尔德方程的主要特征 一般转捩均发生在雷诺数较大的情况下，因此可以考虑将奥尔佐默费尔德方程的右侧包含 有
18、的各项，即粘性项加以忽略，从而得到一个简化了的方程，由四阶的微分方程时间化为一个 二阶的微分方程式。 边界条件则由于无滑动条件不在成立而只保留两个，得出：20UcU (8.3.18) 边界条件为： : y (8.3.19) 这个方程成为无粘性稳定方程，或称瑞利方程式。 瑞利爵士（Lord Reyleigh，1842 年1919 年） 从这个方程式得到一些重要的结论： 拐点准则 流速分布具有拐点时是不稳定的。 瑞利只证明了存在拐点是可以发生不稳定的必要条件，后 来托尔明证明这同样也是扰动得以放大的充分条件。 拐点准则（point-of-inflexion criterion）对于 层流稳定性理论
19、十分重要，因为它给出了一个初步的粗略的对于层流流动的分类。 当然考虑到粘 性的影响对此还需加以修正。 过去增讨论过当外流具有逆压梯度时，流速剖面图上有拐点存在。 因而可以得出结论，具有逆压梯度的层流流动时不稳定的，而顺压梯度则使流动趋于稳定。 绕流 体上的最低压强点往往是你压梯度的开始，因而这个点下游的流动开始呈现不稳定。 瑞利第二个重要的结论是在边界层流动中，中性扰动（ 0ic）的传播速度 rc小于时均的 最大流速 maxU，即 maxrc。 8.3.4 稳定性理论应用于顺流放置的平板边界层流动 托尔明在 20 年代末期成功地计算并研究了顺流放置平板边界层的流动稳定性问题。 随着电 子计算机
20、的进步，对这一问题的研究也不断得到深入。 平板边界层的流速分布已由布拉休斯得到 精确解，而且由于平板边界层存在相似解，因而 uyfU的关系在各个断面上是相同的。 速 度剖面图在固定壁面处（ 0y）存在一个拐点，因此它的情况恰好是速度剖面具有拐点和不具有 拐点两种情况的中间状态。 图 8-4 给出了 1968 年瓦赞（A.R.Wazzan） ，刚村（T.T.Okamura）和 史密斯（A.M.O.Smith）的计算结果。 由图可看出以下几点： 图 8-4 平板边界层流动稳定性计算成果 由中性稳定曲线（ 0ic）得到的临界雷诺数为：152critU (8.3.20) 与此相应的边界层雷诺数 Re9
21、0x。 对于光滑壁面平板边界层而言其转捩点的雷诺数 约为 563.10.:，换算为则相当于 950。 可见雷诺数达到临界雷诺数时，流动开始不稳定， 称之为“不稳定点” 。 由层流转变为紊流的“转捩点”则相应于更高的雷诺数。 导致不稳定扰动的最大波数为 10.36 ，则 10.36 因而扰动的最小波数 min： min1127.560.36 可见不稳定波（Tollmien-Schichting 波）是一种波长很长的扰动波，约为边界层厚度 的 6 倍 。 图中最大的扰动波随时间的增长率 .4rcU，最大的扰动波传播速度。 可见不稳定扰 动传播速度远小于边界外部势流流速 。 还可以看出，当雷诺数相当
22、大时，中性稳定曲线的上下两股均趋于水平轴。 整个由中性稳定 曲线所包围的不稳定区比较狭窄，说明边界层中小扰动的波长和频率只是在一个较小的范围内是 不稳定的。 8.3.5 曲面层流边界层的稳定性问题 在平板边界层中，各断面的剖面速度存在相似性，因而计算所得的临界雷诺数并不因断面位 置而变化。 但在曲壁面情况下，不存在相似解，各断面处的压强梯度也沿程变化，当，流速分布 曲线具有拐点。 当，则流速分布曲线上不存在拐点。 因而对于曲面边界层，每个断面都有不同 的流速分布，从而由计算所得的临界雷诺数也各不相同。 因此每个断面必须分别计算。 对曲面层流边界层的稳定性计算首先要确定绕物体流动的势流解，得到固
23、定壁面各处的势流 流速和压强分布。 然后计算层流边界层，确定每个断面的流速剖面。 最后对每个断面进行稳定 性计算。 以图 8-5 的二为柱体绕流为例。 共有四种椭圆柱体，其长轴 2a 与短轴 2b 之比分别为： 1ab ， 2，4，8， 1ab相当于圆柱情况。 来流未扰动流速为 U，流速方向垂直柱体并于椭圆长 轴平行。 势流流速 U分布如图 8-5 四条曲线所示。 曲线上 S 点为边界层分离点的位置。 边界 层计算采用卡门- 波豪森近似方法。 计算所得的有关边界层的特征物理量，边界层位移厚度 1的 沿程发展，各断面层流分布的形状参数 ，壁面切应力 0沿柱体表面的分布，可由图 8-6 的(a)，
24、 (b)， (c)得知。 在图 8-6(a)中还绘出了平板边界层位移厚度的沿程发展以资比较。 图中 l表示自 前驻点到尾端的周长。 由图 8-5，圆柱的分离点在 .69xl处，即 019.5，而椭圆体则随其 细长比 ab的增加，边界层分离点移向下游。 图 8-5 柱体绕流势流流速分布 图 8-6 柱体绕流层流边界层计算 作为一个例子，图 8-7 中绘出了当 4ab时随椭圆柱绕流的边界层内流速分布图。 边界层分 离点在 0.84xl处。 由柱体的前驻点开始，在主体的上游部分（ 0.5xl） ，由于边界层位移厚 度 1较小，因此雷诺数 1U也较小。 但在这一区域压强逐渐减小，是顺流压强梯度区 d0
25、px， 流动偏于稳定，因而临界雷诺数 1crit则较大。 图 8-7 椭圆柱绕流断流面流速分布图 一般最小压强点位于 0.5xl处，在向下游则压强逐渐增加，所以在（ 01.xl）的区域为 逆压强梯度区 dp，流速剖面出现拐点，层流趋于不稳定，因而当地的临界雷诺数 1critU变 小。 而边界层雷诺数 1U则由于边界层厚度的增加而变大。 这样，在柱体表面的某点处，1crit (8.3.21) 此点即为不稳定点。 图 8-8 不同流速分布的临界雷诺数 不同的形状参数 表示不同的边界层内的流速分布，且 12。 12表示边界层分 离点处的流速分布，前驻点处 7.052，最小压强点处 0。 当 0，为顺
26、压梯度区，反之0 ，为逆压梯度区，此时的各个流速分布均具有拐点存在。 施利希廷和乌尔里希对这一族流 速分布曲线进行了稳定计算，得到 1critU与 的关系示如图 8-8。 由图可见当 时，临界雷 诺数要大于 部分的临界雷诺数。 最小压强点处的临界雷诺数为 645。 由图 8-8 与图 8-6(b) 可以得到临界雷诺数 1crit沿柱体表面的分布，即 1critUxl:，绘在图 8-9 中。 图中同时画 出了相应与各种流动雷诺数 Ul时（ 为未扰动来流速度， 为绕流柱体的特征尺度，此处对于4ab 的椭圆柱体， l采用椭圆长轴 2a）边界层雷诺数 1沿柱体表面的分布。 从而很容易的找 出不稳定点，
27、即 11crit的位置，也就是代表稳定性极限的 1critUxl:曲线与各种流动雷 诺数 Ul下 1沿 xl分布曲线的交点。 由于1UllU 可见只要从图 8-6(a)中知道相应各断面 xl处的 1l，即可算出该断面的边界层雷诺数 1U，U 可由图 8-5 查得。 图 8-9 椭圆柱绕流层流边界层稳定性计 对于各种不同形状物体均可得出类似图 8-9 的曲线从而确定临界雷诺数 1critU及其位置。 对于圆柱及不同 ab的椭圆柱，图 8-10 中给出了他们不稳定点的位置。 图中 M 点表示最小压 强点位置 critx。 S 点表示层流边界层分离点。 由图 8-10 可以看出对于同一个流动雷诺数R
28、eUl ，不稳定点位置与绕流体的形状有关，其中平板边界层相当于 ab的情况。 圆柱体的 不稳定点在柱面上的位置变化最小。 同一形状的绕流物体则其不稳定点位置随着雷诺数 Re的增 加向物体前部移动。 图 8-10 不稳定点位置随雷诺数变化 8.4 影响层流稳定的其他因素 8.4.1 来流紊流度 为了研究由层流到紊流的转捩，有必要确定一个能够代表来流扰动程度的参数： 2213uvwNU (8.4.1) 式中 u， v， w为三个坐标轴方向的来流的脉动流速，为时均流动的未扰动流速。 远离物体上游未受绕流物体影响的来流中扰动的程度对于边界层流动的转捩是一个重要的影 响因素。 可以想象来流紊流度具有较高
29、数值时，具有较低的临界雷诺数。 这一个结论已为很多 实验所证实。 对于各项同性紊流，即在三个坐标方向扰动的均方值相同， 22uvw (8.4.2) 于是紊流度可以写为： 2NU (8.4.3) 8.4.2 体积力对转捩的影响 1. 凸壁上的边界层（离心力的影响） 在从层流向湍流转捩的几种情况下，作用在边界层上 的外力起这主要的作用。 在两个旋转的同心圆面之间的流动就是这些情形中的一个例子。 当内 圆柱静止而外圆柱均匀旋转时，圆柱面见流体的速度实际上总内壁面的零线性地增加到外壁面的 圆周速度。 圆环中外层流体质点受到的离心力大于靠近轴线的质点的离心力，趋于向外甩出，有 反抗向内运动的趋势。 同样
30、，由于作用在内层质点的离心力小于远离轴线的质点的离心力，内层 流体质点很难向外运动。 这样，流体质点受到一个或许能称之为“向心升力”的力的作用。 因 此我们可以这样理解，作为湍流运动特征的横向脉动将受到离心力的抑制，在这种情形下，离心 力具有稳定作用。 迄今所介绍的各种稳定性计算方法都是只适用于平板的情形。 考虑到壁面弯 面的情形有很重要的实际意义。 H.Goertler 将 Tollmien 关于有拐点的速度剖面的稳定性准则推 广到包括壁面曲率影响的情形。 Tollmien 关于平直壁面的稳定性定理:在大 Reynolds 数的极限 情况下, 2dUy改变符号的速度剖面是不稳定的，在弯曲壁面
31、的情形下必须作如下修正：表达 式 2d1UyR 的符号改变将引起无摩擦不稳定性。 这里表示壁面的曲率半径， 0R为凸壁； 0为凹壁。 按照这个准则，在凸壁最小压力点前面一点的位置，二维扰动将变得不稳定，而在凸壁面的情况 下，扰动失稳发生在最小压力点后面一点的地方。 但是整个说来，如果边界层厚度 和壁面曲率 半径 R之比满足条件 1R:。 那么壁面曲率的影响很小。 对于凹面，更为重要的是另外一种 类型的不稳定性，迹象对于某些三维扰动的不稳定性，后面将提到。 2. 非均质流体的流动（分层效应）流体密度沿垂直方向的变化影响着沿水平平直壁面流动的 稳定性，在某种意思上，这种影响类似于均质流体沿曲面壁流
32、动时离心力的作用。 当流体密度沿 垂直方向越向上越小时，这种流体布局是稳定的；当密度变化相反时，流动会变得不稳定。 后一 种情况下，即使流体是静止的，当从下面加热流体时也会出现不稳定。 流体失稳后，水平流体层 变成如蜂巢状的规则六角形涡流，在稳定的密度分层流动的情形下，由于在脉动运动过程中较重 的流体质点必须向上运动，而较轻的流体要顶着流提请压力向下运动，抑制了沿垂直方向的湍流 混合运动。 如果流体密度梯度足够大，湍流甚至可能完全被抑制住。 在一些气象过程中这是很 重要的现象。 例如，在夏季凉爽的夜晚，微风吹拂，可以观察到在牧场潮湿的田野上空笼罩着一 层边缘清晰的薄雾。 这个现象表明，风已经不
33、再是湍流，空气层作层流运动，一层层地滑动而无 湍流混合。 产生这种现象的原因是由于夜晚地面冷却，在空气中形成了明显的温度梯度，它抑制 了较热、较轻的大气上层空气与靠近地面较冷、较重的空气相混合。 有时在傍晚可以观察到风 “完全平息”,也是由于同样的原因：在离地面较高的高度上，风比较强烈，但是靠近地面时，由 于空气冷却抑制了湍流脉动，这就大大地减小了风速，再有，在 Kattegat 海峡出现的淡水在盐水 上面流动，以及当冷气团在热空气下面形成高压气楔时 Bjerknes 极锋明显的稳定性都属于这一类 现象。 L.Prandtl 将密度分层流动和前面讨论过时的、有离心力影响的沿曲壁的流动联系在一起
34、，使 用能量法进行了分析。 他指出，分层流的稳定性，除了通过对马赫数的依赖关系外，还取决于被 称为 Richardson 数的分层参数 2di wgURy (8.4.4) 其中 g表示重力加速度， 为密度，并且 的正方向是垂直向上的，下标 w指示速度梯度在壁面 取值。 0iR对应于均质流体， 0i表示稳定的分层流动， 0iR表示不稳定的分层流动， L.F.Richardson 和 L.praudal 使用能量法证明了当 2iR时湍流可能会被完全抑制掉。 G.I.Taylor 改 进了 Praudal 的论证，得到稳定性界限为 1i。 H.Ertel 给出了这个准则的热力学证明。 G.I.Tay
35、lor 和 S.Goldstein 最早应用小扰动方法研究了这个问题。 他们假设无界流体中存在 着连续的密度分布和线性速度剖面，忽略粘性和速度剖面中曲率的影响，从而得到稳定性界限为 14iR 。 H.Schlichting 利用 Tollmien 理论研究了密度分层流动的稳定性。 它在计算中假定平板 的速度剖面是剖面，在边界层内由外密度不变。 图 8-11 在有密度梯度的零攻角平板中，临界雷诺数随 iR的变化 从计算结果可以发现，临界雷诺数随着 Richardson 数增加而急剧增加（图 8-11） ，从 0iR（均质 流体）是临界值 R645crit增加到 10.24iR时的 critR。
36、因此，当0.2i （稳定流体） (8.4.5) 时平板流动处处都是稳定的。可以看到，稳定性界限的这个数值比前面几种理论给出的值要小得 多。 理论计算和 H.Reichardt 实验结果的比较见图 8-11。实验是 Goettingen 在一个专用的矩形风 洞中进行的。风洞上壁面用蒸汽加热，下壁面用水冷却，空气从中流过。可以看出，所有观察到 地层流都落在稳定范围内，而湍流都落在不稳定范围内，因此，理论计算结果与实验结果吻合得 十分好。 G.I.Taylor 在海流中观察到湍性流动，这种流动的 Richardson 数相当高，出现这个现象的原 因看来是由于在流动中不存在壁面的影响。 最近 J.T.
37、Stuart 从理论上研究了磁场对转捩的影响。 他发现在两个平行平板之间地层流情形下，当磁力线平行于壁面时，临界雷诺数明显的增加。 3. 凹壁上的边界层 在沿凹壁的流动中，会出现相类似的这种相对于三维扰动的不稳定性 现象。在凸壁上形成的边界层中，离心率起着稳定的作用，但它的作用很弱。与此相反，凹壁上 离心力的不稳定作用使流动出现一个不稳定，类似于图所示得泰勒涡的图像。H.Goertler 第一个 证实了沿凹壁的离心力的不稳定作用。考虑沿 x方向的基本流动 Uy（ 是离开壁面的距离，z 在壁面上与流动方向垂直，见图） ，假设在其上叠加一个形式如下的三维扰动： 11costttuyzevw (8.
38、4.6) 其中 为实数，是扰动增长率， 2是与主流方向垂直的扰动的波长。 以小扰动方法为基础，计算三维漩涡随时间的增长率，最终归结为一个特征问题，这一点是 和二维扰动稳定性分析相类似的。在有关研究工作中已经考虑到粘性的影响。这个特征值问题是 十分困难的，H.Goertler 于 1940 年底一个发表了它的近似解，而后， 1973 年 F.Schultz-Grunow 考 虑了一阶小量的所有项，建立了更精确的理论。 图 8-12 凹形壁面上边界层的稳定性（ 0）随边界层厚度于壁面曲率 R不值的变化，根据 F.Schultz- Grunow 边界层厚度 120xU 壁面曲率半径 在图 8-12
39、中画出了它的数值结果。 可以看出，当相对曲率 0.2至 0.1 时，稳定相界限 的最小值出现在 04RU至 6 之间。 表面即有凸壁也有凹壁的物体进没在来流中，F.Clauser 和 H.W.Liepmann 对这种壁面上的边 界层转捩现象进行了实验研究。 图 8-11 中画出了由提供的若干实验结果。 图 8-13(a)的曲线证 实了理论估算的结果，在凸壁的情况下，壁面曲率对临界雷诺数的影响很小，凹壁的临界雷诺数 要小于凸壁似的值。 图 8-13(b)画出了参数 2trtUR 随 2trR变化的曲线。 图的曲线表明转捩发生于 27trtR (8.4.7) 这个数值远远大于相应的稳定性界限（其值
40、为 0.4，见图 8-12） 。 此时应该注意到，在稳定性界 限的定义中不是采用边界层厚度而是采用动量边界层厚度 20.47。 (a) (b) 图 8-13 略有下凹地壁面的边界层转捩点的测量值，根据 H.W.Liepmann. (a) 临界雷诺数 2trU随 R变化的曲线； (b)特征量随变化的曲线 2动量厚度，R=壁面曲率半径 按照 H.L.Dryden 的看法， 8-31 式中右端的数值在 6 至 9 之间，取决于来流的湍流度，下限对 应与来流湍流度 0.3T，上限对应于非常低湍流度的情形。 H.Bippes 使用水槽拖曳模型，在最近完成了沿凹面曲壁边界层转捩的非常全面的实验研究。 这些
41、实验有助于理解出现类似于图 8-13(b)的纵涡的原因。 关于这方面可见 F.X.Wortmann 以及 H.Goertler 和 H.Hassler 的文章。 后来 H.Goertler 注意到这样一个实验现象，即和上述凹壁属于同一类型的不稳定性可以发生 在钝头体绕流的前驻点附近。 在前驻点附近流线沿速度增加的方向向下凹，满足边界层不稳定的 必要条件。 但是到目前为止还不能给出以雷诺数表示的稳定性界限。 N.A.V.Piercy 和 E.G.Richardson 进行的实验证验在圆柱前驻点附近的流动的确实变成了不稳定的。 H.Goertler 对 稳定性理论中的三维效应作了评述。 8.4.3
42、 粗糙度对转捩的影响 我们考察固体壁面粗糙度对转捩过程的影响，这是一个具有很大实际意义的问题。 特别是自 从层翼型在航空中得到应用以来，这个问题显得更重要了。 但是，迄今还不能对这个问题从理论 上加以分析。 到目前为止，人们收集了非常广泛的实验资料，其中包括圆柱（二为粗糙元）和点状（三维 单个粗糙元）粗糙度以及分布的粗糙度对转捩的影响。 许多研究还包括压力梯度、湍流度或者马 赫数对转捩影响的实验数据。 一般来说，粗糙度的存在有利于专列，当其条件度相同时，在粗糙 度上发生转捩的雷诺数要比光滑壁的低一些。 从稳定性理论来分析显然应该如此：粗糙元的存在 形成了层流中的附加扰动，必须把他们加到有湍流产
43、生并且已经存在于边界层中的扰动上去。 如 果由粗糙度产生的扰动大于由湍流度形成的扰动，我们必然会预计到更低的扰动增长率就足以使 边界层转捩。 另一方面，如果粗糙元非常小，它产生的扰动降低于某一“阈值” ，这个值是来流 中湍流产生的扰动的特征。 此时可以预计到粗糙度的存在对转捩没有影响 早期论述粗糙度对转捩的文章是：假定当粗糙元很大时，转捩点位于粗糙元所在的位置上， 或者当粗糙元很小时，它们的存在根本不影响转捩。 然而，A.Fage 指出，随着粗糙元高度的增 加，转捩点不断的向上游移动，直到它达到粗糙元本身所在的位置。 因此，在讨论粗糙元对边界 层转捩的影响时，必须回答下列三个问题： 1. 不影
44、响转捩的粗糙元最大高度（层流中粗糙元的临界高度）是多少？ 2. 转捩发生在粗糙原本审度在位置时，粗糙元的极限高度是多少？ 3. 对于介于着两个极端情形之间的一般情形，怎样才能确定转捩点的位置？ （1）单个的圆柱状粗糙元 单个的圆柱状（或二维）粗糙元通常是一条金属丝，它紧贴在壁面 上，与来流方向垂直，对这种形状的粗糙元，S.Goldstein 从艺有的测量结果得出了它的临界高度， 即不影响转捩的最大高度为 *7kcritu (8.4.8) 其中 *0kku表示摩擦速度， 0k是在粗糙元位置上层流边界层的壁面切应力。 按照 I.Tani 和 它的合作者的意见，转捩发生在粗糙元本身所在位置时，粗糙元
45、的最小高度可以由关系式 *15kcrit 得到，而 A.Fage 和 J.H.Preston 则选取公式*20kcritu (8.4.9) 上述特征适用于圆截面的金属丝。 对方的和杯形截面或槽型截面的情形，这些特征值的值要大很 多，然而对边缘尖锐的粗糙元，其值变小。 H.L.Dryden 提出一种 量纲分析的方法，由此得到一个经验公式，用粗糙元高度 k及其位置kx 来确定转捩点位置 trx。 Dryden 发现，在不可压缩流动中，当转捩不发生在粗糙元本身所在的 位置时，即 trk时，所有转捩点的实验值都落在以雷诺数 1trtrRU为纵轴，以比值 1kK为 横轴的同一条曲线上，其中 1tr是转捩
46、点位置上的边界层位移厚度， k表示粗糙元位置上的边界 层位移厚度，见图 8-14。 在图 8-14 中还标出了 xtrtr的尺度。 随着高度 k的增加，转捩点位置 trx向着粗糙元移动，这意味着图 8-14 的曲线从左到右横移。 只要转捩点一到达粗糙元本身所在的位置，即当 trk时，转捩点的实验值开始向上偏离这条 曲线，然后他们落在以 kx为参数的一组织线上，这族直线的方程 113.0trkUx (8.4.10) 图 8-14 中也画出了这族直线。 根据日本人的测量结果，图 8-14 中曲线的双曲线状分支对各 种湍流度和压力梯度较小的流动均适用。 图 8-14 在不可压缩流动中，当存在着单个的
47、二维粗糙元时，层流边界层的临界雷诺数 随粗糙元高度 k与粗糙元位置上边界层位移厚度 k的比值变化的曲线 增加湍流度只引起曲线向左偏离的早一些，即临界雷诺数趋近于光滑平板的临界雷诺数0xtrxtrkR （ xtrR的值与湍流度有关） 。 K.Kraemer 将其它的测量结果综合在一起进行分析得 出结论，如果 90Uk (8.4.11) 那么在任意位置上的金属丝都能充分有效地使流动在其所在的位置上发生转捩。 在图 8-14 中也 画出了这个公式的曲线，它与实验结果符合得很好。 但是应该注意到，即使是早“充分有效”的 绊线的情形，转捩点 trx位置和绊线自身的位置 kx之间仍然保持一定的最小距离。 根据 K.Kraemer，这个最小距离为 4210trkUx (8.4.12) 相应的曲线画在图 8-15 中。 将粗糙度临界雷诺数与光滑壁临界雷诺数的比值，即 xtrxtrR粗 糙 光 滑 随 1k的变化画出来 （见图 8-16） ，就可以把湍流度的变化对转捩的影响反映出来。 在用这种方法作图时，我们发现 具有不同湍流度的测量结果落在一条曲线上，表明 xtrxtr粗 糙
