第七章群论...doc

1、第七章 群 论 1 群的基本概念和一般理论 一、群的定义和例子 群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用 G 来表示这个集合，并设它 含有的元素是 A，B，C，E 等等。不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必 须满足下列四个条件： 1. 封闭性 G 中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”） ，其结果任然是 G 中的元素。 如 A 属于 G： B 属于 G： 则有 ( ) （7.1- 1） “乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许 用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。一个数学群必须首先定 义一种乘法。 2

2、. 缔合性 三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。如 A B C=A ( B C )= (A B ) C (7.1-2) 即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。 3. 单位元素 G 中有一个元素 E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即 E A=A E=A, (7.1-3) 称 E 为单位元素或恒等元素。 4. 逆元素 G 中每一个元素 A，都有另一个元素 A-1，两者相乘等于单位元素 E，即 A = A=E, (7.1-4) 称 为 的逆元素。逆元素可以是该元素本身。 下面我们举几个群的例子 （2） G=所有大于 0 的实数 集合 G 包含所有大于 0 的实

3、数，对普通的乘法而言，组成一个群。 满足封闭性和缔合性是显然的。1 是单位元素，任一实数 m 的逆元素为 。 (3) G=0,1, 2, 3n 集合 G 包含 0 和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。此例中 “乘”的意思是加。 1+2=3 封闭性满足 1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6 缔合性满足 0+3=3+0=3 0 是单位元素 n+(-n)=0 n 有逆元素-n 213 （4） G=E、I ( Ci ) 这个群（称为 Ci）里面的二个元素是“对称操作”，E 是不动，I 为对原点的倒反。这种 群（组成元素是一些对称操作）称为对称群或点群。 把 E 和 I 作

4、用到任意函数 上，结果为： 如果对 先用 E 作用，再用 I 作用： , 因为 是任意函数，故， I E=I0（可见，在这里“乘 ”的意思就是指连续作用） 。同理， E I=I;I I=E;E E=E。可以把以上结果归纳为乘积表（或称乘法表）： E I E E I I I E 可见封闭性满足。 I E I=( I E ) I=I I=E I E I=I ( E I )=I I=E 可见缔合性满足。 单位元素是 E，E 的逆元素是 E，I 的逆元素是 I。 （5） H2O 分子（ ） 我们选 z 轴通过氧原子并平分氢原子之间 的连线。于是整个水分子再 yz 平面上，有一 个对称面 ，为 xz 平

5、面，与此相联系，存在 一个镜面反映动作，亦用 表示。 另一个对称面 ，为 yz 平面，与此相联 系的操作是 。 有一个对称轴 c，就是 z 轴，即分子绕 z 轴转动 180复原，此对称操作亦用 C2 表示。 还有一个对称操作是 E：不动。 因此，这个点群包含四个对称操作： G=E,c2， ， 称为 。 其乘积表为： 214 群元素为对称操作的群称为对称群（ Symmetry group） ，亦称为点群（Point group） ，因为所有对称操作进行时至少有一个点保持不动，或从对称元素来定义： 因为所有对称元素只收在一个点相交。 215 (1) G=1, -1, I, -i 对普通乘法而言，构

6、成一个群。 封闭性：1 (-1) = -1 (-1) (-1) = 1 i i = -1 i (-i) = -1 缔合性：1 i (-1) = i i (-1) =i (-1) = -i 1 i (-1) = 1 i (-1) = 1 (-i) = -i 等。 单位元素：1 逆元素：i (-i) = 1 (-1) (-1) = 1 1 1 = 1 群中元素的数目称为群的“阶”，用 h 表示，本例中 h = 4。 显然例(2)(3)中群元素的书目 h 为无穷大，故称为无限群，例(1) 则是有限群。 应当区别对称操作和对称元素这两个概念，对称操作是一种动作，通过这种动作可 使物体( 包括分子)或图

7、形复原，对称操作所赖以进行的几何要素 (点、线、面) 称为对称元 素，如一个大分子(如本例中的 H2O 分子) 能沿某一轴（如本例中的 Z 轴）旋转 180，转动 后所得分子和原来完全一样( 复原) ，则称这个分子有二重轴。在群论中二重轴和旋转 180 这个动作都用同一个符号 C2 表示，而群元素则是对称操作。 从抽象的观点看，在数学上具有相同性质，尽管其元素含义实际上不一样。 如例(1) U = 1, -1, i, -i 和军训的基本动作所构成的群 V = , , , 立 正 向 左 转 向 右 转 向 后 转 同构，1 ，-1 ，i ，-i ， 且 -1 i = -i 对应 = 等。 显然

8、两个同构的群具有相同的阶，且乘积表的“ 结构”相同，因此若已知 D3 和 C3v 同构且 已知 C3v 的乘积表，则容易写出 D3 的乘积表，只要把 C3v 中的 ， ， 都换成 (手稿看不清 ) 216 E E E E E E 乘积表中第一行，第一列，及对角线元素(如 C2C2 = E 等)易知，C 2 = 等可这样得 到：任选一个点 1，先作用 得 2，再作用 C2 得 3，通过 的作用可直接由 13， 可见 C2 = 。 由乘积表可见封闭性满足。 c2 = (c2 = = E c2 = c2 = c2 c2 = E 可见缔合性满足。 每个元素的逆元素也可以从乘积表得到，如 = ， = ，

9、 = 单位元素是 E。 上面讨论的五个粒子，对群元素的乘法而言是对易的，即 AB = BA。例(1)(2)(3) 很显 然，例(4)(5)也可以从乘积表中看出。但是从群的定义，我们知道对易性不是群的必要条件， 即不是所有的群都具有对易性的，我们称这些具有对易性的群为对易群(Abel 群) 。 注 下面举一个非对易群的粒子。 (5) NH3 分子(C 3v) NH3 分子的空间构型如图 6-2(i) ( i ) ( ii ) ( iii ) 图 7-2 NH3 分子 三个 H 原子构成一个正三角形，如果作俯视图（即从 N 原子往下看） ，则如图 7-2 ( ii )。 通过等边三角形的三个顶角的

10、平分线，垂直于等边三角形有三个面（包含了 N 原子）是对 称面，称它们为 ， ， 。(如图 7-2(iii)） 由 N 原子，向三角形作垂直线，是一个三重轴，用 C3 表示，存在转 = 120 这样一个对 称操作；另外，转 240=120 2 也能使图形复原，故还有对称操作 ，加上不懂；E，一共 6 个对称操作：E， C3 ， ， 注：Abel(1801 1829)：奠定群论数学基础的年轻数学家之一。 217 G=E, , , , , 是一个点群，称为 ，其乘积表如下： E E E E E E E E 先规定逆时针旋转！ 所以 = （操作写在后面表示先作用） 积分表中的元素得到方法示例于右：

11、故 由乘积表可见封闭性满足。 缔合性满足，如： =（ ） = =E = = =E 单位元素是 E = 故群的四个基本条件全部满足。 从乘积表中我们还可以看出： （1 ） = 故 是非对易群 （2）两个旋转相乘，结果是旋转。如 = （3）两个镜像反映相乘，结果是旋转。如 （4）一个镜像反映和一个旋转相乘，结果是镜像反映。如 = (5)设 x，y，z，都是群中元素 z=xy 则 如： = = = = (一般证明见后) 218 （6）乘积表中每一行或每一列，每个元素都出现一次，只是排列次序不听，这称为重拍定 理，可以一般证明如下。 设 G=E， 共 h 个元素，用 表示其中的任何一个。 X G,则

12、xG= xE， (任一行) Gx=( Ex， ) (任一列 ) 我们来证明 Gx=G（xG=G 同理可证） 证明 i)根据封闭性，若 x G, G,则 G ii)设 ,则 反证法：若有 则有 即 和假设矛盾！ 故 ，即没有重复出现的。 群 Ex， 一共也是 h 个元素，每个元素也都属于 G ，且每个元素都不同。 可见 Gx=G 即乘完以后，只是群元素的次序有所变化，是那几个群 元素，群元素的个数都是不变的。 以上证明 Gx=G 相当于证明了乘积表中每一列满足重排 定理，对每一行，即 xG=G 同理可证。 重拍定理的用处是检验乘积表正确与否当某一行或 某一列缺一个结果可以用重拍定理把它填上。 课

13、堂练习：构造 的乘积表 二、子群及其陪集 首先看 分子的对称性，如图 7-3 所示，是一个三角双锥。 中间有一个三重轴 （主轴） ，垂直于 轴有一个对称面（ ） ，在这个面上有三个垂直 于 轴的 轴。还有三个包含 轴和 轴的对称面（ ） ，还有 一共有十二个对称操作，属于 群。 G=E, = 注：因为 对于象转运动，可能有些读者不如对旋转、反映、倒反那么熟悉，这里简要说明一下。 象转是旋转和反映的复合对称操作，实现这一对称操作所凭借的对称要素称为象转轴。通常都是用 表示。 = 当 p=偶数时： = 当 p=奇数时： = = 因此 当 n=偶数时 当 n=奇数时 而 （不管 n 是奇或偶都对）

14、219 在这个群里面,可以找到一个较小的群, 如 C3=E， c3， ， ， ， ,D3= E，c 3，c 32，c 2， ， ,称 C3, D3 为 D3h 的子群。 在 C3, D3 里面还能找到更小的群：c 3。 c3： E,c3,c32是三阶群。 还有二阶群：E, 、E, 、E, 称为 Cs。 最后还有一阶群：E 称为 C1。 这些都是 C3的子群。 这里我们可以看到一个 12 阶群的子群的阶是 6 和 1、2、3 。12 都可以被它们整除。 可以一般地证明：n 阶群的任意子群，若子群的阶为 m,则 = 是正整数。 这称为 Lagrange 定理，为了证明这个定理，需先介绍子群陪集的概

15、念。 设 H 为群 G 的一个子群，A 为群 G 的一个固定元素，则定义 AH 为 H 的一个左陪集， HA 为 H 的一个右陪集。 注 如 H=E, H C3 H 的左陪集有： EH=H c3H= c3, H= , H= , E=H H= ， H= , c3 其中 EH= H c3H= H H= H 所以 C3=H+ c3H+ H= H+ H+ H 上式可以一般地表示为 G=A1H+A2H+A H （7.1-5 ） A1 通常可选为 E， 式（7.1-5）通常称为群 G 按子群 H 的左分解。 同理可作群 G 按子群 H 的右分解： G=HB1+HB2+ +HB （7.1-6） (可以证明

16、Bi=Ai-1) 定理：在有限群 G 中，子群 H 的两个左（或右）陪集或无公共元素，或为相等元素的集合， 且 H 的每个陪集（左或右）所包含的元素数与 H 的阶数相同。 证明：若 A1H 和 A2H 有一个共同元素 x,则 x = A1h1 = A2h2, h1h2 为 H 中的元素，从而 A1=A2h2h1-1，设 h 为 H 中的任一元素，A 1 h =A2h2h1-1 h= A2h3，根据 H 的封闭性 h3= h2h1-1 h 也属于 H，由于 h 是 H 中的任一元素，故上式说明 A1H=A2H。 注：一般来说。子群的陪集不一定构成一个群。 220 设 h1=E，h 2hm 为 H

17、 的 m 个元素，而 A1 为 G 的任意一个元素且 A1 不属于 H，则 A1h1，A 1h2A1hm 是 m 个不同的元素，因为若 A1hi=A1hj，则两边左乘 A1-1 会导致 hi=hj 从而和假设矛盾。由此可见 H 的每一个左陪集都有相同个数的元素且和 H 的元素个数相同。 设 A2 为 G 中另一个元素，即 A2 A1，则 A2h1，A 2h2A2hm 也是 m 个不同的元素，这里只可能有这样两种情况： （ i） A2h1A2hm 和 A1h1A1hm 没有任何共同元素， （ ii） A2h1A2hm 和 A1h1A1hm 有一个或多个共同元素， 但已经证明，只要有一个共同元素，

18、则所有元素就都相同，这就证明了本定理。 对于右陪集的情况可以同样证明。 现在我们对于（7.1-5） （或（7.1-6 ） ）的认识就更深刻了， （7.1-5 ） （或（7.1-6） ）实际 上代表对有限群 G 进行一种整齐的分割，共分割成 个互不相交（即没有任何共同元素） 的陪集，每个陪集都和子群 H 有相同数目的元素。 设群 G 的阶为 n,其子群 H 的阶为 m，则由（7.1-5） （或（7.1-6） ）可见 n= = 是（7.1-5） （或（7.1-6） ）中陪集的数目，当然是正整数，这就证明了 Lagrange 定理。 称 为子群 H（在群 G 中的）指数。 三、同构和同态 D3= E

19、,c3, ,c2, ， 其乘积表为： E E E E E E E E 和 C3群比较，我们发现 D3 群的乘积表和 C3的乘积表是完全相当的，只需把 C3中的 ， ， ，换成 c2， ， 即可。我们就说 C3和 D3 是同构的。一般可以对同构下这样 的定义 设有两个群 G 和 G G= E， A1，A 2，A m =E，B 1，B 2， Bm 它们的元素之间一一对应，并且具有下列性质： 221 AiB i AkB k 且 AiAkB iBk 注 我们称 G 和 G同构。 应当指出，三个群同构，只要求他们的元素一一对应，有相同的乘法表，因此两个同构的 群不一定都是点群。将来（3）我们要学群表示理

20、论，一个点群 G 可以和一个矩阵群 M 同 构，即称 M 为 G 的一个表示。介绍同构概念的重要意义也在于此。 显然两个同构的群具有相同的阶。 （D 3和 C3 都是六阶群） 。 两个不同阶的群不能成为同构群，但有可能 成为同态群。 设有两个群 G 和 G，G 的阶大于 G的阶。若 G中任一元素都和 G 中几个元素相对应， 并具有下列性质： 若 A i1 Ak1 Ai2 Ak2 Bi Bk Ail Akm 且 A il Akm Bi Bk Ail 表示 Ai1 Ai2 中的任一个 Akm表示 Ak1 Ak2 中的任一个 就称 G 和 G是同态的。例如 G 为 C3， G=E， 只要把 , E3

21、12 ， 则乘积对应的关系就满足了。所谓“满足”是指： E,C3， 中任何两个相乘，还是 E,C3， 中的一个。EE=E2C2C ， 中任何两个相乘，是 E,C3， 中的一个。 E,C 3， 中任何一个和 ， 中任何一个相乘（且不管次序） ， ，2 中的一个。E 具体见前述 Ci和 C3 的乘积表。 若一个矩阵群 和一个点群 G 同态，则 也可以作为点群 G 的一个表示，详见本章 3，显然同阶的同态群就是同构群，因此从数学上看，也可将同构看作是同态的一个特例。 四、类 还以 C3 为例，看它的乘积表。 我们拿出群中任意一个元素，例如 ，要寻找群中那些元素和它属于一类，用的办法是作 运算： 注：

22、有很多书上把这种对应关系成为“映射” 。 222 是群中每一个元素 这样得到了元素 ,就说 y 和 是属于同一类。 = 可见 和 属于同一类 如果拿出 或 来做，则得到同样的结论。 拿出 来做，结果如下： 可见 和 属于一类 E 自己是一类，因为： 由此可见 C3 中的 6 个元素可以分为三类： E； ； 一般地，我们可以这样论证： 设 G= 对于 ,如果 是 G 中某一个元素。则 和 属于同一类。 显然单位元素 E 自己单独是一类，因为 。 对于对易群，每个元素是一类，即类的数目等于元素的数目，这是因为 = 如在上面举的例（4）G= ， 有两类： ， 。例（5）G= = ， 有四类： ， 2

23、23 如果两个群同构，如 D3 和 ，则分类也必然相同。应当指出：vC 1. 若 ,称 A,B 互为共轭元素。 （因为 Q 和 Q-1 互为逆元素，故在写法上BQA1 或 都可以）因此所谓类就是指互为共轭元素的集合。用群中任一元素 Q 按1 或 这种方法运算，一类中的元素可以互相变，但决不能变成另一类中的元1- 素。因此可以说是满足封闭性的。如 Q、A 为矩阵， 这种变换称为相似变换，以后1 我们要证明经过相似变换以后阵迹（矩阵对角元之和）不变，因此，同一类元素可以用同 一个特征标（即阵迹）来表示（详见3.） 2. 应该把产生元素和类区分开，例如 ，可以认为 是由 和 产生的元“3C“3C 素

24、，但 不属于一个类。产生元素亦称生成元，点群的 Schnflies 符号主要以生成3C“ 元来标志。 3. 应该把子群和类区分开，例如 是一个类，但不是一个子群，因为没有单位元素23c E；而 E 和 却构成一个子群，但不是一类。 4. 和子群的情况类似，同样可以证明，群中所有类的阶一定是群的阶的整数因子。 下面我们介绍几个有用的定理： 1.若 B 和 A 共轭，C 和 B 共轭，则 C 和 A 也共轭。 （和相等一样，共轭有传递性，而 对易则没有传递性。 ） 证明： 引理： A,B 为群中元素11-）（ 证明： EABA11)( （因为 亦是群中一元素）EB1) )( 1)( 所以 (引理证

25、完）11)A B 和 A 共轭： x C 和 B 共轭： 2241y 、 为群中任一元素。 xy111 )(yxAyxBC 因为 也是群中一元素，故 C 和 A 共轭。 这说明若 B 和 A 是一类，同时 C 和 B 也是一类，则 A、B 、C 一定是同一类。 由此可得重要推论：群中两个不同的类没有任何共同元素。 2.一个类中的所有元素，都具有相同的周期（亦称阶） 。元素周期的定义是：任意元素 ，若 ，则称 为 的周期。 （更严格的说法应是 中的最小值为 的周期）iAEnii niA 证明：设元素 A 的周期为 ，而 B 与 A 同类n 即 1xB )()()( 1 n11n xxn个 = 1

26、1 AxAx = （因为 ）EnEn 说明 B 的周期也是 n。这条定理可以帮助我们判断分类有没有错。 注意：逆定理不成立。即相同周期的对称元素不一定是一类。如 ，有两个对称面：vC2 ，其周期都是 2，但不是一类。v 而 ，有三个对称面： ，它们是一类。有什么简捷的办法，判断这个问vC3v“v 题呢？ 3.若两个元素（指点群中的对称操作）同类，则群中必有一个操作，能使这两个对称 操作所对应的对称元素重合。通常把这两个对称操作称为等价操作，因此把点群的操作整 理成类的最简便的方法就是把它们整理成等价操作的集合，这种集合就是类。有了这条定 理，我们就很容易看出 （ NH3 分子）中， 同类，因为

27、通过 C3 的作用，可使vCv“v 它们重合；而 C2（H 2O 分子）中的 和 则不是一类，因为要使它们重合，必须旋转v 90，而 c4 并不是 中的对称操作。v 225 若 Cn 和 Cn-1 同类，就称 Cn 轴为双向轴，否则就是单向轴。因此 中的 c3 轴是双向轴，vC3 因为存在一个 ，使 -1c3=c3-1；而 C3 群中的 c3 轴则是单向轴。v 5、不变子群和商群 我们已经知道 C3=E,c 3,c32是 C3v 的子群。如用 C3v 中的所有元素对它进行相似变换： x-1C3 ,则由上述讨论可知 x-1C3 =C3，则称 C3=E,c3,c32为 C3v 的不变子群。 群E，

28、 也是 C3v 的子群，但由于 -1= -1= c3-1c3= c32=c 1 可见它不是不变子群，同理E， E， 也不是不变子群。 一般地，设 H 是群 G 的子群，而 g 为 G 的一个元素，则称 g-1Hg 为 H 的共轭子群或 相似子群。如果对 G 的任何元素 g 都有 g-1Hg=H，则称 H 为 G 的不变子群（或自共轭子群， 或正规子群） 。 不变子群具有下列性质： i.如果 H 是群 G 的不变子群， g 为 G 的任意元素，则 g 所属的左陪集与右陪集一致。 证明：因为 g-1Hg=H，所以 gH=Hg. ii.如果不变子群 H 含有元素 A，则 H 必含有 A 所属的共轭类

29、。 证明： 因为 A H，而 g-1Hg=H，故有 g-1Hg H 下面来看 C3v 的不变子群 H=C3=E,c3,c32的陪集 H（C 3）的左陪集有： EH=H=c3 c3H=c3,c32,E=c3 c32H=c32,E,c3=c3 H=, H=, , H= , 所以 C3v=H+A2H A2=, A2H=, H（C 3）的右陪集有： HE=H=c3 Hc3=c3,c32,E Hc32=c32,E,c3=c3 226 H v=v,v,v H v=v,v,v H v=v,v,v 所以 C3v =H+H B2 B2 = v, v , v H B2=v, v , v 由此可明显看出不变子群的上

30、述二个性质。另外，若 H 为群 G 的不变子群，则有 G=H+x2H+x3H+ +xH 则可定义商群 G/H=H, x2H xH 商群中的单位元素就是不变子群 H，而商群中的其它元素就是该不变子群的陪集（右陪集 可同样定义） 如 G=C3v H=C3 C3v /C3 就是一个商群 G/H=C3v /C3 = H ， xH G/H 满足群的四个条件：单位元素是 H； HH=H 因为 xH=H x , 故 H xH=xH H=xH, xH H=xH ， xH xH=xxH H=HH=H （因为 x= v, v , v x2 =v2（或 v 2 或 v 2）=E)封闭性要求；读者可证明满足另外二个

31、条件。 联系到前面两个群 G 和 G同态，现在我们可以说，群 G 到群 G存在一个同态对应 ，G 中所有适合条件 (x) =E（E为 G的单位元素）的元素 x 的集合 H 正是群 G 的一个不 变子群。通常称这个 H 为同态 对应的核。点群 C3v =E, c3, 23 ,v, v , v 与点群 Ci=E,I 同态，这个同态对应的核就是 C3v 的不变子群 C3 =E, c3, ,。而商群 C3v /H(H=C3 )正和 C3v 同态而和 Ci 同构，因为存在一下的对应关系： C3v /H = H ， xH HE, c 3, 23 xH v, v , v 六 直接乘积 有两个群 G1=E,A

32、1,A2AiAm G2=E,B1,B2BjBk 如果它们的元素彼此相乘的意义是明确的，并且满足下列条件： AiBj=BjAi (对易性） 即 G1 中的任意一个元素和 G2 中的任意一个元素都互相对易。 则可定义一个更大的群 G,称 G 为 G1 和 G2 的直接乘积 G1G2 为 G 的直因子，表示为 G=G1G2=E,A1,A2AiAm E,B1,B2BjBk G 中包含的每一个元素都可以唯一的写成 AiBj 例如 G1=,E, c3, 3=C3 G2=E,h=CS 为垂直于三重轴 的对称平面，绕三重轴的转动和对 平面的镜像反映彼此相乘h3c h 的意义明确，且是可对易的，因此可以定义直接

33、乘积 21Ghhh CScScE353233, 是三阶的， 是二阶的， 是六阶的。一般有12 21 显然，按照子群的定义，如果 ，则 和 都是 的子群。21GG 上述直积的定义当然可以推广到多个直因子的情况。直积群有以下性质： 1.各个直因子的公共元素只有单位元素。 2.各个直因子都是 的不变子群。以上二条也就是 能进行直积分解的必要条件。G 3.若 ，而 ， ,则群 也是21 121 212G 的直积。21,G 由下述讨论可知，直积群的许多性质（如特征标）可以由它的直因子的性质导出，因 此只要有可能，我们总是愿意把一个群分解成较简单的群的直积。 直积群 对于其一个直因子的商群如 和它的另一个

34、直因子： 同构。21G1G2G 如上例中 商群 就和 同构。这和普通的乘法和除法之间的关系有shC33/hsC 点相似，读者可以由此来把握直积群和商群之间的联系。 2 点 群 对称操作的集合就称为对称群，对称群亦称为点群，因为所有的对称元素都通过一个 点，这一点在所有对称动作作用下都是不变的，对孤立分子来说，这一点实际上就是分子 的质心。 应当区别对称操作（或对称动作） ，和对称元素（或对称要素）这两个概念。对称操作 是一种动作，通过这种动作使物体或对称图形复原。换句话说，假如我们记下物体在完成 一个动作前后的位置和取向，那么如果这两个位置和取向是不可区分的话，这种动作就是 对称操作。这意味着

35、，若我们看一下物体，然后把脸背过去，让另一个人完成一个对称操 作，然后我们再看它，则我们将完全不能辨别这个操作实际上是否被完成过，因为在这两 种情况下，物体的位置和取向都是完全一样的。对称操作所赖以进行的几何元素（点、线、 面）称为对称元素，如一个分子能沿某一轴旋转 180o，转动后所得分子和原来的完全一样， 则称这个分子具有二重轴。显然，对称操作和对称元素是两个紧密联系的概念，而且除了 倒反以外，常常用一个符号表示，如 既表示旋转 这个动作，亦表示 次旋转轴；ncn o360n 既表示反映这个动作，亦表示镜面这个对称元素； 既表示象转动作，亦表示 次象转 S 轴等（倒反动作一般用 表示，对称

36、中心一般用 表示） 。应当指出点群中包含的群元素是Ii 对称操作。 应当指出，我们在结晶化学中，主要是讨论晶体的宏观对称元素，在这里讨论的是分 子的对称元素，二者基本上相同，但也略有差别。如在分子中可以有 ， ， 等旋转5c7 轴，而在晶体中，由于受晶体结构周期性的限制，只能有 五种旋转轴。64321 分子或有限图形的对称操作一共有旋转，反映，象转，倒反和旋转倒反五种，其中前两种 是基本的。后三种可以由前两种联合作用得到的。因为 I=s2， ， ，Is12s ， ， 等，为了组合成点群，实际上当采用圣弗里斯符号时，只要用163s1314s 前三种：c n， ，s n 即可。 当然在原则上还可以

37、缩减为二种：c n，s n，一个反映操作可以看作是 s1。 因为通过旋转动作，能够使得右手和右手重合，故把它称为第一类对称元素，称 cn 轴 为真轴；而通过反映动作，实际上是使左右手重合，故把它称为第二类对称元素，把 sn 称 为非真轴，相应的操作称为非真轴转动。 （因为左右手不能真的重合） 我们将采用 Schonflies 符号来标志点群，因为在另外一组符号（国际符号）建立以前， 点群的 Schonflie 符号已经牢固地建立起来，现在几乎所有的群论书上都采用 Schonflies 符 号的。在 Schonflies 符号中非真转动时转动+反映，在国际符号中非真转动时转动+倒反。 讨论各类点

38、群也就相当于考虑对称元素各种可能的组合，显然在一个分子中不允许各 个对称元素作任意的组合，如一个分子有一个且只有一个 c3 轴，则任何另外一个对称操作 一定要使此轴与自身重迭（否则，就会出来两个 c3 轴和假设矛盾）因此我们不可能有一个 与 c3 为任意角度的对称面，可能存在的对称面一定要么是包含 c3 的，要么是垂直 c3 轴的。 因此未来下面讨论的方便，先介绍一个有关对称元素组合的定理。 一、对称元素的组合定理 1、两个相交反映面所对应的反映动作的乘积等价于一个转动，转动轴为相交面的交线， 基转角为交面夹角的二倍。 证明：如图 7-4 所示，反映面 和 相交，夹角为 。设有一点 P，则通过

39、 可将 P 反映到 P，再通过 将 P反映到 P，POP=2 。如以两个面的交线为旋转轴，则旋 转 2 亦能将 P 变到 P（注意：逆时针旋转） ，故 (7.2-1) 反过来，若先从 P出发，则先作用 ，再作用 ； 或绕两个面的交线轴旋转-2 ，都能使 P P，故 图 7-4 =C(-2) (7.2-2) 一般来说，C(-2) C(-2) ，故 即一般说来是不能交换的。但如果 =/2 ，即 垂直，则由于 c( )=c(- )=c2,所以此时 = =C2 值得注意的事若有了 和 ，则一定也会存在 ，这只有在（6.21）两边右乘一个 -1 即可（ -1= ） ， =c（2 ） 2.两个相交为 角的

40、两次旋转轴的旋转动作的乘积，等价于一个旋转动作，旋转 轴 这二个二次轴，基转角为 2。 注 证明： 如图 7-5 所示 = c(2) （ 6.2-3） = c(-2) （ 6.2-4） 一般来说 特殊情况： = 由于 c()=c()=此时= 既有三个互相垂直的二重轴。同样，在（6.2-3） 二边右乘一个( =),则有=c(2)即若有 一个 c(2)，同时还有一个和它垂直的，则一 定会存在另一个的夹角是 。 图 7-5 四、各类点群 下面讨论实际上常遇到的各类点群。首先介绍一下无轴群： 无轴群包括 C1Cs 和 Ci。 1、 没有任何对称元素的分子属于 C1 群，它的唯一对称动作就是不动可以归入

41、 Cn 群讨论 （见（一） ） 2、 Cs=C1h 它包含两个对称操作： E， h，可以归入 Cnh 讨论（见（三） ） 。 3、 Ci=S2 它包含两个对称操作：E，I 可以归入 Sn 讨论（见（七） ） 。 （一）C n 群 有一个 n 重对称轴，绕轴可以有 n 个不同的转动，组成一个对易群，称为 Cn。C n 包含的元素为： Cn=， ，它的阶数等于 n。 由于每个元素都互相对易 = 因此每个元素自成一类，共有 n 类 Cn 群是一种循环群。h 阶循环群定义为一个元素 x 及其全部 h 个冥，一直到 xh=E。 前面曾经提到若 xh=E，则称 h 为元素 x 的周期，由于 h 又是元素

42、x 生成的循环群的阶，正是在这个 意义上又把它称为阶。C n 的周期（或称阶）就等于 n。 分子中常见的 Cn 点群有 C1C2 和 C3。 C1 即没有任何对称元素的分子所属的点群，它的唯一的对称动作就是不动，例如甲烷中的三个 H 分别为 F、Cl、Br 所代替而得的 CHFClBr 就是一个例。C 2 的例子是 H2O2（非平面平衡构型） （见图 7-6（a） ） C3 的例子是沿 CC 轴部分扭转的 H3CCCl3， （二）C nv 群 除有一个 n 重对称轴外，通过对称轴还有对称平面。由上述定理 1 可知，由于 n 重对 称轴的 图 7-6 (a) H2O2 分子（非平面平衡构型）c

43、2 (b) H2O2 分子（顺式平面非平衡构型）c2 存在，有一个对称平面必然带来其他（n-1）个对称平面。因此 包含 2n 个元素，它们是Cn n212 ， cCnnE 除了 是对易群外，其它都是非对易的。2 凡是正 n 棱锥形的物体都属于 。n 分子中属于 点群的很多，如 H2O、HCHO、CH 2X2（ X=卤素） 、COCl 2 顺式平面构型的 H2O2 等 属于 （图 7-1） （图 7-6(b)）NH 3、CHCl 3、CH 3Cl 等属于 （图 7-2） 。BrF 5 等属于 （图 7-2 C3 C4 7(a)） 。设有对称中心的直线型分子，如 HX（X=卤素） 。NO、CO、H

44、CN 等属于 （图 7-7(b)） ，因为C 沿直线型分子的轴旋转任意小的角度 ，分子都能复原，由 =360/n，得，同样可以认为包含分子轴的 无穷多个平面都是对称面 。 （三） 群Cnh 除了有一个 n 重对称轴外，垂直于 轴有一个对称面 。因为 ，所以就必然带来（n-cnhscnh 1）个象转对称元素，共 2n 个群元素，即 cSCnhhnnhE1212 ， 当 n 为偶数时， ，即存在对称中心。Isnh22 （a）BrF 6 (b) HCN 图 7-7 （a） (b) cA c 因为 故不算新增加的对称元素snhnh2 2scnnh 11I2 当 n 为奇数时 s nnhh 22 snn

45、hnh 12121 总共都是 2n 个元素，各元素之间可以对易，故一共有 2n 类。 分子中常见的 Cnh 点群有 C1h 及 C2h。C 1h（亦称 Cs）只有一个镜面 ，没有其他对称元 素（除了 E 以外） ，凡是没有其他对称元素的平面型分子，都属于 C1h。如 和叠 氮酸 HN3 等（图 7-8） 属于 C2h 点群的分子有 C2h 群的元素除 E 外还有 c2,n 和 Is2。 属于 C3h 群的例子有 Cnh 群实际是 Cn 群和 C1h=E,h群的直接乘积，即 Cnh= CnC1h =E,cn,cn2cn-1E,h =E,cn,cn2cnn-1,h,hcn,hcn2hcnn-1 （四）D n 群 除了有一个 n 重对称轴（称主轴）以外，垂直于 n 重对称轴还有二重轴。由上述定理 2，可知由于 cn 的存在，有一个