1、1 平行四边形课外训练题(2)解答题参考答案 1.（2008 山东青岛）已知：如图，在正方形 ABCD 中，G 是 CD 上一点，延长 BC 到 E，使 CECG，连接 BG 并延长交 DE 于 F （1）求证：BCGDCE； （2）将DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE， 判断四边形 EBGD 是什么特殊四边形？并说明理由 解：（1）证明：四边形为正方形， BCCD，BCGDCE90 2 分 CGCE， BCGDCE. 4 分 （2）答：四边形 EBGD 是平行四边形 理由：DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE CEAE， CGCE， CGAE， ABCD，ABCD， BED
2、G，BEDG，6 分 2.（2008 甘肃兰州）如图 1，平行四边形 ABCD中，ABC ， ， 5B对角线 ， 相交于点 O，将直线 AC绕点 O顺时 针旋转，分别交 AD， 于点 EF， （1）证明：当旋转角为 90时，四边形 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段 与 C总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形 B可能是菱形吗？如果不能，请说明理由； 如果能，说明理由并求出此时 绕点 O顺时针旋转的度数 （1）证明：当 90AOF时， EF ，又 ABE ， 四边形 BE为平行四边形 （2）证明： 四边形 CD为平行四边形， C， ， （3）四边形 F可以是菱形 理由：如图，连接
3、 BE， ，由（2）知 AOFE ，得 OF，E 与 互相平分 当 D时，四边形 为菱形 在 RtAC 中， 51， 1B，又 AC， 45B， 4OF ， 绕点 顺时针旋转 45时，四边形 EDF为菱形 A B C D O F E 图 1 A B C D O F E A B C D E F G 2 3.（2007 甘肃兰州课改）如图所示，在 中，分别以 为边在 的同ABC ABC， ， B 侧作等边 ，等边 ，等边 ABD E F （1）求证：四边形 是平行四边形；F （2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） 当 满足 _条件时，四边形 是矩形；C D 当 满足 _条件时，四边形 是
4、菱形； 当 满足 _条件时，以 为顶点的四边形不 A， ， ， 存在 答案：（1） 和 都是等边三角形ABD FC 60FDBFAC 又 ，C E 同理 AB FD 四边形 是平行四边形 （2） 150CABC60BAC 4.（2008 齐齐哈尔）已知：正方形 中， ， 绕点 顺时针旋D45MNA 转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于点 ， ， 当 绕点 旋转到 时（如图 1） ，易证 MANND （1）当 绕点 旋转到 时（如图 2） ，线段 和 之间有怎BB， MN 样的数量关系？写出猜想，并加以证明 （2）当 绕点 旋转到如图 3 的位置时，线段 和 之间又有怎样的数， 量关系？请直
5、接写出你的猜想 解：（1） 成立BMDN 如图，把 绕点 顺时针 ，得到 ，A 90ABE 则可证得 三点共线（图形画正确）E， ， 证明过程中， 证得： 证得： N B B M B C N C N MC N M 图 1 图 2 图 3 A A A DDD B ME A C D N A D E F B C 图 3 MENBDBM （2） ） 5.(2008 宁夏)如图，在边长为 4 的正方形 中，点 在 上从 向 运动，连接ABCDPAB 交 于点 DPACQ （1）试证明：无论点 运动到 上何处时，都有 ；PQ （2）当点 在 上运动到什么位置时， 的面积是正方形 面积的 ；BAABCD61
6、 （3）若点 从点 运动到点 ，再继续在 上运动到点 ，在整个运动过程中，当点ABC 运动到什么位置时， 恰为等腰三角形PDQ （1）证明：在正方形 中，C 无论点 运动到 上何处时，都有 = = = ADBA Q (2)解法一： 的面积恰好是正方形 ABCD 面积的 时，61 过点 Q 作 于 , 于 ， 则 = EADFABQEF = =21ABC正 方 形S6138 = 34 由 得 解得DEQPDAE2P 时， 的面积是正方形 面积的 . 2ABC61 解法二：以 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点 作 轴 QEy 于点 ， 轴于点 EQFx = = =21ADABCD正 方 形S6
7、13834 点 在正方形对角线 上 点的坐标为Q()， 过点 （0，4） ， ( 两点的函数关系式为：)4, 42xy 4 当 时， 点的坐标为（2，0）0yxP 时， 的面积是正方形 面积的 2APDQABCD61 （3）若 是等腰三角形，则有 = 或 = 或 =QAQD 当点 运动到与点 重合时，由四边形 是正方形知 =B 此时 是等腰三角形ADQ 当点 与点 重合时，点 与点 也重合，PCC 此时 = , 是等腰三角形 解法一：如图，设点 在 边上运动到 时，有 =BxPADQ = ADBCADQC 又 = =QP = = =x = = =4AC24AD ，即当 时， 是等腰三角2Qx 42CPADQ 形. 解法二：以 为原点建立如图所示的直角坐标系，设点 在 上运动到 时，BCyP 有 = AD 过点 作 轴于点 ， 轴于点 ,则QEyQFxQFE 在 中， ， =45 RtF4A = =5sin2 点的坐标为（ ， ）Q 过 、 两点的函数关系式： +4Dxy)21( 当 =4 时， 点的坐标为（4，8-4 ） x28yP 当点 在 上运动到 时， 是等腰三角形PBCADQ
