1、魔靖 123 初中数学竞赛辅导资料(初三 26) 正整数简单性质的复习 甲. 连续正整数 一. n 位数的个数：一位正整数从 1 到 9，共 9 个，两位数从 10 到 99，共 90 个，三位数 从 100 到 999 共 9102 个，那么 n 位数的个数共_.(n 是正整数) 练习：1. 一本书共 1989 页，用 0 到 9 的数码，给每一页编号，总共要用数码个. 2. 由连续正整数写成的数 12349991000 是一个_位数； 10011002100319881989 是_位数. 3. 除以 3 余 1 的两位数有_个，三位数有_个，n 位数有_个. 4. 从 1 到 100 的正
2、整数中，共有偶数_个，含 3 的倍数_个； 从 50 到 1000 的正整数中，共有偶数_个，含 3 的倍数_个. 二. 连续正整数的和：1+2+3+n=(1+n) .2n 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模 m 有同余数的连续数的和. 练习：5.计算 2+4+6+100=_. 6. 1+3+5+99=_. 7. 5+10+15+100=_. 8. 1+4+7+100=_. 9. 1+2+3+1989 其和是偶数或奇数？答_ 10. 和等于 100 的连续正整数共有_组，它们是_. 11. 和等于 100 的连续整数共有_组，它们是_. 三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和 整数 1
3、23456789 各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+(4+5)=95=45； 123499100 各位数字和是(0+99)+(1+98)+(49+50)+1=1850+1=901. 练习：12. 整数 12349991000 各位上的数字和是_. 13. 把由 1 开始的正整数依次写下去，直到第 198 位为止： 这个数用 9 除的余数是_.位9802234567 (1987 年全国初中数学联赛题) 14. 由 1 到 100 这 100 个正整数顺次写成的数 123499100 中： 它是一个_位数； 它的各位上的数字和等于_； 从这一数中划去 100 个数字，使剩下的数尽可能大，那
4、么 剩下的数的前十 位是_. 四.连续正整数的积： 123n 记作 n ! 读作 n 的阶乘. n 个连续正整数的积能被 n!整除. 如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)(a+n1). a 为整数. 魔靖 123 n! 中含有质因数 m 的个数是 + + .n2imn x表示不大于 x 的最大正整数，i=1,2,3 min 如：12310 的积中，含质因数 3 的个数是： =3+1=42310 练习：15. 在 100! 的积中，含质因数 5 的个数是：_ 16.一串数 1，4，7，10，697，700 相乘的积中，末尾共有零_个 (1988
5、 年全国初中数学联赛题) 17. 求证：10 494 | 1989! 18. 求证：4! | a(a 21)(a+2) a 为整数 五. 两个连续正整数必互质 练习：19. 如果 n+1 个正整数都小于 2n, 那么必有两个是互质数，试证之. 乙. 正整数十进制的表示法 一. n+1 位的正整数记作：a n10n+an1 10n1 +a110+a0 其中 n 是正整数，且 0a i 9 (i=1,2,3,n)的整数, 最高位 an0. 例如：54321=510 4+4103+3102+210+1. 例题：从 12 到 33 共 22 个正整数连写成 A=1213143233. 试证：A 能被
6、99 整除. 证明：A=12 1042+131040+141038+31104+32102+33 =1210021+1310020+141019+311002+32100+33. 100 的任何次幂除以 9 的余数都是 1，即 100 n=(99+1) n1 (mod 9) A=99k+12+13+14+31+32+33 (k 为正整数 ) =99 k+(12+33)+(13+32)+(22+23) =99k+4511 =99k+995. A 能被 99 整除. 练习：20. 把从 19 到 80 的连结两位数连写成 192021227980.试证明这个数能被 1980 整 除 二. 常见的一
7、些特例 =10 n1, = (10 n1), (10 n1). 9个n 3个n191个n 例题：试证明 12，1122，111222，11112222，这些数中的任何一个，都是两个相邻的 正整数的积. 证明：第 n 个数是 = 10 n+ 21个个 n)10(9 n)10(92 = (10 n+2) n 魔靖 123 = 3101nn = )3(0nn = . 证毕. 3个n4)1( 个n 练习：21. 化简 +1 =_. 9个 9个 9个 22. 化简 =_. 212-个个 nn 23. 求证 是合数.90个 24. 已知：存在正整数 n,能使数 被 1987 整除. 1个n 求证：数 p=
8、 和 1个n 9个n 8个 7个 数 q= 都能被 1987 整除.个个 1个1个n (1987 年全国初中数学联赛题) 25. 证明： 把一个大于 1000 的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组 数的差，能被 7(或 13)整除，则这个正整数就能被 7(或 13)整除. 26. 求证： 1 5+1 是完全平方数.个n 0个n 丙. 末位数的性质 .一.用 N (a)表示自然数的个位数. 例如 a=124 时，N (a)=4； a=3 时，N (a)=3. 1. N (a4k+r)=N (ar) a 和 k 都是整数，r=1,2,3,4. 特别的： 个位数为 0，1，5，6 的整数，
9、它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数 是 4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身. 2. N (a)=N (b) N (ab)=0 10 |(ab). 3. 若 N (a)=a0, N (b)=b0. 则 N (an)=N (a0n)； N (ab)=N (a0b0). 例题 1：求53 100 ； 和 7 的个位数. 解：N (53 100)=N (3424+4)=N (34)=1 先把幂的指数 77 化为 4k+r 形式，设法出现 4 的因数. 77=777+7=7(7 61)+4+3 =7(721)(7 4+72+1)+4+3 =7412 (74+72+1)+4+3 =4k+3 N(
10、7 )=N(74k+3)=N(73)=3. 练习：27. 19891989 的个位数是_，9 的个位数是_.9 魔靖 123 28. 求证：10 | (1987 19891993 1991). 29. 2210331577205525 的个位数是_. 二. 自然数平方的末位数只有 0，1，4，5，6，9； 连续整数平方的个位数的和，有如下规律： 12，2 2，3 2，10 2 的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和 例题 1. 填空：1 2，2 2，3 2，123456789 2 的和的个位数的数字是_. (1991 年全国初
11、中数学联赛题) 解：1 2，2 2，3 2，10 2 的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 11 到 20；21 到 30；31 到 40；123456781 到 123456789，的平方的个 位数的和也都是 45. 所以所求的个位数字是： (1+4+9+6+5+5+9+4+0)(12345678+1)的个位数 5. 2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法 例题 2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作： (n2) 2+(n1) 2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k 都
12、是整数) 5(n2+2)=k2 . k2 是 5 的倍数，k 也是 5 的倍数. 设 k=5m, 则 5(n2+2)=25m2. n2+2=5m2. n2+2 是 5 的倍数，其个位数只能是 0 或 5，那么 n2 的倍数是 8 或 3. 但任何自然数平方的末位数，都不可能是 8 或 3. 假设不能成立 任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 3.判断不是完全平方数的其他方法 例题 3. 已知：a 是正整数. 求证： a(a+1)+1 不是完全平方数 证明：a(a+1)+1=a 2+a+1，且 a 是正整数 a 22 求证：2 n1 和 2n+1 中，如果 有一个是质数，则另一个必是 合数
13、. 51.设 a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a3bab 3,b3cbc 3,c3aca 3 三个数中，至 少有一个能被 10 整除. (1986 年全国初中数学联赛题) 庚. 整数解 1. 二元一次方程 ax+by=c 的整数解：当 a,b 互质时，若有一个整数的特解 那么0yx 可写出它的通解 )(0为 整 数kaybx 2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质 整数整数=整数， 整数整数=整数， 整数(这整数的约数)=整数， (整数) 自然数 =整数 3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解. 4. 根据已知条件讨论整数解. 例 1. 小军和小红的生日
14、.都在 10 月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于 34，小 军比小红早出生，求小军的生日. 解：设小军和小红的生日分别为 x, y，根据题意，得 (k=1,2,3,4) 2x=347k x=17347xyk k27 k=1, 3 时， x 没有整数解； 当 k=2 时， .210y， 当 k=4 时， (10 月份没有 31 日，舍去).31x， 小军的生日在 10 月 10 日 例 2. 如果一个三位数除以 11 所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合 条件的所有三位数. (1988 年泉州市初二数学双基赛题) 解：设三位数为 100a+10b+c, a, b, c
15、都是整数，01, q1, 试求 p+q 的值.pq2,1 （1988 年全国初中数学联赛题） 54. 能否找到这样的两个正整数 m 和 n，使得等式 m2+1986=n2 成立. 试说出你的 猜想，并加以证明. （1986 年泉州市初二数学双基赛题） 55. 当 m 取何整数时，关于 x 的二次方程 m2x218mx+72=x 26x 的根是正整数， 并求出它的根. （1988 年泉州市初二数学双基赛题） 56. 若关于 x 的二次方程（1+a）x 2+2x+1a=0 的两个实数根都是整数，那么 a 的 取值是_. （1989 年泉州市初二数学双基赛题） 57. 不等边三角形的三条边都是整数，
16、周长的值是 28，最大边与次大边的差比次 大边与最小边的差大 1，适合条件的三角形共有_个，它们的边长分别是： _. 58. 直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长. 59. 鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、 鸡母、鸡雏各几何？ 60. 甲买铅笔 4 支，笔记本 10 本，文具盒 1 个共付 1.69 元，乙买铅笔 3 支，笔记 本 7 本，文具盒 1 个共付 1.26 元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各 1，应付几元？ 魔靖 123 若 123499100=12 nM，其中 M 为自然数，n 为使得等式成 立的最大自然数，则 M 是
17、( ) (A).能被 2 整除，不能被 3 整除 . (B).能被 3 整除，但不能被 2 整除. (C).被 4 整除，不能被 3 整除 . (D).不能被 3 整除，也不能被 2 整除. (1991 年全国初中数学联赛题) 答案： 1. 9+902+9003+9904=6849 2. 2893 7956 3. 30，300，310 n1 4. 50, 33, 476, 317 . 5.2550 6.2500. 7. 1050 1. 1717. 9.奇数 (1+1989) . 298 10 有两组：18，19，20，21，22； 9，10，11，12，13，14，15，16. 11.有四组：
18、除上题中的两组外，尚有8 到 16；17 到 22 12. 13501. 13. 余数是 6(由 1 到 102 刚好是 198 位). 14. (1)192 (2)901 (3)9999978596 15. + =245102 16. 60 个. 计算积中含质因数 5 的个数是： 从 10，25，40，55，700 这组数中含质因数 5 的共有(70010) 15+1=47； 而 25，100，175，700 含有 52 因数，应各加 1 个 5，共有(10025) 75+1=10； 且 250，625，含有 53 因数，应再各加 1 个 5，共有 2 个； 625 含有 54 因数，再加
19、1 个 5. 总共是 47+10+2+1=60. 17. =379+79+15+3=49462982198 18. 把 a(a21)(3a+2) 化为 a(a+1)(a 1)(2a+4)+(a 2)=2(a1)a(a+1)(a+2)+(a2)(a 1)a(a+1). 19. 根据两个连续整数必互质，把 n+1 个正整数按非连续数单独分组，因为它们都小于 2n,所 以最多分为 n 组，那么 n+1 个正整数至少有一个不能单独分组，即与 n 组中的一个互 质. 20. 易证能被 20 整除，再证能被 99 整除 21. 原数=(10 n1) 2+110n+(10n1)=10 2n 22. 原数=
20、(102n1)2 (10n1)=( )2=(9191310 n 个n2)3( 23. 原数= (1019901)= (10995+1) (109951) = (10995+1) (101)N (N 为整数)91 24. p= (103n+9102n+810n+7) n1 魔靖 123 q= (103n+3+9102n+2+810n+1+7) 1n 10 n=9 +1， 个n1 103n+3， 102n+2， 10n+1 除以 的余数分别为 103，10 2，10. 个n q 的第二因式除以 的余数分别为 1103+9102+810+7 个 25.设 A=103 M+N， 7|(MN). A=1
21、03 M+N=103 M+MM+N=1001M (M N). 26. 原数= =1)50(91nn 27. 1. 28. 7 1 与 33 的个位数相同. 29 . 0. 30. 9 个(1，25，10，20，25 ，50，100，125). 31. 2，6. 可设 9n2+5n+26=m(m+1), 配方，分解因式 32. 2，9. 33. 8，9. 34. 22!+3，22!+5，22!+7，22!+19，22!+21 35. 可设 2357111317， 那么 N+2，N+3，N+16 即所求. 36. (22n+1)2+(x2n)2+222n+1x2n42 2nx2n=(22n+1+x
22、2n)2(2 2mx n)2 37. 奇数. 38 奇数 . 39. 4 个正整数的和为奇数，则这 4 个数中有 1 个或 3 个是奇数. 40. 若有奇数根，则奇+奇+ 奇0；若有偶数根，则偶+ 偶+奇0. 41. 若 n 为奇数，则与(1)矛盾；若 n 为偶数，由(1)可知，偶数必成双，再由(2)知 n 是 4 的 倍数. 42. 奇数 43. 星期二， 9 9 除以 7 余数是 1. 44. 除以整数 n1 的余数，最多只有 n1 种 45. 六位. 除以 7，余数除 0 以外，只有 6 种. 46. 不对，用 9 除的余数 1175， 错.82=32，除以 9 余数不是 6. 47.
23、a=6k1， a 2+23=12k(3k1)+24 48. 把整数按模 4 分类为 4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3. 其平方后除以 8 余数分别为 0，1，4，1 任何两个余数的和都不等于 6. 49. a8+3a44=(a 4+4)(a2+1)(a21), a5k ,则 a=5k1,5k 2, a 2 除以 5 的余数分别为 1 和 4， a4 除以 5 余数 均为 1. 50. 2 n 不是 3 的倍数，可分别设为 3k+1，3k1. 51. (同练习 69 第 10 题). 52. 5 53. 8 54. 不可能.(n+m)(n m)=1986 按 n+m, nm 同奇，同偶讨
24、论 . 55. 原方程化为（m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0, (m+1)x-12(m-1)x-6=0. x1= ； x2= . 方程的根是自然数，116 m=2,；或 m=3. ,34,;6.0,1235,;47.m 魔靖 123 当 m=2 时， x1=4； 或 x2=6. 当 m=3 时, x 1=x2=3. 56. a=3,2, 0, 1 (x1+x2= , x1x2=1+ )aa 57. 有三个，其边长分别是：11，9，8； 12，9，7； 13，9，6. 58. 6，8，10 或 5，12，13. 59. 设鸡翁，鸡母，鸡雏一只分别值 x,y,z 钱，则 1053xyz 消去一元，得二元一次方程： 7x+4y=200. 求自然数解，得 有四组答案： 12,8,4,0,4125;7;.xxyyzz 60. x+y+z=4012673904 zyx .61. 选(A). 根据连续整数的积的性质， 100!含因数 2 共 97 个，含因数 3 有 48 个
