1、第 1 页 共 20 页 均值不等式的证明方法及应用 摘要 均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等 式之一。应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。本文首先系统全面 地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、 不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒 公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证 明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。 关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式 第 2 页 共 20 页 PROOFS AN
2、D APPLICATIONS ON AVERAGE VALUE INEQUALITY ABSTRACT Average value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalities in modern mathematics. Using average inequality can make some difficult problems simple. In this paper, ten proof methods of aver
3、age value inequality are first systematically summarized, including Cauchy method, mathematical induction, Jensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitution method of average value, constructing probability model method, successive adjustment method, Taylor
4、 formula method, respectively. Secondly, we give applications of average value inequality combining the corresponding examples on comparing the size, solving maximum and minimum, proving the existence of the limit, judging convergence of series and proving integral inequality. Key words: average val
5、ue inequality; mathematical induction; maximum and minimum; limit; integral inequality 第 3 页 共 20 页 目 录 前言 -4 1 均值不等式的证明方法 -5 1.1 柯西法-5 1.2 数学归纳法-6 1.3 詹森不等式法-7 1.4 不等式法-7 1.5 几何法-8 1.6 排序法-9 1.7 均值变量替换法-9 1.8 构造概率模型法-9 1.9 逐次调整法-10 1.10 泰勒公式法-10 2 均值不等式的应用 -12 2.1 均值不等式在证明不等式中的应用-12 2.2 均值不等式在比较大小问
6、题中的应用 -13 2.3 均值不等式在求最值问题中的应用-13 2.3.1 均值不等式求最值时常见错误 -14 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策 -16 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用-17 2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用-19 2.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用-19 3 结论 -21 参考文献: -22 致谢 -23 第 4 页 共 20 页 前言 不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 而均值不等式 是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培 养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤
7、于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的 问题. 均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历 历可见. 如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解 答. 均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等 数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的 问题清晰化. 著名数学家阿基米德 最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后1 科学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应 用到了其他
8、领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的 研究 . 如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工214 作 .冉凯 对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题89 中发挥着重要的作用. 本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结. 第 5 页 共 20 页 1 均值不等式的证明方法 首先,我们给出均值不等式. 定理 1 设 是 个正数，则2,.na ， 1212nnaa 1 上式当且仅当 时等号成立.12n 上述不等式我们称之为算术几何平均不等式,以后简称均值不等式. 我们把 和 分别叫做这 个数的算术平均数和几何平
9、均数,分别记做12na 12na n 和 ，(1-1)式即为 . nAnG()aGA 下面给出均值不等式的几种证明方法. 1.1 柯西法 当 时,由于 .有 ,得 .2n120,a21()0a1212aa 当 时,434234 .1211234 当 时,8n345678()()aaa .4127812345678 这样的步骤重复 次之后将会得到, 令 121122;n nnnaaa A 12 有 122 211()()nn nnAaAa 即 .1212nn 第 6 页 共 20 页 这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法. 1.2 数学归纳法 证法一 当 时，不等式显然成立.2
10、n 假设当 时,命题成立.k 则当 时,1 , .121kKaaA 121kKkGa 因为 具有全对称性，所以不妨设ia , .1min1,2|iak 1|,kimxk 显然 ,以及 .于是,1KkA10KkKAa .11()Kk 所以 121111 ()() kKKK aAAAkk = .2 211)(kkkaaa 即 两边乘以 ,得1211()kkkKA 1K .121()()KkkaAaaG 从而,有 .1KG 所以，由数学归纳法，均值不等式对一切 成立，即 .n()nnAa 证法二 当 时，不等式显然成立；2n 假设当 时成立.k 则当 时，有 ，于是1111()kkkaG112 21
11、1()(kkkkaG .1)(kk11()(kkaA 第 7 页 共 20 页 所以 ,所以 .1112()()kkkGAG1kA 当且仅当 且 时等号成立.aa 由数学归纳法知,均值不等式对一切 成立，即 n()nnaG 1.3 詹森不等式法 引理 1(Jensen 不等式)若 为区间 上的凸函数，对任意 ，()fxIixI ，且 ，则0(1,2i n 1ni (1-3) 11()()inniifxfx 成立. 下面利用詹森不等式证明均值不等式. 令 , ,易知 在 是凸函数.由于 ,令 ()lnfx(0)x()fx0,)0(1,2)ian ，则由引理 1 有下式,1in .212)(lnl
12、n)l(naaa 则 ,121212)(ll)l()l(n nna 因此 , 11212)l()l(nnaa 即 ,1212nn 当且仅当 时等号成立.12naa 1.4 不等式法 在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式 进行推导.1xe 设 ，对 应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:()xfe()xfe 第 8 页 共 20 页 ,21xxee 其中, , . 因此, , .当 时，等号成立.0x1x0 下面给出均值不等式的证明过程. 取一组数 , ，使 .令 .kx2,n 1nkx(1)kknaxA 则由 ( 全为零时,取等号)可得, (1)kxe ， 11 1)()knnnxk
13、knnkGaxAeA 所以 .()nnAa 1.5 几何法 作函数 的图像,它是凸曲线，并在点 处作切线 ,可见这条切线n xGye(),nGe nyexG 在函数的下面(见图 )，因此,可以得到 .所以 10inai1,23,（ ） ，于是 ，即 ,且从上述证明中可知， 12()12()(naGnneaeaeG nAn 当且仅当 时，等号成立. 12 图 1-1 第 9 页 共 20 页 1.6 排序法 做序列: , , , ，取其中的一个1naxG12n121nnaxG 12nax 排列: , , ，则 , , .1nb211nb1nb2nnbG 不妨设 .则 .由排序原理可知120nxx
14、 12nxx ,312121n nbb 即 , ,12nnaaG 1212nnaa 所以 .()A 1.7 均值变量替换法 本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式. 易证 时，不等式显然成立.2n 假设当 时，不等式成立.k 则当 时，设 ,则 .设 不全为零,必有一个11(,2)iikxaAin 10kixi 为正,另一个为负,不妨设 ,由于 , ix 10ix12112112()()()kkkaAxAx 从而 123112341()()k kk kkAxaxa .112341 kkkGaA 所以 ,即 .1kAG1kkA 易证,当且仅当 时(即 时)取等号,故原不等式 成立0
15、ix2naa ()nnAaG 1.8 构造概率模型法 首先给出证明过程中要用到的一个引理. 第 10 页 共 20 页 引理 2 设 是一个随机变量,并且数学期望 存在,则有 ,XEX22()EX . ln(l)E14 建立概率模型,设随机变量 的概率分布为 ,其中 , .()iPan0ia12,n 由引理 2 可知, , ,11lnlniiiia112lninn 即 成立.122naa 1.9 逐次调整法 中必存在最值数，不妨设 , . 易见12,.na1minia2axi .于是,用 取代 . 不变,但是 增大,即()12a2,AnG ,121231()()nian .121212 3()
16、(n naa 对于各个 ,这种代换至多进行 次(有限次).因此，n .21123)nnn nnaGaaA 即 ,当且仅当 时,取等号.nA12n 1.10 泰勒公式法 设 ，则 ，将 在 处展开，有()log(0,)xaf21()0lnfxa()fx0 . 200 0()(fxff 因此有 ,取 ,00()()fxfx01,(,)1,2) nixabin 第 11 页 共 20 页 从而 .111()()(,2)nnnii iifaffan 故 ,11111()()()()nnnni i iii iifffafa 即 .因此有 ,11()()nniiifaf1212()log(loglog)n
17、 na aan 即 ,亦即 ,1212()()loglnnaa 11212()()ll(01)nnaa 故有 , .1212nn (0,)i 第 12 页 共 20 页 2 均值不等式的应用 2.1 均值不等式在证明不等式中的应用 一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但 有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这 样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明. 例1 已知 为互不相等的正数,且 .求证 .abc1abc1abca 证明 . 1/122bc 故原不等式得证. 例2 证明 .21
18、abab 证明 由均值不等式得, , , .221b2ab 以上三式相加得, ，即有, . 原不等式得2 1a 证. 例 3 设圆 的半径为 ,两弦 和 均与直径 交 ,记 与 和 的交o12CDEFAB45CDEF 点分别为 和 Q,求证 .P1QP 图 21 第 13 页 共 20 页 证明 如图 ,设 为弦 的中点,连接 , ,则 为等腰直角三角形,且 .21MCDCOMPMPO222222()()()()PCDPCO .1 同理, .2QEF 由均值不等式得， 22PCQEDFPCD 22()() . 12 即 ，原不等式得证.2PCQEDF 2.2 均值不等式在比较大小问题中的应用
19、比较大小问题是高中数学中常见的问题，准确巧妙地运用均值不等式是快速解决 这类问题的关键. 例 4 若 ， , , ,试判断 之间1ablgpab1(lg)2Qablg2abR,PQR 的大小关系. 解 由均值不等式，得 .1(lg)lg2QabaP .1(l)2RbQ 由于 ，所以不能取等号,即 .abR 2.3 均值不等式在求最值问题中的应用 均值不等式在求函数最值,解决一些取值范围问题时运用非常广泛,是重要知识点 之一.在实际应用问题中,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件,达到解 题的目的,变换题目所给函数的形式,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,熟练运用该 第 14 页 共
20、20 页 技巧,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处. 例 5 求下列函数的值域： (1) ； (2) .213yx1yx 解 (1)因为, . 所以,值域为 .223 =6 6,+) (2)当 时， .0x1 yxx 当 时, 故,值域为x1()2 -y .,2（ ， ） 例6 若 ,求函数 的最大值.02x3(8)fxx 解 因为, .所以, ，故 的最大值3(8)2 4xfx 是4. 例7 制作容积一定的有盖圆柱形罐头, 当圆柱高h 和底面半径r 的比为何值时,使 用的材料最省? (不计加工损耗) 解 设圆 ,当且仅当 , 32222VSrrrV2r 即 时, 材料最省. 此时有 ,故
21、,即圆柱形的高与底面32Vr 3h:1 半径之比为2:1时,使用的材料最省 . 2.3.1 均值不等式求最值时常见错误 运用均值不等式解题是一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)正;(2)定;(3) 相等.在此运用过程中,往往需要对相关对象进行适当地放大、缩小, 或不等式之间进 行传递等变形,在此过程中,学生常常因为忽视条件成立而导致错误,而且错误不易察觉.因 此,就这一问题列举几个例子进行说明. 例 8 求 的值域.1yx 分析 在解题时,我们常常写成 ，1123yxxx 故 .虽然 的积是常数,但 不一定是正数,忽视均值不等式中3,y1与 第 15 页 共 20 页 的各项为“正”致
22、错, 因此解法是错误的.下面给出正确解法. 解 当 时, ,当且仅当 1x11123yxxx ,即 时等号成立;1x 2 当 时, ,所以 ,x1112yxxx 1y 当且仅当 时取等号,所以原函数的值域为 .0 ,3, 例 9 求 的最小值. 254xy 分析 在解题时,我们常常写成 ， 222 2225111444xyxx 所以 的最小值是 2.可是在 中,当且仅当 ,即 ,这是不可y2x3 能的,所以等号不成立,这个问题忽视均值不等式中等号成立条件.故原式的最小值不是 2.下面给出正确解法. 解 在 中,令 , 则 ( ),易证 在2214yx24tx1yt21yt 上递增,所以 的最小
23、值是 ,当且仅当 时,即 , ,取2)5t4x0x 号.“” 例 10 若正数 满足 ,求 的最大值.,xy26yx 分析 在解题时,我们常常写成 ,当且仅当 且 ,即 2yxy26 时取 号, 将其代入上式,可得 的最大值为 4.初看起来,很有道理, 其实2xy“”x 在用均值不等式求最值时,在各项为正的前提下,应先考虑定值,再考虑等号是否成立. 但在 中, 不是定值,所以 的最大值不是 4.这个问题忽视了均值不等 2xyxyxy 式中积或和是定值的条件.下面给出正确解. 第 16 页 共 20 页 解 因 , 当且仅当 时(此时 )取 2192xyxy2xy3,2xy 号, 所以 .“”m
24、ax9 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策. 运用均值不等式是求最值的一种常用方法, 但由于其约束条件苛刻,在使用时往往 顾此失彼,从而导致均值不等式“失效”. 下面例说几种常用的处理策略. 例11 已知 ,求 的最大值 .0 1x4lgyx 解 因为 ，所以 ， ,从而有 l0l ，4lg2lyx 即 ，当且仅当 即 时等号成立，故 . 4y4llx10max4y 本题满足 为定值，但因为 , ，所以此时不能直接应用lg xlg0 均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式. 例12 求 的最大值.1 ()2yx102x 解 ， 218x 当且仅当 ,即 时等号成立.故 .21x1
25、4xmaxy 本题 不是定值,但可通过平衡系数来满足和为定值.)( 例13 已知 ,求 的最小值.0ab6yab 解 ，当且仅当 ,即 ,364412y 64abb 8a 时等号成立.故 . 4bmin12y 第 17 页 共 20 页 本题 不是定值,但可通过添项、减项来满足积为定值.64ab 例14 已知 ,求 的最小值.0 x4sinyx 解 .41313sini2sin5iy x 当且仅当 且 ,即 时等号成立. 故 .1ix3sixsnxminy 本题虽有 为定值,但 不可能成立. 故可通过拆项来满足等号4sn 4i 成立的条件. 例15 已知 ,则 有_.52x254xf 最大值
26、最小值 最大值1 . 最小值1.A4BC()D 解 ,当且仅当 , 22521xxf x12x 即 时等号成立.故选 .3x()D 本题看似无法使用均值不等式,但对函数式进行分离,便可创造出使用均值不等式 的条件. 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用 极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时,需证明数列单调 及数列有界.而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容.下面举例说明. 例 16 证明重要极限 的存在性.1lim()nne 证明 先证数列 单调递增. 令 ， ，则由均值不等式 得, 121naa 1n1 . 1()().()()nn n 个 个 即 ,1()1n
27、n 第 18 页 共 20 页 所以 .11()()nn 所以 数列 单调递增. 再证数列 有上界.(1)n 下面的证明可以看到一个更强的命题：数列 以 （ 为正整1()n1()kM 数）为上界. 先证不等式, 当 时, .nk11()()nk 设 ， .121kaa 2kna 由均值不等式 ，1()()()11nn kn 所以 ,因此， .11()knnk 其次由 ,有 ,所以 .n1()() 1()()nk 当 时，任取一个正整数 ， 均是数列 的上界.kk1kMn 又数列 单调递增，所以,当 时,不等式 仍然成立.1()nn1(1)()k 因此，对于数列 , 恒有 （ 为正整数）. ()
28、n12（ ） n 任意选定一个 值， 均是数列 的上界.kk() 所以数列 单调有界,由单调有界定理,数列 极限存在.极限值1()n 1()n 为 ，即 .elimxe 例 17 证明数列 极限存在且其极限是 .1()n e 证明 令 .n .11221 ()1()()()nnnnnx x 所以,数列 单调减少.又 ,则数列 有下界.0nxnx 第 19 页 共 20 页 .11lim()li()nnn 因为 和 的极限都存在, 所以 1() .11li()li()nnn e 因此, 数列 极限存在且其极限是 .1 例 18 证明 . limn 证明 由均值不等式（1-1）有: 121nn 个
29、 ,n 从而有 ,故 .201nlim1n 2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用 均值不等式的应用很广泛,在证明级数的敛散性时也有很重要的应用. 例 19 已知正项级数 收敛，证明级数 也收敛.1na11na 证明 因为, ,由均值不等式，有 ,已知级数0n(2) 11()2nna 收敛,所以级数 与 都收敛，从而级数 也收敛，再由1na1na1n 11n 比较判别法，知级数 收敛.11n 2.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用 积分不等式是一种特殊的不等式,而均值不等式又是证明不等式的重要方法.因此, 在积分不等式的证明中我们自然会想到运用均值不等式来进行证明. 例 20 证明函数
30、 在 上是正值可积的, ,且 ,则fx（ ） ab1,2kn 0ab 第 20 页 共 20 页 . 111112 2()()()()()b bbbnnnn na aaafxfxdfxdfxdfxd 证明 利用 .有,12nn 12()()()bbbn naaafxfxfdd .12()()()nbbbaaafxfxfx 于是 11112()()()nnnb nbbaaafxfxfxddd ，12 ()()()1bbbnaaafxfxfxndd 即 . 111112 2()()()()()b bbbnnnn na aaafxfxfxfxfxd 例21 设 在 上非负连续，证明 .f（ ） 0,
31、101ln()0fdef 证明 由题设知 在 上可积，将 等分，作积分和fx（ ） ,1, ， .101()lim()nifxdf 1011ln()limln()lin()nni ifxdff 所以 .0 11liln(n)()1li()nif nnfxd ief 由均值不等式 得,122.nnaa . 11011lim()li()()nniifffxd 故 . 10ln()0fxdefx 第 21 页 共 20 页 3 结论 均值不等式是数学中的重要内容，对培养数学思维发展有很大帮助.本文重在梳理 均值不等式的相关证明方法和应用.如，运用均值不等式时，一定时刻谨记一正、二定、 三相等原则，具
32、体问题具体分析，有时可以通过转化达到运用均值不等式解题的目的. 本文系统地归纳总结均值不等式的各种证明方法及其在具体解题分析和论证推理过程 中的应用.通过本论文的撰写，更深刻地理解均值不等式在证明问题和解题中的重要作 用. 第 22 页 共 20 页 参考文献: 1中译本（朱恩宽、李文铭等译）:阿基米德全集M. 西安：陕西科学技术出版社,1998. 2陈侃. 算术-几何平均值不等式的证明J.巢湖学院学报,2008,6(3):129-130. 3熊桂武 .概率方法在不等式证明中的应用J.重庆师范大学学报,2003,12:89-91. 4敦茂.算术平均值与几何平均值不等式的各种证法J.云梦学刊,1
33、980,1(3):65-80. 5Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequalityJ.Mathematics Magazine,1991,64:273. 6刘鸿雁.由 Jensen 不等式导出某些重要不等式J.成都大学学报,2003,22(3):32-35 7匡继昌.常用不等式M.济南:山东科学技术出版社,2004 8陈益琳.高中教学导练(高二)M.北京:冶金工业出版社,2004. 9冉凯.均值不等式在数学分析中的应用J.青海师专学报,1997,4(2):35-38. 10赵建勋.浅谈均值不等式的应用J.高中数学
34、教与学,2011,5(3):7-10. 11蓝兴苹.均值不等式的推广与应用J.云南民族大学学报,2006,15(4):22-24 12高飞、朱传桥高中数学教与学M. 济南：山东科学技术出版社,2007. 13章国凤.均值不等式在高等数学中的应用J.广西教育学院学报,2008,05(1):151-152. 14陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它J.湖北民族学院学报（自然科学版）,1994,2(3): 88-89. 第 23 页 共 20 页 致谢 毕业论文暂告收尾，这也意味着我在鞍山师范学院四年的学习生活既将结束。回 首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横
35、溢 的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极。在这四年的时间里，我在学习上和思想上都 受益非浅。这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不 开的。 在本论文的写作过程中，我的指导老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告， 从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱，为了指 导我们的毕业论文,她放弃了自己的休息时间,她的这种无私奉献的敬业精神令人钦佩, 在此我表示衷心的感谢。 我还要感谢的是我的父母，家人，朋友，同学。感谢你们多年来给予我无限的信 赖和支持，无私的关怀与帮助，无价的恩惠与厚爱。今天，虽然我无以为报。但在今 后的道路上，我一定会怀着感恩的心，努力进取，奋发图强，回报大家，回报社会！ 时间的仓促及自身专业水平的不足，整篇论文肯定存在尚未发现的缺点和错误。 恳请阅读此篇论文的老师，多予指正，不胜感激！
