1、1 / 15 第二章 质点动 力学 21 一物体从一倾角为 30的斜面底部以初速 v0=10ms1 向斜面上方冲去，到最高点 后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率 v=7ms1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力 fuN umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 2201(1)mfs 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 20 in30vfsghfmg20(2)(31)vu 把式（2）代入式（1）得， 20.98v 22 如本题图，一质量为 m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的 A 点，然后沿圆弧 ADCB 下滑，试求小球在 C 点时的角速度和对圆
2、弧表面的作用力，圆弧半径为 r 。 解：小球在运动的过程中受到重力 和轨道对它的支持力 .取如图所示的自然坐标系，GT 由牛顿定律得 2sin(1)co2tndvFgtTmR 由 ,1dsrrdvttv得 代 入 式 （ ） ，A并 根 据 小 球 从 点 运 动 到 点 C始 末 条 件 进 行 积 分 有 ，0902 n(sin)2cos/mcos3cs3cs,evdrgdvgrrvg 得则 小 球 在 点 的 角 速 度 为由 式 （ ） 得 T由 此 可 得 小 球 对 园 轨 道 得 作 用 力 为方 向 与 反 向 23 如本题图，一倾角为 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为
3、m 的木块，两 习题 22 图 A o B r D C T 2 / 15 者间摩擦系数为 ，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度 a 应满足的条件。 解：如图所示 1212minaxsin,cosin(1)i 2()(scs)osin()oin1(2)1(ss)siicaaNguuaugtugu得 ，得 ， ()i()()11tuggttug 24 如本题图，A 、 B 两物体质量均为 m，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩 擦，则 A 和 B 的加速度大小各为多少 。 解：如图由受力分析得 (1)223(4)gBBABmgTaa1解 得 5 25 如本题图所示，已知两物体 A、B 的质量均
4、为 m=3.0kg，物体 A 以加速度 a=1.0m/s2 运动，求物体 B 与桌面间的摩擦力。 （滑轮与连接绳的质量不计） 解：分别对物体和滑轮受力分析（如图） ，由牛顿定律和动力学方程得，1f1f (1)22 3(4)5 6 7(4).2ATABTABTmgFaFmgaN解 得 26 质量为 M 的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为 m 的木块放在斜 面上( 如 本题图所示) 。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求 M 的加速度和 m 相对 M A B 习题 2-4 图 习题 25 图 a 习题 2-3 图 m aA mg TA TB aB mg 3 / 15 的加速度。 解：（
5、如图）m 相对 M 的相对加速度为 ，则macos,sin,xmyaa 在水平方向， cosmxMxmMaa 在竖直方向 iny 由牛顿定律可得， scoscoininmxMymMNaag ， 解 得 2simaM2()sinmga 27 在一只半径为 R 的半球形碗内，有一粒质量为 m 的小钢球。当钢球以角速度 在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？ 解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得， 2sinsinco()/nFaRgh 解得钢球距碗底的高度 2R 28 光滑的水平面上放置一半径为 R 的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其 摩擦系数为 。
6、物体的初速率为 v0，求：（1）t 时刻物体的速率；（2）当物体速率从 v0 减少到 v0/2 时，物体所经历的时间及经过的路程。 解：（1）设物体质量为 m，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得， 022tv2(1)2(3)4d4uNnftfNFaRdvtuR0由 上 三 式 可 得 （ ）对 （ ） 式 积 分 得 习题 2-6 图 4 / 15 0Rvt （2） 当物体速率从 v0 减少到 v0/2 时，由上式 可得物体所经历的时间0vt0tR 经过的路程 tt00vddtln2vsR 29 从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度， 设其比例常数为 k。将质量
7、为 m 的物体以竖直向上的初速度 v0 抛出。 （1）试证明物体的速度为 tmktmkeegv0)1( (2)证明物体将达到的最大高度为 )ln(020gvkH (3)证明到达最大高度的时间为 )1l(0mt 证明：由牛顿定律可得 0 00 02 2020ln(1)(), ()ln(13tvmmttkkxmgkvdgmgkvt evedgkvudkvggduxmkt d(1)-=，t，-，令 ， ）（ ） 000tlngkvmv当 时 ， 即 为 到 达 最 高 点 的 时 间 210 质量为 m 的跳水运动员，从距水面距离为 h 的高台上由静止跳下落入水中。把 跳水运动员视为质点，并略去空气
8、阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为bv 2，其 y fkv mg v 5 / 15 中 b 为一常量。若以水面上一点为坐标原点 O，竖直向下为 Oy 轴，求：（1）运动员在水 中的速率 v 与 y 的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率 v 减少到 落水速率 v0 的 1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等） 解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为 ，入水后如图由牛顿定律的0gh 0220/ /100m-fF=abvdatdy2(2).4,.mvyln5.76bvbmbymyveghev将 已 知 条 件 代 入 上 式 得 ，
9、211 一物体自地球表面以速率 v0 竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为 fkm v2，其中 k 为常量， m 为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体 返回地面时速度的值。 解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图） ，00 0h0121ln()2vl()(2)mv=gyvvdgkgkdyk2220max2 /()-= ，ty物 体 达 到 最 高 点 时 ， ， 故h=y dv下 落 过 程 中 ， -+=ty（ ） 212 长为 60cm 的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为 1kg 的小球，已知绳子能承 6 / 15 受的最大张力为 20N。试求要多大的水平冲量作用在原
10、来静止的小球上才能将绳子打断？ 解：由动量定理得 ，如图受力分析并由牛顿定律得， 0Imv202/0.47vTglmIlNs 213 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为 19.6m。爆炸 1.0s 后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为 100m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？ (设空气的阻力不计) 解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为 101 0x2x1y2x0/2(1),v2m3v40xvght21121物 体 爆 炸 后 ， 第 一 块 碎 片 竖 直 下 落 的 运 动 方 程 为y=h-
11、t当 碎 片 落 地 时 ， y=0t则 由 上 式 得 爆 炸 后 第 一 块 碎 片 抛 出 得 速 度 为-gt （ ）又 根 据 动 量 守 恒 定 律 ， 在 最 高 点 处 有 （ ） 联 立 以 上 （ ） （ ） 式 得 爆 炸 后 第 二 块 碎 片 抛 出 时 的 速 度 分 量 分 别 为g 2h11212x2 y24.7vt5=h+-60,x5my msg1-t爆 炸 后 第 二 块 碎 片 作 斜 抛 运 动 ， 其 运 动 方 程 为 （ ）（ ）落 地 时 由 式 （ ） 和 （ ） 可 解 得 第 二 块 碎 片 落 地 点 得 水 平 位 置 7 / 15 2
12、14 质量为 M 的人手里拿着一个质量为 m 的物体，此人用与水平面成 角的速率 v0 向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为 u 的水平速率向后抛出。问：由 于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点） 解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过 程中，满足动量守恒，故有 0000 0mcos()vuuv- cosmintgsixvtumvmv+式 中 为 人 抛 物 后 相 对 地 面 的 水 平 速 率 ， 为 抛 出 物 对 地 面 得 水 平 速 率 ， 得 M人 的 水 平 速 率 得 增 量 为 +而 人 从 最 高 点 到
13、 地 面 得 运 动 时 间 为所 以 人 跳 跃 后 增 加 的 距 离 为 （ +M） 215 铁路上有一静止的平板车，其质量为 M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运 动。现有 N 个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为 m，相对平板车的速度均为 u。 问：在下列两种情况下， （1）N 个人同时跳离；（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末 速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么? 解：取平板车及 N 个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向， 系统在该方向上满足动量守恒。 考虑 N 个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为 v，则由动量守恒定律得 0Mv+Nm（
14、v u） vNmu/(Nm+M) (1) 又考虑 N 个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有 n 个人时的速度为 vn，跳 下一个人后的车速为 vn1 ，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有 （M+nm）v n=M vn1 +(n-1)m vn1 +m(vn1 -u) (2) 由式（2）得递推公式 vn1 =vn+mu/(M+nm) (3) 当车上有 N 个人得时（即 Nn） ，v N0；当车上 N 个人完全跳完时，车速为 v0， 根据式（3）有， vN-1=0+mu/(Nm+M) vN-2= vN-1+mu/(N-1)m+M) . v0= v1+mu/(M+nm) 将上述各等式的两侧分别
15、相加，整理后得， 8 / 15 0n0muv,12,3.vMNnN 1 +由 于故 有 ，即 个 人 一 个 接 一 个 地 跳 车 时 ， 平 板 车 的 末 速 度 大 于 N个 人 同 时 跳 下 车 的 末 速 度 。这 是 因 为 个 人 逐 一 跳 离 车 时 ， 车 对 地 的 速 度 逐 次 增 加 ， 导 致 跳 车 者 相 对 地 面 的速 度 也 逐 次 增 加 ， 并 对 平 板 车 所 作 的 功 也 相 应 增 大 ， 因 而 平 板 车 得 到 的 能 量 也 大， 其 车 速 也 大 。 216 A、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自
16、向对方平 稳地传递 50kg 的重物，结果是 A 船停了下来，而 B 船以 3.4m/s 的速度继续向前驶去。 A、B 两船原有质量分别为 500kg 和 1000kg，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的 阻力) 解： 设 A、B 两船原有的速度分别为 vA 和 vB，传递重物后的速度分别为 vA 和 vB,由动 量守恒定律可得 111mv0s3.4ms0.4svv3.6BBBABA A 2（ ） +=（ ）将 ， 代 入 上 面 两 式 ， 可 解 得 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 217 一人从 10m 深的井中提水，起始桶中装有 10kg 的水，由于水桶漏水，每升高 1m
17、 要漏去 0.2kg 的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。 解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为 0，拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶 重力随位置的变化关系为 Gmggy 其中 0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为10(mgyd82JW ） 218 如本题图所示，A 和 B 两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为 m1 和 m2。问在 A 板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时 B 稍被提起。 （设弹簧的劲度系数为 k） 解：选取如图所示坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体 的受力图。对 A 板而言，当施以外力 F 时，根据受力平衡有
18、9 / 15 12211212(1)ky-mg=(3)FGkygMNOFGANB1 2212当 外 力 撤 除 以 后 ， 由 机 械 能 守 恒 定 律 得 ，和 为 、 两 点 对 原 点 的 位 移 。因 为 ,上 式 可 以 写 为 ，-由 （ ） 和 （ ） 式 可 得当 板 跳 到 点 时 ， 板 刚 被 提 起 ， 此 时 弹 性 力 F=G,且 ,由 式 （ 3） 可 得F +=(m)g 219 如本题图所示，质量为 m、速度为 v 的钢球，射向质量为 M 的靶，靶中心有一 小孔，内有劲度系数为 k 的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动， 求子弹射入靶内弹簧
19、后，弹簧的最大压缩距离。 解：设弹簧得最大压缩量为 x0。小球与靶共同运动得速度为 v1。由动量守恒定律，有1222100()(1)1mv()kxxvk)MM又 由 机 械 能 守 恒 定 律 ， 有 （ ）由 （ ） 式 和 （ ） 式 可 得 （ 220 以质量为 m 的弹丸，穿过如本题图所示的摆锤后，速率由 v 减少到 v/2。已知 摆锤的质量为 M，摆线长度为 l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹 丸的速度的最小值应为多少？ 解： 习题 218 图 习题 219 图 习题 220 图 10 / 15 2hh22hvm(1)Mvg()lv1glv3v5lm由 水 平 方
20、向 的 动 量 守 恒 有 ，为 了 使 摆 锤 能 在 垂 直 平 面 内 作 圆 周 运 动 ， 在 最 高 点 时 ， 摆 线 中 的 张 力 F=0,则 ， 式 中 为 摆 线 在 圆 周 最 高 点 的 运 动 速 率 。又 由 机 械 能 守 恒 定 律 得1 +（ ）解 上 述 三 个 方 程 ， 可 得 担 丸 所 需 速 率 的 最 小 值 为M 221 如本题图所示，一质量为 M 的物块放置在斜面的最底端 A 处，斜面的倾角为 ，高度为 h，物块与斜面的滑动摩擦因数为 ，今有一质量为 m 的子弹以速度 v0 沿水 平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出
21、顶端时的速度大小。 解： 0120cos()()v1u (2)221mvghucotmvv221在 子 弹 与 物 块 的 撞 击 过 程 中 ， 在 沿 斜 面 的 方 向 上 ， 根 据 动 量 守 恒 有在 物 块 上 滑 的 过 程 中 ， 若 令 物 块 刚 滑 出 斜 面 时 的 速 度 为 ， 并 取 A点 的重 力 势 能 为 。 由 系 统 的 功 能 原 理 可 得 (+M)g(+M)(m)gh-(+)sin由 （ ） 、 （ ） 式 可 得 （ co） （ ） 222 如本题图所示，一个质量为 m 的小球，从内壁为半球形的容器边缘点 A 滑下。 设容器质量为 M，半径为
22、R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小 球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点 B 时，受到向上的支持力为多 大？ 解： 习题 221 图 11 / 15 22m0(1)1,2()2(3)MmMmMvgRgvRmvvgR根 据 水 平 方 向 动 量 守 恒 定 律 以 及 小 球 在 下 滑 过 程 中 机 械 能 守 恒 定 律 可 分 别 得式 中 分 别 表 示 小 球 、 容 器 相 对 桌 面 得 速 度 。由 式 （ ） 、 （ ） 可 得由 于 小 球 相 对 地 面 运 动 的 轨 迹 比 较 复 杂 ， 为 此 ， 可 改 以 容 器 为 参
23、 考 系 。在 容 器 底 部 时 ， 小 球 相 对 容 器 的 运 动 速 度 为在 容 器 底 部 2 (4)34()mNNFgRM， 小 球 所 受 惯 性 力 为 零 ， 其 法 向 方 程 为由 （ ） 、 （ ） 式 可 得 小 球 此 时 所 受 到 的 支 持 力 为 223 如本题图所示，质量分别为 m1=10.0kg 和 m2=6.0kg 的两小球 A 和 B，用质量可略去 不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在 Oxy 平面上，在图示的外力 F1= (8.0N)i 和 F2 =(6.0N)j 的作用下运动。试求： (1) 它们质心的坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量
24、与时间的函数关系。 解：（1）选如图所示坐标，则 t0 时，系统的质心坐标为 习题 222 图 习题 223 图 12 / 15 200112122 111200 22 1.5.9()(1)(), 3, 4txyCxxyytvxtvymxxyydvFmtFtFddvmmx对 小 球 与 杆 整 体 应 用 质 心 运 动 定 律 得根 据 初 始 条 件 ， 分 别 对 （ ） 、 （ ） 式 积 分 得根 据 初 始 条 件 时 ，0 0 001022120 212120().5(.)().9(0.1)()(2)(CC Cxytt yFddtmstmddtFt stpdt 对 （ ） 、 （
25、 ） 式 再 次 积 分 可 得及 利 用 动 量 定 理 并 考 虑 到 系 统 从 初 始 状 态 为 静 止 ， 可 得228.)(6.0)kgmstikgstj 224 质量为 2103kg 的子弹以 500ms1 的速率水平飞出，射入质量为 1kg 静止在 水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为 100ms1，而木块向前滑行了 0.2m。求：(1) 木块与平面间的摩擦系数 (2)子弹动能和动量的减少量。 解： 13 / 15 022232k00301,0.8/m10.8.16391(2) m.5104pmvMvsugsEvJ; -1（ ） 在 水 平 方 向 系 统 动 量 守 恒
26、 ，木 块 向 前 滑 行 了 ， 由 动 能 定 理 得子 弹 动 能 的 减 少 量 （ ） 子 弹 动 量 得 减 少 量 （ ） =.8kgs 225 如本题图所示，一质量为 m 的钢球，系在一长为 l 的绳一端，绳另一端固定， 现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为 M，静止于水平面上的钢块发生 弹性碰撞，求碰撞后 m 和 M 的速率。 解： 2222MM1vgll1mvvgl2l由 机 械 能 守 恒 得 ， 碰 前 的 速 度 为 ， 由 碰 撞 前 后 动 能 和 动 量 守 恒 得 + 226 一质量为 m 的运动粒子与一质量为 km 的静止靶粒子作弹性对心碰撞，
27、求靶粒 子获得最大动能时的 k 值。 解： 习题 225 图 14 / 15 2222222mvk(1)1v=-k11mvvk1(+)kkkEE由 动 量 和 动 能 守 恒 得 ， 由 （ ） 得由 （ ） 得 当 时 ， 取 最 大 值 227 质量为 m 的中子与质量为 M 的原子核发生弹性碰撞，若中子的初动能为 E0，求 证碰撞时中子可能损失的最大动能为 。02)(4Em 解：设弹性碰撞前中子的动量为 P0，碰撞前中子的动量为 P1，原子核的动量为 P2，由 动量守恒的标量式可以得 02222210102012101220010 101cos, ,()4()4cos4sin()PmEM
28、EmEEE 228 如本题图示，绳上挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复系数 e=0.5。球 A 由静止状态释放，撞击球 B，刚好使球 B 到达绳成水平的位置，求证球 A 释放前的张角 应满足 cos = 1/9。 证明：设球A到达最低点的速率为 v，根据机械能守恒有 B 2L 习题 228 图 A 2l B 2l C 2l L 2l 15 / 15 2 2 1(1cos),4(1),0.5(2)3(2),3(4)1(5)4cos9ABBABA B mvglvvevmvmvgl所 以 ，设 碰 撞 后 ， 两 球 的 速 率 分 别 为 由 题 意 得 ：即 ， 两 球 碰 撞 时 水 平 方 向 动 量 守 恒 ：由 式 得 碰 撞 后 球 机 械 能 守 恒 ， 故 有将 （ ） ， （ ） 代 入 （ ） 得 ：
