1、广东省东莞市 2012-2013 学年度第学期高三调研测试 理科数学 考生注意：本卷共三大题，满分 150 分，时问 120 分钟不准使用计算器 参考公式：若事件 A 与事件 B 相互独立，则 P（AB ）=P（A）P （B） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分每小题各有四个选择支，仅有一 个选择支正确请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑 ） 1若 a 实数， ，则 a 等于1(2)ii A2 B-1 C1 D-2 2若函数 ，则 是2()cos()fxxR()fx A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为
2、 的偶函数 3学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了 n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在10,50) （单 位：元） ，其中支出在 （单位：元）的同学30,5 有 67 人，其频率分布直方图如右图所示，则 n 的值为 A100 B120 C130 D390 4等差数列 中， , ,则该数列前 n 项na1923a 和 取得最小值时 n 的值是S A4 B5 C6 D7 5设 m、n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则 的个充分条件是ma Am/n, / , B, / , / mn Cm/n， , / D , , 6甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取 3 局 2 胜
3、制( 即 3 局内谁先赢 2 局就算胜出，比 赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为 ，则比赛打完 3 局且甲取胜的概5 率为 A B C D18253612592 7 2012 翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，某翼人 空中高速飞行，右图反映了他从某时刻开始的 15 分钟内的速度 与时间 x 的关系，若定义“速度差函数” 为时间段 内的最()v ()ux0,x 大速度与最小速度的差，则 的图像是()u 设集合 ，在 上定义运算 ： ，其中 为 被 3 除012,SASijkAij 的余数， ，则使关系式 成立的有序数对 总共有3ij0()iji (,) A对 B 对 C对 D对 已知函数
4、 的定义域为， 的定义域为1()fx()lngx ， 则 MN 10已知变量 x,y 满足 则 的最小值是 120xyzxy 。 11如右图所示的算法流程图中，第 3 个输出的数是 。 12已知实数 ， ， ， ， 为坐标平面 ab(,1)Aa(2,)Bb(4,5)C 上的三点，若 ，则 ab 的最大值为 。C 13设 ，则二项式 的展开式中常数0(sinco)wxd 61()x 项是 。 （二）选做题（第 14、15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 中，圆 C 的参数议程是xOy （ 为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆3co
5、s1inxy 心 C 的极坐标是 。 15 （几何证明选讲选做题）如图，四边形 内接于 ，ABCDOA AB 为 的直径，直线 MN 切 于点OAOD， ，60MD 则 = 。B 三解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字 说 明、证明过程或演算步骤 ） 16 （本小题满分 12 分） 设函数 ，在ABC 中，角 A、的对边分别为 a,b,c2()sin()cosfxx (1)求 的最大值； (2)若 , , ,求 A 和 a。()1fA72B6b 17 （本小题满分 12 分） 某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展， 每位教师可以选择参
6、一项培训、参加两项培训或不参加培现知垒市教师中，选择心理 学培训的教师有 60%，选择计算机培训的教师有 75%，每位教师对培训项目的选择是相 互独立的，且各人的选择相互之间没有影响 (1)任选 1 名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率； (2)任选 3 名教师，记 为 3 人中选择不参加培训的人数，求 的分布列和期望 18 （本小题满分 14 分） 如图,几何体 SABC 的底面是由以 AC 为直径的半圆 O 与ABC 组成的平面图形， 平面 ABC, ,SA =SB=SC=A C=4,BC=2.SOABC (l)求直线 SB 与平面 SAC 所威角的正弦值； (2)求几何体 SABC
7、的正视图中 的面积；1SB (3)试探究在圆弧 AC 上是否存在一点 P，使得 ，若存在，说明点 P 的位置并ASB 证明；若不存在，说明理由 19 （本小题满分 14 分） 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次 品，根据经验知道，次品数 P（万件）与日产量 x（万件）之间满足关系： 2,(14),635,xPx 已知每生产 l 万件合格的元件可以盈利 2 万元，但每生产 l 万件次品将亏损 1 万元 （利 润=盈利一亏损） (1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润 T(万元)表示为日产量 x（万件）的函数； (2)当工厂将这种仪器的元件的日产量 x
8、 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？ 20 （本小题满分 14 分） 已知函数 （e 是自然对数的底数，e=2.71828）(),Rxfek (1)若 k=e，求函数 的极值；f (2)若 ，求函数 的单调区间；kR()x (3)若 ，讨论函数 在 上的零点个数f,4 21 （本小题满分 14 分） 设数列 的各项都是正数， 为数列 的前 n 项和，且对任意 。都有nabnSanN , , . (e 是自然对数的底数， e=2.71828）2S1e21nblncb (1)求数列 、 的通项公式；n (2)求数列 的前 n 项和 ；cT (3)试探究是否存在整数 ，使得对于任意 ，不等式
9、nN 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。4(1)5(1)2nnS 2012-2013 学年度第一学期高三调研测试 理科数学参考答案 一、选择题（每小题 5 分，满分 40 分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A B C B D C 二、填空题（每小题 5 分，满分 30 分 ） 9 102 117 12. 13. 14 |01x249160)6,2( 15. 15 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分.） 16.（本小题满分 12 分） 解：（1）因为 2()sin()cosfxx co 1 分 1=sin2sx 3 分 . 1si()242x
10、 4 分 所以，当 ，即 ， 时，1)sin(xkx)(8Zkx 取得最()fx 大值， 5 分 其最大值为 . 21 6 分 （2）由 得， ，即 . 1)(Af 12)4sin(2A2)4sin(A 7 分 在 中，因为 ，所以 .BC),0()9,( 又 ， 所以 ， . 2)4sin(A 432A 9 分 又因为 ，所以 . 71B3 10 分 在 AC中，由 及 ，得siniabB6 . 26si3baB 12 分 17 （本小题满分 12 分） 解：任选 1 名教师，记“该教师选择心理学培训 ”为事件 ， “该教师选择计算机培训”A 为事件 ，B 由题设知，事件 与 相互独立，且
11、， AB()0.6P()0.75B 1 分（1）任选 1 名，该教师只选择参加一项培训的概率是 ()(0.625.47.P 4 分 （2 ）任选 1 名教师，该人选择不参加培训的概率是 0()=()0.425.1PABP 5 分 因为每个人的选择是相互独立的， 所以 3 人中选择不参加培训的人数 服从二项分布 ， (30.1)B， 6 分 且 ， ， 33()0.19kkPC0123， ， ， 8 分 即 的分布列是 0 1 2 3P 0.729 0. 243 0.027 0.001 10 分 所以， 的期望是 10.243.730.1.E 12 分 （或 的期望是 ）. 18. （本小题满分
12、 14 分） 解：（1）过点 作 于点 ，连接 . 1 分BHACSH 因为 ， ，SO平 面 BAC平 面 所以 . 2 分 又因为 ， ，BASO 所以 ，HC平 面 即 就是直线 与平面 所成角. SA 3 分 在 中，因为 ， ， ，ABB42BC A B CO S H 所以 ， . 60ACB2sin603H 4 分 在 中，因为 ，RtS4 所以 ，3sinB 即直线 与平面 所成角的正弦值为 . SAC34 5 分 （2）由（1）知，几何体 的正视图中， 的边 ，B1BASHCA1 而 ，所以 . 160cos2HC31 6 分 又 的边 上的高等于几何体 中 的长，而1BAS1
13、SABCO ，所以 ， 4CO23 7 分 所以 . 132SAB 8 分 （3）存在. 9 分 证明如下： 如图，连接 并延长交弧 于点 ，BOACM 在底面内，过点 作 交弧 于点 . 10 分 PP 所以 .SAC平 面 而 ，所以 . 11 分 PB平 面 ASO 又因为 ， ，MSO 所以 ，从而 . A平 面 PB 12 分 A B CO S M P 又因为 ，所以有 ，所以 2AOCB 60AOMBCA ， ， 60MP10P 13 分 即点 位于弧 的三等分的位置，且 . 2 14 分 19 （本小题满分 14 分） 解：（1）当 时，合格的元件数为 ， 4x 26x 1 分
14、利润 ； 22()6xxT 3 分当 时，合格的元件数为 ， 4325()1xx 4 分 利润 ， 3253259()+114Txx（ ） 6 分 综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润 2,1495+,xT 7 分 （2）当 时，14x ,对称轴 ，此时利润 T的最大值 . 2T2xmax(2)T 9 分 当 时， 4x ， 2229(3)1=0xxT 10 分 所以 在 上是减函数， 5+4x), 11 分 此时利润 T的最大值 ， max()0T 12 分 综上所述，当 时， 取最大值 2, 2 13 分 即当日产量定为 2（万件）时，工厂可获得最大利润 2 万元. 14 分 20 （
15、本小题满分 14 分） 解：（1）由 得 ，所以 ke()xfe()xfe 1 分 令 ，得 ，解得 0)(xf0x1x 由 得 ，由 得 ，1()f 当 变化时， 、 的变化情况如下表：x()fx, 1 (,)()fx 0 + 单调递减 极小值 单调递增 2 分 所以当 =1 时， 有极小值为 0，无极大值 x()fx 3 分 （2）由 ，得 ()xfekR， ()xfek 当 时，则 对 恒成立，0k()0xfekR 此时 的单调递增，递增区间为 ()fx )(-， 4 分 当 时，0k 由 得到 ，(),xfeklnxk 由 得到 ， 所以， 时， 的单调递增区间是 ；递减区间是 0k(
16、)fx(l,)k(,ln)k 6 分 综上，当 时， 的单调递增区间为 ；()f )(-， 当 时， 的单调递增区间是 ；递减区间0kxln,k 是 7 分(,ln) （3）解法一： 当 时， ，对 恒成立，所以函数 在 上无零0k()xfe0R()fx4, 点8 分 当 时，由（2）知， 对 恒成立，函数 在()0xfek()f 上单调递增，4,( 又 ， (0)=1f 1()0,kfe 9 分 所以函数 在 上只有一个零点 ()fx4, 10 分 （若说明取绝对值很大的负数时， 小于零给 1 分）()fx 当 时，令 ，得 ，且 在 上单调递减，0k()xfek0kln()fx,ln)k
17、在 上单调递增， 在 时取得极小值，即 在 上(ln,()fx(f4, 最多存在两个零点 y=ex y=kx y x 0 图 1 （）若函数 在 上有 2 个零点，则 ，解得()fx4, ln4()(1ln)00kfk ；11 分 4(,ek （）若函数 在 上有 1 个零点，则 或 ，解得()fx4,(4)0fln4()0kf 或 ； 4(,)ekek 12 分 （）若函数 在 上没有零点，则 或 ，解()fx4,ln4()0kf(ln)(1l)0fkk 得 0ke， 13 分 综上所述， 当 时， 在 上有 2 个零点； 4(,ke()fx4, 当 或 时， 在 上有 1 个零点； 4(,
18、+)(,0)ek()fx4, 当 时， 在 上无零点 0)ke， ()fx4, 14 分 解法二： ()xfekR， 当 时， 对 恒成立，所以函数 在 上无零0k()xf0()fx4, 点8 分 当 时， 在 上的零点就kxef)(4,( 是方程 在 上的解，即函数xek, xey 与 在 上的交点的横坐标 9 分y4( 当 时，如图 1，函数 与 只在 上0kxeyk0（ ， ） 有一个交点，即函数 在 上有一个零点 ()f4, 10 分 当 时，0k 若 相切时，如图 2，设切点坐标为xyek与 ，则 即切线的斜率是),(0 0/|,xxe 所以 ，解得 ，0xke00410 即当 时，
19、 只有一个交点,xyek与 函数 在 上只有一个零点 ；11 分()fx4,x 由此，还可以知道，当 时，函数 在 上无零点 0ke()f4, 12 分 当 过点 时，如图 3， ，kxy),4(e4k 所以 时， 在 上exy与 ,( 有两个交点，即函数 在 上有两个零点；()f4, 时， 在 上只有一个 4ekxyk与 , 交点，即函数 在 上只有一个零点 ()f4, 13 分 综上所述，当 时，函数 在 上有 2 个零点； 4(,ek()fx4, 当 或 时，函数 在 上有 1 个 4(,+)(,0)ek()fx4, 零点； 当 时，函数 在 上无零点 0)ke， ()fx4, y=ex
20、 y=kx y x0 图 2 4 4e y=ex y=kx y x0 图 3 4 4e 14 分 21 （本小题满分 14 分） 解：（1）因为 ， ，0nannaS2 当 时， ，解得 ； 111 1 分 当 时，有 ，2n121nnaSa 由-得， （ ）.11)()( nna2 而 ，所以 （ ） ，即数列 是等差数列，且 . 0n1n2n 2 分 又因为 ，且 ，取自然对数得 ，由此可知数列 21nb0nnbl2l1 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以ln1le ， 4 分12n 所以 . 2neb 5 分 （2）由（1）知， ， 12lnnbac 6 分 所以 ，1221
21、)()()(3)( nnnT ，12 13 由-得 ， nnn 2112 7 分 所以 . )(nnT 8 分 （3）由 ， 得 ，annnaS22n 由 可得)1(412)5nTSn（ ，)(2)2（ 即使得对于任意 且 ，不等式 恒成立等*Nn)1(412)5nTSn（ 价于使得对于 任意 且 ，不等式 恒成立. 2)() 22nn（ 10 分 . 251)551,2112nn（ 当 时 取 最 大 值 是 11 分 （或用导数求 在 上的最大值.）25()1xf)， + 令 ，由 可得 2()1)ng)()ng ，化简得： ， 23()()12nn 21n 解得 ,所以当 时， 取最小值，最小值为 ,2n或 ()g8(2)3g 13 分 所以 时，原不等式恒成立. 14 分
