1、湖 南 省 研 究 生 科 研 创 新 项 目 申 请 书 项目名称： 非多项式曲线曲面的研究 申请者： 陈玲芳 所在单位： 湖南科技大学数学与计算科学学院 所属学科： 应用数学 联系电话： 15200359070 传真电话： 15200359070 电子信箱： 707838439 申请日期： 2016-3-4 湖 南 省 教 育 厅 2009 年制 填 报 说 明 一、申请书各项内容，要实事求是，逐条认真填写。表达要明确、严谨。 外来语要同时用原文和中文表达。第一次出现的缩写词，须注出全称。除签名 外，项目申请书必须是打印件。 二、申请书一律用 A4 纸，于左侧装订成册。第二页起各栏空格不够
2、时， 请自行加页。如有查新报告及其它附件材料，请连同申请书一起装订成册。 三、 “所属学科”按博士、硕士学科专业目录（2006 年修订版）二级学科 名称填写。 （封 2，此页不装订） 0 一、简表 基础研究 应用研究项目名称 非多项式曲线曲面的研究 研究类别 试验发展 研究 年限 2016 年至 2017 年 申请经费（万元） 0.5 万元 姓名 陈玲芳 性别 女 身份证号 431128199108036325项目 负责 人 技术职称 研究生 学科专业及研 究方向 数学 计算机辅助几何设计 姓名 吴晓勤 性别 男 学历学位 博士 技术职称 副教授 学科专业及研 究方向 数学 计算机辅助几何设计
3、 指 导 教 师 目前指导 学生数 博士： 名，硕士： 1 名 联系电话 15173263985 姓 名 身份证号码 技术职务 专业 所在单位 本人签名 陈玲芳 431128199108036325 研究生 数学 湖南科技大 学数学与计 算科学学院 研究生 数学 湖南科技大 学数学与计 算科学学院 研究生 数学 湖南科技大 学数学与计 算科学学院 主 要 研 究 人 员 项目 负责 人主 要学 习和 工作 经历 （从 上大 学开 始） 1、2010 年 9 月到 2014 年 6 月 衡阳师范学院 2、2014 年至今 湖南科技大学 1 二、立项依据 （项目的研究目的、意义；国内外研究现状分析
4、和发展趋势；项目应用前景和学术价值；现有研究基础、 条件、手段以及指导教师情况等） 长期以来，曲线曲面是计算机辅助几何设计（CAGD）和计算机图形学（CG）研究的重要课题，主要 研究的是在计算机图形系统环境下对曲线曲面的表示、显示和分析，它起源于实际工程的汽车、飞机等 外形放样工艺，由 Coons、Bzier 等于上世纪六十年代奠定其理论基础 。较早研究的是以多项式为21 基函数的 Bzier 曲线 和 Ferguson 曲线 ，后来发展为 B 样条曲线和有理样条曲线，它在 CAD 和3 4 CAGD 有着广泛应用，经过几十年的发展,现在已经形成了以 Bzier 和 B 样条为代表的参数化特征
5、设计 和隐式代数曲线曲面表示这两类方法为主体的几何理论体系，特别是非均匀有理 B 样条（NURBS）方法 成为现代曲线曲面最广泛的技术，因 NURBS 方法的独特优势，国际标准化组织（ISO）于 1991 年颁布了 关于工业产品数据交换的 STEP 国际标准，把 NURBS 作为定义工业产品的几何形状的唯一数学描述方法。 NURBS 方法其主要优势是：可精确表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲线 曲面与自由曲线曲面；具有可调节的曲线曲面的权因子，使其形状易控制与实现，但在实际工程设计中， 随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强和几何设计对象向着多样化、特殊
6、性 和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日益明显，原有的曲线曲面表示方法缺陷日益露出，不能满足 CAGD 需要的自由曲线曲面形式的计算表示；NURBS 作为一个统一的数学模型，即可以表示自由曲线曲面， 又可表示传统几何曲线。Bzier 方法虽然在形状控制方面解决了一些问题，但仍存在分段连接、局部修 改问题。对此 De Boor 给出了关于 B 样条的一套标准算法成功解决了局部控制问题，不管是 Bzier 还 是 B 样条方法，均不能精确描述圆锥曲线曲面，对此，Forrest 在参数范围里首先给出有理 Bzier 形式 的圆锥曲线，目前，Bzier 形式和其他有理形式是成为我们研究的热点。Wenpin
7、g wang 等提出了二5 次曲面的二次有理插值方法；Qi Duan 用两种不同方法构造了有理插值函数，并用他们作加权平均，调 节权因子能较好地描述曲线形状；D.S.Mee K 等构造两个加权因子的有理三次函数类，通过权因子与形 状因子调节曲线形状，然而，Piegl 指出采用有理形式代替多项式形式,NURBS 在形状设计与分析中存在 一定的局限性,文 中权因子的选取问题至今没有完全解决，原有的方法受到了极大的挑战,人民希望6 找到一种新的基函数，这种新的基函数既有有理 B 样条曲线的性质，也有有理 B 样条曲线的优点。因此， 广大 学者们一直在努力探索新的曲线曲面的表示方法。 在曲线曲面的发展
8、中，与 NURBS 曲线曲面的构造方法不同主要表现在两个方面：一方面，放松连续 性条件，由参数连续性转变为几何连续性，最具代表性的是 Beta 样条曲线 ；另一方面，在另一函数7 空间寻求新的基函数，其中包括三角多项式空间，混合函数空间等，特别是混合函数空间突破了 NURBS 表示曲线曲面的范畴，扩大了曲线曲面的表示方法，几经发展才慢慢为大家所熟悉和接受，成为了新的 研究热点。 2 而三角样条与三角多项式在理论与应用中都具有重要的意义，早在60年代，Schoenberg 就提出三8 角多项式样条，并指出任意三角多项式样条均可表示为三角B样条的线性组合；Lyche 等研究了三角B9 样条的递推关
9、，在后来的几十年中，非多项式样条特别是三角样条受到青睐，不仅应用于CAGD领域，还 在科学计算机等领域有着广泛的应用。Pea 等在三角多项式空间C =Span10 m 找到了与Bernstein基类似的三角多项式基，国内的韩旭里 和吴晓勤mttcos,2,cos1 14- 在研究三角多项式样条曲线这方面研究得较多并得到一些结论。就三角多项式样条曲线比一般的6-5 多项式样条曲线比较，三角多项式样条有明显优点：具有连续性好、逼近度高，还可精确表示圆和椭圆， 且参数因子可调整曲线。 混合函数空间的工作开始于1994年，Pottmann 和Wagner 首次定义在空间 Span6 3C 上的 Hel
10、ix Spline；随后张纪文构造了单参数的C曲线 ，随着C-Bzier 曲线研究的1,sincott 17 进一步发展，r曲线已从三次推广到四次、五次及一般 Span 空间上的高次n 2,sincott 曲线 ，而且 C-Bzier曲线可方便表示圆弧，特别是整圆的表示 ，但由于 空间的局限性，如悬19-8 20 链线和双曲螺线等曲线不能在此空间精确表示，注意到用双曲多项式代替三角多项式，得到了一些新的 曲线。汪国昭等 24在空间 Span 讨论了平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分3H1,sih,cott 类，提出了三次H-Bzier曲线；吕勇刚 等讨论了均匀的双曲多项式 B样条曲线(H-B
11、-Spline) ，其后李亚25 娟等 26在 Span 空间研究了一般的非均匀节点情形 次H-Bzier曲线，n21,intt n 作者称之为NUAHB样条曲线。由于三角多项式和双曲多项式的特性，利用复数知识，可以将 和nC 空间统一到一个新的空间 ，在此空间，方美娥 等提出了nH cos,in,1Spa2ttn 27 -Bzier曲线,它是对C-Bzier曲线、H-Bzier曲线的进一步推广，当频率参数 =0,1,i时，分别对应为 Bzier曲线、 C-Bzier曲线、 H-Bzier曲线；其后在文 提出了 样条，统一了多项式空间、 和28 B- n 空间中的B样条。n 从上述文献可以看出
12、：一、非多项式的有理三角样条曲线曲面具备与多项式有理曲线曲面不同的特 点：连续性好、逼近度高、形式具有多样性而且还带有形状参数等；二、混合函数空间的曲线曲面既保 持了多项式曲线曲面的一些优点，又克服了多项式曲线曲面的一些不足，特别是扩大了多项式曲线曲面 的表示范围；三、混合函数空间曲线曲面的研究起步较晚，仅对三种类型的空间 、 和 研究nCHn 比较多。因此，可以研究新型的曲线曲面的表示问题，不仅理论上有很重要意义，而且对实际的曲线曲 面设计也有指导意义。 3 三、研究方案 1. 研究目标、研究内容和拟解决的关键问题 研究目标：希望在新型的函数空间找到一类特殊的基函数，所构造的曲线曲面不仅可以
13、满足工业产 品设计的需要，还对实体造型具有实用价值。 研究内容： （1）在新的函数空间，构造具有有理 Bzier 曲线特征（即端点插值且与端边相切）的新型曲线 曲面； （2）研究了有理曲线曲面参数和权因子分别对形状图的影响和逼近性； （3）在新的函数空间，构造可以局部控制的有理曲线曲面形状的保形参数样条插值算法； 拟解决关键问题： （1）如何找出有效、实用的新型的基函数，构造的有理曲线曲面形状参数和权因子分别对形状图 有什么样的影响； （2）参数在一定范围内，有理曲线曲面比传统有理 Bzier 曲线有更好的逼近性； （3） 如何设计有效的生成曲线曲面的保形参数样条插值算法。 2. 拟采取的研究
14、方法及可行性分析 原有的曲线曲面设计理论主要是基于多项式空间的理论，由于生产实践中需要的曲线曲面丰富多 样，仅通过多项式空间表示曲线曲面显然有不足。在逼近论里有两类重要的函数系：一类是多项式函 数系 ；一类是三角函数系1，cos x，sinx ，cos2x，sin2x，多项式函数系的典,132，x 型理论是任一函数的泰勒展开，而三角函数系典型理论是函数的傅立叶展开；两者各有优点，如果兼 备两者的优点，将其混合组成新的函数空间，可望产生一些新的曲线曲面。 一是可采取类似于 Bzier 方法，以新型基函数替换 Bernstein 多项式函数，构造具有端点插值且与 端边相切的新形式的 Bzier 曲
15、线；二是根据积分递归方法，由初始函数出发得出新型的 B 样条基函数， 以此构造新型的 B 样条曲线；三是在新曲线的基础上，运用张量积方法，可将新曲线推广到新曲面。 此外，我们不仅限于多项式函数同三角函数的混合，还可在其他形式的混合函数空间讨论新的曲 线曲面的构造问题。 本项目申请人及项目组成员年轻、精力充沛。在导师指导下对本项目相关内容有较深的了解，熟悉 研究本项目需要的相关知识和各种方法。通过课题组成员不懈的努力，相信我们一定能顺利地完成项 目的研究工作。 4 3本项目的创新之处 (1)在新的函数空间构寻找新的基函数，引进的参数因子与权因子对曲线曲面的形状有重要影响， 不仅在理论上具有重要意
16、义，对实践也具有指导意义； (2)在构造参数样条有理曲线曲面的插值算法中，引进的参数因子可以作为有理曲线曲面的形状控 制因子，对曲线曲面设计和实体造型具有实用价值。 4. 预期研究进展 预期在前三个月内，查阅国内外文献，更多收集与相关的资料，了解国内外最新的研究动态。计划 在 2016 年 4 月进入实质性研究工作。 2016 年 4 月2016 年 6 月，寻找一类或特殊的与 Bernstein 基类似的非多项式基函数，构造新的有 理曲线曲面具有传统有理 Bzier 曲线曲面的所有特性； 2016 年 7 月2016 年 9 月，刻画参数在什么条件下，构造的曲线曲面比传统有理 Bzier 曲
17、线曲面 有更好的逼近性； 2016 年 10 月2016 年 11 月，求解有理曲线曲面保形参数样条插值算法； 2016 年 12 月2017 年 2 月，撰写相关的研究论文，结题报告。 预期研究成果：发表相关研究论文 12 篇。5预期成果 本项目的研究成果主要以学术论文的形式，在国内外相关学术期刊上发表，预计完成学术论文 1-2 篇。 5 四、研究基础 与本项目有关的研究工作积累和已取得的研究工作成绩及目前承担项目的情况（项目负责人和其它成 员 情况分开填写并且项目、成果及奖励等须注明承担或完成人姓名等相关信息） 多年来，指导教师吴晓勤老师在三角多项式样条曲线这方面进行了较深的研究与探索，通
18、过带参 的 基函数，研究了三角 Bzier 曲线的形状分析、参数连续性与几何连续性、曲线拼接与保形插值等问题， 推广了相应曲线的形状分析和参数对于形状图的影响等，并得到了一些较好的结果。 本人自入学以来，在吴晓勤导师的指导下，认真研读了关于曲线曲面方向的国内外基础知识，例如 数值分析 、 计算机辅助几何设计与非均匀有理 B 样条 、 Interactive Curve Modeling 、 Curves and Surfaces for Computer Graphic 、 计算机辅助几何设计中的保形插值理论与算法 、 金字塔算法- 曲线曲面几何模型的动态编程处理等等，同时，项目组主要成员所在
19、单位是湖南科技大学，学校有 较 好的科研环境与氛围，具有较好的办公条件与网络环境，订购了一些著名出版公司（如 Springer、中 国 期刊网等）的网页使用权，以及 Elsevier 数据库、美国数学评论数据库等，有较丰富的图书资料。 ， 在代数与符号计算方面有较强的学术梯队，能保证研究时间，并在人力、物力上学校能给予大力支持。 本项目组具有良好的研究基础、条件，经过努力工作，一定能够圆满实现研究目标。 我通过图书馆、网络资源大量查阅了国内外相关文献和著作，现已认真研读了有关该方向的论文，已 对该研究方向的有关理论有了比较系统而深刻的了解，具有扎实的专业理论知识，现确定了今后自己 要研究的内容
20、，以后会以饱满的热情投入到研究工作中去的。 6 7 五、经费预算 支 出 科 目 金 额（万元） 计 算 根 据 及 理 由 合 计 0.5 科研业务费 0.4 会议费、差旅费等 相关经费 0.1 注: 预算支出科目按下列顺序填写: 1. 科研业务费 2. 实验材料费 3. 仪器设备费 4.相关经费。 8 指 导 教 师 意 见 （就项目研究目标、内容、创新性、研究方案的可行性、预计创新成果等写出具体意见） 签名： 年 月 日 指 导 教 师 承 诺 我承诺：如果项目获得资助，我将依照湖南省研究生科研创新项目管理办法的有关 章则和学校的有关规定对项目进行切实指导和监管。 承诺人： 年 月 日 校研 究生 院处 审查 以及 经费 配套 意见 负责人： 年 月 日 （公章） 专家评审意见 省教育厅审定意见 专家签名： 年 月 日 年 月 日
