第二章 随机变量的分布及数字特征.doc

1、 第二章 随机变量及其数字特征 31 第二章 随机变量及其数字特征 一、教学要求 1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列 和概率密度函数的概念和性质； 2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率； 3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征； 4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正 态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解； 5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。 二、重点与难点 本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种

2、分布，随机变量函数的分布、 数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。 2.1 随机变量及其分布 一、 随机变量 1引入随机变量的必要性 1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出 现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量 等等。 2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如： 掷硬币问题中，记出现正面时为“1” ，出现反面时为“0” 。 注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字 X 来表示，这个数 X 是随着试验的结果的不同 而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为

3、随机变量。 2引例 先看一个具体的例子: 例 1 袋中有 3 只黑球，2 只白球，从中任意取出 3 只球，观察取出的 3 只球中的黑球的个 数 我们将 3 只黑球分别记作 1，2，3 号，2 只白球分别记作 4，5 号，则该试验的样本空间为45145235， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为 1，2，3因此， X 是一个变量 但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机 变量 第二章 随机变量及其数字特征 32 X 的取值情况可由下表给出： 由上表可以看出，该随机试验的每一个

4、结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因 此变量 X 是样本空间 上的函数： 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件例如 表示取出 2 个黑球这一事件；2X： 表示至少取出 2 个黑球这一事件，等等X 3定义 1）描述性定义：定义在样本空间 上的实值函数称为随机变量,常用大写 X,Y,Z 等表示； 随机变量的取值用小写字母 x,y,z 等表示。 2）严格定义：设 为一概率空间， 是定义在 上的实值函数，(,)P(),X 若对任一实数 ， ，则称 为随机变量。x:Xx 4.随机变量的例子 例 2 上午 8:009:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数

5、则 Y 就是一个随机变量它的取值为 0，1， 表示通过的汽车数小于 100 辆这一随机事件； 表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件5 例 3 观察某生物的寿命（单位：小时） ，令： Z：该生物的寿命 则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实 数 表示该生物的寿命不超过 1500 小时这一随机事件150 二、分布函数及其性质 1.分布函数的概念 定义 设 为一概率空间，X 为定义在其上的随机变量,对任意实数 x,称(,)P 样 本 点 黑 球 数 X 样 本 点 黑 球 数 X 321， 3 541， 1 4， 2 ， 2 5， ， ， 2 ， 1 31， 543，

6、 第二章 随机变量及其数字特征 33 ()FxPXx 为随机变量 X 的分布函数,且称 X 服从 ,记为 X .有时也可用 表明是 X 的(F()XFx 分布函数. 2.例子 例 4 向半径为 r 的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离 X 的分布函数 ,并求 P(X()x ).23r 解 事件“ ”表示所抛之点落在半径为 的圆内，故由几何概率知Xx(0)xr 从而 2()().xFPr225PX =1-1-().339 3.分布函数的性质 定理：任一分布函数 都有如下三条基本性质:()Fx （1）单调性: 是定义在整个实数轴 上的单调非减函数，即对任意的 ，(,)12x 有 ；2()Fx （2

7、）规范性: = ；()lim()0xF = 。1x （3）右连续性: 是 x 的右连续函数，即对任意的 ，有() 0x ，0li()xF 即 。0x 证明 略。 注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。 （2）有了分布函数的定义，可以计算： ， ，()()PaXbFa()()PXFa 等。1 三、离散随机变量及其分布列 1离散型随机变量的概念 若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离 散型随机变量。 讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量 X 的统计规律必 第二章 随机变量及其数字特征 34 须且只须知道 X 的所有

8、可能取值以及 X 取每一个可能值的概率。 2分布列 设 X 是一个离散随机变量，如果 X 的所有可能取值是 ，则称 X12,nx 取 的概率ix (),12,iiipxPxn 为 X 的概率分布列或简称为分布列，记为 。iXp 分布列也可用下列形式表示： 或12()()nxxpp X12P 3.分布列的基本性质 (1)非负性： ()0,12,;ipx (2)正则性： 1.ii 注 1）离散随机变量的分布函数为： 。()()iixFp 2）设离散型随机变量 X 的分布函数为 ， 为其间断点，k =1, 2, , 则 X 的分布律为 0,12,kkkkpPx 4.例子 例 5 设离散随机变量 X

9、的分布列为 ，1230.5. 试求 ，并写出 X 的分布函数。(0.5),(1.)P 解 略。 例 6 从 110 这 10 个数字中随机取出 5 个数字，令： X：取出的 5 个数字中的最大值试求 X 的分布列 解：X 的取值为 5，6，7，8 ，9，10并且410610kCP， ， ， 第二章 随机变量及其数字特征 35 具体写出，即可得 X 的分布列： 例 7 设随机变量 X 的分布列为112,4nPc c， ， 试 求 常 数 解：由分布列的性质，得 ，所以1141 nnnXc3c 四、连续随机变量及其密度函数 1.连续型随机变量的概念 定义 设随机变量 的分布函数为 ，如果存在实数轴

10、上的一个非负可积函数 ，使()Fx ()px 得对任意 ，有 ，()()xptd 则称 X 为连续随机变量，称 为 X 的概率密度函数， 简称为密度函数。 2.密度函数的基本性质 （） 非负性： ；()0px （） 正则性： ；1d 反过来，若已知一个函数 满足上述性质(1)和(2),则 一定是某连续型随机变量()x()px X 的概率密度函数 另外，对连续型随机变量 X 的分布，还具有如下性质： （1） 。 ,(),()()()baabRPabFxd 更一般的，对一般的区间 ，有B().BPXpxd （2）连续型随机变量 X 的分布函数 是连续的,但反之不真；()x （3）连续型随机变量 X

11、 取任一确定值的概率为 0；即对于任意实数 ， ；c()0PXc 事实上， .0,()()chhPchXpxd X 5 6 7 8 9 10 P 2 51 23 57 26 第二章 随机变量及其数字特征 36 令 0,()0,P(X=c)0chpxd即 得 。 注：因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,概率为零的事件未必是不可能事件； 概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 (4) 若 在 处连续，则有()Px0 0()()xFp 3例子 例 8 设 ，求:(1)常数 K；(2) X 的分布函数；(3) 2()30KxXp令5(1).2P 解 (1)由性质 。解之得2302()1, 1

12、pxdxdx得 6.31 。 2631()0X令 (2)X 的分布函数为 26310631202() 3xxtdxFt 3214002()3xFx （3） 。23558(1)()()13124PXF51()pxd 2.2 随机变量的数字特征 概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律，但是： (1)在实际应用中概率分布常常难以精确地求出； (2)在实际问题中,有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征，而不是随机变量全 面的变化规律,如测量误差的平均误差,评定射击手的稳定性的离散度等； (3)对很多重要分布，只要知道它的某些数字特征，就可以完全确定其概率分布。 数字特征通常是指与随机变量有关的

13、，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集 中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。 一、随机变量的数学期望 1引例 某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 1 点 2，3 点 4，5，6 点 第二章 随机变量及其数字特征 37 获得（元） 1 2 4 求：一次游戏平均得多少钱？ 解：假设做了 n 次游戏， 123nn得 元 次 数 ， 得 元 次 数 ， 得 元 次 数 ， 。每次平均得：12323, 4则 获 得 ： 当 n 很大时，14.nn123 1766pp 2.离散型随机变量的数学期望 1）定义 设离散随机变量 X 的分布列为 (),12,iiipxPXxn 如果 ，1

14、|iii 则称 1()()iiEXxp 为随机变量 X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数 不收敛，则称 X 的数学期望不存在。1|()iiixp 注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，其与 X 取值顺序无关。 2）例子 例 9 设 服从几何分布， 求 k-1P(=)p,(2,).E 解： k1k1k1k1E(p). 由于 故 2k1k1xx,()2k1(p),Ep 例 10 设 X 取 (k=1,2,)对应的概率为 ，证明 E(X)不存在。(1)kx12kxp 证明 且 。但级数02kxp112kxkp 第二章 随机变量及其数字特征 38 发散1112k kx

15、k kp 所以 E(X)不存在，但级数 (交错级数满足 Leibniz 条件)( 收敛) 111()()ln22kkkxk k 要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。 2 连续型随机变量的数学期望 1） 定义 设连续随机变量 X 的密度函数为 p(x),如果 ，|)d 则称 ()Ex 为 X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若 不收敛，|()xpd 则称 X 的数学期望不存在。 2）例子 例 11 设随机变量 X 服从 (-0,t0,有()x 。|)()PXtPXt 例 30 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为 T，设0 ，t时段内过桥的汽车数 服从参数为tX t 的泊松分布，

16、求 T 的概率密度。 解 ()FPt 当 t0 时，F(t)=0; 当 t0 时，F (t)=P(Tt)=1-P(Tt)=1-P(在 t 时刻之前无汽车过桥)=1- P( =0)=tX1te 于是 .0()teptt 第二章 随机变量及其数字特征 54 3.正态分布 1)定义 若随机变量 X 的密度函数为 , 21()()exp2px: 则称 X 服从正态分布，称 X 为正态变量，记为 。其中参数 ，2(,)XN 。0 正态分布的分布函数为： 。 21()()exp2Fxdx: 其中， 称为位置参数， 称为尺度参数。 正态分布密度函数 p(x)的性质 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线 x=对

17、称，即 p( +x)=p( -x)，x(- ,+) (2)x= 时，p(x)取得最大值 p()= ； 12 (3)x= 处有拐点； (4)的大小直接影响概率的分布， 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峭。 (5)曲线 p(x)以 x 轴为渐近线。 2)标准正态分布 定义 称 的正态分布 为标准正态分布。0,1(0,1)N 的密度函数和分布函数分别为： (,)N ， 2exp,uu 。 21(),2utdu 例 31 设 ，利用附表 2，求下列事件的概率：（1） （2）(0,1)UN(1.5);PU （3） （4） （5）(1.5);P.5;P(0.751.2);PU| 解 略。 3）一般正态分

18、布的标准化 定理 若 ，则 。2(,)XN(,)XUN 证明 略。 第二章 随机变量及其数字特征 55 例 32 若 ,求：(1) (2)常数 ，使得2(1083)XN(1027);PXa()0.95PXa 解 略。 4）正态分布的数学期望与方差 若 ，则2(,)222 2()1)()110.xtt tEXxpdxedteded 令 222 22()22()()()11xtt tDXEfxxedttedde 令222 22(0).t t 5）正态分布的 原则3 设 ，则2(,)XN 0.682,1;(|)()954.73,.kPkk 由此可见，正态变量的 99.73%的值落在 内，这个性质被称

19、为正态分布的(,) 原则。3 4.其它常见的连续型分布 （1） 分布 如果一个随机变量 具有密度函数X1(),00,rxepx 第二章 随机变量及其数字特征 56 这里 为参数， 为 函数，则称 服从参数为 的0,r10()rxedX,r 分布，记作 。,rX 注：(i)当 时， 就是参数为 的指数分布 。1r()()E (ii) 函数具有如下性质：(),);21(.当 为 自 然 数 n时 ， 有 (+1)=n(!. （2） 分布 如果随机变量 的密度函数为X/212(),0()0,nnxepx 这里 为参数，则称 服从参数为 的 分布，并记Xn22().Xn: 注： 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从 。n （3）对数正态分布 如果随机变量 的密度函数为 21(ln)exp,0;()20, .xpx 则称 服从参数为 和 的对数正态分布。X2 注：设随机变量 ，则 服从对数正态分布。(,)NXYe 作业：