1、47 项目二 一元函数积分学与空间图形的画法 实验 1 一元函数积分(基础实验 ) 实验目的 掌握用 Mathematica 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解 定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用 定积分解决各种问题的能力. 基本命令 1.计算不定积分与定积分的命令 Integrate 求不定积分时, 其基本格式为 Integratefx,x 如输入 Integratex2+a,x 则输出 3xa 其中 a 是常数 . 注意积分常数 C 被省略. 求定积分时, 其基本格式为 Integratefx,x,a,b 其中
2、a 是积分下限, b 是积分上限. 如输入 IntegrateSinx,x,0,Pi/2 则输出 1 注:Mathematica 有很多的命令可以用相应的运算符号来代替. 例如,命令 Integrate 可用积分 号 代替, 命令 Sum 可以用连加号 代替, 命令 Product 可用连乘号 代替. 因此只要调出这些运 算符号, 就可以代替通过键盘输入命令. 调用这些命令,只要打开左上角的 File 菜单,点击 Palettes 中的 BasicCalculations, 再点击 Calculus 就可以得到不定积分号、定积分号、求和号、求偏导数 号等等. 为了行文方便, 下面仍然使用键盘输
3、入命令, 但读者也可以尝试用这些数学符号直接计 算. 2.数值积分命令 NIntegrate 用于求定积分的近似值. 其基本格式为 NIntegratefx,x,a,b 如输入 NIntegrateSinx2,x,0,1 则输出 0.310268 3.循环语句 For 循环语句的基本形式是 For循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象 运行此命令时, 将多次对后面的对象进行运算, 直到循环变量不满足测试条件时为止. 这里必须 用三个逗号分开这四个部分. 如果运算对象由多个命令组成, 命令之间用分号隔开. 例如, 输入 t=0; Forj=1,jNone, “n“, “s1“, “s2
4、“ 则输出 n s1 s2 2 0.125 0.625 4 0.21875 0.46875 8 0.273438 0.398438 16 0.302734 0.365234 32 0.317871 0.349121 64 0.325562 0.341187 128 0.329437 0.33725 256 0.331383 0.335289 512 0.332357 0.334311 1024 0.332845 0.333822 这是 的一系列近似值. 且有102dx .210sdxs 不定积分计算 例 1.2 求 .)(532dx 输入 Integratex2*(1-x3)5,x 则输出 1
5、8x3659x10653x512 例 1.3 求 .arctn2d 49 输入 Integratex2*ArcTanx,x 则输出 x1Log6xArcTan316x22 定积分计算 例 1.4 求 .|2|40dx 输入 IntegrateAbsx-2,x,0,4 则输出 4 例 1.5 求 .21dx 输入 IntegrateSqrt4-x2,x,1,2 则输出 )23(6 例 1.6 求 .102dxe 输入 IntegrateExp-x2,x,0,1 则输出 12Erf 其中 Erf 是误差函数 , 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入 NIntegrateExp-x2,x,0,1
6、 则有结果 0.746824. 变上限积分 例 1.7 求 .)(2cos0xdwd 输入 DIntegratewx,x,0,Cosx2,x 则输出 -2 Cosx SinxwCosx2 注意这里使用了复合函数求导公式. 例 1.8 画出变上限函数 及其导函数的图形.xdtt02sin 输入命令 f1x_:=Integratet*Sint2,t,0,x; f2x_:=EvaluateDf1x,x; g1=Plotf1x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor1,0,0; 50 g2=Plotf2x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor0,0,1; Showg1,g2; 则
7、输出所求图形. 定积分应用 例 1.9 设 和 计算区间 上两曲线所围成的平面的面xexfcos)2().2cos(4)(xg4,0 积. 输入命令 Clearf,g;fx_=Exp-(x-2)2 CosPi x;gx_=4 Cosx-2; Plotfx,gx,x,0,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0, RGBColor0,0,1; FindRootfx=gx,x,1.06 FindRootfx=gx,x,2.93 NIntegrategx-fx,x,1.06258,2.93742 则输出两函数的图形及所求面积 .1743.s 例 1.10 计算 与 两点间曲线的弧长.),i
8、nsi()xxf)0(,f)2(,f 输入命令 Clearf;fx_=Sinx+x*Sinx; Plotfx,x,0,2Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0; NIntegrateSqrt1+fx2,x,0,2Pi 则输出曲线的图形及所求曲线的弧长 12.0564. 注: 曲线 在区间 上的弧长 .)(xfy2,0202)(1dxfs 例 1.11 求曲线 与 x 轴所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转所成的)(sinxg 旋 转体体积. 输入 Clearg; gx_=x*Sinx2; Plotgx,x,0,Pi 则输出图 1-1. 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.
9、25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 图 1-1 观察 的图形. 再输入)(xg IntegratePi*gx2,x,0,Pi 51 得到输出 864153 又输入 Integrate2 Pi*x*gx,x,0,Pi 得到输出 32 若输入 NIntegrate2 Pi*x*gx,x,0,Pi 则得到体积的近似值为 27.5349. 注:图 1-1 绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 .)(20dxgV 此外,我们还可用 ParametricPlot3D 命令(详见本项目实验 2 的基本命令)作出这两个旋转体 的 图形. 输入 Clearx,y,z,r,t; xr_,t_
10、=r; yr_,t_=gr*Cost; zr_,t_=gr*Sint; ParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zr,t,r,0,Pi,t,-Pi,Pi 则得到绕 x 轴旋转所得旋转体的图形. 又输入 Clearx,y,z; xr_,t_=r*Cost; yr_,t_=r*Sint; zr_,t_=gr; ParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zr,t,r,0,Pi,t,-Pi,Pi 则得到绕 y 轴旋转所得旋转体的图形. 实验习题 1. 求下列不定积分: (1) ; (2) ;dxa2sincodxex2sin (3) ; (4) ;x34.l3 (5) ; (6)
11、 .251)7(2ddx21 2. 求下列定积分: (1) ; (2) ;202sin)co(d02)(xx (3) (a 0); (4) ;ax23125d (5) ; (6) sin2de x0439 52 3. 求 的近似值.03)cos(2dxex 4. 设 作出 的图形, 并求,)(,in)(1.0tghg )(xh).(2xhd 5. 画出变上限函数 及函数 的图形.xtde2 22ef 6.设 求 x 轴, 所围曲边梯形绕 x 轴旋转,5),3(4cos)(2)3( xexf )(fy5,1 所成旋转体的体积 V, 并作出该旋转体的图形. 实验 2 空间图形的画法(基础实验 )
12、实验目的 掌握用 Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形. 基本命令 1.空间直角坐标系中作三维图形的命令 Plot3D 命令 Plot3D 主要用于绘制二元函数 的图形. 该命令的基本格式为),(yxfz Plot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2,选项 其中 fx,y是 的二元函数, x1,x2 表示 x 的作图范围, y1,y2 表示 y 的作图范围. yx 例如,输入 Plot3Dx2+y2,x,-2,2,y,-2,2 则输出函数 在区域 上的图形. 2z2
13、,y 与 Plot 命令类似, Plot3D 有许多选项. 其中常用的如 PlotPoints 和 ViewPoint. PlotPoints 的用 法与以前相同. 由于其默认值为 PlotPoints-15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要 用更多的时间才能完成作图. 选项 ViewPoint 用于选择图形的视点(视角), 其默认值为 ViewPoint-1.3,-2.4,2.0,需要时可以改变视点 . 2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令 ParametricPlot3D 用于作曲面时, 该命令的基本格式为 ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,
14、u1,u2,v,v1,v2,选项 其中 xu,v,yu,v,zu,v是曲面的参数方程表示式 . u1,u2 是作图时参数 u 的范围, v1,v2 是参数 v 的 范围. 例如，对前面的旋转抛物面, 输入 ParametricPlot3Du*Cosv,u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2 Pi 同样得到曲面 的图形.2yxz 由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因 而是常用的方法. 又如, 以原点为中心, 2 为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令 Plot3D 作图. 但是, 它的 参数方程为 ,20,cos2sin2,cosin
15、zyx 因此,只要输入 ParametricPlot3D2 Sinu*Cosv,2 Sinu*Sinv,2 Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi 便作出了方程为 的球面.22z 53 用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为 ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,t1,t2,选项 其中 xt,yt,zt是曲线的参数方程表示式. t1,t2 是作图时参数 t 的范围 . 例如, 空间螺旋线的参数方程为 ).80(1/,sin,cottzytx 输入 ParametricPlot3DCost,Sint,t/10,RGBColor1,0,0,t,0,8 P
16、i 则输出了一条红色的螺旋线. 在这个例子中，请读者注意选项 RGBColor1,0,0的位置. 用于作空间曲线时, ParametricPlot3D 的选项 PlotPoints 的默认值是 30, 选项 ViewPoint 的默 认值没有改变. 3.作三维动画的命令 MoviPlot3D: 无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画. 例如, 输入调用作图软件包命令 0,6 观察图形. 其中作图范围选项为 PlotRange-0,6,而删除的部分显示为一块水平平面. 例 2.2 作出函数 的图形.214yxz 输入 kx_,y_:=4/(1+x2+y2) Pl
17、ot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints-30, PlotRange-0,4,BoxRatios-1,1,1 则输出函数的图形 2-1. 观察图形, 理解选项 PlotRange-0,4和 BoxRatios-1,1,1的含义. 选 项 BoxRatios 的默认值是1,1,0.4. 54 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 4 图 2-1 例 2.3 作出函数 的图形.2yxez 输入命令 Plot3D-x*y*Exp-x2-y2,x,-3,3,y,-3,3, PlotPoints-30,AspectRatio-Automatic; 则输
18、出所求图形. 例 2.4 作出函数 的图形.)94cos(2yxz 输入 Plot3DCos4x2+9y2,x,-1,1,y,-1,1,Boxed-False, Axes-Automatic,PlotPoints-30,Shading-False 则输出网格形式的曲面图 2-2, 这是选项 Shading-False 起的作用, 同时注意选项 Boxed-False 的作用. -1 -0.5 0 0.5 1-1 -0.5 0 0.5 1 -1-0.5 00.5 1 图 2-2 二次曲面 例 2.5 作出椭球面 的图形.19422zyx 55 这是多值函数, 用参数方程作图的命令 Paramet
19、ricPlot3D. 该曲面的参数方程为 ( ).,cos,sin3,cosin2uzvuyvux 20,v 输入 ParametricPlot3D2*Sinu*Cosv,3*Sinu*Sinv, Cosu, u,0,Pi,v,0,2 Pi,PlotPoints-30 则输出椭球面的图形. 其中选项 PlotPoints-30 是增加取点的数量, 可使图形更加光滑. 例 2.6 作出单叶双曲面 的图形.194122zyx 曲面的参数方程为 ( ),tan3,cose,sinecuvuvux .20,/2/v 输入 ParametricPlot3DSecu*Sinv,2*Secu*Cosv, 3
20、*Tanu, u,-Pi/4,Pi/4,v,0,2 Pi,PlotPoints-30 则输出单叶双曲面的图形. 例 2.7 作出圆环 ,( )vzuvyuvx sin7,si)co38(,cos)38( 2/,230vu 的图形. 输入 ParametricPlot3D(8+3*Cosv)*Cosu,(8+3*Cosv)*Sinu, 7*Sinv,u,0,3*Pi/2,v,Pi/2,2*Pi; 则输出所求圆环的图形. 曲面相交 例 2.8 作出球面 和柱面 相交的图形.22zyx 1)(2yx 输入 g1=ParametricPlot3D2 Sinu*Cosv,2 Sinu*Sinv,2 Co
21、su, u,0,Pi,v,0,2 Pi,DisplayFunction-Identity; g2=ParametricPlot3D2Cosu2,Sin2u,v, u,-Pi/2,Pi/2,v,-3,3,DisplayFunction-Identity; Showg1,g2,DisplayFunction-$DisplayFunction 则输出所求图形. 例 2.9 作出曲面 及 面所围成的立体图形.xyxz22,1Oy 输入 g1=ParametricPlot3Dr*Cost, r*Sint,r2,t,0,2*Pi,r,0,1,PlotPoints-30; g2=ParametricPlot
22、3DCost*Sinr,SintSinr,Cosr+1,t,0,2*Pi, r,0,Pi/2,PlotPoints-30; Showg1,g2 则输出所求图形. 例 2.10 作出螺旋线 ( )在 面上的正投影曲线的图形 .tzytx2,sin10,coRxOz 所给螺旋线在 面上的投影曲线的参数方程为Oz .x,co 输入 ParametricPlot2t,10Cost,t,-2Pi,2Pi; 则输出所求图形. 注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投 56 影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程
23、中 并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可. 例 2.11 作出默比乌斯带(单侧曲面 )的图形. 输入 Clearr,x,y,z; rt_,v_:=2+0.5*v*Cost/2; xt_,v_:=rt,v*Cost yt_,v_:=rt,v*Sint zt_,v_:=0.5*v*Sint/2; ParametricPlot3Dxt,v,yt,v,zt,v,t,0,2 Pi, v,-1,1,PlotPoints-40,4,Ticks-False 则输出所求图形. 观察所得到的曲面, 理解它是单侧曲面. 空间曲线 例 2.12 作出空间曲线 的图形.)60(2,sin,cotztytx
24、 输入 ParametricPlot3Dt*Cost,t*Sint,2*t,RGBColor1.0,0,0.5,t,0,6 Pi 则输出所求图形. 动画 例 2.13 作模拟水波纹运动的动画. 输入调用软件包命令 0.5, ViewPoint-0.911,-1.682,2.791,Frames-12 则输出 12 幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 例 2.14 用动画演示由曲线 绕 z 轴旋转产生旋转曲面的过程.0sinzy 该曲线绕 z 轴旋转所得旋转曲面的方程为 其参数方程为,sin22yx),0(,i,cosi uuuzx 输入 Fori=1,i1,
25、AxesLabel-“X“,“Y“,“Z“; 则输出连续变化的 30 幅图形. 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 实验习题 1.用 Plot3D 命令作出函数 的图形, 采用选项)3,3(sin2coyxyxz PlotPoints-40. 2.作出函数 的图形.)sin(2yxz 3.用 Plot3D 命令作出函数 在 上的图形,)si(c28/)(2yxezyx yx, 采用选项 PlotPoints-60. 4.二元函数 在点(0,0) 处不连续, 用 Plot3D 命令作出在区域2yxz 上的图形(采用选项 PlotPoints-40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况.2
26、,x 57 5.一个环面的参数方程为 ),20,(sin,i)cos3(,cos)3( vuzvuyvux 试用命令 ParametricPlot3D 作出它的图形. 6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为 ).8,1(3/,in, 试用命令 ParametricPlot3D 作出它的图形. 7.用命令 Plot3D 作双曲抛物面 ,其中 (用选项41 2yxz14,6yx BoxRatios-1,1,1, PlotPoints-30). 8.用命令 ParametricPlot3D 作出圆柱面 和圆柱面 相交的图形.122z 9.用命令 ParametricPlot3D 作出抛物柱面 和平面 相交的图形.yxx 10.用命令 ParametricPlot3D 作出圆柱面 和圆柱面 相交所成的空间曲1 线 在第一封内的图形. 11.用命令 ParametricPlot3D 作出球面 和柱面 相交所成的空22zyx)(2yx 间曲线的图形.
