1、饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 10) 第 1 页，共 7 页 函数的运用 （一）知识归纳： 1对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被 动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量； 2建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都 是函数的解析式； 3求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识 求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示： （二）学习要点： 1、解决函数应用问题应着重培养下面一些能力： .阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、
2、归类等方法，快速弄清数据之间 的关系，数据的单位等等； .建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建 立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的 定义域； .求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算 函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。 2、常见的可用函数思想解决的问题： 几何问题：平面几何、立体几何、解析几何； 行程问题； 工程设计问题； 营销问题：利润=销售价进货价； 单利问题：设本金为 ，期利率为 ，则 期后本利和 ；Prn(1)nSPr 复利问题：设本金为 ，期利率为 ，则
3、 期后本利和 ；n 变化率问题； 决策问题； 相关学科问题。 3、认识和体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 实际问题 函数模型 实际问题的解 函数模型的解 抽象概括 还原说明 运用函数性质 饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 10) 第 2 页，共 7 页 （三）练习题: 1.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为 25 元，接听电话不收费，打出电话 一次在 3 min 以内收费 0.2 元，超过 3 min 的部分为每分钟收费 0.1 元，不足 1 min 按 1 min 计 算（以下同）.全球通手机月租费为 10 元，接听与打出的费用都是每分
4、钟 0.2 元.若某人打出与 接听次数一样多，每次接听与打出的时间在 1 min 以内、1 到 2 min 以内、2 到 3 min 以内、3 到 4 min 以内的次数之比为 4311.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费 用最省？（注：m 到 m+1 min 以内指含 m min，而不含 m+1 min） 解：设小灵通每月的费用为 y1 元，全球通的费用为 y2 元，分别在 1 min 以内、2 min 以内、 3 min 以内、4 min 以内的通话次数为 4x、3x、x 、x，则 y1=25+（4x+3x +x+x）0.2+0.1x=25+1.9x， y2=10+2（0.2
5、4x +0.43x+0.6x+0.8x）=10+6.8x. 令 y1y 2，即 25+1.9x10+6.8x ， 解得 x 3.06.9.5 总次数为（4+3+1+1）23.06=55.1. 2.某影院共有 1000 个座位，票价不分等次。根据该影院的经营经验，当每张标价不超过 10 元 时，票可全部售出，当每张票价高于 10 元时，每提高 1 元，将有 30 张票不能售出，为了获得 更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：为方便找零和算帐，票价定为 1 元的整数倍；影院放映一场电影的成本费用支出为 5750 元，票房收入必须高于成本支出。 用 x（元）表示每张票价，用 y（元）
6、表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收 入） 。 （1）把 y 表示成 x 的函数，并求其定义域； （2）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？ 解：（1）由题意知当 x10 时，y=1000x-5750, 当 x10 时，y=1000-30(x-10)x-5750= -30x 2+1300x-5750220570:313157301.66x解 之 得 又 xN,6x38 所求表达式为2057(,)3101388,xNy定 义 域 为 （2）当 425010,),6(57maxyxx 时时 当 23010138,y N时 饶平二中 2010 年高考
7、数学科复习资料(函数 10) 第 3 页，共 7 页 2max65030),28303yxy时 所以每张票价定为 22 元时净收入最多。 3.某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救，若 救生员在岸边的行进速度为 6 米/秒，在海中的行进速度 2 米/ 秒,在 AD 上找一落点 C，使救生员 从 A 到 B 的时间最短，并求出最短时间。 解： ,则230,30, xBCxAxD则设 从 A 经 C 到 B 的时间为 t,230(03)6xxt21 752t txx令 得 秒时故 当时当时当易 知 2105,275,03,0750, min txtt
8、因此点 C 应选沿岸边 AD 距 D 点 米处,才能使救生员从 A 经 C 到 B 所用的时间最短为275 秒215 法二：设DBC= 则 ，用时0030,3tan,(45)cosBCA30tani52cos6cst 记 ,它表示点(cos,sin)和(0,3)连线的斜率,结ink 合图形知当连线与圆弧相切时 k 最大,t 最小,y=ky+3 代入 y2+y2=1,=0, 得 ,2 此时 , 最小.cot30752AC012t 解法研讨 :法一:以 CD 长为自变量建模,导数法求最值;法二:以DBC 为自变量建模,方法更 具灵活性. 4.某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床，并立即投
9、入生产使用，计划第一年维修、保 养费用 12 万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元，该机床使用后， 每年的总收入为 50 万元，设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值） ； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（）当年平均盈利额达到最大值时，以 30 3米米 0 y x 饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 10) 第 4 页，共 7 页 万元价格处理该机床；（）当盈利额达到最大值时，以 12 万元价格处理该机床 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请
10、说明理由 解 （1）依题得： .984029842)1(50xxy （x N*） （2）解不等式 2498,:0515x得 x N*,3x17，故从第 3 年开始盈利。 （3） （） 980(2)4298yx 当且仅当 982x时，即 x=7 时等号成立 到 2008 年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利 127+30114 万元 （）y=-2x 2+40x-98=-(x-10)2+102，当 x=10 时，y max=102 故到 2011 年，盈利额达到最大值，工厂获利 102+12114 万元 盈利额达到的最大值相同，而方案所用的时间较短，故方案比较合理 5. 某皮鞋厂从今年 1 月份
11、开始投产，并且前 4 个月的产量分别为 1 万双，1.2 万双，1.3 万双， 1.37 万双。由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好。为了推销员在推销产品时， 接受定单时不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量，厂里分析，产量的增加是由于工 人生产熟练和理顺了生产流程。厂里也暂时不准备增加设备和工人。假如你是厂长，就月份 ，x 产量 给出四种函数模型： ， ， ， ，你将yyaxb2yxbc12yaxbxyac 利用哪一种模型去估计以后几个月的产量？ .解：由题意知： (1,)2,.)(3,1.)(4,.7)ABCD （1）设模拟函数为： ，将 两点的坐标代入函数式，可得：yax
12、b ，解得： ，即 。此模拟函数的意义为：在不增加工人和设3.2ab0.1.1yx 备的条件下，产量会每月上升 1000 双，这是不太可能的。 （2）设模拟函数为： ，将 三点坐标代入，有：2yaxbc,ABC ，解得： ，即： 。此模拟函数的意义 14.93abc0.53.7c20.5.30.7yx 为：由此法算 4 月产量为 1.3 万双，比实际产量少了 700 双，而且，由二次函数的性质可知， 饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 10) 第 5 页，共 7 页 产量自 4 月份后开始逐渐下降，这也与实际不符合。 （3）设模拟函数为： ，将 两点的坐标代入，有：yaxb,AB
13、，解得： ，所以 。此模拟函数的意义为：以 12.ab0.48520.48.52yx 和 代入，分别得到： 和 ，与实际产量差距较大。3x41.3. （4）设模拟函数为： ，将 三点坐标代入得：xyabc,ABC ，解得： ，所以 。此模拟函数的意义为：将23 1.abc0.851.4c0.8(5)1.4xy 代入得： ，这在四个模拟函数中是最接近实际值，误差最小，而且最接近实际4x.3y 情况，在不增加工人和设备的情况下，产量会从开始的明显上升到逐渐趋于稳定。 综上所述，选用 作为模拟函数最符合实际情况。0.8(5)1.4xA 6.东方旅社有 100 张普通客床，每床每夜收租费 10 元时，
14、客床可以全部租出，若每床每夜收费 提高 2 元，便减少 10 张床租出，再提高 2 元，又再减少 10 张床租出，依此变化下去，为了投 资少而获利大，每床每夜应提高租金（B） A4 元 B、6 元 C、4 元或 6 元 D、8 元 7.某地每年消耗木材约 20 万 ，每 价 480 元，为了减少木材消耗，决定按 征收木材税，3m3 %t 这样每年的木材消耗量减少 万 ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于 180 万t25 元，则 的范围是( C )t A.1，3 B.2，4 C.3，5 D.4，6 8.某城市郊区冬季种植番茄供应城市市场，当市场价格上涨时，市场供给量增加，市场需求量 减
15、少，具体调查结果如下表：( C ) 表（1）市场售价与供给量的关系 表（2）市场售价与需求量的关系 则市场供需平衡（即供给量和需求量相等时的单价）所在区间为: A （2.3，2.6） B （2.4 ，2.6） C （2.6，2.8） D （2.8，2.9） 9.北京市为成功举办 2008 年奥运会，决定从 2003 年到 2007 年 5 年间更新市内现有全部出租车， 单价（元/公斤） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量（吨） 50 60 70 75 80 90 单价（元/公斤） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 需求量（吨） 50 60 65 70 75 80 饶平二中 2
16、010 年高考数学科复习资料(函数 10) 第 6 页，共 7 页 若每年更新的车辆数比前一年递增 10%，则 2003 年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考 数据 1.14=1.46 1.15=1.61）( B) A10% B16.4% C16.8% D20% 10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/ 小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 千米， 为了安全，两列货车间距离不得小于( )2 千米 ，那么这批物资全部运到 B 市，最快需要0 _小时(不计货车的车身长 ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
17、10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t= +16( )2/V= + 2 =8 V40V4 11.某工厂八年来某种产品总产量 c 与时间 t（年）的函数如图所示，下列四种说法： （1）前三年中产量增长的速度越来越快； （2）前三年中产量增长的速度越来越慢； （3）第三年后，这种产品停止生产； （4）第三年后，年产量保持不变， 其中说法正确的序号是_. 11.增长速度是切线斜率,(2)对;三年后总产不变,即停产,(3)对,答案:(2),(3); 12.某人要买房, 随着楼层的升高, 上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住在第 层n 楼时, 上下楼造成的不满意度为 ，但高处
18、空气清新，噪音较小，因此随楼层升高，环境不n 满意程度降低，设住在第 层楼时，环境不满意程度为 ，则此人应选_楼。3n8 13.我市某旅行社组团参加香山文化一日游，预测每天游客人数在 50至 1 人之间，游客人数x （人）与游客的消费总额 y（元）之间近似地满足关系： 240yx那么游 客的人均消费额最高为_元 答案 40 14.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形 ABCD上规划出一块长方 形地面建造公园，公园一边落在 CD 上，但不得越过文物保护区 EF的 EF.问如何设计才能 使公园占地面积最大，并求这最大面积（ 其中 AB=200 m，BC=160 m，AE=60
19、m，AF=40 m.） 解 设 CG=x，矩形 CGPH 面积为 y， 如图作 ENPH 于点 N，则 32806014xENxE HC=160 327802 2761)(6137xxy 30 当 9020（m）即CG长为190m时，最大面积为 720（m 2） 15.某造船公司年造船量是 20 艘，已知造船 x艘的产值函数为 R(x)=3700x+45x2-10x3（单位： 万元） ，成本函数为 C(x)=460x+5000（单位：万元） ，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数 饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 10) 第 7 页，共 7 页 Mf(x)定义为 Mf(x)=f
20、(x+1)-f(x)。 （）求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)；（提示：利润=产值成本） （）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （）求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义 是什么？ 解 （）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x2+3240x-5000,(xN*,且 1x20); MP(x)=P(x+1)- P(x)=-30x2+60x+3275，(x N*,且 1x19) （） )9(1024903)(2 . 当 0x12 时 )(xP0,当 x12 时， xP0. x=12，P（x）有最大值. 即年造
21、船量安排 12 艘时，可使公司造船的年利润最大 （）MP（x）=-30x 2+60x+3275=-30(x-1)2+3305, 所以，当 x1 时，MP（x）单调递减，x 的取值范围为1,19，且 xN* ()M 是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少 16.某大型超市预计从明年初开始的前 x 个月内，某类服装的销售总量 f（x） （千件）与月份数 x 的近似关系为 )12,)(2351(0)( Nxf （）写出明年第 x 个月的需求量 g（x） （千件）与月份数 x 的函数关系； （）求出哪个月份的需求量超过 1.4 千件，并求出这个月的需求量 16.解：（）第一个月销售量为 .25)(f 当 时，第 x 个月的销售量为 2x ),12(5)()xxfxg 当 x=1 时，g（1）也适合上式 ).12,)(5)2N （）由题意可得： 4x 解之得 .6,7x.41)(g 答：第六个月销售量超过 1.4 千件，为 1.44 千件
