1、高数（2）历届试题汇编 第 1 页（共 6 页） 高数（2）历届试题汇编（20032008） 一、填空题和单项选择题: 1、 （2003）交换二次积分的次序 102),(xdyfd ./1212/0 ,),(yy fdxfd 2、 （2003）幂级数 的收敛域为 .nnx)3( )31, 3、 （2004）交换二次积分的次序 102(ydxfd .xx fdyfd10 ),(),(2 4、 （2004）级数 收敛的充要条件是 满足不等式 .1/)nne2/5 5、 （2004）设 在 处条件收敛，则其在 处( A )xa(02x A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性不确定 6、 （
2、2005）由方程 所确定的隐函数 在点522xyz ),(yz 处的全微分 .则则10P0Pdd1 7、 （2005）.交换二次积分的次序 24 2),(xyf . yy fxfd4020 ),(),( 8、 （2005）将 展开成 的幂级数,并指出其收敛域:21x )(xf .)6(,)(410 xnn 9、 （2005）.设 ,则级数 ( B ) nulim1(nnu A.收敛于 0 B.收敛于 C.发散 D.敛散性不确定1 10、 （2006）设 : 所围成,则 = .D2yxDdxy)ta(2 11、 （2006）交换二次积分的次序 20,yxfd .2020 2),(),(xx fd
3、yf 12、 （2006）级数 的敛散性为 收敛 . 11n 13、 （2007）考虑二元函数 的下面四条性质：),(yxf 函数 在点 处连续 函数 在点 处两个偏导数连),(yxf0 ),(yxf),(0 续 高数（2）历届试题汇编 第 2 页（共 6 页） 函数 在点 处可微 函数 在点 处两个偏导数存),(yxf),(0 ),(yxf),(0 在 则下面结论正确的是( A ) A. B. C. D. 14、 （2007）二次积分 可以写成( D )2/0cos)sin,(rdrfd A. B. 10 2),(yxfd102yxf C. D.x2),(x 15、 （2007）XOY 平面
4、上的抛物线 绕 X轴旋转而成的旋转曲面的方程为z5 .zy52 16、 （2007）二次积分 = .21sinydx2cos1 17、 （2007）设 ,则 = .|),(2RxDDdxy)(4 18.（2008）已知三角形 的顶点分别为 ，则三角形ABC)2,01(,3CBA 的面积为 .ABC23 19.（2008）设函数 ，则全微分 .xyeyxz)(),)0,2(dzdyx 20.（2008）交换二次积分的次序 .012,(yfd1),(f 21.（2008）函数 展开成 的幂级数为 .xf2)()(0!lnnx 22.（2008）设 ，则 与 的夹角为（ B ）A. B.baba24
5、, 0 C. D.2/6/3/ 23.（2008）设 确定了隐函数 ，则 （ A )sin(2zxyzx),(yxzyzx ）A. B. C. D. 24.（2008）设 D： ( C ) A.0 B.1/3 Ddyx)|(,1|则 C.2/3 D.4/3 25.（2008）设 在 处发散，则其在 处( C ) A.绝对收敛 B.条件nnxa)3(140x 收敛 C.发散 D.无法判断敛散性 二、解答题: 1、 （2003）求幂级数 的和函数 . 答案： = , 12nx)(xs)(xs)1ln(22x)1,( 2、 （2003）将 展开成 的幂级数,并求展开区间. )3l(y 答案: ,01
6、2nn) 高数（2）历届试题汇编 第 3 页（共 6 页） 3、 （2004）求函数 在区域 上的最大值和最小值。yxyxz16222yx5 答案：最大值 125，最小值 。75 4、 （2004）计算二重积分 ，其中 : . 答案：Dd| D10,| 5 5、 （2004）求幂级数 的收敛域与和函数. 答案： , = 1nx)(xs)lnx 6、 （2004）将 展开成 的幂级数,并求展开区间.32)(f x 答案: , 01nnxf )1,( 7、 （2005）计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的平DdxysiD6,0xy 面闭区域. 答案： 23 8、 （2005）判别级数 是否收敛
7、？如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？17 sin! 答案：绝对收敛 9、 （2005）求幂级数 的收敛域并求其和函数 .答案： , = 13nx)(xs)3(xs2)3 10、 （2006）设 ，其中 具有二阶连续偏导数,求 ),()(ygfzgf yz 答案: =yx 2 221fg 11、 （2006）将 展开成 的幂级数. 65)(xf 答案: , 013nnf )3/1,( 12、 （2006）求幂级数 的收敛域及和函数. 1 2n 答案： = , ; =0,)(xs)l(x)1,0(,xs0 13、(2006)求旋转抛物面 在第一卦限内的面积. 答案：2yz123 14、 （2006
8、）设 ， ，试判别级数 的敛散性.),1(0na nnaas21 nsa 答案：收敛，提示：部分和 121sn 15、 （2007）1.设 ,其中 具有二阶连续偏导数 ,求 , , .)(2xyfzf xz2yz 答案： = , = , =x21z121214fxy 2f 高数（2）历届试题汇编 第 4 页（共 6 页） 12212)(4fyxfyf x 16、 （2007）设 ,其中 由方程 所确定,zeu),(yz0xyz 的隐函数,求 答案：5)1,0(| 解： （* 1） ，又方程对 x求导得 ，xyzex21xzx 从而 代入（* 1）得 ，故 =5.z1yzeux2)1,0(|u
9、17、(2007)计算 ，其中 是由双曲线 和直线 所围成的Dydx2 2y 平面闭区域. 答案： 15)4( 18、 （2007）求双曲抛物面 被柱面 所截出的部分的面积. z22Ryx 答案： )(322 3R 19.（2008）设 ,其中 具有二阶连续偏导数,求 .答案： = , )xyfzf yxz2xz21fy =yxz 2121(f 解： = , = =2fyxz )(21212 xfyfxfyf .112)(f2 20.（2008）求函数 的极值. 答案：极小值xz962 1)4,(z 解：解方程组 ，得驻点 .因09yxy )4,1( 且 ，,02yx zCzBzA 032BA
10、 故函数在点 处取得极小值 .)4,1( 2)( 21.（2008）判别级数 的敛散性. 答案：收敛13nn 解：因为 ，且)(20n1nn32)(v ，32lim3li1nvn 所以 收敛，故原级数收敛.（注：本题在 08级考试中失分非常严重！原因是错误地1 直接运用了比值法或根值法，并认为其极限小于 1.然而直接比值法或根值法极限 不存在.）nnuli;li 22、(2008)求由圆锥面 与圆柱面 所围成的立体体积. 答22yxz)0(2axy 高数（2）历届试题汇编 第 5 页（共 6 页） 案： 98 3a 解：由对称性知 =dxyxVayx)0(22 =/233cos02/ cos
11、dda 2/033cos4da = .（注：本题为高等数学习题课教程 P146页 B5原题）!498 23.（2008）在平面 上求一点，使它与两个定点 的距离平方1zyx )1,02(),QP 和最小. 答案： )2,1( 解：设所求点为 ，则M =)1()2()1( 2222 zyxzyxQP 2)()(x 设 = ，解方程组：,zyL1z 得唯一可能的极值点 ，即为所求点. 01)(4zyxLzyx)21,( 24.(2008)求幂级数 的收敛域与和函数. 答案： ， = 12n ),(xs)ln2x 解： ,由比值法令 1,得收敛区间 .因为 时 发散，22|limxn2|x)1,(1
12、n 所以幂级数 的收敛域为 . 对 ， = ，则 =1)1,(),(xs12n)(xs ，两边积分2121 2xnxn 0s = ，因为 ,故 =xd02 )1l(|)l(20 0)()12xn)(xs .)l( 三、证明题 1、 （2003）证明： 提示: 2516)1(40) 2dxe 2/1422xex 2、 （2004）设 ,且 ，证明：级数 条件nulimnu)()11nnu 收敛. 3、 （2005）设 ，证明： .1,0)(Cxf10)(dxef10)(yf 高数（2）历届试题汇编 第 6 页（共 6 页） 4、 （2007）设 为恒正连续函数，证明： .)(xf badxf)(badxf1)(2)(ab 5.（2008） 设级数 与 均收敛，且 ,证明级数 收敛. 1na1nbncn1nc 证明：因为 ,所以 .又 与 均收敛，于是c0c 1nb 收敛，从而由比较法知 收敛，故 收 1)(nnab1)(nnac)(1nna 敛. （注：本题在 08级考试中失分非常严重！ 95%以上的同学错误地认为“由 与 1n 均收敛，且 ，可直接推断 存在”. 这里误用了极限 1nbnka1nkc1nkb1nkc1lim 夹逼准则！）
