1、1 辽宁省瓦房店市高级中学 2018-2019 高二下学期期末考试理数试 卷 考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题 目要求 .) 1. 已知集合 A 1,1,3 ， B y y lg x ，则 A B ( ) A. 3 B. 3 C. 1,3 D. 1,1,3 2. 已知复数 z 3 4i (其中 i 为虚数单位 )， 则 | z |2 ( ) A. 5 B. 25 C. 7 24i D. 7 24i 3. 已知向量 AB (cos ,sin ) ， AC (1, 3) ， | BC |
2、3 ， 则 AB AC ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 4. 在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度 ( 单位： 错误！未找到引 用源。 ， 记作 错误！ 未找到引用源。 ) 和氢氧根离子的物质的量的浓度 ( 单位： 错误！未找到引 用源。 ，记作 错误！未找到引用源。 ）的乘积等于常数 错误！未找 到引用源。 . 已知 pH 值的定义为 错误！未找到引用源。，健康人体血液 错误！未找 到引用源。 值保持在 7.35 7.45 之间，则健康人体血液中的 错误！未找到引用源。 可以 为 ( ) ( 参考数据： 错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ) A.
3、5 B. 7 C 9. D.10 5. 一组数据中的每一个数据都减去 10，得一组新数据，若求得新数据的平均数是 2 1，方差是 4 ，则原来数据的平均数和方差分别是 ( ) A. 11， 4 6 若 a A. a b 0 B.9， 4 C.11，15 b ，则下列不等式不恒成立的是 ( ) B. | a | +b 0 D. 9，6 C. 1 1 0 a b D. a3 b3 0 7 “ (x 3)( x 5) 0”是 “ x 3 ”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知直线 于 ( ) y kx 4 与 抛 物 线 x2
4、 4 y 相切，则圆锥曲线 x2 k y 2 1 的离心率等 3 A. 5 2 B. 6 2 C. 2 或 6 2 2 D. 3 或 5 2 2 9. 关于函数 y sin | x | (x R) ， 下列说法 不 正确的是 ( ) A. 在区间 , 3 2 2 上单调递减 B.直线 x 0 是其图像的对称轴 C.在 R上不是周期函数 D.对称中心是 (k ,0), k Z 10. 在 ABC中，若 A 3 ， a 3， 则该三角形的外接圆面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. D. 4 x2 y2 11. 已 知 双 曲 线 a2 b 2 1(a 0, b 0) 的右焦点为 F ，直线 l
5、 经过点 F 且与双曲线的 一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A， B ， 若 AF 该双曲线的离心率为 ( ) 5 FB ，则 A. 1 3 3 B. 2 2 3 C. 2 3 3 D. 3 12. 若关于 x 方 程 x2 ( ) 4 a | x x 2 | 存在 3 个不同实数根，则实数 a 取值范围是 4 A. 8,1) B. 8,0) (0,1) C. ( 8,0) (0,1) D. 不存 在 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分 ) 13. 将一枚质地均匀的硬币掷出 10 次，结果有 7 次正面向上，则本次试验中，正 面向上的频率为 x 2y 2 1
6、4. 若 实 数 x, y 满足不等式组 x 0 y 0 ，则 z 3 x y 的最小值是 15. 错误！未找到引用源。 16 M , N 分别为四面体 ABCD 的棱 AB,CD 的中点，且 AD 4, BC 2 ，向量 AD 与 向量 BC 夹角为 45 ，则 | MN | 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17(12 分 ) 已知函数 f ( x) 定义域为 R， 图像的对称中心是 (1010 , 70 ) 1949 2019 5 f ( (1)若 点 (x , f ( x ) 与 ( x , f (x ) 都在函数 f (x) 图像上，当 x x 1 2 202
7、0 时，求 1 1 2 2 1949 f (x1) f (x2 ) 的 值 .(可 直 接 写 出 结 果 ) (2)求 和 S f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 2019 ) 1949 1949 1949 1949 18(12 分) 随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产 品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富 通”，京东旗下“京东小金库” . 为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机 抽 取 1200 名使 用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表： 分组 频数（单位：名） 使用“余额宝” x 使用“财
8、富通” y 使用“京东小金库” 80 使用其他理财产品 120 合计 1200 已知这 1200 名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多 200 名 . (1)求频数分布表中 x ， y 的值； (2)已知 2018 年“余额宝”的平均年化收益率为 2.5% ，“财富通” 的平均年化收益率为 4.5% . 若在 1200 名使用理财产品的市民中，从使用 6 “余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取 5 人，然后从这 5 人 中随机选取 2 人，假设这 2 人中每个人理财的资金有 10000 元，这 2 名市民 2018 年理财的利息总和为 X ，求 X 的分布
9、列及数学期望 . 注：平均年化收益率， 也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为 3% ”即将 100 元钱存 入某理财产品，一年可以获得 3 元利息 . A1 M 19 (12 分 ) 如图， 在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， M 为 A1B1 B 1 C1 A B C 第19题图 7 1 2 的中点， AC 1,AB AA1 2 (1)求 证 ： A1C 平 面 BMC1 ； (2)若 AC BM ，求二面角 C1 MB A 的余弦值 20 (12 分 )已知抛物线 C : x2 2 py(0 p 2) 的 焦 点 为 F , M (2, y0 ) 是曲线 C 上的一 点
10、，且 MF 5 2 (1)求 C 的方程； (2)直 线 y kx 3 与 抛 物 线 C 相 交 于 A, B 两 点 ， 抛 物 线 C 在 A处 切 线 记 为 l1 ， 在 B处 切线记为 l2 ，直线 l1 与直线 l 2 相 交 于 点 P， 求 证 ： 点 P在 一 条 定 直 线 上 . 21 (12 分 )已知函数 f x 点. ln xk x m在 x e 时取得极值且 f x 有两个相异零 (1)求 k 的 值 与 实 数 m 的取值范围； (2)记函数 f x 两个相异零点 x1, x2 ，求证： x x e2 . 选考题：共 10 分 . 请考生在第 22、 23 题
11、中任选一题作答 . 若多做，则按第一题 计 分 . 8 22 (10 分 )已 知 直 线 l 的参数方程为 x 1 3t （ t 为参数），以原点为极点， x 轴 y 2 4t 的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 cos 4 (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，求 AB 23 (10 分 )设函数 f ( x) | 2 x a | | x 1| ，其中 a R . (1)当 a 3 时，求不等式 f ( x) 6 的解集； (2)若 f (x) f ( x) 5 恒 成 立 ， 求 a 的
12、取 值 范 围 . 9 高二理数参考答案 一、选择题 1 D 2 B 3 B 4B 5A 6C 7 A 二、填空题 8C 9 D 10C 11A 12 C 130.7 14 1 15 7 1 16 5 2 2 三、解答题 17 (本题 满分 12 分 ) (1) 140 2019 -(4 分 ) (2) S f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 2019) . 1949 1949 1949 1949 S f ( 2019) f ( 2018) f ( 2017 ) f ( 1 ) 1949 1949 1949 1949 将以上两式相加得 2S 140 2019 2019 ，即
13、 S 70 -(12 分 ) 18 (本 题 满 分 12 分 ) x y 200 x 600 (1) 据题意，得 x y 1200 200 ，所以 y 400 . -(4 分 ) (2)据 600: 400 3: 2 ，得这被抽取的 5 人中使用“余额宝”的有 3 人，使用“财富 通” 的有 2 人 . 10000 元使用“余额宝”的利息为 10000 2.5% 250 （元） . 10000 元使用“财富通”的利息为 10000 4.5% 450 （元） . -(7 分 ) X 所有可能的取值为 500（ 元） ， 700（ 元） ， 900（ 元） . 10 C5 5 5 2 0 1 1
14、 0 2 P( X 500) C3 C2 3 ， P( X 700) C3C2 3 ， P( X 900) C3 C2 1 . 2 10 2 2 10 X 的 分 布 列 为 所 以 X 500 700 900 -(10 分 ) 3 3 1 P 10 5 10 -(11 分 ) C C 5 11 3 6 1 E X 500 700 900 660 （元） . -(12 分 ) 10 10 10 19 (本题 满分 12 分 ) (1) 证 明 ： 连 结 B1C ，设 B1C BC1 N ，连结 MN ， M 为 A1B1 的中点， N 为 B1C 的中点， A1C MN 又 MN 平面 BM
15、C1 ， A1C 平 面 BMC1 ， A1C 平 面 BMC1 ； -(6 分 ) (2) 在 直 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 中 AC BM ， AC BB1 ，且 BM BB1 B， AC 平 面 ABB1 A1 ， AC AB . 以 A 为 原 点 ， 分 别 以 AB, AC, AA1 为 x, y, z 轴建 立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0), B(2,0,0), B1 (2,0, 2), A1 (0,0, 2), M (1,0,2), C(0,1,0),C1 (0,1,2) ， BC1 ( 2,1,2), BM ( 1,0,2) ， 设 平 面 BMC1 的法向
16、量为 n1 ( x, y, z) ， n1 BM 则： ( x, y, z) ( 1,0,2) x 2 z 0 ， n1 BC1 ( x, y, z) ( 2,1,2) 2 x y 2 z 0 令 x 2 ，得 y 2, z 1 ， 所 以 n1 (2,2,1) ， 12 2 又 平 面 BMA 的 法 向 量 -(10 分 ) n2 (0,1,0) 设二面角 C1 MB A 的平面角为 ，则由图易知 为锐角， (或者由两个法向量相 对于二面角来说，是一进一出关系，来确定二面角余弦值与法向量夹角余弦值相 等 ) cos cos n , n n1 n2 2 所以 1 2 n1 n2 3 . -
17、(12 分 ) 20 (本题 满分 12 分 ) (1) 由 题 意 ， 将 M (2, y0 ) 代 入 x2 2 py ，得 y0 ， p p 2 又 MF y0 ( ) p 5 ，解得 p 1 或 p 4 ( 舍 ) ， 2 p 2 2 13 x x 2 抛物线的方程为 x2 2 y . -(4 分 ) (2) 设 A(x1, 2 x2 1 ), B( x2 , 2 ) . 2 2 y kx 由 3 ，得 x2 2kx 6 0 ， 4k2 24 0 ， x x 2k, x x 6 . x2 2 y 1 2 1 2 -(7 分 ) 由 x2 2 y得 y x ，再对 x 求导得， y x
18、. 2 于是直线 l1 的斜率为 x1 ，直线 l2 的斜率为 x 2 ， 从而直线 l1 方程为： 2 2 y x (x x ) 1 ，直线 l2 方程为： y x (x x ) 2 ， 1 1 2 2 2 2 -(9 分 ) x2 x2 将两条直线方程联立： y x1 (x x1) 1 2 ，即 x2 x2 y x2 x1 ( x x1) 1 x2 2 x2 ， x 14 y x (x x ) 2 x y x x ( x x ) 2 x 2 2 1 1 2 2 1 2 2 x2x x2 x x x ( x x ) 将两式作差得 (x2 x1 ) y 2 1 1 2 2 ，即 (x2 x1
19、) y 1 2 2 1 ， 2 x1 x2 ， y x1x2 2 ， 由 x1 x2 6知点 P 纵坐标 y 3 . 同理可解出点 P 横坐标 x x1 x2 k . 2 由于 k R ，所以点 P 在定直线 y 21 (本题 满分 12 分 ) 3 ( x R) 上 . -(12 分 ) (1) 因为 f x ln x k x m， 所以 f x 1 ln x k ( x x2 0) ， 又 f x 在 x e 时取得极值，所以 f e 1 ln e k e2 0 ，即 k 0 ； 此时 f x ln x x m， 经检验 x e 是函数 f x 极大值点，符合题意 .故 k 0 -(3 分
20、 ) 15 因为 f x 有两个零点，所以方程 ln x m 有 2 个不同实根， x 令 g x ln x x ，则 g x 1 ln x 2 ， x 由 g x 0 得 0 x e ；由 g x 0 得 x e ； 所以函数 g x ln x 在 (0, e) 上单调递增；在 (e, ) x 上单调递减， 所以 g x max g(e) 1 e ， 又 0 x 1 时， g x 0 , x 1 时， g x 0 且 x 时 g(x) 0 ； 因此，要使方程 ln x m 有 2 个不同实根，只需 y m与 x g(x) ln x x 有两不同交点， 所以 0 m 1 . -(6 分 ) e
21、 (2)因为函数 f x 两个相异零点 x1 , x2 ， 所 以 ln x1 mx1 ， ln x2 mx2 ； 即 ln x ln x m( x x ) ， 即 ln x1 ln x2 m ； 16 1 2 1 2 1 2 x 1 2 1 2 x1 x2 又 x x e2 等价于 ln x ln x 2 ，即 m(x x ) 2 ； 由可得 ln x1 ln x2 (x x ) 2 x1 x2 1 2 ； 不妨令 x1 x2 x1 0 ，则 t 1 ， 2 上式可化为 ln t 2(t t 1) , t 1； 1 设 H (t) ln t 2(t t 1) ,t 1 1，则 H (t) (
22、t t (t 1)2 1)2 0 在 (1, ) 上恒成立； 故函数 H (t ) 在 (1, ) 上单调递增； 17 1 2 所以 H (t ) H (1) 0 ， 即 不 等 式 ln t 2(t t 1) 成立； 1 因此，所证不等式 x x e2 成立 . -(12 分 ) 22 (本题 满分 10 分 ) (1) 直 线 l : 即： 4x 3 y x 1 3t y 2 4t 2 0 （ t 为参数） ， 消去 t 得： y 2 4 ( x 1) 3 曲线 C : 2 2 cos 4 ，即 r 2cos q 2sin q 又 x2 y2 , cos x, sin y ， 2 2 co
23、s 2 sin 故曲线 C : x2 y2 2x 2 y 0 -(5 分 ) (2)直 线 l 的参数方程为 x 1 3t y 2 4t （ t 为参数） 直 线 l 的 参 数 方 程 为 x 1 3 t 5 y 2 4 t 5 18 （ t 为参数） 代入曲线 C : x2 y2 2x 2 y 0 ， 消 去 x, y 得： t 2 4t 3 0 t1 3, t 2 1 由 参 数 t 的 几 何 意 义 知 ， 23 (本题 满分 10 分 ) | AB | t1 t2 3 1 2 -(10 分 ) (1)当 a 3 时 ， f ( x) 2x 3 x x 1 6 3x 1 2 6 或 3 x 1 x 3 8 解得 x 4 ，综上所述，不等式 f ( x) 6 的解集为 8 , 4 . -(5 3 3 3 3 分) (2) f ( x) f ( x) | 2 x a | | x 1| | 2 x a | | x 1| (| 2 x a | | 2 x a |) (| x 1| | x 1|) | 2a | 2 ，所以 | 2a | 2 5 2 或 2 ， x 4 6 3 x 2 6 19 3 或 a2 3 ，即 a 的取值范围是2 , 32 3 ,2解得 a .-(10 分)
