1、 周期函数 一、 周期函数的定义 1、 对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有()fxTx ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期。fT()fxT 注意： 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其 定义域必为至少一端无界的集合。 理由：设周期为 T,由周期函数的定义知 f(x+T)=f(x),易得 f(x+nT)=f(x) (其中 n 是整数),即 x+nT 也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。 例题： 是周期函数吗？si(01)yx 变的只能是 的变化只能发生在 上。例如 是周期函数，则T()sin38)fx ，
2、不能写成 。()sin3()8fxxT()Tx 例题： ，那么 2 是 sin 的周期吗？2si3 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。 例如： （ ） （ 是取整函数，表示不超过 x 的()fxxx 最大整数） ，该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义 域两端都有界，所以其必不为周期函数。 二、 周期函数问题的相关题型及解答。 核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期 T，即将题目里各种 的()fx 等式往 方向化简。()(fxTf 化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意 本身的对称()f 性和奇偶性。 三、 抽象函数的周期总结 1. 型： 的周期为
3、 T。fxfT()fx() 证明：对 x 取定义域内的每一个值时，都有 ，则 为周期函数，T 叫fxf()(fx() 函数 的周期。f() 2. 型： 的周期为 。xafb()fx()|ba 证明： 。f() 3. 型： 的周期为 2a。fxfx()()f() 证明： aafxfx()()2 f 4. 型： 的周期为 2a。fxfx()()1f() 证明： 。fafafxfxf()()211 5. 型： 的周期为 。fxf()(1fx()2 证明： 。fafafxfxf)()()21 6. 型： 的周期为 4a。fxfx()()1f() 证明： ，fxafxafxa()()()2111fxff
4、()()() 。fxfxfxafxf()()()()4221 7. 的周期为)(1)(xfaxf)(xfyaT2 证明： = 。1()(2)()fxafxafxa1()()fxff 8、 的周期为1)()(xfaxf )(xfy3Ta 证明： 1()1()()()1(2) ()1(2)()3 fffaxfxfxa ffxff 9、 的周期为)()2(xfafxf)(xfyaT6 证明： fff (3)(2)()fxafxfxa()()(ffff 10.两线对称型：函数 关于直线 、 对称，则 的周期为 。fx()xabfx()|2ba 证明： 。fxfabxffff()()()()22， 8. 一线一点对称型 ： 函数 关于直线 及点（b，0）对称，则 的周期为fxxafx( 。|4a 证明： ，所以fxfxbfaxfbxfbafx()()()()()2222fafbafff()4 9. 两点对称型： 函数 关于点（a，0） 、 （b，0 ）对称，则 的周期为 。fx() fx()|2ba 证明： 。fabffxfxff()()()22
