1、1 2018-2019 学年浙江省 “温州十校联合体” 高一上学期期末考 试数学试题 一、单选题 1 （ ） A B C D 【答案】 D 【解析】 直接根据特殊角的三角函数值，得出答案 . 【详解】 根据特殊角的三角函数值，可知 .故选 D. 【点睛】 本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题 .从 到 内特殊角的三角函数值需要 熟练记忆 . 2. 已知函数 ，则 的值域是（ ） A B C D 【答案】 C 【解析】 根据 的范围，求得 的范围， 由此求得 的值域 . 2 【详解】 由于 ， ，所以 ，故选 C. 【点睛】 本小题主要考查具体函数值域的求法，属于基础题 . 3. 为了得
2、到 的图象，只需将 的图象（ ） A向左平移 个长度单位 B 向右平移 个长度单位 3 C 向右平移 个长度单位 D向左平移 个长度单位 【答案】 A 【解析】 利用 ，可知 向左平移 个长度单位 . 【详解】 由于 可化简为 ， 故只需将 向左平移 个长度单位得到 ，故选 A. 【点睛】 本小题主要考查三角函数图像变换，属于基础题 .在平移变换的过程中，要注意一个是 “左加右减”，另一个是要注意 的系数的影响 . 4. 函数 的部分图象可能是（ ） A B C D 4 【答案】 C 【解析】 由奇偶性排除 ，由特殊点排除 ，从而可得结果 . 【详解】 因为 ， 所以 是偶函数，图象关于 轴对
3、称， 可排除选项 ； 取 ，则 ，可排除 ，故选 C. 【点睛】 5 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题 .这类题型也是近年高 考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可 循 .解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特 殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意 的 选项一一排除 . 5. 已知 ，则 （ ） A 7 B C D 1 【答案】 C 【解析】 利用诱导公式化简题目所求表达式，然后分子分母同时除以 ，转化为 的式子，再将 代入，求得表达式的值 . 【详解】 依题意，原式 ，分子分母同
4、时除以 得 .故选 C. 【点睛】 本小题主要考查三角函数诱导公式，考查利用齐次方程三角函数式的值，属于基础题 . 对于 或者 的化简，要用到诱导公式， 口诀是“ 奇变偶不变， 符 号看象限” .奇变的意思是若 为奇数， 化简时函数名称要改变； 若 为偶数， 化简时函 数名称不用改变 .符号是将 看成锐角时， 所在的象限，原函数的正负 . 6. 在 中， ， ， ，则 在 方向上的投影是（ ） 6 A B C D 【答案】 D 【解析】 将 转化为 ，将 两边平方，证得 ，在直角三角 形 中， 求得 夹角的余弦值， 以及 ，代入公式 求得题目所求 在 方 7 向上的投影 . 【详解】 ，两边平
5、方并化简得 ，即 ，故三角形 为直 角 三 角 形 ， 所 以 ， . 所 以 在 方 向 上 的 投 影 .故选 D. 【点睛】 本小题主要考查平面向量的数量积，考查向量投影的计算，属于基础题 . 7. 若函数 能够在某个长度为 3 的闭区间上至少三次出现最大值 3， 且在 上是单调函数，则整数 的值是（ ） A 4 【答案】 B 5 C 6 D 7 B 【解析】 出现三次最大值，即为两个周期，由此得到 .根据函数在 上是单 调函数， 得到 . 解两个关于 的不等式， 由此求得 的取值范围， 进而确定整数 的 8 值 . 【详解】 由于函数“在某个长度为 3 的闭区间上至少三次出现最大值 3
6、”， 即为两个周期，由此 得到 ，即 .根据函数在 上是单调函数，由于函数是奇函数，图像关于 原点对称， 即函数在 上是单调函数， 故 ， 即 . 由 得 ， 解得 . 由于 为整数，故 ，所以选 B. 【点睛】 本小题主要考查三角函数的周期性与最大值，考查三角函数的单调性，属于中档题 . 9 8. 设定义在 上的函数 ，对于给定的正数 ，定义函数 ，则称函数 为 的 “ 界函数 ”关 . 于函数 的 “2 界函数 ”，则下列等式不成立的是 （ ） A B C D 【答案】 B 【解析】 先求得函数 的“ 界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确 选 项 . 【详解】 令 ， 解得
7、或 ， 根据“ 界函数”的定义， 有 . 所 以 ， ， 故 A 选 项 成 立 . ， ， 故 B 选项不成立 . ， ，故 C 选项成 立 . ， ，故 D 选项成立 .综上所述，本小题选 B. 【点睛】 本小题主要考查新定义函数的概念及应用， 考查分段函数求值， 考查分析问题和解决问 题的能力 .属于中档题 .解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数 值大于 ，或者函数值小于或等于 ，也就是先要求得函数值等于 时对应 的值，由此写 出分段函数“ 界函数” . 9. 已知函数 在 上 有两个不同的零点，则 的范围是 10 （ ） A B C D 【答案】 D 【解析】 根据
8、二次函数零点的分布，列出关于 的不等式组，将 分别看作 ，画出 不等式组对应的可行域 .取可行域内的点代入 进行验证， 利用排除法得出正确 选 项 . 【详解】 11 根据二次函数零点的分布， 列出关于 的不等式组 ， 即 . 将 分别看作 ，画出不等式组对应的可行域如下图所示 . 取可行域内点 代入 得到结果是 排除 选项 .取可行域内点 代入 ，得到结果 是 ，排除 A,B 两个选项，故本小题选 D. 12 【点睛】 本小题主要考查二次函数零点分布问题的解法， 考查化归与转化的数学思想方法， 属于 中档题 . 二、填空题 10 已 知 ， 集 合 ， ， 则 ， . 13 【答案】 【解析
9、】 利用交集的知识求得两个集合的交集，先求得集合 的补集，然后求这个补集 和集合 的并集 . 【详解】 依题意可知 , ，故 . 【点睛】 本小题主要考查两个集合交集的运算，考查集合补集的概念及运算，考查并集的运算， 属于 基础题 . 11 已知向量 ， ，则 ，与 方向相反的单位向量 . 【答案】 【解析】 先求得 的坐标，然后求它的模 .用 求得 的坐标 . 【详解】 依 题 意 ， 故 . 与 方 向 相 反 的 单 位 向 量 为 . 【点睛】 本小题主要考查平面向量加法的坐标运算， 考查平面向量模的坐标表示， 考查相反的向量 14 ， 考 查 单 位 向 量 等 知 识 ， 属 于
10、基 础 题 . 对 于 两 个 向 量 ， ，也即是两个向量加法的结果还是一个向量 .向量 方向上的单位向 量的求法是 . 12 （ 1）计算 ， （ 2）若 ，则 【答案】 3 【解析】（ 1） 利用指数和对数运算公式，求得运算结果 .（ 2） 先求得 的值，代入所求 15 表达式，利用对数运算公式化简，求得结果 . 【详解】 （ 1） 原式 . 2） 依题意 ， 故 . 【点睛】 本小题主要考查指数运算公式，考查对数运算公式，考查运算求解能力，属于基础题 . 13 已知扇形的周长为 8， 当扇形的面积最大时，扇形的圆心角 等于 【答案】 2 【解析】 设出扇形的半径， 求得扇形面积的表达式
11、， 利用基本不等式求得面积的最大值， 及此时扇形的半径和对应圆心角 . 【详解】 设扇形的半径为 ，则对应的弧长为 ，扇形的面积为 ， 当且仅当 时等号成立，此时弧长为 ，对应的圆心角为 . 16 【点睛】 本小题主要考查扇形的周长、面积公式，考查利用基本不等式求面积的最大值，考查基 本不等式等号成立的条件，还考查了弧长与圆心角弧度数的对应关系，属于基础题 .对 于基本不等式 ，它可以变形为 ，也可以变形为 ，具体 选择哪一个，要看题目所给条件 来决定 . 14 已知函数 ，当 时， ，则 的取值范围是 【答案】 【解析】 等价为函数是减函数，根据指数函数、对数函数的单调性，列出 17 不等式
12、组，解不等式组求得 的取值范围 . 【详解】 由于 等价为函数是减函数，故 ，解得 . 【点睛】 本小题主要考查函数单调性的识别，考查指数函数、对数函数的单调性的运用，属于基础题 . 15. 已知平面向量 与 的夹角为锐角， ， ，且 的最小值为 ，若向量 满足 ，则 的取值范围为 【答案】 【解析】 根据 的最小值为 可知 的夹角为 ，画出向量对应的平面图形，建立 平面直角坐标系，求得 两点的坐标，设出 的坐标，代入 ，求得 坐标 满足的方程， 根据这个方程对应的曲线是圆， 由圆上的点和原点的距离的最大值和最小 值，求得 的取值范围 . 【详解】 画出图像如下图所示， 其中 ，设 .由于 的
13、最小值为 ，根据向 量加法的几何意义可知 , 而 ，故 ， . 以 为坐标原点， 分别为 轴建立如图所示的平面直角坐标系， ， 设 . 由于 ，即 ，化简得 ，即 对应的点在以 18 为圆心，半径为 的圆上，而 表示圆上的点到原点的距离 . 圆心到原点的距离为 ，故 的取值范围是 . 19 【点睛】 本小题主要考查平面向量的坐标运算， 考查平面向量加法的几何意义， 考查建立平面直角 坐标系的方法研究向量模的取值范围， 考查化归与转化的 20 数学思想方法、 考查数形结 合的数学思想方法，属于中档题 .解题的关键点在于将 的坐标满足的方程转化为圆的方 程，将 模的为题转化为圆上的点到原点距离来求
14、解 . 三、解答题 16. 已知平面上三点 ， ， . （ 1） 若 ，求实数 的值 . （ 2） 若 是以 为斜边的直角三角形，求实数 的值 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】（ 1） 根据模的运算公式列方程，解方程求得 的值 .（ 2） 先求得 的坐标，根 据题意 ,利用 列方程，解方程求得 的值 . 【详解】 （ 1） 由于 ，则 ， 解得 . （ 2） 由题意得 为直角，则 . 21 即 ，故 . 【点睛】 本小题主要考查向量模的运算， 考查向量加法的坐标运算， 考查两个向量垂直的坐标表 示，属于基础题 . 17. 已知函数 ， 的部分图像如图所示，函数图像与 轴的 交点为 ，
15、并且与 轴交于 两点，点 是函数 的最高点，且 是等腰直角三 角形 . （ 1） 求函数 的解析式 . （ 2） 若函数 在 上有两个不同的解，求 的取值范围 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1） 根据 是等腰直角三角形求得 的长，也即是半周期的值，由此求得 周期并求得 的值 . 代入点 求得 的值，由此求得函数的解析式 . （ 2） 求得函数 在 区间 上的值域，根据 有两个交点，求得 的取值范围 . 【详解】 解： （ 1） 因为 是函数 的最高点，所以 . 22 又 为等腰直角三角形， . ， ， . 又因为过点 ，所以 . ， . 23 所以 . （ 2） ， . 因为
16、 有两个交点，所以 . 【点睛】 本小题主要考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考查三角函数的值域的求 法， 属于中档题 . 18. 已知函数 ， 为 常 数 . （ 1） 若 ，求证 为奇函数；并指出 的单调区间 . （ 2） 若对于 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范 围 . 【答案】 （ 1） 详见解析（ 2） 【解析】（ 1） 当 时，先求出函数 的定义域，然后证明 ，由此证得 函数是奇函数 .由于 ，根据复合函数单调性同增异减可知，函数在 24 上为增函数 .（ 2） 将原不等式分离常数得到 ，利用单 调性求得左边函数的最小值，由此求得 的取值范围 . 【详解】 （ 1） 当
17、时， . 的定义域为 . 当 时， 25 . 是奇函数 . 的单调增区间为 . （ 2）由 . 26 令 ，只需要 . 由（ 1） 知 在 上是增函数， 所以 . 则 的取值范围是 . 【点睛】 本小题主要考查函数奇偶性的证明， 考查函数单调性的识别以及应用， 考查复合函数的 单调性，考查分离常数法解不等式恒成问题 .要证明一个函数是奇函数，首先要求得函 数的定义域，然后根据奇函数的定义，证明 来证明 .不等式恒成立问题，一 个 重 要的解题策略就是分离常数法 . 19. 若函数 ， 为常数 . （ 1） 若 在 上的最大值为 3， 求 的值 . （ 2） 已知 ，若存在实数 ，使得函数 有三
18、个零点，求 的 27 取值范围 . 【答案】 （ 1） 或 （ 2） 【解析】 （ 1） 利用零点分段法去绝对值，将原函数表示为分段函数的形式，对 分成 两类讨论函数的最大值，由此求得 的取值范围 .（ 2） 将函数有三个零点的问 题 ， 转 化 为 函 数 与 直 线 有 三 个 不 同 交 点 ， 构 造 函 数 ， 将其表示为分段函数的形式， 对 分成 ， ， 两类， 结合函数的图像，求得 的取值范围 . 【详解】 （ 1） 当 时， ， . 当 时， ， . 综上， 或 . （ 2） 有三个零点 有三个不同实根 函数 与直线 有三个不同交点 . 令 ，则 . 当 时， 在 上单增，在 上单减，在 上单增 . 28 ，即 . ， . 29 当 1 a 1 时， hf x! 在 a - 1 2 上单增，在 a 1 a + 1 2 2 上单减，在 ”ac1 2 . 上单增 . ta - 1! a + 1 i ，即 “ 4 4 . 综上： - 1 m 4. 【点睛】 本小题主要考查含有绝对值符合的函数的解题策略， 考查零点问题， 考查数形结合的 数 学 思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题 . a + 2 )
