1、- 1 - 24.1.3 弧、弦、圆心角 一、课前预习 (5 分钟训练) 1.下列说法中，正确的是( ) A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 2.如图 24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D，已知 AB=4，CD=2，AB 的弦 心距等于 1，那么两个同心圆的半径之比为( ) 图 24-1-3-1 A.32 B. 2 C. D.54552 3.半径为 R 的O 中，弦 AB=2R，弦 CD=R，若两弦的弦心距分别为 OE、OF，则 OEOF 等于( ) A.21 B.32 C.23 D.0 二、课中强化(1
2、0 分钟训练) 1.一条弦把圆分成 13 两部分，则弦所对的圆心角为_. 2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是_，弦所对的圆心角是_. 答案： 2 90 3.如图 24-1-3-2，已知以点 O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D. (1)求证：AC=DB ； (2)如果 AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积. 图 24-1-3-2 - 2 - 4.如图 24-1-3-3 所示，AB 是 O 的弦( 非直径)，C、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD. 求证：OC=OD. 图 24-1-3-3 5.如图 24-1-3-4，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于
3、点 E，已知 AE=6 cm，EB=2 cm，CEA=30，求 CD 的长. 图 24-1-3-4 6.如图 24-1-3-5，AB 是O 的直径，CD 是弦，AE CD，垂足为 E，BFCD，垂足为 F，我们知道 EC 和 DF 相等.若直线 EF 平移到与直径 AB 相交于 P(P 不与 A、B 重合),在 其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当 EFAB 时,情况又怎样? 图 24-1-3-5 - 3 - 三、课后巩固(30 分钟训练) 1.如图 24-1-3-6 所示，AB、CD 是O 的两条直径，弦 BE=BD，则弧 AC 与弧 BE 是否相 等？为什么？ 图 24-1-
4、3-6 2.如图 24-1-3-7 所示，AB 是 O 的弦，C、D 为弦 AB 上两点，且 OC=OD，延长 OC、OD，分别交O 于点 E、F. 试证: 弧 AE=弧 BF. 图 24-1-3-7 3.如图 24-1-3-8，AB、CD 、EF 都是O 的直径，且1=2=3，弦 AC、EB、DF 是否 相等？为什么？ 图 24-1-3-8 4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由 圆和三角形组成(圆和三角形个数不限 )，并且使整个图案成对称图形 ，请你画出你的设 计方案图(至少两种). - 4 - 5.如图 24-1-3-9，已知在O 中，AD 是O
5、 的直径，BC 是弦，ADBC ，E 为垂足，由这 些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出 6 条以上的结论) 图 24-1-3-9 6.如图 24-1-3-10，AB 为O 的弦，P 是 AB 上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求 O 的半径. 图 24-1-3-10 7.O 的直径为 50 cm，弦 ABCD，且 AB=40 cm，CD=48 cm，求弦 AB 和 CD 之间的距 离. - 5 - 参考答案 一、课前预习 (5 分钟训练) 1.下列说法中，正确的是( ) A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相
6、等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等， 所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆 心角相等缺少等 圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成 立的. 答案：B 2.如图 24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D，已知 AB=4，CD=2，AB 的弦 心距等于 1，那么两个同心圆的半径之比为( ) 图 24-1-3-1 A.32 B. 2 C. D.54552 思路解析：作 OECD 于 E，则 CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1. 在
7、Rt ODE 中，OD= = .21 在 Rt OEB 中， OB= = = . OBOD= .OB14552 答案：C 3.半径为 R 的O 中，弦 AB=2R，弦 CD=R，若两弦的弦心距分别为 OE、OF，则 OEOF 等于( ) A.21 B.32 C.23 D.0 思路解析：AB 为直径，OE=0. OEOF=0. 答案：D 二、课中强化(10 分钟训练) 1.一条弦把圆分成 13 两部分，则弦所对的圆心角为_. - 6 - 思路解析： 360=90，弦所对的圆心角为 90.41 答案：90 2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是_，弦所对的圆心角是_. 思路解析：如图，ODAB，O
8、D=DB=AD. 设 OD=x，则 AD=DB=x. 在 Rt ODB 中，OD=DB，ODAB, DOB=45 .AOB=2DOB=90 ， OB= x.222xDBO ABBC=1 = 2. 弦与直径的比为 2，弦所对的圆心角为 90. 答案： 2 90 3.如图 24-1-3-2，已知以点 O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D. 图 24-1-3-2 (1)求证：AC=DB ； (2)如果 AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积. 思路分析：求圆环的面积不用求出 OA、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来. （1）证明：作 OEA
9、B 于 E，EA=EB，EC=ED. EAEC=EBED ，即 AC=BD. （2）解：连结 OA、OC.AB=6 cm，CD=4 cm，AE= AB=3 cm.CE= CD=2 cm.2121 S 环 =OA2OC 2=（OA 2OC 2）=（AE 2OE 2）（CE 2OE 2） =（AE 2CE 2）=（3 22 2）=5 （ cm2）. 4.如图 24-1-3-3 所示，AB 是 O 的弦( 非直径)，C、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD.求证： OC=OD. - 7 - 图 24-1-3-3 思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出. 证法一：如图(1)，分别连结 OA、OB.
10、OA=OB，A=B. 又AC=BD，AOCB OD.OC=OD. (1) (2) 证法二：如图(2)，过点 O 作 OEAB 于 E， AE=BE. AC=BD，CE=DE.OC=OD. 5.如图 24-1-3-4，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6 cm，EB=2 cm，CEA=30，求 CD 的长. 图 24-1-3-4 思路分析：如何利用CEA=30是解题的关键，若作弦心距 OF，构造直角 三角形，问 题就容易解决. 解：过 O 作 OFCD 于 F，连结 CO. AE=6 cm，EB=2 cm，AB=8 cm. OA= AB=4（cm） ，OE=AEAO=2（c
11、m）.21 在 Rt OEF 中， CEA=30，OF= OE=1（cm）.21 在 Rt CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，CF= = (cm).2OFC15 又OFCD ， DF=CF. - 8 - CD=2CF=2 （ cm）.15 6.如图 24-1-3-5，AB 是O 的直径，CD 是弦，AE CD，垂足为 E，BFCD，垂足为 F，我们知道 EC 和 DF 相等.若直线 EF 平移到与直径 AB 相交于 P(P 不与 A、B 重合),在 其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当 EFAB 时,情况又怎样? 图 24-1-3-5 思路分析：考查垂径定理及
12、三角形、梯形相关知识.可 适当添加辅助线. 解：当 EF 交 AB 于 P 时,过 O 作 OMCD 于 M,则 CM=DM. 通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明 AM=MF,EC=DF. 当 EFAB 时, 同理作 OMCD 于 M,可证四边形 AEFB 为矩形 . 所以 EF=AB.且 EM=MF,又由垂径定理有 CM=MD,EC=DF. 三、课后巩固(30 分钟训练) 1.如图 24-1-3-6 所示，AB、CD 是O 的两条直径，弦 BE=BD，则弧 AC 与弧 BE 是否相 等？为什么？ 图 24-1-3-6 思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四
13、量之 间的“等对等”关系，可先求弧 AC 与弧 BE 所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想， 先找一条弧都与弧 AC 以及弧 BE 相等. 解：弧 A C=弧 BE. 原因如下： 法一：连结 AC，AB、CD 是直径， - 9 - AOCBOD.AC BD. 又BEBD，ACBE.弧 AC=弧 BE. 法二：AB、CD 是直径， AOCBOD. 弧 AC=弧 BD. BEBD，弧 BE=弧 BD.弧 AC=弧 BE. 2.如图 24-1-3-7 所示，AB 是 O 的弦，C、D 为弦 AB 上两点，且 OC=OD，延长 OC、OD，分别交O 于点 E、F. 试证:弧 AE=弧 BF. 图
14、24-1-3-7 思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求 AOE BOF. 证明： OCOD ， OCDODC. AOOB，AB. OCDAODC B， 即AOCBOD， 即AOE BOF. 弧 AE=弧 BF. 3.如图 24-1-3-8，AB、CD 、EF 都是O 的直径，且1=2=3，弦 AC、EB、DF 是否 相等？为什么？ 图 24-1-3-8 - 10 - 思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等. 解：在O 中，1=2= 3， 又AB、CD 、EF 都是O 的直径，FOD=AOC=BOE. 弧 DF=弧 AC=弧 BE. AC
15、=EB=DF. 4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由 圆和三角形组成(圆和三角形个数不限 )，并且使整个图案成对称图形 ，请你画出你的设 计方案图(至少两种). 思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对 应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案. 答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可. 5.如图 24-1-3-9，已知在O 中，AD 是O 的直径，BC 是弦，ADBC ，E 为垂足，由这 些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出 6 条以
16、上的结论) 图 24-1-3-9 思路解析：因 ADBC ，且 AD 为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时 可证得 AD 垂直平分 BC，据此又能得到许多结论.本题是 2000 年新疆建设兵团的模拟 题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考 查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力 - 11 - 和创新意识的好题. 答案：（1）BE=CE；（2）弧 BD=弧 CD；（3）弧 AB=弧 AC （4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）ABC=ACB； （7）DBC=DCB；（8）ABD=ACD ；（9）AD 是 BC
17、 的中垂线； （10）ABDACD；（11）O 为ABC 的外心等等. 6.如图 24-1-3-10，AB 为O 的弦，P 是 AB 上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求 O 的半径. 图 24-1-3-10 思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直 角三角形，再利用勾股定理来解决. 解：过 O 作 OCAB 于 C，连结 OA，则 AB=2AC=2BC. 在 Rt OC A 和OCP 中，OC 2=OA2AC 2，OC 2=OP2CP 2， OA 2AC 2=OP2CP 2. AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，CP=AB P
18、ABC=1，AC=5. OA 25 2=521.OA=7 ， 即O 的半径为 7 cm. 7.O 的直径为 50 cm，弦 ABCD，且 AB=40 cm，CD=48 cm，求弦 AB 和 CD 之间的距 离. 思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养. （2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况. (1) 解：（1）当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图(1),作 OGAB 于 G，交 CD 于 E，连结 OB、OD. - 12 - ABCD ，OGAB ，OECD.EG 即为 AB、CD 之间的距离. OECD，OGAB， BG= AB= 40=20（cm） ，21 DE= CD= 48=24（cm）. 在 Rt DEO 中，OE= = =7（cm）.2DEO245 在 Rt BGO 中，OG= = =15（cm）.BG0 EG=OGOE=157=8 （cm）. (2) （2）当 AB、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出 OG=15 cm，OE=7 c m， GE=OGOE=157=22（cm）. 综上所述，弦 AB 和 CD 间的距离为 22 cm 或 7 cm.
