1、侧2 侧侧侧 侧侧侧 侧侧侧 4 x 33 x 4 汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期末考试 高 三 理 数 2012 年 12 月 本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120 分钟. 第卷 （选择题 共 40 分） 一、选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.) 1设集合 U=1,2,3,4,5,6， M=1,2,4 则 UCM AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6 2若向量 =（2,3） ， =（4,7） ，则 = AB A （-2,-4） B(2,4)
2、 C(6,10) D(-6,-10) 3下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是 A B Cy= D ln(2)yx1yx2x1yx 4一空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为 ，则正视图中 x 的值为8513 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5已知实数 满足 ，则函数ba, 1,1ba 有极值的概率是5312xxy A. B. C. D. 43243 6ABC 中，已知 cosA= ，sinB= ，则 cosC 的值为15 （ ） A B. C. 或 D. 516616 7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是 A. B. C. D. 49
3、329 8.设 A.若 ，则 B.若 ，则0,ab3abba23abba C.若 ，则 D.若 ，则2 第卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题：(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.) 9设平面向量 =(2，1)， =(，1) ，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是abab _. 10已知某位同学五次数学成绩分别是：121，127,123， ，125，若其平均成绩是 124， 则这组 数据的方差是_. 11已知递增的等差数列 满足 ， ，则 。na1234ana 12如图，在圆 O 中，若弦 AB3，弦 AC5，则 =_.AOBC 13已知在锐角 中， ,则 ks5uA
4、BC,_,cos 的取值范围为_.AC 14设 ，将 个数 依次放入编号为)2,(2nNn Nx,21 的 个位置，得到排列 .将该排列中分别位于奇,1 xP0 数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列2 ，将此操作称为 变换，将 分成两段，每段 个数，NNxxP 42131C1PN 并对每段作 变换，得到 ；当 时，将 分成 段，每段 个数，C2P2niii2i 并对每段作 变换，得到 ，例如，当 时， ，此时1i 884673512xx 位于 中的第 个位置.7x2P4 （1）当 时， 位于 中的第_个位置；6n7x2 （2）当 时， 位于 中的第_个位置.
5、)8(N1734P 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ） 15 （本小题满分 12 分） 已知函数 ， 的最大值是 1，其图象经过点()sin()0)fxA， xR 132M， （1）求 的解析式；()f （2）已知 ，且 ， ，求 的值ks5u02， ， 3()5f12()3f()f 16 （本小题满分12分） A B O C (第 12 题) 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准.其中规定：居民区中的 PM2.5年平均浓度不得超过35微克/ 立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方 米. 某城
6、市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据， 数据统计如下： 组别 PM2.5（微克/ 立方 米） 频数（天） 频率 第一组 (0,15 4 0.1 第二组 (15,30 12 0.3 第三组 (30,45 8 0.2 第四组 (45,60 8 0.2 第五组 (60,75 4 0.1 第六组 (75,90) 4 0.1 () 请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）； （）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判 断该居民区的环境是否需要改进？说明理由； （）将频率视为概率，对于去年的某 2
7、 天，记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均 浓度符合环境空气质量标准的天数为 ，求 的分布列及数学期望 E 17 （本小题满分 14 分） 某啤酒厂为适应市场需要，2011 年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒， 2011 年啤酒生产量为 16000 吨，葡萄酒生产量 1000 吨。该厂计划从 2012 年起每年啤酒的 生产量比上一年减少 50%，葡萄酒生产量比上一年增加 100%，试问： （1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？ （2）从 2011 年起（包括 2011 年） ，经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄 酒生产总量之和的 ？（生产总量是指各年
8、年产量之和）23 18 （本小题满分 14 分） 已知数列 中， 。na ),1(232,1 Znana (1)求数列 的通项公式 ;n (2)求数列 的前 项和 ;n2T (3)若存在 ，使关于 的不等式 成立，求常数 的最小值。N)1(na 19 （本小题满分 14 分） 设函数 在 内有极值(注： 是自然对数的底数)1ln)(xf ),0ee （I）求实数 的取值范围；a （II）若 ， ，求证： 01x2xff 12)(12 20 （本小题满分 14 分） 设函数 ),()( RnNnf x且 . ks5u ()当 x=6 时, 求 x1 的展开式中二项式系数最大的项； ()对任意的实
9、数 x, 证明 2)(ff );)(的 导 函 数是 xffx ()是否存在 Na, 使得 an nkk1 na1恒成立? 若存在, 试证明你的结论 并求出 a 的值；若不存在, 请说明理由. ks5u 2012-2013 学年度第一学期期末考试 高三理科数学 参考答案 一、选择题（40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A C C A D A 二、填空题（30 分） 9 104 11 12 13 14),2(),1(12n8)3,2(; .3;64n 三、解答题（80 分） 15解：（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得1A()sin)fx1(,)32M ，sin()3
10、2 而 ， ， （4 分） ，故 ；（60562()sin)cos2fxx 分） （2）依题意有 ，31cos,s5 而 ， ， （10 分）,(0,)222415in(),sin()53 故 .（12 分）46coscsof 16.解：() 众数约为 22.5 微克/ 立方米, 中位数约为 37.5 微克/立方米(2 分) （）去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为7.5012.37.502.67.50182.40.5 （微克/立方米） ( 因为 4.，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居 民区的环境需要改进（5 分） （）记事件 A 表示“ 一天 PM2.
11、5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准” ， 则 9()10P.随机变量 的可能取值为 0,1,2.且 9(2,)10B. 所以 229()(0,1)kkC，ks5u 所以变量 的分布列为 0 1 2p180810802.10E （天）或 9.EnP（天）.（12 分） 17. 解：设从 2011 年起，该车第 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为 吨和 吨，经过nab 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为 吨和 吨。n nAB （1）设第 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为 吨，依题意， =D1160(5%)nn ，320n = ， （ ） ， 2 分1(0%)nb52n*N 则 = + =
12、，nnDab3205n640(2)n6450280n 当且仅当 ，即 时取等号， 64 故 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为 吨。 6 分201 8 （2）依题意， ，得 ，23nBAnA ， ， 16()1022n n0120(1)nnB ，10()n3n ， ， ，264n 从 第 6 年 起 ， 葡 萄 酒 各 年 生 产 的 总 量 不 低 于 啤 酒 各 年 生 产 总 量 与 葡 萄 酒 各 年 生 产 总 量 之 和 的 。23 12 分 18. 解：（）因为 )(21321 Nnana 所以 - ks5u -1 分)1(1 a 两式相减得 nnn2 所以 -2 分)(3)(
13、1an 因此数列 从第二项起，是以 2 为首项，以 3 为公比的等比数列 所以 -3 分)(2 故 -4 分 ,312nan （）由（）可知当 23na 当 时， ， -5 分210641nnT ， -6 分12)(3nn 两式相减得 21 -7 分 又 也满足上式， -8 分11a 所以 -9 分)(3)(1NnTn （） 等价于 ， -10 分)(a 由（）可知当 时， 2)1(32n 设 ),2(3)1)(Nnnf 则 ， -12 分03(1f ，又 及 ， -13 分)(1(nff)2(f21a 所求实数 的取值范围为 , - ks5u -14 分3min 19 解：（I）函数 的定义
14、域是 ；1l)(xaf ),1(),0 ，当 时，有 ，所以，由上式分子是2 2)()(xf ,(e02x 二次函数，题意就转化为 在 有解且符合极值点要求，)22axg),(e 令 ，不妨设 ，由 且 可得 ；0)()(xxg e12a1e 因此，只要 ， ，得 10(2ege （II）由 得 或 ；由 得 或 ；所)(xfx)(xfx 以得 在 内递增，在 内递减，在 内递减，在 递增f,0)1,(,1),( 由 ，则 ，由 得1lnaff 2 ，所以， ，由ln)(2afxf )()(12ffxff 且 得 ，由 ，又a1ln)(f e 在 是递增的，所以，lne 即 2e12ln2 e
15、xff 12)(12 20.解（）：展开式中二项式系数最大的项是第 4 项，第 4 项是 T= 3620Cn . （）证法一：因 2212xfxfn21xnx1xnlx 1ln2xf 证法二： 因 2212xfxfn221xn1xn 而 lxf ,故只需对 和 l进行比较。ks5u 令 l1gx，有 1xg 由 10，得 ,因为当 0x时， 0， gx单调递减；当 1x时， ， 单调递增，所以在 处 有极小值 1,故当 时，gx ，从而有 ln1，亦即 lnl,故有1ln 恒成立。所以 22fxffx，原不等式成立。 （）对 mN，且 有 201111kmmmCC 2 211! ! !k mk 1212! !k !3m 1211k 3km 13 , ks5u 又因 102,4,kmC ，故 2 13m又 当 时 ， 有 ，从而有 13knkn1,N成立， 即存在 2a，使得 1 knk 恒成立。
