1、1、已知函数 在 上的最小值为 ， ， 是函数 图像上的两点，且 线段 的中点 P 的横坐标为 . （1）求证：点 P 的纵坐标是定值; （2）若数列 的通项公式为 , 求数列 的前 m 项和 ； （3）设数列 满足: ，设 ， 若（2）中的 满足对任意不小于 2 的正整数 n, 恒成立, 试求 m 的最大值. 2、 (本小题共 13 分) 对数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中 N*)对正整数 k，规定 为 的 k 阶差分数列，其中 （） 若数列 的首项 ，且满足 ，求数列 的通项公式； （）对（）中的数列 ，若数列 是等差数列，使得 对一切正整数 N*都成立，求 ； （） 在（）的条
2、件下，令 设 若 成立，求最小正整数 的值 3、 (本小题满分 14 分) 已知数列 是各项均不为 的等差数列，公差为 ， 为其前 项和，且满足 ， 数列 满足 ， 为数列 的前 n 项和 （1）求 、 和 ； （2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （3）是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请 说明理由 4、（本小题 14 分） 设函数 y f(x)的定义域为(0，)，且在(0，)上单调递增，若对任意 x， y(0，)都有： f(xy) f(x) f(y)成立，数列 an满足： a1 f(1)1， （1）求数列 an的通项公式，并求 Sn关
3、于 n 的表达式； （2）设函数 g(x)对任意 x、 y 都有： g(x y) g(x) g(y)2 xy，若 g(1)1，正项数列 bn满足： ， Tn 为数列 bn的前 n 项和，试比较 4Sn与 Tn的大小。 5、已知定义在 上的奇函数 满足 ，且对任意 有 （）判断 在 上的奇偶性，并加以证明 （）令 ， ，求数列 的通项公式 （）设 为 的前 项和，若 对 恒成立，求 的最大值 6、对于给定数列 ，如果存在实常数 ，使得 对于任意 都成立，我们称数列 是 “ M 类数列” （I）若 ， ， ，数列 、 是否为“ M 类数列”？若是，指出它对应的实常数 ，若不是，请说明理由； （II
4、）若数列 满足 ， (1)求数列 前 项的和 (2)已知数列 是 “ M 类数列”，求 . 7、（本小题满分 14 分） 已知函数 （1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围 ； （2）当 时，试比较 与 的大小； （3）求证： （ ） 8、（本小题满分 14 分） 已知函数 （1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围 ； （2）当 时，试比较 与 的大小； （3）求证： （ ） 9、（本小题满 分 14 分）已知函数 （）求函数的定义域，并证明 在定义域上是奇函数； （）若 恒成立，求实数 的取值范围； （）当 时，试比较 与 的大小关系 10、已知函数 f(x)
5、的导函数是 。对任意两个不相等的正数 ，证明： （）当 时， ； （）当 时， 。 11、已知数列 中， ，且 （1）求证： ； （2）设 ， 是数列 的前 项和，求 的解析式； （3）求证：不等式 对于 恒成立。 12、设 为正整数，规定： ，已知 （1）解不等式： ； （2）设集合 ，对任意 ，证明： ； （3）求 的值； （4）若集合 ，证明： 中至少包含有 个元素 13、已知函数 满足下列条件： 函数 的定义域为0，1； 对于任意 ； 对于满足条件 的任意两个数 （1）证明：对于任意的 ； （2）证明：于任意的 ； （3）不等式 对于一切 x0，1都成立吗？试说明理由. 15、设不等式
6、组 所表示的平面区域为 ，记 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点） 个数为 . （1）求 的值及 的表达式； （2）记 ，试比较 的大小；若对于一切的正整数 ，总有 成立，求实数 的 取值范围； （3）设 为数列 的前 项的和，其中 ，问是否存在正整数 ，使 成立？若存 在，求出正整数 ；若不存在，说明理由. 16、函数 的定义域为x| x 1，图象过原点，且 （1）试求函数 的单调减区间； （2）已知各项均为负数的数列 前 n 项和为 ，满足 ，求证： ； 参考答案 一、综合题 1、解：（1）当 时， 在 上单调递减，又 的最小值为 ， ，得 t=1 ; 当 时， 在 上单调递增，又
7、 的最小值为 ， ，得 t=2（舍） ; 当 t = 0 时， （舍）， t = 1, . ， ，即 p 点的纵坐标为定值 。 （2）由(1)可知, , 所以 , 即 由 , 得 由, 得 （3） , 对任意的 . 由、, 得 即 . . 数列 是单调递增数列. 关于 n 递增. 当 , 且 时, . 即 m 的最大值为 6. 2、解：（）由 及 ， 得 ， 2 分 数列 是首项为 公差为 的等差数列， 4 分 （） ， ， 9 分 （）由（）得 ， 有 ， - 得 ， ， 10 分 又 ， ， 是递增数列，且 ， 满足条件的最小正整数 的值为 613 分 3、解：（1）（法一）在 中，令 ，
8、 ， 得 即 2 分 解得 ， ， 3 分 ， 5 分 （法二） 是等差数列， 2 分 由 ，得 ， 又 ， ，则 3 分 ( 求法同法一) （2）当 为偶数时，要使不等式 恒成立，即需不等式 恒成 立 6 分 ，等号在 时取得 此时 需满足 7 分 当 为奇数时，要使不等式 恒成立，即需不等式 恒成立 8 分 是随 的增大而增大， 时 取得最小值 此时 需满足 9 分 综合、可得 的取值范围是 10 分 （3） ， 若 成等比数列，则 ，即 11 分 （法一）由 ， 可得 ， 即 ， 12 分 13 分 又 ，且 ，所以 ，此时 因此，当且仅当 ， 时， 数列 中的 成等比数列14 分 （法
9、二）因为 ，故 ，即 ， ，（以下同上） 13 分 【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学 生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力 4、 5、解：（） 对任意 有 令 得 ；分 令 由得 ， 用 替换上式中的 有 分 在 上为奇函数分 （） 满足 ，则必有 否则若 则必有 ，依此类推必有 ，矛盾 分 ，又 是 为首项， 为公比的等比数列，分 分 （） 分 故 得 分 分 若 对 恒成立须 ，解得 分 的最大值为- 分 6、解：（I）因为 则有 故数列 是“ M 类数列”， 对应的实常数分别为 2 分 因为 ，则有 故数列 是“
10、M 类数列”， 对应的实常数分别为 4 分 （II）（1）因为 则有 ， ， 6 分 故数列 前 项的和 + + + + 9 分 （2） 数列 是“ M 类数列”， 存在实常数 ， 使得 对于任意 都成立，10 分 且有 对于任意 都成立， 因此 对于任意 都成立， 而 ，且 则有 对于任意 都成立， 即 对于任意 都成立， 因此 ，12 分 此时， 13 分 7、解：（1）当 时， ，定义域是 ， ， 令 ，得 或 2 分 当 或 时， ，当 时， ， 函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减 4 分 的极大值是 ，极小值是 当 时， ； 当 时， ， 当 仅有一个零点时， 的取值范围是 或
11、 5 分 （2）当 时， ，定义域为 令 ， ， 在 上是增函数 7 分 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 9 分 （3）（法一）根据（2）的结论，当 时， ，即 令 ，则有 ， 12 分 14 分 (法二)当 时， ， ，即 时命题成立 10 分 设当 时，命题成立，即 时， 根据（2）的结论，当 时， ，即 令 ，则有 ， 则有 ，即 时命题也成立13 分 因此，由数学归纳法可知不等式成立 14 分 （法三）如图，根据定积分的定义， 得 11 分 ， 12 分 ， 又 ， ， 14 分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，
12、考查分类讨论思想和 数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识 8、解：（1）当 时， ，定义域是 ， ， 令 ，得 或 2 分 当 或 时， ，当 时， ， 函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减 4 分 的极大值是 ，极小值是 当 时， ； 当 时， ， 当 仅有一个零点时， 的取值范围是 或 5 分 （2）当 时， ，定义域为 令 ， ， 在 上是增函数 7 分 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 9 分 （3）（法一）根据（2）的结论，当 时， ，即 令 ，则有 ， 12 分 ，来源:学科网 ZXXK 14 分 (法二)当 时， ， ，即
13、 时命题成立 10 分 设当 时，命题成立，即 时， 根据（2）的结论，当 时， ，即 令 ，则有 ， 则有 ，即 时命题也成立13 分 因此，由数学归纳法可知不等式成立 14 分 （法三）如图，根据定积分的定义， 得 11 分 ， 12 分 ， 又 ， ， 14 分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和 数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识 9、解：（）由 ，解得 或 ， 函数的定义域为 当 时，来 在定义域上是奇函数。 4 分 （）由 时， 恒成立， 在 成立 令 ， ，由二次函数的性质可知 时
14、函数单调递增， 时函数单调递减， 时， 8 分 （） = 证法一：设函数 , 则 时， ，即 在 上递减， 所以 ，故 在 成立， 则当 时, 成立. 14 分 证法二：构造函数 ， 当 时， ， 在 单调递减， 12 分 当 （ ）时， 14 分 10、证明：（）由 得 而 又 由、得 即 （）证法一：由 ，得 下面证明对任意两个不相等的正数 ,有 恒成立 即证 成立 设 ，则 令 得 ，列表如下： 极小值 对任意两个不相等的正数 ，恒有 证法二：由 ，得 是两个不相等的正数 设 则 ，列表： 极小值 即 即对任意两个不相等的正数 ，恒有 二、计算题 11、解：（1） ， 又因为 ，则 ，即
15、 ，又 ， ， （2） ， 因为 ，所以 当 时， 当 时， ， ， -： ， .综上所述， （3） ， 又 ，易验证当 时不等式成立； 假设 ，不等式成立，即 ，两边乘以 3 得 又因为 所以 即 时不等式成立.故不等式恒成立. 12、解：（1）当 0 1 时，由 得， 1 当 1 2 时，因 恒成立1 2 由，得， 的解集为 | 2 （2） ， ， ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 即对任意 ，恒有 （3） ， ， ， ， 一般地， （ ） （4）由（1）知， ， 则 由（2）知，对 ，或 1，或 2，恒有 ， 则 0，1，2 由（3）知，对 ， ， ， ，恒有 ， ， ， ， 综
16、上所述， ，0，1，2， ， ， ， 中至少含有 8 个元素 13、（1）证明：对于任意的 即对于任意的 （2）证明：由已知条件可得 所以对于任意的 （3）解：取函数 则 显然满足题目中的（1），（2）两个条件， 任意取两个数 即不等式 15、（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力 和创新意识） 解： -2 分 当 时， 取值为 1，2，3， 共有 个格点 当 时， 取值为 1，2，3， 共有 个格点 -4 分 -5 分 当 时， 当 时， -6 分 时， 时， 时， 中的最大值为 . -8 分 要使 对于一切的正整数 恒成立， 只需 -9 分 . -10 分 将 代入 ， 化简得， （）-11 分 若 时 ， ， 显然 -12 分 若 时 （）式化简为 不可能成立 -13 分 综上， 存在正整数 使 成立. - -14 分 16、解：（1）由己知 . 且 。4 于是 由 得 或 故函数 的单调减区间为 和 .。6 （2）由已知可得 ， 当 时， 两式相减得 （各项均为负数） 当 时， ， 。8 于是，待证不等式即为 为此，我们考虑证明不等式 .。10 令 则 ， 再令 ， 由 知 当 时， 单调递增 于是 即 .。12 令 ， 由 知 当 时， 单调递增 于是 即 .。14 由、可知 所以， ，即 .。16
